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相似三角形基本模型综合培优训练（二）
1．如图，点 是双曲线 上的动点，连接 并延长交双曲线于点 ，将线段 绕 顺时针旋转
得到线段 ，点 在双曲线 上运动，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 双曲线 关于原点对称，
点 与点 关于原点对称．
．
连接 ， ，如图所示．
将线段 绕 顺时针旋转 得到线段 ，
是等边三角形， ， ， ，
， ．
过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 ，
， ， ，， ， ∽ ． ．
， ， ．
设点 坐标为 ，
点 在第一象限， ， ． ，
点 在双曲线 上， ． ，
设点 坐标为 ，
点 在第四象限，
， ．
．
．
点 在双曲线 上，
．
故选：D
2．如图，已知在等腰Rt ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB
于点F．若AC＝2，则线△段EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，∴AD＝ ＝ ＝ ，
∵ ，∴CE＝ ＝ ，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，∴∠ADC＝∠H，
在 ACD和 CBH中，
△ △
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝ ，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，∴AC∥BH，∴△ACF∽△BHF，
∴ ＝ ，
∴CF＝ ，∴EF＝CF﹣CE＝ ﹣ ＝ ，
故选：B．
3．如图，已知 ， 是斜边AB的中点，过 作 于 ，连结 交 于 ；过 作
于 ，连结 交 于 ；过 作 于 ，…，如此继续，可以依次得到点
，分别记 的面积为 ．若 ，则
_____．【答案】
【详解】解：由题意得： BC，
∴ 与 同底同高，面积相等，以此类推；根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：
= BC， = AC， = ；
∴在 ACB中， 为其重心，
△
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ =2：3， =1：2，
∴ =3，
∴ =3：4，
∴ ， ，…，
∴ ；当n=2022时， ，
故答案为： ．
4．如图，已知 、 为 的边 上的两点，且满足 ，一条平行于 的直线分别交
、 、 的延长线于点 、 、 ，则 ________．
【答案】3
【详解】过点M作MG DF，点G在AB上，过点N作NH DF，H在AB上，NH交AM于I，
则有MG DF NH AC
∵GM NH，
∴△BMG∽△BNH，∴
又∵BM= ，∴
∵MG NH AC，
∴ ，∴
∵MG NH，∴△AHI∽△AGM ，∴又∵ ，∴ ，∴
又∵DF NH ，∴△AHI∽△ADE，△ANI∽△AFE，
∴ ，∴ ，∴
故答案是：3．
5．如图，正方形 中， ， 是 中点， 上有一动点 ，连接 、 ，将 沿
着 翻折得到 ，连接 ， ，则 的最小值为______．
【答案】5
【详解】如图所示：在 上取 ，连接 、DG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=DC=4．
∴ ．
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=2．
由翻折的性质可知 ．
∵ ， ， ，∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 的最小值为5．
故答案为：5．
6．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt∆AOB的顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边AB与函数 交于
点D，AD=3BD，过点B作BC⊥AB，交函数 交于点C，连接AC，OD交于点E，若∆AOE的面积与
∆CDE的面积都等于2.4，则 的值为________．
【答案】7
【详解】解：设 ，则 ，
∵ 为等腰直角三角形
∴ ，即
∴ ，
如图，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为H、M，延长BC交x轴与点G，连接OC，
∴∴
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设 表达式为
将 代入得， ，
∴ 表达式为 ，
∵
∴ ，即
∴ 到 的距离等于 到 的距离，
∴
∴直线
联立 ，解得 ，即
∴由上可知， ， ，
∴ ， ，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ，
∴
∴ .
故答案为：7
7．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于
点F，则△ABE面积的最大值是___．
【答案】
【详解】解：连接DE，
∵ ， ，∴ ，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，
∴∠CDE=∠CBA， ，∴ ，
∴△DEF∽△ABF，
∴ ，∴ ， ，
∴ ， ，
当 最大时， 最大， 最大，
过点D作DG⊥AB于G，
∵ ，∴当DG最大时， 最大，
∵ ，∴当AB⊥BC时，DG =BD= ，此时 ，∴
最大
故答案为： ．
8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD、AB上的两点，AE＝BF，连BE、CF交于点H，当
时， ＝________．【答案】
【详解】解：设正方形的边长为1，AE=BF=a，
∴FC= ．
在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE=∠BCF， ．
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠BCF+∠EBC=90°，.
