目 录
01 二次函数....................................................................................................................2
02 幂指对函数................................................................................................................9
03 函数概念..................................................................................................................18
04 奇偶性.....................................................................................................................27
05 单调性.....................................................................................................................36
06 函数周期性与对称性...............................................................................................42
07 函数图像与函数零点................................................................................................49
08 三角比.....................................................................................................................55
09 解三角形..................................................................................................................64
10 三角函数的图像与性质.............................................................................................72
11 平面向量..................................................................................................................80
12 复数.........................................................................................................................90
1
01 二次函数
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握二次函数含参最值问题的求解方法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握一元二次方程根的分布问题
知识清单
2
知识点1——二次函数及其最值分类讨论
考点1：二次函数的概念
知识笔记
二次函数的形式
（1）一般式：形如 f(x) = ax2 + bx + c
(a ≠0)
（2）顶点式：形如
（3）交点式：形如 f(x) = a (x −x1) (x −x2)
(a ≠0)
经典例题
例1
已知f (x) = 1 + log3 x (1 ≤x ≤9)，设g (x) = f 2 (x) + f (x2)，则函数y = g (x)的值域为
．
变式1-1
“a < 2”是“函数f (x) = −x2 −2 (a + 1)x + 3在(−∞, −3]上单调递增”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
变式1-2
已知f(x) = ax2 + 2x −a (a > 0)，函数y = f(x)，x ∈R有最小值m(a)，则m(a)的最大值为
.
变式1-3
若f (x) = −x2 + (b + 2)x + 3, x ∈[b, c]的图像x=1对称，则c=_______．
变式1-4
若函数f (x) = {
在区间(a −1, 3 −2a)上有最大值，则实数a的取值范围是
.
−2x2 + 4x, x > 0
2x2, x ≤0
3
考点2：含参最值的分类讨论
知识笔记
二次函数最值分类讨论
在研究含参一元二次函数的最值时，若参数的取值改变了最值的取到位置，则需要分类讨论。通常情况下，分
类标准可制定为：对称轴相对于区间的位置
以开口向上为例，求 f(x) = ax2 + bx + c 在区间 [m, n] 上的最值：
（1）求最小值
（2）求最大值
（3）求值域
图像
对称轴
−b
2a < m
最小值
f(m)
图像
对称轴
−b
2a < m + n
2
最大值
f(n)
图像
对称轴
−b
2a < m
4
值域
[f(m), f (n)]
经典例题
例2
已知函数f (x) = (m + 1)x2 −(m −1)x + m −1．
(1)
若不等式f (x) < 1的解集为R，求m的取值范围；
(2)
若不等式f (x) ≥0对一切x ∈[−1
2 , 1
2 ]恒成立，求m的取值范围．
变式2-1
设函数f (x) = x2 −2tx + 2，其中t ∈R．
求f (x)在区间[0, 4]上的最值．
变式2-2
若函数f(x) = x2 + ax在区间[1, 2]上的最大值为a + 1，则a的取值范围为
5
知识点2——一元二次方程根的分布
