压轴01 抽象函数与嵌套函数的5 大核心题型
抽象函数与嵌套函数是高中函数模块的核心难点，是高考中解决函数性质、解析式、最值范围问题的
高频工具，在函数单调性、奇偶性、周期性等模块应用广泛。
这类问题以“无具体解析式研究性质/解析式”为核心逻辑，在给定抽象约束（如函数方程、多层嵌套
关系）下，求解解析式、判断函数性质或证明不等式。它重点考查学生赋值法、变量替换、配凑变形、嵌
套递推、性质综合的应用能力，是检验函数思维与逻辑推理的关键载体。
核心考点：
抽象函数：赋值法 + 性质推导，关注定义域与特殊值。
嵌套函数：逐层拆解 + 换元法，注意内层值域与外层定义域匹配。
题型01 赋值法研究抽象函数
1.（2025·广东深圳·三模）已知函数
f x 的定义域为R ，
f
f x
y
f x
f
y
+
=
+
，
1
1
f
= ，则（ ）
A．
0
0
f
=
B．
f x 的图象关于点
0,0 对称
C．
f x 的图象关于直线
1
2
x =
对称
D．
2025
2025
f
=
【答案】ABD
【解析】对于A，令
1,
0
x
y
=
=
，则
1
1
0
f
f
f
f
=
+
，
因为
1
1
f
= ，所以
1
1
0
f
f
f
=
+
，解得
0
0
f
=
，故A 正确；
对于B，令y
x
= - ，则
f
f x
x
f x
f
x
-
=
+
-
，得
0
f
f
f x
f
x
=
+
-
，
由A 可知
0
0
f
=
，所以
0
0
f
f x
f
x
=
+
-
=
，即
f
x
f x
-
= -
，
所以
f x 的图象关于点
0,0 对称，故B 正确；
对于C，令
1
y
x
= -
，则
1
1
1
1
1
f
f x
x
f x
f
x
f
f
f
+ -
=
+
-
=
=
= ，即
1
1
f x
f
x
+
-
= .
假设
f x 的图象关于直线
1
2
x =
对称，则有
1
1
2
f x
f
x
=
-
=
，与
1
1
f
= 矛盾，
所以假设不成立，
f x 的图象不关于直线
1
2
x =
对称，故C 错误；
技法指导
求函数在特定点的函数值、最值以及解析式，或判断函数的单调性、奇偶性及周期性，往往在条件等式
中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的条件，其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用.
对于D，由于
1
1
f x
f
x
+
-
= 且
f
x
f x
-
= -
，则有
1
1
f x
f x
-
-
= ，即
1
1
f x
f x
=
-
+ ，
所以
2
1
1
2,
3
2
1
3,
,
2025
2025
f
f
f
f
f
=
+ =
=
+ =
=
L
，故D 正确.
故选：ABD.
2.设定义在R 上的函数f(x)满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R 都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(1)＝
________；f(2 025)＝________.
【答案】2 2 026
【解析】令x＝y＝0，得f(1)＝f(0)f(0)－f(0)＋2＝1－1＋2＝2.
令y＝1，则f(x＋1)＝2f(x)－2－x＋2
＝2f(x)－x，即f(x＋1)＝2f(x)－x.①
又f(yx＋1)＝f(y)f(x)－f(x)－y＋2，
令y＝1 代入，得f(x＋1)＝2f(x)－f(x)－1＋2，
即f(x＋1)＝f(x)＋1.②
联立①②得f(x)＝x＋1，
所以f(1)＝2，f(2 025)＝2 026.
题型02 数形结合法研究抽象函数
3．（2026 阜阳一模）定义在R 上的奇函数
f x ，满足
1
3
f
x
f
x
+
=
-
且
f x 在
0,2 上为单调递减的一
次函数，
2
2
f
= - ，则错误的是（ ）
A．函数
f x 图象关于直线
2
x =
对称
B．函数
f x 的周期为6
C．
2024
2022
2
f
f
+
=
D．设
2
e
( 6
2)
x
g x
x
- +
=
- <
<
，
f x 和
g x 的图象所有交点横坐标之和为4
-
【答案】B
【解析】
1
3
f
x
f
x
+
=
-
Q
，
1
3
4
2
2
2
x
x
+
+ -
\
=
=
，
则函数
f x 关于
2
x =
对称，故A 正确，
f x
Q
是奇函数，
1
3
3
f
x
f
x
f x
\
+
=
-
= -
-
，
技法指导
数形结合可通过画图使抽象函数形象化，根据奇偶性、周期性等性质画出示意图，摘取有效信息，
结合图象解题.
