压轴01 抽象函数与嵌套函数的5 大核心题型
参考答案
压轴题型精讲
题型01 赋值法研究抽象函数
1.【答案】ABD
【解析】对于A，令
1,
0
x
y
，则
1
1
0
f
f
f
f
+
，
因为
1
1
f
，所以
1
1
0
f
f
f
+
，解得
0
0
f
，故A 正确；
对于B，令y
x
- ，则
f
f x
x
f x
f
x
-
+
-
，得
0
f
f
f x
f
x
+
-
，
由A 可知
0
0
f
，所以
0
0
f
f x
f
x
+
-
，即
f
x
f x
-
-
，
所以
f x 的图象关于点
0,0 对称，故B 正确；
对于C，令
1
y
x
-
，则
1
1
1
1
1
f
f x
x
f x
f
x
f
f
f
+ -
+
-
，即
1
1
f x
f
x
+
-
.
假设
f x 的图象关于直线
1
2
x
对称，则有
1
1
2
f x
f
x
-
，与
1
1
f
矛盾，
所以假设不成立，
f x 的图象不关于直线
1
2
x
对称，故C 错误；
对于D，由于
1
1
f x
f
x
+
-
且
f
x
f x
-
-
，则有
1
1
f x
f x
-
-
，即
1
1
f x
f x
-
+ ，
所以
2
1
1
2,
3
2
1
3,
,
2025
2025
f
f
f
f
f
+
+
L
，故D 正确.
故选：ABD.
2.【答案】2 2 026
【解析】令x＝y＝0，得f(1)＝f(0)f(0)－f(0)＋2＝1－1＋2＝2.
令y＝1，则f(x＋1)＝2f(x)－2－x＋2
＝2f(x)－x，即f(x＋1)＝2f(x)－x.①
又f(yx＋1)＝f(y)f(x)－f(x)－y＋2，
令y＝1 代入，得f(x＋1)＝2f(x)－f(x)－1＋2，
即f(x＋1)＝f(x)＋1.②
联立①②得f(x)＝x＋1，
所以f(1)＝2，f(2 025)＝2 026.
题型02 数形结合法研究抽象函数
3.【答案】B
【解析】
1
3
f
x
f
x
+
-
Q
，
1
3
4
2
2
2
x
x
+
+ -
\
，
则函数
f x 关于
2
x
对称，故A 正确，
f x
Q
是奇函数，
1
3
3
f
x
f
x
f x
\
+
-
-
-
，
即
4
f x
f x
+
-
，即
8
4
f x
f x
f x
+
-
+
，
即函数的周期为8 ，故B 错误，
2024
2022
253 8
253 8
2
f
f
f
f
+
´
+
´ -
0
2
0
2
2
f
f
f
+
-
-
，
故C 正确，
f x
Q
在
0,2 上单调递减，
2
2
f
- ，
f x
\
在
2,2
-
上单调递减，
2
2
f -
，
则
f x 图象关于
2
x - 对称，
2
e
( 6
2)
x
g x
x
- +
- <
<
的图象也关于
2
x - 对称，
作出两个函数的图象，则两个函数共有2 个交点，
则交点关于
2
x
对称，则
1
2
2
2
+
-
x
x
，
即
1
2
4
x
x
+
- ，即交点横坐标之和为4
- ，故D 正确，
故选：B ．
4.【答案】C
【解析】因为
( )
f
x
f x
-
，则
( )
f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，
又
( )
f x 在
0, ¥
+
上单调递减，则在(
,0]
-¥
上单调递增；
函数( )
g x 满足
1
1
g
x
g
x
-
+
且在
1, ¥
+
上单调递减，
则( )
g x 图象关于
1
x 对称，在
,1
¥
-
上单调递增，
由题意得
,
,
f x
f x
g x
F x
g x
f x
g x
ì
³
ï
í
<
ïî
，则有：
①当
( )
( )
f x
g x
<
恒成立时，
( )
F x
g x
，图象关于
1
x 对称，
此时
1
1
F
x
F
x