考点3：一元二次方程根的分布
知识笔记
根的分布
一 元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根从几何意义上来说就是抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴交点的横坐标。所
以研究 ax2 + bx + c = 0 的实根的情况，可以从函数 y = ax2 + bx + c 的图像上进行研究。大致可以分为以下两类
（以开口向上为例）：
根的分布
大致图像
结论
两根都小于 k
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Δ > 0
−b
2a < k
f(k) > 0
两根都大于 k
一根大于 k，一根小于 k
两根都在 (m, n) 内
6
两根有且仅有一根在 (m, n) 内
（图象有两种，只画了一种）
一根在 (m, n) 内，
另一根在 (p, q) 内
经典例题
例3
关于x的方程x2 + (m −2)x + 2m −1 = 0恰有一根属于(0, 1)，则实数m的取值范围是( )
A. [ 1
2 , 2
3 ]
B. ( 1
2 , 2
3 ]
C. [ 1
2 , 2)
D. ( 1
2 , 2
3 ] ⋃{6 −2√7}
变式3-1
已知关于x的方程x2 + mx + 1 = 0(m ∈R)的两个不相等的实根均在区间(0, +∞)内，则m的取值范围为
( )
A. (−∞, 0)
B. (2, +∞)
C. (−∞, −2)
D. (−∞，−2) ⋃(2，+∞)
7
变式3-2
已知一元二次方程x2 + (m + 1)x + 1 = 0(m ∈Z)有两个实数根x1，x2，且0 < x1 < 1 < x2 < 3，则m的值为( )
A. −4
B. −5
C. −6
D. −7
8
02 幂指对函数
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握幂函数的性质与图像问题求解方法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握指数函数的性质与图像问题求解方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数的运算法则
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数函数的性质与图像问题求解方法
目标5
★★★★★☆ 迁移
运用基本初等函数图像与性质求解相关问题
知识清单
9
知识点1——幂函数、对勾函数与飘带函数
考点1：幂函数的图像及其性质
知识笔记
幂函数的形式
形如
的函数叫做幂函数
幂函数的图像
通常只作 y = xk(k ∈Q) 的图像
第一步：把 y = xk(k ∈Q) 化成根式，方便确认
与
第二步：由于幂函数必过第
象限和定点
，根据指数 k 的大小确认第一象限内图像的单调性，有：
k < 0 ：严格
； 0 < k < 1 ：减速递增；k > 1 ：加速递增。
经典例题
例1
已知α ∈{−3, −2, 1
3 , 2}，若幂函数f (x) = xα为奇函数，且在(0, +∞)上单调递减，则α的值为（
）
A. -3
B. -2
C. 1
3
D. 2
变式1-1
已知函数f(x) = (m2 + 5m + 7)xm(x ≠0)是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m =
．
变式1-2
幂函数y = xa在(0, +∞)上是严格增函数，且经过(−1, 1)，则a的值可能是（
）
A. −2
B. 3
C. 2
3
D. 3
2
变式1-3
已知幂函数 f (x) = ( 1
x )
1
10 ，若f (a −1) < f (8 −2a)，则a的取值范围是
.
10
考点2：对勾函数与飘带函数
知识笔记
对勾函数与飘带函数
对勾函数
飘带函数
解析式
f(x) = ax + b
x (a > 0, b > 0)
f(x) = ax −b
x (a > 0, b > 0)
图像
定义域
值域
奇偶性
严格增区间
(−∞, 0),
(0, +∞)
严格减区间
无
特殊点
(−√b
a , −2√ab),
(√b
a , 2√ab)
渐近线
注意：对勾函数第一象限最小值的计算方式为基本不等式：ax + b
x ≥2√ab ，横坐标的计算方式为其取等条件，
当且仅当 ax = b
x 时取到。
11
经典例题
例2
已知函数f (x) = 2x +
a
2x + 1 的最小值为5，则实数a =
．
变式2-1
已知函数f (x) = x + k
x (k ∈R)，则（ ）.
A. 当k = 1时，f (x)的值域为R
B. 当k = −1时，f (x)的值域为R
C. 当k = 1时，f (x)在(0, +∞)上单调递增
D. 当k = −1时，f (x)在(0, +∞)上单调递增
变式2-2
现要围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需要维修)，其他三面围墙需要新
建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180
元/m，设利用旧墙长度为xm(x > 2)，总费用为y（单位：元）
(1)
写出总费用y关于x的表达式；
(2)
试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
12
知识点2——指数函数
考点3：指数函数图像与性质
知识笔记
指数函数的形式
一般地，形如 y = ax(a > 0 ，且 a ≠1) 叫做指数函数。
指数函数的图像与性质
底数
a > 1
0 < a < 1
图像
定义域
值域
单调性
定点
渐近线
经典例题
例3
已知函数y = ax(a > 0, a ≠1)在区间[1, 2]上的最大值比最小值大a
3 ，求实数a的值.
13
变式3-1
设a、b为常数，若a > 1, b < −1，则函数y = ax + b的图象必定不经过第
象限
变式3-2
函数y = ax−1 + 3（常数a > 0且a ≠1）的图像总是经过点
.
