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绝密★本科目考试启用前
2024 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12 页，150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 已知集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 已知
，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
3. 圆
的圆心到直线
的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 在
的展开式中，
的系数为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 设
，
是向量，则“
”是“
或
”
（ ）．
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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6. 设函数
.已知
，
，且
的最小值为
，则
（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河流中的生物种类数与生物
个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总
数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，
该棱锥的高为（ ）.
A. 1
B. 2
C.
D.
9. 已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知
是平面直角坐标系中的点集.设
是
中两点
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间距离的最大值，
是
表示的图形的面积，则（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
11. 抛物线
焦点坐标为________．
12. 在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于原点对称.若
，
则
的最大值为________．
13. 若直线
与双曲线
只有一个公共点，则
的一个取值为 ________．
14. 汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器
的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10 的等比数列，底面直径依次为
，且斛量器的高为
，则斗量器的高为______
，升量器的高为
________
．
15. 设
与
是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列
4 个结论：
①若
与
均为等差数列，则M 中最多有1 个元素；
②若
与
均为等比数列，则M 中最多有2 个元素；
③若
为等差数列，
为等比数列，则M 中最多有3 个元素；
④若
为递增数列，
为递减数列，则M 中最多有1 个元素.
其中正确结论的序号是______.
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三、解答题共6 小题，共85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
（1）求
；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
面
积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
17. 如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，且
，
．
（1）若
为线段
中点，求证：
平面
．
（2）若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
18. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000 份，
记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
假设：一份保单的保费为0.4 万元；前3 次索赔时，保险公司每次赔偿0.8 万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6 万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
（1）估计一份保单索赔次数不少于2 的概率；
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（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记
为一份保单的毛利润，估计
的数学期望
；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少
，有索赔的保单的保费增加
，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中
估计值的大小．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2 的正
方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
（1）求椭圆
的方程及离心率；
（2）若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
20. 设函数
，直线是曲线
在点
处的切线．
（1）当
时，求
的单调区间.
（2）求证：不经过点
.
（3）当
时，设点
，
，
，
为与
轴的交点，
与
分别表示
与
的面积．是否存在点
使得
成立？若存在，这样的点
有
几个？
（参考数据：
，
，
）
21. 已知集合
．给定数
列
，和序列
，其中
，对数列
进行如
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下变换：将
的第
项均加1，其余项不变，得到的数列记作
；将
的第
项
均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到
，简记为
．
（1）给定数列
和序列
，写出
；
（2）是否存在序列
，使得
为
，若存在，
写出一个符合条件
；若不存在，请说明理由；
（3）若数列
各项均为正整数，且
为偶数，求证：“存在序列
，使得
的各
项都相等”的充要条件为“
”．
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绝密★本科目考试启用前
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本试卷共12 页，150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
【1 题答案】
【答案】C
【2 题答案】
【答案】C
【3 题答案】
【答案】D
【4 题答案】
【答案】A
【5 题答案】
【答案】B
【6 题答案】
【答案】B
【7 题答案】
【答案】D
【8 题答案】
【答案】D
【9 题答案】
【答案】B
【10 题答案】
【答案】C
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第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
【11 题答案】
【答案】
【12 题答案】
【答案】
##
【13 题答案】
【答案】
（或
，答案不唯一）
【14 题答案】
【答案】 ①. 23
.
②57.5##
【15 题答案】
【答案】①③④
三、解答题共6 小题，共85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
【16 题答案】
【答案】（1）
；
（2）选择①无解；选择②和③△ABC 面积均为
.
【17 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18 题答案】
【答案】（1）
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（2）(i)0.122 万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中
估计值
【19 题答案】
【答案】（1）
（2）
【20 题答案】
【答案】（1）单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）证明见解析 （3）2
【21 题答案】
【答案】（1）
（2）不存在符合条件的
，理由见解析
（3）证明见解析