-
+
，
2
2
1
1
F
x
F
x
-
+
；
②当
( )
( )
f x
g x
³
恒成立时，
( )
F x
f x
，
( )
f x 的图象关于y 轴对称，且在
0, ¥
+
上单调递减，
因为当|1
| |1
|
x
x
³
-
+
时，
1
1
F
x
F
x
-
£
+
；当|1
| |1
|
x
x
-
£
+
时，
1
1
F
x
F
x
-
³
+
；
即A，B 两项均错误；
又当
2
1
0
x
-
³
，即
2
0
1
x
£
£ 时，
2
2
0
1
1
x
x
£ -
£ +
，则
2
2
1
1
F
x
F
x
-
³
+
，
当
2
1
0
x
-
£
，即
2
1
x ³ 时，
2
2
2
1
1
1
F
x
F x
F
x
-
-
³
+
，
因此，若
( )
F x
f x
，则必有
2
2
1
1
F
x
F
x
-
³
+
，故D 错误；
③若
( )
( )
f x
g x
³
，
( )
( )
f x
g x
<
均能成立，则不妨作
F x 示意图如下：
因
2
2
1
,1
x
x
-
+
对应的点关于直线
1
x 对称，且
2
2
1
1
x
x
-
£ +
，由图知
2
2
1
1
F
x
F
x
-
³
+
，故C 正确.
故选：C.
题型03 利用函数性质之间的关系推理论证
5.【答案】C
【解析】
f x 是定义在R 上的奇函数，有
f
x
f x
-
-
，
g x 是定义在R 上的偶函数，有
g
x
g x
-
，
f x
g x
-
的值域为
4,1
-
，故
4
1
f x
g x
- £
-
£ ，
则有
1
4
f
x
g
x
- £
-
-
£
-
，得
1
4
f x
g x
£ -
-
£
-
，所以
1
4
f x
g x
- £
+
£
，
2
2
f
x
g
x
+
与
f x
g x
+
有相同的值域，
因此
2
2
f
x
g
x
+
的最小值为1
- ，故选：C
6.【答案】B
【解析】Q当
1
2
1
x
x
<
<
时，
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
-
>
é
ù
ë
û
恒成立，
\当
1
2
1
x
x
<
<
时，
2
1
0
f x
f x
-
>
，即
2
1
f x
f x
>
，
\函数
f x 在
1,+¥ 上为增函数，
Q函数
1
f
x +
是偶函数，即
1
1
f
x
f
x
+
-
，
\函数
f x 的图象关于直线
1
x 对称，
1
5
2
2
æ
ö
æ
ö
\
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
a
f
f
，
又函数
f x 在
1,+¥ 上为增函数，
5
2
3
2
f
f
f
æ
ö
\
<
<
ç
÷
è
ø
，
即
1
2
3
2
f
f
f
æ
ö
<
-
<
ç
÷
è
ø
，
b
a
c
\ <
<
.
故选：B.
题型04 嵌套函数零点个数的判断
7.【答案】D
【解析】作出
( )
f x 的图象，如图所示：
则
( )
f x 的值域为R ，求
3
y
f
f x
- 的零点，即求
3
0
f
f x
-
，即
3
f
f x
，对应方程的根.
设
( )
m
f x
，则m
R
Î
，则
3
f
f x
等价于
( )
3
f m ，
如图所示：
( )
3
f m 有3 个交点，则m 有三个解，
当
1
m≤时，有
2
3
2
3
m
m
-
-
，解得
0
m
或
2
m - ，
当
1
m > 时，有
4
2
3
m
m
+
-
，解得
4
m
或
1
m （舍）
故m 的值分别为2
- ，0 ，4 ，则
( )
m
f x
对应解如下图
( )
m
f x
对应5 个交点，分别为点Q，M，K，E，T，
综上所述：
3
y
f
f x
- 的零点个数为5 个.
