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专题突破卷 06 导函数与原函数的七种混合构造
1.利用 构造型
1．设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，求导可知其在 上单调递减，进而整理所求不等式为
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学科网（北京）股份有限公司，由函数单调性构建不等式，解得答案.
【详解】由 ，得 ，即 ，
令 ，则当 时，得 ，即 在 上是减函数，
∴ ， ，
即不等式等价为 ，
∴ ，得 ，即 ，
又 ，解得 ，故 ．
故选：D.
2．已知奇函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，当 时，有 ，则
的解集为________．
【答案】
【分析】当 时，由 ，得 ，故 在 上为增函数，再
根据奇偶性得 在 上为增函数，将不等式 化为 ，
利用单调性可求出结果.
【详解】当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，且 的定义域为 ，关于原点对称，
所以 也是定义在 上的奇函数，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 在 上为增函数，所以 在 上为增函数，
由 ，得 ，
所以 ，因为 在 上为增函数，
所以 ，即 .
所以 的解集为 .
故答案为：
3．已知定义在 上的函数 满足 ，则关于 的不等式 的
解集为__________．
【答案】
【分析】构造函数 ，由题意可得 在 上单调递减，不等式转化为
，利用 单调性，即可得出答案.
【详解】令 ，则 ，
所以当 时， ，即当 时， ，
所以 在 上单调递减，
又 ，所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为： .
4．已知定义在R上的偶函数 的导函数为 ，当x>0时， ，且 ，则
不等式 的解集为_________________________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】由 变形得 ，即可构造 ，结合 的奇偶性可得 是 上的
奇函数且在 上单调递减，则可对 的符号分类讨论，可将 化为关于 的不等
式，最后结合 单调性求解即可
【详解】当 时， ，∴ ，
令 ，∴ 在 上单调递减，
又 是定义在 上的偶函数，∴ 是 上的奇函数，即 在 上单调递减，
∵ ，∴ ，
当 ，即 时， ，∴ ；
当 ，即 时， ，∴ ，
则 .
故不等式 的解集为 .
故答案为： .
5． 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ，对任意正数 ， ，若 ，则必
有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由各选项的特征构造函数 ，再讨论函数 性质即可作答.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因 是定义在 上的非负可导函数，则 ，
令函数 ，则 ，即 在 是减函数或常数函数，
当 时， 或 ，
即 ，C正确.
故选：C
6．若定义域为 的函数 满足 ，则不等式 的解集为_______.
【答案】
【分析】设 ，根据题意得到 在 上单调递增，把 转化为
，结合函数 的单调性，即可求解.
【详解】由 时，函数 满足 ，可得 ，
设 ，则 ，故 在 上单调递增，
由 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 的解集为 .
故答案为： .
2.利用 构造型
7．定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则不等式
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学科网（北京）股份有限公司的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，由已知得出 在 上单调递减，结合 进一步计算得到结果.
【详解】设 ，则 ，因为 ，所以 在 上单调递
减.
因为 ，所以 ，所以当 时， ，当 时， ，故不等式
的解集为 .
故选：B.
8．（多选）已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，满足 （e为自然
对数的底数），且 ，则（ ）
A．
B． 在 上单调递增
C． 在 处取得极小值
D． 无最大值
【答案】ACD
【分析】根据条件构造函数 ，由题意可得 ， 的解析式，利用导数分析 ， 单调性，
进而可得答案.
【详解】设 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
因为 ， ，
则 ，
故可设 ，由 ，
则 ，解得 ，
故 ，即 ，
因为 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故A正确；
因为 ，令 ，解得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，故B错误，C正确，
因为 逼近于 时， 逼近于 ，所以 无最大值，故D正确.
故选：ACD．
9．已知定义在 上的函数 满足： ，且 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ， ，由 得出 在 单调递增，由 得出 ，
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学科网（北京）股份有限公司将 转化为 即可得出答案．
【详解】设 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 在 单调递增，
因为 ，
所以 ，
由 ，且 得 ，
则 ，
所以 ，又 在 单调递增，
所以 ，
故选：A．
10．（多选）已知函数 满足 ， ，则（ ）
A．
B．
C．若方程 有5个解，则
D．若函数 （ 且 ）有三个零点，则
【答案】BCD
【分析】由 可构造函数 ，由已知条件求出 ，再由解析式求解判定选项.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，构造函数 ，
则 ，所以可设 ，
又 ，所以 ， .