∴∠BHC=90°，即.BH⊥CF．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵∠HCB=∠BCF，∠CHB=∠CBF=90°，∴△HBC∽△BFC，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得a= 或a= （舍去），
∴ ．
故答案为： ．
9．如图，已知四边形ABCD是边长为8的正方形，点E，F分别是BC，CD的中点，AE与BF相交于点
G，连接DE，交BF于点H，则GH的长为_____．
【答案】
【详解】解：取线段DE的中点M，连接MF，
∵点F为线段DC的中点，
∴MF是△DEC的中位线，∴MF EC， ，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，四边形ABCD是边长为8的正方形，
∴CF＝BE＝4，BC＝AB＝8，∠BCF＝∠ABE＝90°，
∴BF 4 ，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∴ ，即 ，解得BG ，
∵ ，∴△BEH∽△FMH，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴FH BF ，
∴GH＝BF﹣BG﹣FH＝4 ，
故答案为： ．10．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，
若BE＝3，则EC的长为___．
【答案】9
【详解】解：如图，过D点作DF∥CE交AE于F，
∵DF∥BE
∴
∵O是BD的中点
∴OB＝OD
∴DF＝BE＝3
∵DF∥CE
∴
∵AD：DC＝1：2
∴AD：AC＝1：3
∴
∴CE＝3DF＝3×3＝9．
故答案为：9．11．如图， 为等边三角形，将边 绕A点逆时针方向旋转 （ ）至 ，连 ，
交 于E．
(1)如图1，当 时，连接 ，图中与 相等的角有__________．
(2)如图2，作 的平分线，交 于F，当 变化时，请你探究线段 、 、 之间是否存在确定
的数量关系？证明你的判断．
(3)在（1）的条件下，请你直接写出 的值．
【答案】(1) 、 、 ；(2) ，理由见解析；(3)
【解析】（1）解：根据旋转可知， ，
∵△ABC为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
，
∵∠BAD=90°，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： 、 、 ．（2）解： ；理由如下：
取GF=AF，连接AG，如图所示：
∵ 、
∴ ，
∴△AGF为正三角形，
∴ ，
∴ ，
在△ABG和△ADF中 ，
∴ （AAS），
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）解：过点B作BF⊥AC于F，过点D作DG⊥AC于点G，如图所示：
由（1）可知，∠BAC=60°，∠CAD=30°，
，
，
∵BF⊥AC，DG⊥AC，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知， ，
∴DG是等腰△DEC底边EC上的高，
∴G是EC的中点，∴ ，
∵BF是等边△ABC边AC上的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
12．如图1，在等腰 中， ， 是 的中点， 为边 上任意一点，连接 ，将线段
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，交 于点 ．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)如图2，点 恰好是 的中点，连接 ，求证： ．
【答案】(1) 的长是
(2)见解析【分析】（1）过点 作 于点 ，在Rt DHE中，勾股定理求解即可；
（2）过点E作EM BF交AB于点M，过点D作△DN⊥BC交AC于点N，证明△BFD≌△NED，
△EMG≌△FBG，△AEM是等腰直角三角形，根据DN AB，D是BC的中点，可得BF＝ CN，证明等
腰Rt CDN，即可得证．
（1）△
如图，过点 作 于点 ，
∴∠CHE＝90°．
在等腰Rt ABC中，∵AB＝6，AB=BC，∴BC＝6， ，
△
∵AB＝6，AE ， 为 的中点，∴ ， ，
∵∠C＝45°，∴△CHE是等腰直角三角形， ，∴CH＝EH＝5，∴HD＝CH−CD＝2，
在Rt DHE中， ，∴ 的长是 ，即 的长是 ；
△
（2）过点E作EM BF交AB于点M，过点D作DN⊥BC交AC于点N，如图：∴△CDN为等腰直角三角形，∴CD＝ND，
∵BD＝CD，∴BD＝DN．
∵∠5＋∠BDE＝90°＝∠6＋∠BDE，∴∠5＝∠6，
在△BFD和△NED中，
，
∴△BFD≌△NED（SAS），∴BF＝EN，∠3＝∠4，
∵G是EF的中点，∴GE＝GF，
∵EM BF，∴∠1＝∠2，
在△MEG和△BFG中，
，
∴△EMG≌△FBG（ASA），∴ME＝BF，∴ME＝EN，
∵∠2＋∠3＝45°，∴∠1＋∠4＝45°，∴∠MEN＝∠1＋∠4＋∠FED＝90°，∴∠AEM＝90°，
∵∠A＝45°，∴△AEM是等腰直角三角形，AE＝ME，∴AE＝ME＝BF＝EN，∴BF＝ AN，