故选：D
8.【答案】D
【解析】由已知
1
0
f
f x
é
ù
-
ë
û
，
令
1
f x
t
- ，即
0
f t
，
当
2
2
0
0
t
t
t
ì-
+
í ³
î
时，得1
0
t
或2
2
t
，
当
1
ln
0
0
t
t
t
ì
-
+
ïí
ï <
î
时，明显函数
1
ln
g t
t
t
-
+
在
,0
¥
-
上单调递减，且
1
1
1 0,
2
ln 2
ln 2
ln
e 0
2
g
g
-
-
-
-
-
，
1
2
0
g
g
-
-
<
，
故存在
3
2, 1
t Î -
-
，使
3
3
1
ln
0
t
t
-
+
，
画出
2
2 ,
0
1
ln
,
0
x
x x
f x
x
x
x
ì -
+
³
ï
í
-
+
<
ïî
的图象如下，
再画出直线
1
y
t
+ ，其中
3
0,2,
t
t
Î
，
观察图象可得交点个数为5 个，
即函数
1
y
f
f x
é
ù
-
ë
û 的零点个数是5 .
故选：D.
题型05 求嵌套函数零点中的参数
9.【答案】C
【解析】令m
f x
（），
则关于x 的函数
2
1
g x
f
x
t
f x
t
-
+
+
（）
（）（
）（）
可变为
2
1
h m
m
t
m
t
-
+
+
（）
（
）
，
设
1
2
m
m
，
为关于m 的函数
2
1
h m
m
t
m
t
-
+
+
（）
（
）
的零点，
则关于x 的函数
2
1
g x
f
x
t
f x
t
-
+
+
（）
（）（
）（）
有三个不同的零点等价于函数m
f x
（）的图象与直线
1
2
m
m
m
m
，
的交点个数之和为3 个，
则需函数m
f x
（）的图象与直线
1
2
m
m
m
m
，
的位置关系如图所示，
又
1
0
h
（）
，
由图可知：
1
2
0
1
m
m
＜
＜
，
由韦达定理可得：
1
2
1
01
t
m
m
m
´
Î（，），
故选C．
10.【答案】ln 2
1
,
4
2e
é
ö
÷
êë
ø
【解析】因为
g x
f x
ax
-
有三个不同零点，所以
f x
ax
有三个不同实根，
所以
y
f x
，y
ax
的图象有三个交点，
在同一平面直角坐标系中作出
y
f x
，y
ax
的图象，
当y
ax
经过点
8,2ln 2 时，代入坐标
8,2ln 2 可得8
2ln 2
a
，解得
ln 2
4
a
；
当y
ax
与
2,8
f x
xÎ
的图象相切时，
设切点为
0
0,ln 2
x
x
æ
ö
ç
÷
è
ø ，因为此时
ln 2
x
f x
，所以
1
f
x
x
¢
，
所以切线方程为
0
0
0
1
ln 2
x
y
x
x
x
-
-
，即
0
0
ln
1
2
x
x
y
x
+
- ，
所以
0
0
1
ln
1
0
2
a
x
x
ì
ïïí
ï
-
ïî
，可得
1
2e
a
；
结合图象可知，若
y
f x
，y
ax
的图象有三个交点，则ln 2
1
4
2e
a
£
<
.
1.【答案】A
【解析】由于
(
2)
(
)
( )
f x
f
x
f x
+
-
-
，
(
4)
(
2)
( )
f x
f x
f x
+
-
+
，
则
(9)
(1)
( 1)
1
f
f
f
-
-
- .
故选：A
2.【答案】D
【解析】由函数
( )
f x 的定义域均为R，且
( )
f x 为偶函数，得
(
)
( )
f
x
f x
-
，
求导得
(
)
( )
f
x
f
x
¢
¢
-
-
，则
(0)
0
f ¢
，由
( )
f
x
¢
是R 上的减函数，
得当
0
x >
时，
( )
(0)
0
f
x
f
¢
¢
<
，因此函数
( )
f x 在[0,
)
+¥ 上单调递减，
所以
( 3)
(3)
(2)
(1)
f
f
f
f
-
<
<
.