变式3-3
已知f (x) = 2x (x ∈R)．
(1)
解不等式：f (2x) −4f (x) ≤32；
(2)
记g (x) = f (x) + f (−x)，求函数y = g (2x) −2g (x)的最小值．
14
知识点3——对数运算与对数函数
考点4：对数运算
知识笔记
对数的定义
若 aN = b(a > 0, a ≠1) ，则 N 叫做以 a 为底 b 的对数，即N = loga b
对数的运算法则
（1）对数恒等式：
aloga M=
；loga a=
；loga 1=
（2）对数的运算法则：
loga MN =
loga
M
N =
loga M N =
（3）换底公式：
loga M = logb M
logb a
(b > 0, b ≠1)
注意：换底公式有一些二级结论，可用于简化对数运算，例如
loga b =
1
logb a ；logaN bM =
；logaN bN =
经典例题
例4
计算：(√2)
log2(√7−3)
2
+ 5log25(√7+2)
2
=
.
练4-1
方程log2(x + 1) + log2(x −1) = 1的解为
.
15
练4-2
已知3m = 6，用m表示log3 54为
．
练4-3
已知log73 = a，log74 = b，用a，b表示log4948为
．
考点5：对数函数的图像与性质
知识笔记
对数函数的图像与性质
一般地，形如 y = loga x(a > 0, a ≠1) 叫做对数函数
底数
a > 1
0 < a < 1
图像
定义域
值域
单调性
定点
渐近线
16
经典例题
例5
若函数f (x) = loga (x + b)的大致图象如图，其中a, b为常数，则函数g (x) = ax + b的大致图象是（
）
A.
B.
C.
D.
练5-1
已知函数y = loga(x + 3) + 2(a > 0且a ≠1)的图象恒过定点P，则P的坐标为
．
练5-2
已知x满足1
2 ≤x ≤8.
(1)
求log2 x的取值范围；
(2)
求函数f (x) = log2 (2x) ⋅log2
x
4 的最小值.
17
03 函数概念
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解函数的定义
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数定义域的求解方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数解析式的求解方法
目标4
★★★★☆☆ 识别
解决各类函数的值域问题
知识清单
18
知识点1——函数的定义与定义域
考点1：函数的定义
知识笔记
函数的定义
设 D 是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对集合 D 中的任意给定的 x ，都有
的实数 y 和它对应，那么就称这个对应关系 f 为集合 D 上的一个函数，记作 y = f(x), x ∈D 。
其中，x 是自变量，x 的取值范围叫做这个函数的定义域，相应 y 的取值范围叫做函数的值域。（ 需注意：一
个 x 只能对应一个 y ，但一个 y 可对应一个或多个 x ）
经典例题
例1
1
下列说法中正确的是（
）
A. 函数的定义域和值域一定是无限集
B. 函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应
C. 函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
变式1-1
1
下列图象中，不能表示函数的是（ ）
A.
B.
19
C.
D.
变式1-2
1
已知函数y = f (x)的定义域为{−2, −1, 1, 2}，值域为{−2, 2}，则满足条件的函数y = f (x) 最多有
个.
考点2：函数的定义域
知识笔记
具体函数和抽象函数的定义域
具体函数的定义域：
（1）分母不为 0 ；（2）偶次根式 ≥0 ；（3）真数 > 0 ；（4） 0 的 0 次方无意义等
抽象函数的定义域：
（1）括号内的取值范围是一致的；（2）定义域指的是 x 的范围。
经典例题
例2
1
求下列函数y =
lg (3 −x)
√12 + x −x2 + (x + 1)0的定义域.
20
变式2-1
1
求下列函数的定义域：
（1）y =
1
|x + 2| −1 ；
（2）f (x) = √1 + x + lg (1 −x)
变式2-2
1
与函数y = √x3为同一函数的是（
）
A. y = x√x
B. y = −x√x
C. y = x√−x
D. y = |x|
21
例3
1
已知函数f(x)的定义域为[0, 4]，求函数y = f(x + 3) + f(x2)的定义域为（
）
A. [−2, −1]
B. [1, 2]
C. [−2, 1]
D. [−1, 2]
变式3-1
1
（1）已知函数f(x)的定义域为(0, 1)，求函数f(x2)的定义域;
（2）已知函数f(2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f(x)的定义域;
（3）已知函数f(x + 1)的定义域为[−2, 3]，求f(2x2 −2)的定义域.