即
4
f x
f x
+
= -
，即
8
4
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，
即函数的周期为8 ，故B 错误，
2024
2022
253 8
253 8
2
f
f
f
f
+
=
´
+
´ -
0
2
0
2
2
f
f
f
=
+
-
=
-
=
，
故C 正确，
f x
Q
在
0,2 上单调递减，
2
2
f
= - ，
f x
\
在
2,2
-
上单调递减，
2
2
f -
=
，
则
f x 图象关于
2
x = - 对称，
2
e
( 6
2)
x
g x
x
- +
=
- <
<
的图象也关于
2
x = - 对称，
作出两个函数的图象，则两个函数共有2 个交点，
则交点关于
2
x =
对称，则
1
2
2
2
+
= -
x
x
，
即
1
2
4
x
x
+
= - ，即交点横坐标之和为4
- ，故D 正确，
故选：B ．
4.已知定义在R 上的函数
,
f x
g x ，其中函数
f x 满足
f
x
f x
-
=
且在
0,+¥ 上单调递减，函数
g x
满足
1
1
g
x
g
x
-
=
+
且在
1,+¥ 上单调递减，设函数
1
2
F x
f x
g x
f x
g x
é
ù
=
+
+
-
ë
û ，则对任意
R
xÎ
，均有（ ）
A．
1
1
F
x
F
x
-
³
+
B．
1
1
F
x
F
x
-
£
+
C．
2
2
1
1
F
x
F
x
-
³
+
D．
2
2
1
1
F
x
F
x
-
£
+
【答案】C
【解析】因为
( )
f
x
f x
-
=
，则
( )
f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，
又
( )
f x 在
0, ¥
+
上单调递减，则在(
,0]
-¥
上单调递增；
函数
( )
g x 满足
1
1
g
x
g
x
-
=
+
且在
1, ¥
+
上单调递减，
则
( )
g x 图象关于
1
x = 对称，在
,1
¥
-
上单调递增，
由题意得
,
,
f x
f x
g x
F x
g x
f x
g x
ì
³
ï
= í
<
ïî
，则有：
①当
( )
( )
f x
g x
<
恒成立时，
( )
F x
g x
=
，图象关于
1
x = 对称，
此时
1
1
F
x
F
x
-
=
+
，
2
2
1
1
F
x
F
x
-
=
+
；
②当
( )
( )
f x
g x
³
恒成立时，
( )
F x
f x
=
，
( )
f x 的图象关于y 轴对称，且在
0, ¥
+
上单调递减，
因为当|1
| |1
|
x
x
³
-
+
时，
1
1
F
x
F
x
-
£
+
；当|1
| |1
|
x
x
-
£
+
时，
1
1
F
x
F
x
-
³
+
；
即A，B 两项均错误；
又当
2
1
0
x
-
³
，即
2
0
1
x
£
£ 时，
2
2
0
1
1
x
x
£ -
£ +
，则
2
2
1
1
F
x
F
x
-
³
+
，
当
2
1
0
x
-
£
，即
2
1
x ³ 时，
2
2
2
1
1
1
F
x
F x
F
x
-
=
-
³
+
，
因此，若
( )
F x
f x
=
，则必有
2
2
1
1
F
x
F
x
-
³
+
，故D 错误；
③若
( )
( )
f x
g x
³
，
( )
( )
f x
g x
<
均能成立，则不妨作
F x 示意图如下：
因
2
2
1
,1
x
x
-
+
对应的点关于直线
1
x = 对称，且
2
2
1
1
x
x
-
£ +
，由图知
2
2
1
1
F
x
F
x
-
³
+
，故C 正确.
故选：C.
题型03 利用函数性质之间的关系推理论证
5.（2026 绵阳高三第二次诊断）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，
g x 是定义在R 上的偶函数，若函数
f x
g x
-
的值域为
4,1
-
，则函数
2
2
f
x
g
x
+
的最小值为（ ）
A．16
-
B．4
-
C．1
-
D．0
【答案】C
【解析】
f x 是定义在R 上的奇函数，有
f
x
f x
-
= -
，
技法指导
函数的对称轴、对称中心及周期性，三者已知其中两个，可推出另外一个.
g x 是定义在R 上的偶函数，有
g
x
g x
-
=
，
f x
g x
-
的值域为
4,1
-
，故
4
1
f x
g x
- £
-
£ ，
则有
1
4
f
x
g
x
- £
-
-
£
-
，得
1
4
f x
g x
£ -
-
£
-
，所以
1
4
f x
g x
- £
+
£
，
2
2
f
x
g
x
+
与
f x
g x
+
有相同的值域，
因此
2
2
f
x
g
x
+
的最小值为1
- ，故选：C
6.已知函数
1
f
x +
是偶函数，当
1
2
1
x
x
<
<
时，
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
-
>
é
ù
ë
û
恒成立，设
1
2
a
f
=
-
，
2
b
f
=
，
3
c
f
=
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A．c
b
a
<
<
B．b
a
c
<
<
C．b
c
a
<
<
D．a
b
c
<
<
【答案】B
【解析】Q当
1
2
1
x
x
<
<
时，
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
-
>
é
ù
ë
û
恒成立，
\当
1
2
1
x
x
<
<
时，
2
1
0
f x
f x
-
>
，即
2
1
f x
f x
>
，
\函数
f x 在
1,+¥ 上为增函数，
Q函数
1
f
x +
是偶函数，即
1
1
f
x
f
x
+
=
-
，
\函数
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，
1
5
2
2
\
=
-
=
a
f
f
，
又函数
f x 在
1,+¥ 上为增函数，
5
2
3
2
f
f
f
\
<
<
，
即
1
2
3
2
f
f
f
<
-
<
，
b
a
c
\ <
<
.