3.【答案】B
【解析】由
6
f x
f
x
-
，
4
2
2
f x
f x
f
+
-
，
令
1
x 得
5
1
f
f
，
5
1
2
2
f
f
f
-
，
所以
2
0
f
，故
4
f x
f x
+
，即
f x 是周期为4 的周期函数.
所以
2026
506 4
2
2
0
f
f
f
´ +
.
故选：B.
4.【答案】B
【解析】选项A，
(
1)
y
f x
-
Q
的图像向左平移1个单位得到
( )
y
f x
，
又
(
1)
-
y
f x
关于(2,0) 中心对称，
( )
y
f x
\
关于(1,0) 中心对称，
(1
)
(1
)
f
x
f
x
\
+
-
-
，
将
(1
)
(1
)
f
x
f
x
+
-
-
式子中的x 用
1
x + 代替，得到
(2
)
(
)
f
x
f
x
+
-
-
，
( )
f x
Q
是定义在R 上的偶函数，
(
)
( )
f
x
f x
\
-
，
(2
)
( )
f
x
f x
\
+
-
，将此式子中的x 用
2
x +
代替，得到
(4
)
(2
)
( )
f
x
f
x
f x
+
-
+
，
则
( )
f x 是一个以4 为周期的周期函数，故选项A 错误；
选项B，
( )
y
f x
Q
关于(1,0) 中心对称，
( )
f x 的定义域为R ，
(1)
0
f
\
，
( )
f x
Q
是定义在R 上的偶函数，
( 1)
(1)
0
f
f
\
-
，故选项B 正确；
选项C，
(2
)
( )
f
x
f x
+
-
Q
，
(2)
(0)
f
f
\
-
，但是
0
f
根据题中已知条件无法得到，故选项C 错误；
选项D，
( )
f x
Q
是一个以4 为周期的周期函数，
(3)
( 1)
f
f
\
-
，
(4)
(0)
f
f
，
(2
)
( )
f
x
f x
+
-
Q
，
(2)
(0)
f
f
\
-
，
(2)
(0)
0
f
f
\
+
，
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
( 1)
(0)
f
f
f
f
f
f
f
f
\
+
+
+
+
+
-
+
，
( 1)
(1)
0
f
f
-
Q
，
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)
(0)
0
f
f
f
f
f
f
\
+
+
+
+
，
2026
1
( )
506
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
i
f i
f
f
f
f
f
f
f
f
f
\
´
+
+
+
+
+
+
å
，
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出
2026
1
( )
0
i
f i
å
，故选项D 错误.
5.【答案】A
【解析】由
1
f x
f x
+
-
，得
2
1
f x
f x
f x
+
-
+
，周期为2，
但最小正周期不能判定，例如函数
0
f x
满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B 错误；
由于周期为2，所以
2
f
x
f x
+
，
2
2
f
x
f
x
f
x
-
+ -
-
，
又
2
2
f
x
f
x
+
-
，得
f x
f
x
-
，所以
f x 是偶函数，A 正确；
由
2
2
f
x
f
x
+
-
只能推出对称轴为
2
x
，无中心对称的推导依据，C 错误；
令
3
g x
f x
+
，由
f x 是偶函数且
2
T
，
得
3
3
1
g
x
f
x
f x
f x
-
- +
-
+
，又
3
1
g x
f x
f x
+
+
，
所以
g x
g
x
-
，所以
3
f x +
为偶函数，D 错误.
6.【答案】C
【解析】由题意知
f x 在
0,+ ¥ 上单调递增，
设
2
f x
t
x
+
，且t 为正常数。
则
1
f t ，则
2
f x
t
x
-
，
2
1
t
t
-
，解得
2
t
或
1
t - （舍去），
则
2
2
f x
x
-
，
0,
xÎ
+ ¥ ，令
2
2
0
f x
x
-
，解得
1
x .
故选：C.