例4
1
已知函数y = √mx + 1 (m < 0)在(−∞, 2]上有意义，则实数m的范围是
．
变式4-1
1
函数y = √ax −1的定义域为[0, +∞)，则实数a的取值范围为
.
22
知识点2——函数解析式
考点3：函数解析式的求解
知识笔记
函数解析式的求解方法
（1）待定系数法：已知函数类型，设参数求解；
（2）换元法：对复杂部分进行换元处理；
（3）构造方程组法：根据题目所给方程，合理更换变量形式，构造方程，联立求解；
（4）配凑法：针对变量形式，整体配凑换元。
经典例题
例5
1
（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式；
（2） 已知函数f(x)的定义域为R且满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，求当－1≤x≤0时，函数f(x)的解
析式；
（3） 已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f( 1
x )＝3
x ＋1，求函数f(x)的解析式．
23
变式5-1
1
（1）已知函数f(x)是一次函数，且f(0) = 1，f(x + 1) −f(x) = 2，求f(x)的解析式．
（2）已知f (√x) = x + 2√x，求f(x)的解析式；
知识点3——函数值域
考点4：函数值域的求解
知识笔记
函数值域的求解方法
（1）基本初等函数：图像法；
（2）分式型函数：分离常数法，图像法，换元法，判别式法；
（3）根式型函数：单调性，换元法，分子有理化，平方法；
（4）绝对值函数：几何意义，零点分段法；
（5）复合型函数：换元。
24
经典例题
例6
1
求下列函数的值域：
(1)
f (x) = 2x −√x −1；
(2)
f (x) = 2x −3
x + 1 , x ∈(1, 3)；
(3)
f (x) = x2 + 2x + 1
x2 + x + 1 , x ∈(3, 5).
变式6-1
1
求下列函数的值域：
(1)
y = x2 −3x + 3
x −1
；
(2)
y = 2x + 4√1 −x．
变式6-2
25
1
若关于x的不等式|x + 1| + |x −2| > a对于一切实数x都成立，则实数a的取值范围是
.
26
04 奇偶性
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数奇偶性的定义及判定方法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
运用奇偶性质解决参数问题
知识清单
27
知识点1——函数奇偶性定义及判定
考点1：奇偶函数的定义域特征
知识笔记
奇偶函数的判断
1，具有奇偶性的函数的定义域特征：定义域关于原点对称
为此，确定函数的奇偶性时，须先判定函数定义域是否关于原点对称。
2，确定奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简）：
（1）定义法：如果对于函数y = f(x)定义域D内任意实数 ，都有
f(−x) = −f(x) ⇔ 为奇；
f(−x) = f(x) ⇔ 为偶；
（2）利用函数奇偶性定义的等价形式：f(−x) ± f(x) = 0或者 f(−x)
f(x)
= ±1
（3）图像法：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于 y轴对称；
（4）奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇±偶=非奇非偶；
奇×÷奇=偶，偶×÷偶=偶，奇×÷偶=奇；
（5）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”；
注意：证明函数奇偶性，必须用定义法；而证明函数既非奇函数也非偶函数，只需举反例，或者说明定义域不关
于原点对称即可。
经典例题
例1
判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x) = x(x + 2)
x + 2
；（2）f(x) =
√1 −x2
|x + 2| −2 ；
（3）f(x) = {
（4）f(x) = (1 −x)√x + 1
x −1 (x ≠−1)．
−x2 + 1,
x > 0,
x2 −1,
x < 0;
28
变式1-1
已知函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)．
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
变式1-2
判断函数f (x) = log2 (√x2 + 1 + x)的奇偶性.
变式1-3
讨论函数f (x) = x2 −|x −a| + 2的奇偶性．
29
例2
对于两个定义域关于原点对称的函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（
）
A. 若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x) ⋅g(x)是奇函数
B. 若f(x)和g(x)都是偶函数，则f(x) ⋅g(x)是偶函数
C. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x) ⋅g(x)是偶函数
D. 若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x) + g(x)不一定是奇函数
变式2-1
设函数f (x)在(−∞, +∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是（
）
A. y = −|f(x)|
B. y = xf (x2)
C. y = −f(−x)
D. y = f(x) + f(−x)
变式2-2
（1）已知f(x)是奇函数，定义域为D，g(x)是偶函数，定义域也是D.设F(x) = f(x)g(x)，判断函数F(x)的奇偶
性；
（2）已知f(x)、g(x)的定义域都是D，若F(x) = f(x)g(x)是偶函数，研究f(x)和g(x)的奇偶性.