对于A选项， ，故A选项错误；
对于B选项，由 ，所以当 时， ， 在 单调递减，当 时，
， 在 单调递增，
所以 ，而 均大于0，要比较 的大小，只需比较 的
大小， ，
令 ，
则 ， 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，进而 ，故B选项正
确；
对于C选项，方程 可化为 （＊），
令 ，则方程（＊）可化为
作出 的图象如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司方程 ，
① 时， 时，方程 的解只有一个，
则函数 的零点至多有三个，不合题意；
② 时，方程 无解， 无零点，不合题意；
③ 时，即 或 时，方程的解有两个，记为 且 ，
若方程 有5个解，则 有2个零点， 有3个零点，即 ，
由求根公式得 ， ，
解得 ，此时 合题，故C选项正确；
对于D选项，若函数 （ 且 ）有三个零点，
则方程 有三个根，因为 ，又 在 单调递增，
所以方程 有三个根，则方程 有三个根，
所以 有三个根，所以 有三个根，即 有三个根，
令 ，因为 ，所以 为奇函数，
则当 时， 则 ，
令 ，所以 在 单调递增，在 单调递减,
所以 ；当 时， ，当 时， ，
作出函数 的图象如下：
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学科网（北京）股份有限公司所以 或 ，解得 ，故D选项正确.
故选：BCD.
3.利用 构造型
11．已知 是函数 的导数， 则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，求出函数的导数，得到 在 上单调递增，问题 等价于
，即可解决．
【详解】令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
设 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 等价于 ，
则 ，即 ，解得 ．
所以不等式 的解集是 ．
故选：C
12．已知函数 的导函数为 ，且满足 在 上恒成立，则不等式
的解集是____________．
【答案】
【分析】构造函数 ，再将 转化为 ，进而根据
的单调性求解即可.
【详解】令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，解得 .
所以不等式 的解集是 .
故答案为： .
13．定义在R上的函数 的导函数为 ，且 ， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】根据题意分析可得 ，构建 ，求导，结合函数单调性解不等式.
【详解】∵ ，且 ，可得 ，
故原不等式等价于 ，
构建 ，则 ，
∵ ，则 恒成立，
∴ 在定义域内单调递减，且 ，
则对于 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .
故选：B.
14．已知 是 的导函数，且 ， ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意构造函数 ，借助函数的单调性解不等式即可.
【详解】令 ，则 ，∴ 在 上单调递增.
∵不等式 可化为 ，即 ，∴ ，
则不等式 的解集为 .
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司4.用 构造型
15．已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数都有 ，则不等式
的解集为______.
【答案】
【分析】构造函数 ，对 进行求导，结合 可得 为 上的减函数，由
，则 ，所以 ，根据 的单调性即可得到答案
【详解】构造 ，
所以 ，
因为对任意实数都有 ，
所以 ，即 为 上的减函数，
因为 ，则 ，且 ，
所以由 得 ，即 ，
因为 为 上的减函数，
所以 ，所以不等式 的解集为 ，
故答案为：
16．已知定义在R上的函数 满足 ，且有 ，则 的解集为______.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】构造 并求 ，结合已知易得 在定义域上单调递减，而原不等式等价于
，利用单调性即可求解.
【详解】设 ，又 ，
则 ，
则 在定义域内单调递减，又 ，
不等式 等价于 ，即 ，
则 ，即 .
故答案为： .
17．已知定义在R上的函数 的导函数为 ， ，且 ，则不等式 的解
集为______.
【答案】
【分析】首先构造函数 ，理由导数判断函数的单调性，再求解不等式.
【详解】设函数 ，
，所以 单调递增，
不等式 ，即 ，即 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
18．（ 2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且满足
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学科网（北京）股份有限公司， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，由 得 ，进而判断函数 的单调性，判断各选
项不等式.
【详解】 ，则 ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
所以 ， ，故A不正确；
所以 ，即 ，即 ，故B不正确；
，即 ，即 ，故C正确；
，即 ，即 ，故D不正确；
故选：C.
19．已知函数 的定义域为R，且对任意 恒成立，则 的解集
为__________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】通过构造函数 ，借助单调性解不等式.
【详解】由 ，得 ，
记 ，则 在R上单调递增．
由 ，得 ，
即 ， ，
，所以解集为 ．
故答案为：
20．已知 是定义在R上的可导函数，其导函数为 ，对 时，有 ，则不等式
（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，求导判断单调性可得答案.
【详解】设 ， ，因为 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：构造函数解决导数问题的常用模型有：
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学科网（北京）股份有限公司模型1，若 的系数为x，且同时出现与 的和或差，考虑构造x与 的积或者商；模型2，若出
现 与 且系数相同时，考虑构造e与 的积或者商.模型3，若出现 与 系数分别是常
数和x时，考虑构造 与 的积或者商；模型4，若出现 与 且系数为 与 时，考虑
构造 与 的积或者商，或者 与 的积或者商.
5.利用 与 构造型
21．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 为偶函数， ，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件构造函数，再利用导数的正负与函数单调性的关系及偶函数的定义，结合函数的单
调性及一元一次不等式的解法即可求解.
【详解】令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减.