7.【答案】B
【解析】由方程
2
2
4
0
f x
mf x
m
é
ù +
-
-
ë
û
变形为
2
2
0
f x
f x
m
é
ù é
ù
-
+
+
ë
û ë
û
，
所以
( )
2
f x
或
( )
2
f x
m
-
-
，
当
1
x ³ 时，
2
1 ln
( )
x
f
x
x
-
¢
，所以当
e
x ³ 时，
( )
0
f
x
¢
£
；当1
e
x
<
<
时，
( )
0
f
x
¢
>
.
所以函数在[1,
)
+¥ 上有极大值也是最大值
1
(e)
e
f
，此时
1
0
e
f x
<
£
.
画出图像如下：
由图可知
( )
y
f x
与
2
y
只有一个交点；所以
( )
y
f x
与
2
y
m
-
-
必有3 个交点.
所以
1
0
2
e
m
< -
-
<
，解得
1
2
2
e
m
- -
<
< - .
故选：B
8.【答案】D
【解析】因为
( )
f x 是定义在R 上的函数且满足
(1
)
(1
)
f
x
f
x
+
-
，则
( )
f x 关于
1
x 对称，
又
(2
)
f
x
+
是奇函数，则
(2
)
(2
)
f
x
f
x
-
-
+
，
( )
f x 关于(2,0) 对称，
且当0
1
x
£
£ 时，
2
( )
f x
x
，可以画出
( )
f x 的图形，
则( )
( )
lg(
1)
g x
f x
x
-
+
的零点个数转化为
( )
f x 与
lg(
1)
y
x
+
的交点个数，
如图，当
9
x
时，
lg 9
1
1
+
，
故两个图像交点的个数为10，即
g x 的零点个数为10.
故选：D
9.【答案】BC
【解析】因为
f x 为定义在R 上的单调函数，所以存在唯一的t ÎR ，使得
10
f t
，
则
2
2
,
2
2
x
t
f x
x
t f t
t
t
-
-
-
-
，
即
2
3
10
t
f t
t
+
，
因为函数
2
3
t
y
t
+
为增函数，且
2
2
3 2
+ ´
10，所以
2,
2
2
2
x
t
f x
x
+
+
.
当
0
x £
时，由
0
g x
，得
2
2
x
a
+
；当
0
x >
时，由
0
g x
，得
2
log
1
a
x
- .
结合函数的图象可知，若
g x 有3 个零点，则
2,3
aÎ
.
故选：BC
10.【答案】ABD
【解析】对于A，令
1,
0
x
y
，则
1
1
2
1
0
f
f
f
f
+
，又
1
1
f
- ，
所以
1
1
2
1
0
2
0
f
f
-
+ -
´ -
´
-
，解得：
(0)
1
f
，故A 正确；
对于B，令
0
x
，则
2
0
f
y
f
y
f
f
y
+
-
，
即
2
f
y
f
y
f
y
f
y
f
y
+
-
Þ
-
，
又函数
f x 的定义域为R 关于原点对称，所以
f x 是偶函数，故B 正确；
对于C，若
f x 的图象关于点
0,1 中心对称，则
2
f x
f
x
+
-
，
由
1
1
1
1
1
1
2
f
f
f
f
+
-
+
-
+ -
- ，不符合题意，故C 错误；
对于D，令
1
y ，则
1
1
2
1
2
f x
f x
f x f
f x
+
+
-
-
，
即
1
1
f x
f x
f x
f x
é
ù
+
+
-
+
-
ë
û ，
所以
2
1
1
0
1
1
0
f
f
f
f
é
ù
é
ù
+
-
+
-
-
+
ë
û
ë
û
，
3
2
2
1
0
f
f
f
f
é
ù
+
-
+
ë
û
，
4
3
3
2
0
f
f
f
f
é
ù
+
-
+
ë
û
，
LL，
2026
2025
2025
2024
0
f
f
f
f
é
ù
+
-
+
ë
û
所以
1
2
2026
f
f
f
+
+
+
L
1
2
2025
2026
f
f
f
f
é
ù
é
ù
+
+
+
+
ë
û
ë
û
L
1
1
1
1
1013 0
0
é
ù
é
ù
-
+
+
+
-
+
´
ë
û
ë
û
L
，故D 正确.