30
例3
定义在R上的单调函数f (x)满足对任意x，y均有f (x + y) = f (x) + f (y)，且f (1) = 1.
(1)
求f (0)的值，判断并证明f (x)的奇偶性；
(2)
判断函数单调性，求f (x)在区间[−3, 3]上的最小值.
变式3-1
定义在R上的函数f(x)，对任意的x, y ∈R，有f (x + y) + f (x −y) = 2f (x)f (y)，且f(0) ≠0.
（1）求证：f(0) = 1；
（2）求证：f(x)是偶函数.
31
函数奇偶性的应用
考点2：奇偶性的应用
知识笔记
函数的奇偶性
（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调
性，则单调性相反；
（2）若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0) = 0。但f(0) = 0是 为奇函数的既不充分也不必要条件；
（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”：
f(x) = 1
2 [f(x) + f(−x)] + 1
2 [f(x) −f(−x)]，其中y = 1
2 [f(x) + f(−x)]为偶, y = 1
2 [f(x) −f(−x)]为奇；
（4）既奇又偶函数有无穷多个（f(x) = 0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。
经典例题
例4
已知函数f (x) = 1
x3 + ax3 −bx −5，且f(−2) = 2，那么f(2)=
.
变式4-1
已知函数f (x) = x2 + ax + 4，x ∈[b, 3]是偶函数，则a + b =
.
变式4-2
若定义在R上的函数y = f (x)和y = g (x)均为奇函数，设F (x) = af (x) −bg (x) + 3，且F (1) = 1，则F (−1) =
.
例5
设a为实数，函数f (x) = {
是奇函数，则g (x) =
．
g (x), x > 0
a
x + 1 + 2, x ≤0
32
变式5-1
函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x) = x2 + x，(x > 0)，则f (x) =
．
例6
设常数a ≥0，函数f(x) = 2x + a
2x −a ．
（1）若a = 1，求函数y = f(x)的值域；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y = f(x)的奇偶性，并说明理由．
变式6-1
已知函数y = f (x)的表达式为f (x) = 1 −ax2
1 + x2 ，且f (x) + f ( 1
x ) = −1（x ≠0）.
(1)
求实数a的值，并判断函数y = f (x)的奇偶性；
(2)
判断函数y = f (x)的单调性，并证明；
(3)
解关于x的不等式f (x) + f (
1
2x −1 ) + 1 < 0.
33
变式6-2
已知函数f (x) =
2x
x2 + 1 ，x ∈R.
(1)
求不等式f (x) > 1
2 的解集；
(2)
判断函数f (x)的奇偶性；
(3)
已知|f (x)| < a恒成立，求实数a的取值范围.
例7
已知函数f(x) = x2 + a
x , (x ≠0, a ∈R)，讨论函数f(x)的奇偶性
34
变式7-1
已知函数f (x)是定义域为R的偶函数f (x + 1)为奇函数，当x ∈[0, 1]时，f (x) = k ⋅2x + a，若f (0) + f (3) = 6，则
f (log2 96) =（
）
A. 2
B. 0
C. -3
D. -6
35
05 单调性
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解函数的单调性的定义
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数的单调性判定及证明方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
运用函数的单调性解决相关问题
知识清单
36
知识点1——函数单调性的定义及判定
考点1：函数单调性的判定
知识笔记
单调性的定义
对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值x1,x2,
当x1 < x2时,都有f(x1) ≤(<)f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间上是增（严格增）函数;
当x1 < x2时,都有f(x2) ≤(<)f(x1)，那么就说函数f(x)在这个区间上是减（严格减）函数。
如果函数f(x)在某个区间上是增函数或者减函数，那么就说函数f(x)在这一个区间上是单调函数，这个区间叫做
函数f(x)的单调区间。
注意：函数的单调性只是函数的局部性质，函数在定义域内可以不是单调函数，但可能存在单调区间。多个单调
区间用“，”或者“和”连接。
经典例题
例1
已知a>0，函数f(x)＝x＋a
x (x>0)，证明：函数f(x)在(0，√a]上是减函数，在[√a，＋∞)上是增函数.