故选：B.
题型04 嵌套函数零点个数的判断
7．（2026·甘肃金昌·期中）已知函数
2
3
2 ,
1,
4
2,
1,
x
x x
f x
x
x
x
ì -
-
£
ï
= í +
-
>
ïî
则函数
3
y
f
f x
=
- 的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】作出
( )
f x 的图象，如图所示：
技法指导
（1）判断嵌套函数零点个数的主要步骤：①换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点；②依次解
方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x 的值或判断图象交点个数.
（2）抓住两点：①转化换元；②充分利用函数的图象与性质.
则
( )
f x 的值域为R ，求
3
y
f
f x
=
- 的零点，即求
3
0
f
f x
-
=
，即
3
f
f x
=
，对应方程的根.
设
( )
m
f x
=
，则m
R
Î
，则
3
f
f x
=
等价于
( )
3
f m = ，
如图所示：
( )
3
f m = 有3 个交点，则m有三个解，
当
1
m≤时，有
2
3
2
3
m
m
-
-
=
，解得
0
m =
或
2
m = - ，
当
1
m > 时，有
4
2
3
m
m
+
-
=
，解得
4
m =
或
1
m = （舍）
故m的值分别为2
- ，0 ，4 ，则
( )
m
f x
=
对应解如下图
( )
m
f x
=
对应5 个交点，分别为点Q，M，K，E，T，
综上所述：
3
y
f
f x
=
- 的零点个数为5 个.
故选：D
8．（2026·山东济宁·期中）已知函数
2
2 ,
0
1
ln
,
0
x
x x
f x
x
x
x
ì -
+
³
ï
= í
-
+
<
ïî
，则函数
1
y
f
f x
=
-
é
ù
ë
û 的零点个数是（ ）．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】由已知
1
0
f
f x
é
ù
-
=
ë
û
，
令
1
f x
t
- = ，即
0
f t =
，
当
2
2
0
0
t
t
t
ì-
+
=
í ³
î
时，得1
0
t =
或2
2
t =
，
当
1
ln
0
0
t
t
t
ì
-
+
=
ïí
ï <
î
时，明显函数
1
ln
g t
t
t
=
-
+
在
,0
¥
-
上单调递减，且
1
1
1 0,
2
ln 2
ln 2
ln
e 0
2
g
g
-
= -
-
=
-
=
-
，
1
2
0
g
g
-
-
<
，
故存在
3
2, 1
t Î -
-
，使
3
3
1
ln
0
t
t
-
+
=
，
画出
2
2 ,
0
1
ln
,
0
x
x x
f x
x
x
x
ì -
+
³
ï
= í
-
+
<
ïî
的图象如下，
再画出直线
1
y
t
= + ，其中
3
0,2,
t
t
Î
，
观察图象可得交点个数为5 个，
即函数
1
y
f
f x
é
ù
=
-
ë
û 的零点个数是5 .
故选：D.
题型05 求嵌套函数零点中的参数
9．（2026·吉林长春·期中）设
3
1
x
f x
（）=
-
，若关于x 的函数
2
1
g x
f
x
t
f x
t
=
-
+
+
（）
（）（
）（）
有三个不同的零点，
则实数t 的取值范围为（ ）
A．
1
0, 2
B．
0,2
C．
0,1
D．
0,1
【答案】C
【解析】令m
f x
= （），
则关于x 的函数
2
1
g x
f
x
t
f x
t
=
-
+
+
（）
（）（
）（）
可变为
2
1
h m
m
t
m
t
=
-
+
+
（）
（
）
，
技法指导
（1）求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由y＝a 与y＝f（t）的图象，确定t1，t2 的取值范围，
进而由t＝f（x）的图象确定零点的个数；
（2）处理含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合.
设
1
2
m
m
，
为关于m 的函数
2
1
h m
m
t
m
t
=
-
+
+
（）
（
）
的零点，
则关于x 的函数
2
1
g x
f
x
t
f x
t
=
-
+
+
（）
（）（
）（）
有三个不同的零点等价于函数m
f x
= （）的图象与直线
1
2
m
m
m
m
，
=
=
的交点个数之和为3 个，
则需函数m
f x
= （）的图象与直线
1
2
m
m
m
m
，
=
=
的位置关系如图所示，
又
1
0
h
=
（）
，
由图可知：
1
2
0
1
m
m
=
＜
＜
，
由韦达定理可得：
1
2
1
01
t
m
m
m
=
´
=
Î（，），
故选C．
10．（2026·山东菏泽·月考）已知函数
1
2
1,
2
2
ln
,2
8
2
x
x
f x
x
x
ì
-
£
<
ïï
= í
ï
£
£
ïî
，若函数
g x
f x
ax
=
-
有三个不同的零点，
则实数a 的取值范围是________.
