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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设全集
，集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2.
（ ）
A.
B. 1
C.
D.
3. 已知向量
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 某校文艺部有4 名学生，其中高一、高二年级各2 名．从这4 名学生中随机选2 名组织校文艺汇演，则
这2 名学生来自不同年级
概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 记
为等差数列
的前
项和．若
，则
（ ）
A. 25
B. 22
C. 20
D. 15
6. 执行下面的程序框图，输出的
（ ）
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A. 21
B. 34
C. 55
D. 89
7. 设
为椭圆
的两个焦点，点
在
上，若
，则
（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
8. 曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐近线与圆
交
于A，B 两点，则
（ ）
A
B.
C.
D.
10. 在三棱锥
中，
是边长为2 的等边三角形，
，则该棱锥的体积
为（ ）
A. 1
B.
C. 2
D. 3
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11. 已知函数
．记
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图
象与直线
的交点个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13. 记
为等比数列
的前
项和．若
，则
的公比为________．
14. 若
为偶函数，则
________．
15. 若x，y 满足约束条件
，设
最大值为____________．
16. 在正方体
中，
为
的中点，若该正方体的棱与球
的球面有公共点，
则球
的半径的取值范围是________．
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60 分.
17. 记
的内角
的对边分别为
，已知
．
（1）求
；
（2）若
，求
面积．
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18. 如图，在三棱柱
中，
平面
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）设
，求四棱锥
的高．
19. 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40 只小白鼠，随机地将其中20 只分配到试验组，另
外20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时
间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组
小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40 只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，
完成如下列联表
对照组
试验组
（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增
加量有差异？
附：
，
0.100
0.050
0.010
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2.706
3.841
6.635
20. 已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
，求
的取值范围．
21. 已知直线
与抛物线
交于
两点，且
．
（1）求
；
（2）设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22. 已知点
，直线
（t 为参数），
为的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分
别交于A，B 两点，且
．
（1）求
；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23. 设
，函数
．
（1）求不等式
的解集；
（2）若曲线
与
轴所围成的图形的面积为2，求
．
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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
【1 题答案】
【答案】A
【2 题答案】
【答案】C
【3 题答案】
【答案】B
【4 题答案】
【答案】D
【5 题答案】
【答案】C
【6 题答案】
【答案】B
【7 题答案】
【答案】B
【8 题答案】
【答案】C
【9 题答案】
【答案】D
【10 题答案】
【答案】A
【11 题答案】
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【答案】A
【12 题答案】
【答案】C
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
【13 题答案】
【答案】
【14 题答案】
【答案】2
【15 题答案】
【答案】15
【16 题答案】
【答案】
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60 分.
【17 题答案】
【答案】（1）
（2）
【18 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【19 题答案】
【答案】（1）
（2）（i）
；列联表见解析，（ii）能
【20 题答案】
【答案】（1）
在
上单调递减
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（2）
【21 题答案】
【答案】（1）
（2）
（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
【22 题答案】
【答案】（1）
（2）
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
【23 题答案】
【答案】（1）
（2）2