37
变式1-1
已知函数f (x) = 2x −1
2x + 1 ．
(1)
求证：函数f(x)是定义域为R的奇函数；
(2)
判断函数f(x)的单调性，并用单调性的定义证明．
例2
已知函数f (x) = |x + 1
x −5
2 | (x > 0)，则f(x)的递减区间是
.
变式2-1
函数y = lg sin x的单调递增区间是
变式2-2
设函数f (x)的定义域为R．则“f (x)在R上严格递增”是“g (x) = f (x) + x在R上严格递增”的（
）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
38
变式2-3
若函数y=f（x）在区间D上是增函数，且函数y= f (x)
x
在区间D上是减函数，则称函数f（x）是区间D上的“H函数”．
对于命题：
①函数f（x）=-x+√x是区间（0，1）上的“H函数”；
②函数g（x）=
2x
1 −x2 是区间（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（ ）
A. ①和②均为真命题
B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题
D. ①和②均为假命题
知识点2——函数单调性的含参问题
考点2：利用函数单调性求参/解不等式
知识笔记
函数的单调性
（1）设任意x1, x2 ∈D，且x1 < x2；
f(x1) >f(x2) 严格减函数⇔f(x1) −f(x2)
x1 −x2
< 0；
f(x1) < f(x2)严格增函数⇔f(x1) −f(x2)
x1 −x2
> 0；
在比较f(x1)与f(x2)大小时，常用“作差法”，比较f(x1)−f(x2)与零的大小；
（2）奇函数的图像在y轴两侧单调性一致；偶函数的图像在y轴两侧单调性相反；
（3）互为反函数的单调性一致；
（4）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；
（5）复合函数单调性由“同增异减”判定。
39
经典例题
例3
设函数f(x) = x2 + |x −a|，a为常数.
（1）若f(x)为偶函数，求a的值；
（2）设a > 0，g(x) = f(x)
x
，x ∈(0, a]为减函数，求实数a的取值范围.
变式3-1
已知函数y = {
在R上为严格减函数，则实数a的取值范围为
.
(a + 1)x + 1, x < 1
−x2 + 2x −4, x ≥1
变式3-2
已知函数y = ax + 2
x −1 在区间[2, +∞)上是严格增函数，则a的取值范围是
.
变式3-3
已知y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是
.
例4
已知函数f(x) = x + sin x，若f(a −1) + f(2a2) ≤0，则实数a的取值范围是
.
40
变式4-1
设f(x) = 1
x −lg x，则不等式f( 1
x −1) < 1的解集为
．
变式4-2
已知f (x) = 2x + x，则不等式f (|2x −3|) < 3的解集为
.
41
06 函数周期性与对称性
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解函数周期性与对称性的定义
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数周期性的判定及证明方法
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用周期性和对称性解决相关函数问题
知识清单
42
知识点1——对称性
考点1：函数对称性
知识笔记
轴对称
偶函数的图像关于y轴对称，将此概念推广，我们有下面的轴对称的定义：f(a + x) = f(b −x) ⇔f(x) 的图象关于
直线x = (a + x) + (b −x)
2
= a + b
2
对称．
中心对称
奇函数的图像关于原点对称，将此概念推广，我们有下面的中心对称的定义：f(a + x) + f(b −x) = 2c ⇔f(x) 的
图象关于点( a + b
2
, c)对称．
经典例题
例1
函数y = x −1
x −b 的图像关于点(3, c)中心对称，则b + c =
．
变式1-1
已知函数f (x) = 2x −3
x + 1 的图像关于点P中心对称，则点P的坐标是
．
变式1-2
函数y = 4x + 1
2x
的图像的对称性为（
）
A. 关于x轴对称
B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称
D. 关于直线y = x对称
43
例2
已知函数f(x) = ax + k ⋅bx，其中k ∈R，a > 0且a ≠1，b > 0且b ≠1.
（1）若ab = 1，试判断f(x)的奇偶性；
（2）若a = 2，b = 1
2 ，k = 16，证明f (x)的图像是轴对称图形，并求出对称轴.