又因为 偶函数，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
又 ，
所以不等式 等价于 ，
根据函数的单调性可知 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A.
22．（ 2023春·重庆·高二统考期末）设 是函数 的导函数，当 时，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数 ，利用函数单调性依次判断选项.
【详解】 ，
设 在 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司，所以A错误；
，
所以 ，所以B正确；
，所以C错误；
，
，所以D错误.
故选：B
23．定义在 上的可导函数 的值域为 ，满足 ，若 ，则
的最小值为__________.
【答案】
【分析】化简条件式得 ，构造函数 及
，判断其单调性即可.
【详解】∵ ，∴ ，则化简 得：
，
令 ，则 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，故 在 上单调递增，
则 ，
故答案为：
6.利用 与 构造型
24．已知 是函数 的导函数， ，且对于任意的 有
．则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设 ， ，根据已知条件，利用导数得到 为增函数，由 可推出
A正确；由 可推出B不正确；由 可推出C不正确；由 可推出D不正确.
【详解】因为对于任意的 有 ．又 ， ，
所以 ，
设 ， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为当 时， ，所以 ，
所以 在 上为增函数，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以
，故A正确；
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
故B不正确；
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故
C不正确；
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故
D不正确；
故选：A
25．定义在区间 上的可导函数 关于 轴对称，当 时， 恒
成立，则不等式 的解集为（ ）
AB
⊥¿¿
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】构造函数 ，对 求导，可知当 时， 单调递增，由
可得 ，即 ，然后根据函数的性质可得不等式，解
不等式即可得出答案.
【详解】因为 ，化简得 ，
构造函数 ，
即当 时， 单调递增，
所以由 ，
则 ，
即 .因为 为偶函数且在 上单调递增，
所以 ，解得 .
故选：C.
26．偶函数 定义域为 ，其导函数为 ，若对 ，有 成立，
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学科网（北京）股份有限公司则关于 的不等式 的解集为__________．
【答案】
【分析】令 ， ，依题意可得 为偶函数且在 上单调递减，根据函
数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】令 ， ，因为 定义域为 上的偶函数，
所以 ，则 ，即 为偶函数，
又 ，
因为对 ，有 成立，所以当 时 ，
即 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
又 ，所以 ，则不等式 等价于 ，
即 ，即 ，所以 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
27．已知函数 的定义域为 ，其导函数是 .有 ，则关于 的不等式
的解集为_________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】构造函数 ，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得
即可.
【详解】依题意令 ， ，
则 ，
因为当 时， ，
所以当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
则 等价于 ，即 ，
∴ ，解得 ，所以所求不等式的解集为 .
故答案为：
7. 与 等构造型
28．（多选）已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 .若 ，且 ，
则使不等式 成立的 的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】BD
【分析】构造函数 ，通过求导并结合不等式 ，即可得出使不等式
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学科网（北京）股份有限公司成立的 的可能值.
【详解】由题意， ,
在函数 中,
设 ，则
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 在定义域 上单调递减.
∵ ，
∴ ，
∴不等式 等价于 ，即 ，
解得： ，
结合选项可知，只有BD符合题意.
故选：BD.
29．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且满足 ，则不等式
的解集为______.
【答案】
【分析】构造函数，利用导数确定单调性，通过单调性即可求解不等式.
【详解】构造函数 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
可化为 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
故答案为： .
30．已知可导函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 为奇函
数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 构造函数 ，利用导数判断其单调性，将不等式
化为 ，利用 的单调性求解可得结果.
【详解】设 ，由题设条件，得 ，
故函数 在 上单调递减.
由 为奇函数，得 ，得 ，
所以 ，
不等式 等价于 ，即 ，
又函数 在 上单调递减，所以 ，
故不等式 的解集是 ．
故选：D．
31．已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，当 时，
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】不等式含有 与 ，且中间为负号连接，则为函数除法的导数运算，构造函数
,利用单调性和奇偶性即可求解.
【详解】设 ，则 ．
当 时， ，即 ，则 ，
故 在 上单调递增．
因为 是偶函数，所以 ，
所以 ，则 是奇函数，
故 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，则 ．
不等式 等价于 或
即 或 解得 或 ．
故选：A.
1．（2023·高二单元测试）已函数 及其导函数 定义域均为 ，且 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知不等式构造函数，利用导数判断所构造的新函数的单调性，然后利用单调性进行求解即
可.
【详解】由 ，设 是实数集上的减函数，
且 ，
所以由 ，
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 的导函数 ，且 ，则
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】构造函数 ，因为 ，
所以 ，因此函数 是增函数，
于是有 ，
构造函数 ，因为 ，
所以 ，因此 是单调递减函数，
于是有 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：D
3．（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）已知函数 ， 是其导函数， ，
恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数 ，结合导数研究函数 的单调性，由此对选项
进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故B错误；
因为 ，所以 ， ，
即 ， ，
因为 ，
所以 ， ，故C错误，D正确．
故选：D
【点睛】求解含有函数及其导函数一起的不等式，可转化已知不等式，然后利用构造函数法，结合导数来
研究所构造函数的单调性，从而解决问题.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ， ，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，结合题设条件可得 为 上的增函数，而原不等式即为
，从而可求原不等式的解集.