【答案】ln 2
1
,
4
2e
é
êë
【解析】因为
g x
f x
ax
=
-
有三个不同零点，所以
f x
ax
=
有三个不同实根，
所以
y
f x
=
，y
ax
=
的图象有三个交点，
在同一平面直角坐标系中作出
y
f x
=
，y
ax
=
的图象，
当y
ax
=
经过点
8,2ln 2 时，代入坐标
8,2ln 2 可得8
2ln 2
a =
，解得
ln 2
4
a =
；
当y
ax
=
与
2,8
f x
xÎ
的图象相切时，
设切点为
0
0,ln 2
x
x
，因为此时
ln 2
x
f x =
，所以
1
f
x
x
¢
=
，
所以切线方程为
0
0
0
1
ln 2
x
y
x
x
x
-
=
-
，即
0
0
ln
1
2
x
x
y
x
=
+
- ，
所以
0
0
1
ln
1
0
2
a
x
x
ì =
ïïí
ï
- =
ïî
，可得
1
2e
a =
；
结合图象可知，若
y
f x
=
，y
ax
=
的图象有三个交点，则ln 2
1
4
2e
a
£
<
.
1．（2026·广东深圳·一模）设
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，
(2
)
(
)
f
x
f
x
+
=
-
，
(
)
1
1
f -
= ，则
(9)
f
= （ ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【解析】由于
(
2)
(
)
( )
f x
f
x
f x
+
=
-
= -
，
(
4)
(
2)
( )
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，
则
(9)
(1)
( 1)
1
f
f
f
=
= -
-
= - .
故选：A
2．（2026·四川·模拟预测）已知函数
( )
f x 及其导函数
( )
f
x
¢
的定义域均为R，且
( )
f x 为偶函数，
( )
f
x
¢
是减
函数，则（ ）
A．
(1)
(2)
( 3)
f
f
f
<
<
-
B．
( 3)
(1)
(2)
f
f
f
<
<
-
C．
(2)
( 3)
(1)
f
f
f
<
-
<
D．
( 3)
(2)
(1)
f
f
f
-
<
<
【答案】D
【解析】由函数
( )
f x 的定义域均为R，且
( )
f x 为偶函数，得
(
)
( )
f
x
f x
-
=
，
求导得
(
)
( )
f
x
f
x
¢
¢
-
-
=
，则
(0)
0
f ¢
=
，由
( )
f
x
¢
是R 上的减函数，
得当
0
x >
时，
( )
(0)
0
f
x
f
¢
¢
<
=
，因此函数
( )
f x 在[0,
)
+¥ 上单调递减，
所以
( 3)
(3)
(2)
(1)
f
f
f
f
-
=
<
<
.
3．（2026·浙江·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，对
x
" ÎR ，
6
f x
f
x
=
-
与
4
2
2
f x
f x
f
+
-
=
均恒成立，则
2026
f
= （ ）
A．1
-
B．0
C．1
2
D．1
【答案】B
【解析】由
6
f x
f
x
=
-
，
4
2
2
f x
f x
f
+
-
=
，
令
1
x = 得
5
1
f
f
=
，
5
1
2
2
f
f
f
-
=
，
所以
2
0
f
=
，故
4
f x
f x
+
=
，即
f x 是周期为4 的周期函数.
所以
2026
506 4
2
2
0
f
f
f
=
´ +
=
=
.
故选：B.