∵DN AB，D是BC的中点，∴CN＝AN，∴BF＝ CN，在等腰Rt CDN中，CD＝ CN，
△
∴CD＝ BF．13．在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线： 交x轴于点A，交y轴于点B，直线
与AB交于点C．
(1)如图1，求A点的坐标；
(2)如图2，点P是射线OC上一点，过点P作 轴于点H连接PA，设点P的横坐标为t，四边形
PHOA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，且 ，过点B作 交x轴于点D，BF平分 交x轴于点E，
连接DF，其中 ，若 时，求线段AE的长．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）
由 ，
∴ 恒过定点 ，
∴ ，
（2）
∵点P是射线OC 上一点，设点P的横坐标为t，四边形PHOA的面积为S，
∴点P的坐标为 ，其中t＞0，
∵ ，∴ ，
（3）
由（2） ，
解得 或 （舍去）
∴ ，
如图甲所示，连接 ，过点 作 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由 ，令 ，解得 ，
∴ ，
∵ , ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
设 ，由 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ,过点 作 于点 ,如图
乙所示，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，，
，
∴ ，解得： 或 （舍去）
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，解得 ，
由 ，∴ ，即 ，∴ ．
14．如图， 正方形 中， 点 为 边上一点， 点 为 边上一点， 且 ，
连接 、 交于点 ．(1)求证： ；
(2)连接 ， 若 平分 ， 求证： ；
(3)在（2）的条件下， 连接 ， 过点 作EH∥GD 交 边于点 ， 交 于点 ， 若
， 求线段 FM 的长．
【答案】(1)过程见解析；(2)过程见解析
(3)
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°．
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAG=∠CBF．
∵∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠AGB=90°，
即∠AGF=90°；
（2）过点C作CH⊥EG，于点H，CI⊥FG，于点I，
∵GC平分∠EGF，
∴CH=CI．
∵∠EGF=∠CHG=∠CIG=90°，
∴四边形GHCI是矩形．
∵∠HCE+∠ECI=∠ECI+∠FCI=90°，
∴∠ECH=∠FCI．
∵∠CHE=∠CIF=90°，
∴△CEH≌△CFI，∴CE=CF．
∵BE=CF，
∴CE=BE，
则BC=2CE，
∴AB=2CF；
（3）
设正方形的边长BC=2a，则BE=a，CF=a，DF=a，
根据勾股定理得 ．
∵∠EBG=∠FBC，∠BGE=∠BCF=90°，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
即 ，解得 ．
15．（1）如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，连接AC，BD交于点M．填空： 的值为 ，∠AMB的度数为 ；
（2）如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝60°，连接AC交BD的延
长线于点M．请判断 的值，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝
；点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为 ．
【答案】（1）1，39°；（2） ，理由见解析；（3）
【详解】解：（1）①如图1，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴ =1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOB=39°，
∴∠OAB+∠ABO=141°，
在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣
141°=39°，
（2）如图2，
理由是：
在Rt COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
△
∴ ，
同理得： ，
∴ ，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ ；
（3）解：连接OQ，
∵Q为CD的中点，
COD为直角三角形，
△
∴OQ= ，
又∵ ，OD=1，
∴CD=2，∴OQ=1，
∴点Q在以O为圆心，1为半径的圆上，
∴当A,O,Q三点共线时，AQ最大，
∵△BOA为直角三角形，OB= ， ，
∴ ，
∴ ．