【详解】令 ，
则 ，
因为 ，故 （不恒为零），
故 为 上的增函数，
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学科网（北京）股份有限公司故 即为 ，
而 ，
故 的解为 ，
即 的解为 .
故选：B.
5．（2023·高二单元测试）已知 是函数 的导函数，且对于任意实数x都有
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据要求解的不等式可变形为 ，构造函数 ，并结合已知
可得 ，从而得 ，利用 求得参数c的值，
由此可将不等式 化为 ，即可求得答案.
【详解】令 ①,则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ （c为常数）②，
由①②知， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，又 ，
∴ ，即 ，
，
不等式 即 ，
∴ 或 ，
即不等式 的解集为 ，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决此类根据导函数的表达式求解不等式解集的问题时，一般方法是要构造函数，
利用导数判断函数性质进行求解，关键点就是要根据求解的不等式进行合理变形，并结合已知的导函数表
达式进行构造恰当的新函数.
6．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为
，且满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，已知 ，得出 ，则可求出函数 在区间
上为增函数，不等式 可转化为 ，再根据函数
的单调性即可求解.
【详解】解：根据题意，设 ，则导函数 ，
函数 在区间 上，满足 ，则有 ，
所以 ，即函数 在区间 上为增函数，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，
则有 ，
解得 ，
即此不等式的解集为 ，
故选：D.
7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 是定义在 的奇函数，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令 ，由题意可得 为定义域上的偶函数，且在 上单调递增，在
上单调递减；分 与 两类讨论，将不等式 等价转化为
与 ，分别解之即可．
【详解】令 ，
当 时， ，
当 时， ，
在 上单调递减；
又 为 的奇函数，
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学科网（北京）股份有限公司，即 为偶函数，
在 上单调递增；
又由不等式 得 ，
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递减得 ，解得 ，故 ；
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递增得 ，解得 ，故 ；
综上所述，不等式 的解集为： ．
故选：D．
8．（2022秋·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）（多选）设函数 是函数 的导函数，且满足
， ，则（ ）
A． 有极大值 B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用构造函数法，由 求得 ，结合导数确定正确答案.
【详解】依题意可知 ，
，
，设 （ 为常数， ）
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
所以 ，
，
所以 在 上递增，没有极大值，A错误.
，C选项错误.
，D选项正确.
，
，B选项正确.
故选：BD
【点睛】关于函数 和导函数 都有的表达式，可以考虑利用构造函数法来进行研究，构造函数的
思路，可结合乘法、除法等导数运算来进行构造.
9．（2023秋·山西运城·高二康杰中学校考期末）（多选）已知函数 ， 是其导函数，
， 恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，依次判断各个选项，进而得解.
【详解】设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， ，所以 ，
即 ，所以 ，故A正确；
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ， ，
即 ， ，因为 ，
所以 ， ，故C错误，D正确．
故选：ABD．
10．（2023春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）已知奇函数 的定义域为 ，导函数为 ，
若对任意 ，都有 恒成立， ，则不等式 的解集是
__________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】构造新函数 ，根据 的性质推出 的性质，最后利用 单调性解不等式.
【详解】设 ， ， 为奇函数，∴ ，即 是偶
函数，有 ，∵ ， 恒成立，故 时，
，∴函数 在 上为增函数，∵ ，∴
， 等价于 ， ，且函数 在
上为增函数，∴ ，解得 .
故答案为：
11．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）定义域为R的可导函数 的导函数为 ，满足
，且 ，则不等式 的解集为________．
【答案】
【分析】观察题干构造 ，将所求不等式华为 ，研究 单调性进而求出结果.
【详解】设 ，则不等式 等价为 ，
， ，即不等式等价为 ，
函数 的导数 ，
，
，即 在R上是减函数，
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学科网（北京）股份有限公司则不等式 的解为 ，
即不等式的解集为 ，
故答案为： ．
12．（2023·高二课时练习）设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】构造 ，利用 的性质解 ．
【详解】解：构造 ，
则当 时， ，
在 上递增，
∵ 为奇函数，
∴ 为偶函数，
在 上递减， ，
当 时， ，
；
当 时， ，
，
综上：使得 成立的 的取值范围是
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题解题的关键是构造 ，这样可以使用 这个条件，进而得到 的
单调性，再结合 的奇偶性解决问题．一般在已知条件中出现原函数与导函数结合的式子时，想到构造
函数．
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