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，
(
1)
=
-
y
f x
关于(2,0) 中心对称，则
下列说法正确的是（ ）
A．
( )
f x 的一个周期为6
B．
( 1)
0
f -
=
C．
(2)
0
f
=
D．
2026
1
( )
0
i
f i
=
=
å
【答案】B
【解析】选项A，
(
1)
y
f x
=
-
Q
的图像向左平移1个单位得到
( )
y
f x
=
，
又
(
1)
=
-
y
f x
关于(2,0) 中心对称，
( )
y
f x
\
=
关于(1,0) 中心对称，
(1
)
(1
)
f
x
f
x
\
+
= -
-
，
将
(1
)
(1
)
f
x
f
x
+
= -
-
式子中的x 用
1
x + 代替，得到
(2
)
(
)
f
x
f
x
+
= -
-
，
( )
f x
Q
是定义在R 上的偶函数，
(
)
( )
f
x
f x
\
-
=
，
(2
)
( )
f
x
f x
\
+
= -
，将此式子中的x 用
2
x +
代替，得到
(4
)
(2
)
( )
f
x
f
x
f x
+
= -
+
=
，
则
( )
f x 是一个以4 为周期的周期函数，故选项A 错误；
选项B，
( )
y
f x
=
Q
关于(1,0) 中心对称，
( )
f x 的定义域为R ，
(1)
0
f
\
=
，
( )
f x
Q
是定义在R 上的偶函数，
( 1)
(1)
0
f
f
\
-
=
=
，故选项B 正确；
选项C，
(2
)
( )
f
x
f x
+
= -
Q
，
(2)
(0)
f
f
\
= -
，但是
0
f
根据题中已知条件无法得到，故选项C 错误；
选项D，
( )
f x
Q
是一个以4 为周期的周期函数，
(3)
( 1)
f
f
\
=
-
，
(4)
(0)
f
f
=
，
(2
)
( )
f
x
f x
+
= -
Q
，
(2)
(0)
f
f
\
= -
，
(2)
(0)
0
f
f
\
+
=
，
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
( 1)
(0)
f
f
f
f
f
f
f
f
\
+
+
+
=
+
+
-
+
，
( 1)
(1)
0
f
f
-
=
=
Q
，
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)
(0)
0
f
f
f
f
f
f
\
+
+
+
=
+
=
，
2026
1
( )
506
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
i
f i
f
f
f
f
f
f
f
f
f
=
\
=
´
+
+
+
+
+
=
+
=
å
，
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出
2026
1
( )
0
i
f i
=
=
å
，故选项D 错误.
5．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在R 上的函数
f x 满足
2
2
f
x
f
x
+
=
-
，且
1
f x
f x
+
= -
，则
（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
f x 的最小正周期是2
C．
f x 关于点
2,0 中心对称
D．
3
f x +
是奇函数
【答案】A
【解析】由
1
f x
f x
+
= -
，得
2
1
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，周期为2，
但最小正周期不能判定，例如函数
0
f x =
满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B 错误；
由于周期为2，所以
2
f
x
f x
+
=
，
2
2
f
x
f
x
f
x
-
=
+ -
=
-
，
又
2
2
f
x
f
x
+
=
-
，得
f x
f
x
=
-
，所以
f x 是偶函数，A 正确；
由
2
2
f
x
f
x
+
=
-
只能推出对称轴为
2
x =
，无中心对称的推导依据，C 错误；
令
3
g x
f x
=
+
，由
f x 是偶函数且
2
T =
，
得
3
3
1
g
x
f
x
f x
f x
-
=
- +
=
-
=
+
，又
3
1
g x
f x
f x
=
+
=
+
，
所以
g x
g
x
=
-
，所以
3
f x +
为偶函数，D 错误.
6．（2026·河北邯郸·一模）已知函数
f x 的定义域为
0, ¥
+
，
1
2
,
0,
x x
"
Î
+ ¥ ，且
1
2
1
2
1
2
,
0
x
x
x
x
f
x
f
x
¹
-
-
>
é
ù
ë
û
，若
2
1
f
f x
x
é
ù
+
=
ê
ú
ë
û
，则
f x 的零点为（ ）
A．1
3
B．1
2
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由题意知
f x 在
0,+ ¥ 上单调递增，
设
2
f x
t
x
+
= ，且t 为正常数。
则
1
f t = ，则
2
f x
t
x
= -
，
2
1
t
t
-
= ，解得
2
t =
或
1
t = - （舍去），
则
2
2
f x
x
=
-
，
0,
xÎ
+ ¥ ，令
2
2
0
f x
x
=
-
=
，解得
1
x = .
故选：C.
7．（2026·江苏南京·期末）设函数
3
ln
,
1
1 ,
1
x x
x
f x
x
x
ì
³
ï
= í
ï-
-
<
î
，若关于x 的方程
2
2
4
0
f x
mf x
m
+
-
-
=
é
ù
ë
û
恰好
有4 个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
1
2,
2
e
-
-
B．
1
2
, 2
e
- -
-
C．
1
2,
2
e
+
D．
1
0, e
【答案】B
【解析】由方程
2
2
4
0
f x
mf x
m
é
ù +
-
-
=
ë
û
变形为
2
2
0
f x
f x
m
é
ù é
ù
-
+
+
=
ë
û ë
û
，
所以
( )
2
f x =
或
( )
2
f x
m
= -
-
，
当
1
x ³ 时，
2
1 ln
( )
x
f
x
x
-
¢
=
，所以当
e
x ³ 时，
( )
0
f
x
¢
£
；当1
e
x
<
<
时，
( )
0
f
x
¢
>
.
所以函数在[1,
)
+¥ 上有极大值也是最大值
1
(e)
e
f
=
，此时
1
0
e
f x
<
£
.
画出图像如下：
由图可知
( )
y
f x
=
与
2
y =
只有一个交点；所以
( )
y
f x
=
与
2
y
m
= -
-
必有3 个交点.
所以
1
0
2
e
m
< -
-
<
，解得
1
2
2
e
m
- -
<
< - .