11.【答案】BC
【解析】对于A，因为函数
3
g x
x
f x
-
的图象关于点
3,0 中心对称，
所以
3
3
g
x
g
x
-
-
+
，即
3
3
3
3
3
3
x
f
x
x
f
x
é
ù
é
ù
-
-
-
-
+
-
+
ë
û
ë
û
，
也即
3
3
xf
x
xf
x
-
-
-
+
，
当
0
x
时，
3
3
f
x
f
x
-
+
成立，
当
0
x ¹
时，
3
3
6
f
x
f
x
f
x
f
x
-
+
Þ
-
+
，
又函数
f x 是定义在R 上的偶函数，
所以
6
6
f
x
f
x
f x
f
x
-
+
Þ
+
，故A 错误；
对于B，
1
1
2
1
1
1
2
g
f
f
-
- Þ
，
由
6
f x
f
x
+
，所以函数
f x 的周期为6，
所以
1
5
6 1
1
1
2
f
f
f
f
-
-
，故B 正确；
对于C，因为函数
g x 的图象关于点
3,0 中心对称，且在区间
0,2 上是增函数，
由中心对称的性质可得函数
g x 在
4,6 上是增函数，故C 正确；
对于D，令
3
0
g x
x
f x
-
，则
3
0
3
x
x
-
Þ
或
0
f x
，
此时
g x 在区间
5,6
-
有一个零点3，
因为函数
f x 是定义在R 上的偶函数，且周期为6，
3
0
2
f æ
ö
ç
÷
è
ø
，
所以
3
3
3
9
9
0,
6
0,
0
2
2
2
2
2
f
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
此时
3
3
9
9
0
2
2
2
2
g
g
g
g
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以
g x 在区间
5,6
-
共有5 个零点分别为
3
3 9
9
3,
,
,
,
2
2 2
2
-
-
，
此时
3
3
9
9
3
3
0
2
2
2
2
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+
+ -
¹
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，故D 不正确.
12.【答案】AB
【解析】令
1
x
y
，得
1
1
1
f
f
f
+
，即
1
0
f
，故A 正确；
令
1
1
g x
f x
f
x
+
+
-
，
则
1
1
1
1
g
x
f
x
f
x
f
x
f
x
g x
-
- +
+
- -
-
+
+
，
即
1
1
f x
f
x
+
+
-
是偶函数，故B 正确；
当
1
x > 时，因为
0
y >
，所以xy
y
>
，
因为
f xy
f x
f
y
+
，所以
0
f xy
f
y
f x
-
>
，
则
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，故C 错误；
由题意知
2
1
f
，且
1
x > ，
因此不等式
1
1
f x
f x
-
-
> 可化为
2
1
x
f
f
x
æ
ö >
ç
÷
-
è
ø
，
因为
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，
所以
2
1
x
x
>
-
，解不等式得1
2
x
<
<
，故D 错误．
故选：AB
13.【答案】BC
【解析】由
1,
0
x
y
得
2
2
1
1
0
3
f
f
f
，代入
3
1
2
f
得
0
3
f
，A 错误；
令
1
y 得
1
1
f x
f x
f x
+
+
-
，
用
1
x + 换x 得
2
1
f x
f x
f x
+
+
+
，
两式相加得
2
1
1
1
f x
f x
f x
f x
f x
f x
+
+
+
+
+
-
+
+
，即
2
1
0
f x
f x
+
+
-
，
用
1
x + 换x 得
3
0
f x
f x
+
+
，即
3
f x
f x
+
-
，
用
3
x + 换x 得
6
3
f x
f x
f x
f x
+
-
+
- -
，所以
f x 周期为 6，B 正确；
令 y
x
得
2
2
2
0
( )
3
f
x
f
f x
+
，即
2
2
2
( )
3
3
f
x
f x
-
，
由于
2
( )
0
f x
³
，所以
2
3
f
x ³ - ，因此
3
f x ³ - ，故 C 正确；
已知
0
3
f
，
3
1
2
f
，对
2
1
f x
f x
f x
+
+
+
赋值得：
令
0
x
得
3
3
2
0
1
2
1
0
3
2
2
f
f
f
f
f
f
+
Þ
-
-
-
，
令
1
x 得
3
3
3
1
2
3
2
1
3
2
2
f
f
f
f
f
f
+
Þ
-
-
-
- ，
令
2
1
g x
f
x
+
，若
g x 关于
1
2
x
对称，则
0
1
g
g
，
但
3
0
1
2
g
f
，
1
3
3
g
f
- ，不相等，故 D 错误.
