文档文本内容
第1页/共10页
学科网（北京）股份有限公司
2023 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷满分150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 在复平面内，复数
对应的点的坐标是
，则
的共轭复数
（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 已知向量
满足
，则
（ ）
A.
B.
C. 0
D. 1
4. 下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.
的展开式中
的系数为（ ）．
A.
B.
C. 40
D. 80
6. 已知抛物线
的焦点为
，点
在
上．若
到直线
的距离为5，则
（
第2页/共10页
学科网（北京）股份有限公司
）
A
7
B. 6
C. 5
D. 4
7. 在
中，
，则
（ ）
A
B.
C.
D.
8. 若
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之
美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若
，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面
的夹角的正
切值均为
，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知数列
满足
，则（ ）
A. 当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
B. 当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
C. 当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
第3页/共10页
学科网（北京）股份有限公司
D. 当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11. 已知函数
，则
____________．
12. 已知双曲线C 的焦点为
和
，离心率为
，则C 的方程为____________．
13. 已知命题
若
为第一象限角，且
，则
．能说明p 为假命题的一组
的值
为
__________，
_________．
14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环
权”．已知9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9 的数列
，该数列的前3 项成等差数列，
后7 项成等比数列，且
，则
___________；数列
所有项的和为
____________．
15. 设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是____________．
三、解答题：本题共6 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 如图，在三棱锥
中，
平面
，
．
第4页/共10页
学科网（北京）股份有限公司
（1）求证：
平面PAB；
（2）求二面角
的大小．
17. 设函数
．
（1）若
，求
值．
（2）已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中
选择一个作为已知，使函数
存在，求
值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40 天的价格变化数据，如下表所示．在
描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一
天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段
价格变化
第5页/共10页
学科网（北京）股份有限公司
第1 天到第20 天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
-
-
+
-
+
0
0
+
第21 天到第40
天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
+
-
-
-
+
0
-
+
用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格“上涨”
概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4 天，试估计该农产品价格在这4
天中2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41 天该农产品价格“上涨”“下跌”
和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆
的离心率为
，A、C 分别是E 的上、下顶点，B，D 分别是
的左、右顶点，
．
（1）求
的方程；
（2）设
为第一象限内E 上的动点，直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
．
求证：
．
20. 设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
（1）求
的值；
（2）设函数
，求
的单调区间；
（3）求
的极值点个数．
21. 已知数列
的项数均为m
，且
的前n 项和分别为
，并规定
．对于
，定义
，其
中，
表示数集M 中最大的数.
第6页/共10页
学科网（北京）股份有限公司
（1）若
，求
的值；
（2）若
，且
，求
；
（3）证明：存在
，满足
使得
．
第7页/共10页
学科网（北京）股份有限公司
2023 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷满分150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
【1 题答案】
【答案】A
【2 题答案】
【答案】D
【3 题答案】
【答案】B
【4 题答案】
【答案】C
【5 题答案】
【答案】D
【6 题答案】
【答案】D
【7 题答案】
【答案】B
【8 题答案】
【答案】C
【9 题答案】
【答案】C
【10 题答案】
【答案】B
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
【11 题答案】
【答案】1
【12 题答案】
第8页/共10页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
【13 题答案】
【答案】 ①.
.
②
【14 题答案】
【答案】 ①. 48
.
②384
【15 题答案】
【答案】②③
三、解答题：本题共6 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【16 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17 题答案】
【答案】（1）
.
（2）条件①不能使函数
存在；条件②或条件③可解得
，
.
【18 题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）不变
【19 题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【20 题答案】
【答案】（1）
第9页/共10页
学科网（北京）股份有限公司
（2）答案见解析 （3）3 个
【21 题答案】
【答案】（1）
，
，
，
（2）
（3）证明见详解
第10页/共10页
学科网（北京）股份有限公司