故选：B
8．（2026·贵州贵阳一模）已知函数
( )
f x 的定义域为R ，(1
)
(1
)
f
x
f
x
+
=
-
，(2
)
f
x
+
是奇函数.且当0
1
x
£
£
时，
2
( )
f x
x
=
，则函数( )
( )
lg(
1)
g x
f x
x
=
-
+
的零点个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【解析】因为
( )
f x 是定义在R 上的函数且满足
(1
)
(1
)
f
x
f
x
+
=
-
，则
( )
f x 关于
1
x = 对称，
又
(2
)
f
x
+
是奇函数，则
(2
)
(2
)
f
x
f
x
-
= -
+
，
( )
f x 关于(2,0) 对称，
且当0
1
x
£
£ 时，
2
( )
f x
x
=
，可以画出
( )
f x 的图形，
则( )
( )
lg(
1)
g x
f x
x
=
-
+
的零点个数转化为
( )
f x 与
lg(
1)
y
x
=
+
的交点个数，
如图，当
9
x =
时，
lg 9
1
1
+
= ，
故两个图像交点的个数为10，即
g x 的零点个数为10.
故选：D
9．（2026·辽宁·一模）（多选）已知函数
f x 为定义在R 上的单调函数，且
2
2
x
f
f x
x
-
-
= 10.若函数
2
2
,
0,
log
1,
0
f x
x
a x
g x
x
a
x
ì
-
-
£
ï
= í
-
-
>
ïî
有3 个零点，则a 的取值可能为（ ）
A．2
B．7
3
C．3
D．10
3
【答案】BC
【解析】因为
f x 为定义在R 上的单调函数，所以存在唯一的t ÎR ，使得
10
f t =
，
则
2
2
,
2
2
x
t
f x
x
t f t
t
t
-
-
=
-
-
= ，
即
2
3
10
t
f t
t
=
+
=
，
因为函数
2
3
t
y
t
=
+
为增函数，且
2
2
3 2
+ ´
= 10，所以
2,
2
2
2
x
t
f x
x
=
=
+
+
.
当
0
x £
时，由
0
g x =
，得
2
2
x
a =
+
；当
0
x >
时，由
0
g x =
，得
2
log
1
a
x
=
- .
结合函数的图象可知，若
g x 有3 个零点，则
2,3
aÎ
.
故选：BC
10．（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为R 的函数
f x ，对任意实数,x y 都有
2
f x
y
f x
y
f x f
y
+
+
-
=
，且
1
1
f
= - ，则以下结论一定正确的有（ ）
A．
(0)
1
f
=
B．
f x 是偶函数
C．
f x 的图象关于点
0,1 中心对称
D．
1
2
2026
0
f
f
f
+
+
+
=
L
【答案】ABD
【解析】对于A，令
1,
0
x
y
=
=
，则
1
1
2
1
0
f
f
f
f
+
=
，又
1
1
f
= - ，
所以
1
1
2
1
0
2
0
f
f
-
+ -
=
´ -
´
= -
，解得：
(0)
1
f
= ，故A 正确；
对于B，令
0
x =
，则
2
0
f
y
f
y
f
f
y
+
-
=
，
即
2
f
y
f
y
f
y
f
y
f
y
+
-
=
Þ
-
=
，
又函数
f x 的定义域为R 关于原点对称，所以
f x 是偶函数，故B 正确；
对于C，若
f x 的图象关于点
0,1 中心对称，则
2
f x
f
x
+
-
=
，
由
1
1
1
1
1
1
2
f
f
f
f
+
-
=
+
= -
+ -
= - ，不符合题意，故C 错误；
对于D，令
1
y = ，则
1
1
2
1
2
f x
f x
f x f
f x
+
+
-
=
= -
，
即
1
1
f x
f x
f x
f x
é
ù
+
+
= -
+
-
ë
û ，
所以
2
1
1
0
1
1
0
f
f
f
f
é
ù
é
ù
+
= -
+
= -
-
+
=
ë
û
ë
û
，
3
2
2
1
0
f
f
f
f
é
ù
+
= -
+
=
ë
û
，
4
3
3
2
0
f
f
f
f
é
ù
+
= -
+
=
ë
û
，
LL，
2026
2025
2025
2024
0
f
f
f
f
é
ù
+
= -
+
=
ë
û
所以
1
2
2026
f
f
f
+
+
+
L
1
2
2025
2026
f
f
f
f
é
ù
é
ù
=
+
+
+
+
ë
û
ë
û
L
1
1
1
1
1013 0
0
é
ù
é
ù
=
-
+
+
+
-
+
=
´
=
ë
û
ë
û
L
，故D 正确.