故选：BC
14.【答案】
3,2
【解析】作出
2
3
x
f x
-
的图象，
令
2
3
x
t
f x
-
，则方程
2
2
3
0
f x
mf x
é
ù -
+
ë
û
，即为
2
2
3
0
t
mt
-
+
，
2
2
3
0
f x
mf x
é
ù -
+
ë
û
有4 个不同的实数根，则
2
2
3
0
t
mt
-
+
在
0,3 内有两个不等实根，
所以
2
Δ
2
4 3
0
0
3
9
6
3
0
m
m
m
ì
- ´ >
ï <
<
í
ï -
+
>
î
，解得3
2
m
<
<
，
所以实数m 的取值范围为
3,2 .
15.【答案】
19
2 3 , 4
æ
ù
ç
ú
è
û
【解析】如图，作出函数
f x 的图象，易知
0
4
f
，
当0
4
a
<
£
时，此时
f x
a
有4 个不同的实数根，
当
4
a >
或
0
a
时，此时
f x
a
有3 个不同的实数根，
当5
0
a
- <
<
时，此时
f x
a
有2 个不同的实数根，
当
5
a - 时，此时
f x
a
有1 个不同的实数根，
当
5
a < - 时，此时
f x
a
没有实数根，
因此只有在0
4
m
<
£
时直线y
m
与
y
f x
的图象有4 个交点，
要满足关于x 的函数
2
3
y
f
x
bf x
-
+ 有8 个不同的零点，
令
f x
t
，则方程
2
3
0
t
bt
-
+
在
0,4 上有两个不等实根，
则有
2
2
Δ
12
0,
4
4
3
0,
3
0,
0
4,
2
b
b
b
ì
-
>
ï
-
+
³
ïïí >
ï
ï <
<
ïî
解得
19
2 3
4
b
<
£
．
16.【答案】7
【解析】令
0
y
，则
( ( ))
1
f f x
- ，设
( )
f x
m
，则方程
( ( ))
1
f f x
- 化为
( )
1
f m - ，
函数
( ( )) 1
y
f f x
+ 的零点个数即为方程
( ( ))
1
f f x
- 解的个数，
二次函数
2
4
1
y
x
x
+
+ 的图象开口向上，过点( 0, 1) ，对称轴为
2
x - ，最小值为3
- ，
作出函数
( )
y
f x
的图象，如图，
由图知
( )
1
f m - 有3 个根，当
0
m >
时，
2
log
1
m - ，解得
1
2
m
；
当
0
m £
时，
2
4
1
1
m
m
+
+ - ，解得
2
2
m - ±
，
在方程
( )
f x
m
中，当
1
2
m
时，
2
1
log
2
x
有1 个解，
2
1
4
1
2
x
x
+
+
有2 个解，共3 个解；
当
2
2
m - +
时，
2
log
2
2
x - +
有1 个解，
2
4
1
2
2
x
x
+
+ - +
有2 个解，共3 个解；
当
2
2
m - -
时，
2
log
2
2
x - -
有1 个解，
2
4
1
2
2
x
x
+
+ - -
无解，共1 个解，
所以函数
( ( )) 1
y
f f x
+ 有7 个零点.