11．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数
f x 是定义在R 上的偶函数且在区间
0,3 上单调，函数
3
g x
x
f x
=
-
的图象关于点
3,0 中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
3
f x
f x
+
=
B．若1
1
g
= - ，则
1
5
2
f
=
C．若
g x 在区间
0,2 上是增函数，则
g x 在区间
4,6 上是增函数
D．若
3
0
2
f
=
，则
g x 在区间
5,6
-
上的零点之和为0
【答案】BC
【解析】对于A，因为函数
3
g x
x
f x
=
-
的图象关于点
3,0 中心对称，
所以
3
3
g
x
g
x
-
= -
+
，即
3
3
3
3
3
3
x
f
x
x
f
x
é
ù
é
ù
-
-
-
= -
+
-
+
ë
û
ë
û
，
也即
3
3
xf
x
xf
x
-
-
= -
+
，
当
0
x =
时，
3
3
f
x
f
x
-
=
+
成立，
当
0
x ¹
时，
3
3
6
f
x
f
x
f
x
f
x
-
=
+
Þ
-
=
+
，
又函数
f x 是定义在R 上的偶函数，
所以
6
6
f
x
f
x
f x
f
x
-
=
+
Þ
=
+
，故A 错误；
对于B，
1
1
2
1
1
1
2
g
f
f
= -
= - Þ
=
，
由
6
f x
f
x
=
+
，所以函数
f x 的周期为6，
所以
1
5
6 1
1
1
2
f
f
f
f
=
-
=
-
=
=
，故B 正确；
对于C，因为函数
g x 的图象关于点
3,0 中心对称，且在区间
0,2 上是增函数，
由中心对称的性质可得函数
g x 在
4,6 上是增函数，故C 正确；
对于D，令
3
0
g x
x
f x
=
-
=
，则
3
0
3
x
x
-
=
Þ
=
或
0
f x =
，
此时
g x 在区间
5,6
-
有一个零点3 ，
因为函数
f x 是定义在R 上的偶函数，且周期为6，
3
0
2
f
=
，
所以
3
3
3
9
9
0,
6
0,
0
2
2
2
2
2
f
f
f
f
f
-
=
=
-
+
=
=
-
=
，
此时
3
3
9
9
0
2
2
2
2
g
g
g
g
=
-
=
=
-
=
，
所以
g x 在区间
5,6
-
共有5 个零点分别为
3
3 9
9
3,
,
,
,
2
2 2
2
-
-
，
此时
3
3
9
9
3
3
0
2
2
2
2
+
+ -
+
+ -
=
¹
，故D 不正确.
12．（2026·广西·期末）定义在
0, ¥
+
上的函数
f x 对任意实数,
0
x y >
均满足
f xy
f x
f
y
=
+
，且当
1
x > 时，
0
f x >
，
2
1
f
= ．则下列结论正确的是（ ）
A．
1
0
f
=
B．函数
1
1
f x
f
x
+
+
-
为偶函数
C．
f x 在
0,1 上单调递减，在
1,+¥ 上单调递增
D．不等式
1
1
f x
f x
-
-
> 的解集为
0,2
【答案】AB
【解析】令
1
x
y
=
= ，得
1
1
1
f
f
f
=
+
，即
1
0
f
=
，故A 正确；
令
1
1
g x
f x
f
x
=
+
+
-
，
则
1
1
1
1
g
x
f
x
f
x
f
x
f
x
g x
-
=
- +
+
- -
=
-
+
+
=
，
即
1
1
f x
f
x
+
+
-
是偶函数，故B 正确；
当
1
x > 时，因为
0
y >
，所以xy
y
>
，
因为
f xy
f x
f
y
=
+
，所以
0
f xy
f
y
f x
-
=
>
，
则
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，故C 错误；
由题意知
2
1
f
= ，且
1
x > ，
因此不等式
1
1
f x
f x
-
-
> 可化为
2
1
x
f
f
x
>
-
，
因为
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，
所以
2
1
x
x
>
-
，解不等式得1
2
x
<
<
，故D 错误．
故选：AB
13．（2026·河南周口·期末）函数
f x 满足
2
3
f x
y
f x
y
f x f
y
+
+
-
=
，
3
1
2
f
=
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
0
0
f
=
B．
f x 的周期为6
C．
3
f x ³ -
D．
2
1
f
x +
的图象关于直线
1
2
x =
对称
【答案】BC
【解析】由
1,
0
x
y
=
=
得
2
2
1
1
0
3
f
f
f
=
，代入
3
1
2
f
=
得
0
3
f
=
，A 错误；
令
1
y = 得
1
1
f x
f x
f x
+
+
-
=
，
用
1
x + 换x 得
2
1
f x
f x
f x
+
+
=
+
，
两式相加得
2
1
1
1
f x
f x
f x
f x
f x
f x
+
+
+
+
+
-
=
+
+
，即
2
1
0
f x
f x
+
+
-
=
，
用
1
x + 换x 得
3
0
f x
f x
+
+
=
，即
3
f x
f x
+
= -
，
用
3
x +
换x 得
6
3
f x
f x
f x
f x
+
= -
+
= - -
=
，所以
f x 周期为 6，B 正确；
令 y
x
=
得
2
2
2
0
( )
3
f
x
f
f x
+
=
，即
2
2
2
( )
3
3
f
x
f x
=
-
，
由于
2
( )
0
f x
³
，所以
2
3
f
x ³ - ，因此
3
f x ³ - ，故 C 正确；
已知
0
3
f
=
，
3
1
2
f
=
，对
2
1
f x
f x
f x
+
+
=
+
赋值得：
令
0
x =
得
3
3
2
0
1
2
1
0
3
2
2
f
f
f
f
f
f
+
=
Þ
=
-
=
-
= -
，
令
1
x = 得
3
3
3
1
2
3
2
1
3
2
2
f
f
f
f
f
f
+
=
Þ
=
-
= -
-
= - ，
令
2
1
g x
f
x
=
+
，若
g x 关于
1
2
x =
对称，则
0
1
g
g
=
，
但
3
0
1
2
g
f
=
=
，
1
3
3
g
f
=
= - ，不相等，故 D 错误.
故选：BC
14．（2026·四川绵阳·开学考试）已知函数
2
3
x
f x =
-
，若关于x 的方程
2
2
3
0
f x
mf x
-
+
=
é
ù
ë
û
有4 个不
同的实数根，则m的取值范围是______
【答案】
3,2
【解析】作出
2
3
x
f x =
-
的图象，
令
2
3
x
t
f x
=
=
-
，则方程
2
2
3
0
f x
mf x
é
ù -
+
=
ë
û
，即为
2
2
3
0
t
mt
-
+
=
，
2
2
3
0
f x
mf x
é
ù -
+
=
ë
û
有4 个不同的实数根，则
2
2
3
0
t
mt
-
+
=
在
0,3 内有两个不等实根，
所以
2
Δ
2
4 3
0
0
3
9
6
3
0
m
m
m
ì
=
- ´ >
ï <
<
í
ï -
+
>
î
，解得
3
2
m
<
<
，
所以实数m 的取值范围为
3,2 .
15．已知函数
2
lg
,
0,
6
4,
0,
x
x
f x
x
x
x
ì
-
<
ï
= í
-
+
³
ïî
若关于x 的函数
2
3
y
f
x
bf x
=
-
+ 有8 个不同的零点，则实数b 的
取值范围为_____．
【答案】
19
2 3 , 4
ù
ú
û
【解析】如图，作出函数
f x 的图象，易知
0
4
f
=
，
当0
4
a
<
£
时，此时
f x
a
=
有4 个不同的实数根，
当
4
a >
或
0
a =
时，此时
f x
a
=
有3 个不同的实数根，
当5
0
a
- <
<
时，此时
f x
a
=
有2 个不同的实数根，
当
5
a = - 时，此时
f x
a
=
有1 个不同的实数根，
当
5
a < - 时，此时
f x
a
=
没有实数根，
因此只有在0
4
m
<
£
时直线y
m
=
与
y
f x
=
的图象有4 个交点，
要满足关于x 的函数
2
3
y
f
x
bf x
=
-
+ 有8 个不同的零点，
令
f x
t
= ，则方程
2
3
0
t
bt
-
+
=
在
0,4 上有两个不等实根，
则有
2
2
Δ
12
0,
4
4
3
0,
3
0,
0
4,
2
b
b
b
ì
=
-
>
ï
-
+
³
ïïí >
ï
ï <
<
ïî
解得
19
2 3
4
b
<
£
．
16．已知函数
2
2
4
1,
0
( )
log
,
0
x
x
x
f x
x x
ì
+
+
£
= í
>
î
，则函数
( ( ))
1
y
f f x
=
+ 有__________个零点．
【答案】7
【解析】令
0
y =
，则
( ( ))
1
f f x
= - ，设
( )
f x
m
=
，则方程
( ( ))
1
f f x
= - 化为
( )
1
f m = - ，
函数
( ( ))
1
y
f f x
=
+ 的零点个数即为方程
( ( ))
1
f f x
= - 解的个数，
二次函数
2
4
1
y
x
x
=
+
+ 的图象开口向上，过点( 0, 1) ，对称轴为
2
x = - ，最小值为3
- ，
作出函数
( )
y
f x
=
的图象，如图，
由图知
( )
1
f m = - 有3 个根，当
0
m >
时，
2
log
1
m = - ，解得
1
2
m =
；
当
0
m £
时，
2
4
1
1
m
m
+
+ = - ，解得
2
2
m = - ±
，
在方程
( )
f x
m
=
中，当
1
2
m =
时，
2
1
log
2
x =
有1 个解，
2
1
4
1
2
x
x
+
+ =
有2 个解，共3 个解；
当
2
2
m = - +
时，
2
log
2
2
x = - +
有1 个解，
2
4
1
2
2
x
x
+
+ = - +
有2 个解，共3 个解；
当
2
2
m = - -
时，
2
log
2
2
x = - -
有1 个解，
2
4
1
2
2
x
x
+
+ = - -
无解，共1 个解，
所以函数
( ( ))
1
y
f f x
=
+ 有7 个零点.