变式2-1
定义在R上的函数f (x)满足f (x + 2) + f (x) = f (2), f (x + 6) = f (−x), f ( 3
2 ) = 1，则（
）
A. f (x)是周期函数
B. f (2024) = 0
C. f (x)的图象关于直线x = 2k −1 (k ∈Z)对称
D.
2024
∑
k=1
kf (k −1
2 ) = 2024
变式2-2
设f (x) = x3 + ax2 −2x (x ∈R)，其中常数a ∈R.
（1）判断函数y = f (x)的奇偶性，并说明理由；
（2）若不等式f (x) > 3
2 x3在区间[ 1
2 , 1]上有解，求实数a的取值范围；
（3）已知：若对函数y = h (x)定义域内的任意x，都有h (x) + h (2m −x) = 2n，则函数y = h (x)的图象有对称中
心(m, n).利用以上结论探究：对于任意的实数a，函数y = f (x)是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用
a表示)；若不是，证明你的结论.
44
考点2：函数对称性的应用
经典例题
例3
如果函数f (x) = x2 + bx + c，对任意实数x都有f (2 + x) = f (2 −x)，试比较f (−3)、f (2)、f (3)的大小.
变式3-1
若函数f(x) = 2|x−a|(a ∈R)满足f(1 + x) = f(1 −x)，且f(x)在[m, +∞)单调递增，则实数m的最小值等于
．
变式3-2
已知函数f（x）＝|x+2|，g（x）＝|x+t|，定义函数F（x）= {
，若对任意的x∈R，都有F（x）＝
F（2﹣x）成立，则t的取值为（
）
A. ﹣4
B. ﹣2
C. 0
D. 2
f (x)
f (x) ≤g (x)
g (x)
f (x)＞g (x)
例4
已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x <2<x ，且x ＋
x >4，则f(x )＋f(x )的值（
）
A. 可正可负
B. 恒大于0
C. 可能为0
D. 恒小于0
1
2
1
2
1
2
45
变式4-1
已知定义在R上的函数f (x)满足f(x + 1) = f(1 −x)且在[1, +∞)上是增函数，不等式f(ax + 2) ≤f(x −1)对任意
x ∈[ 1
2 , 1]恒成立，则实数a的取值范围是
A. [−3, −1]
B. [−2, 0]
C. [−5, −1]
D. [−2, 1]
变式4-2
已知函数f(x) = x3 + 2x −2−x + 3，若实数a、b满足f (2a2) + f (b2 −1) = 6，则a√1 + 2b2的最大值为
.
知识点2：函数周期性
考点3：函数周期性
知识笔记
周期性的定义
对于函数f(x) (x ∈D),如果存在一个非零常数T，使得x取D内每一个值时，都有等式f(x + T) = f(x)恒成立，那
么这个函数f(x)叫做周期函数，常数T叫做函数f(x)的周期，对于一个周期函数f(x)来说，如果在所有的周期中
存在一个最小的正数，这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期。
注意：①如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(nZ, n ≠0)也是函数f(x)的周期；
②周期T是一个非零常数，可正可负。
周期的相关结论
(1）若f(x + a) = −f(x)(a ≠0)恒成立，则T = 2a；
（2）若f(x + a) =
1
f(x) (a ≠0)恒成立，则T = 2a；
（3）若f(x + a) = −
1
f(x) (a ≠0)恒成立，则T = 2a；
（4）若f(x + a) = f(x + b)，则f(x)是周期函数，|b −a|是它的一个周期；
（5）f(x)的周期为T ⇔f(ωx)的周期为T
|ω| 。
对称性与周期性的关系
（1）若函数f(x)有两条相邻对称轴，关于直线x = a和直线x = b对称，则函数为周期函数，周期为T = 2|a −b|；
46
（2）若函数f(x)有两个相邻对称中心，关于点(a, 0)和点(b, 0)对称，则函数为周期函数，周期为T = 2|a −b|；
（3）若函数f(x)有两相邻对称轴和对称中心，关于直线x = a和点(b, 0)对称，则函数为周期函数，周期为
T = 4|a −b|。
经典例题
例5
已知f (x + 2) = −f (x)，那么f (x)的最小正周期为__________。
变式5-1
已知f (x + 2) =
1
f(x) ，那么f (x)的最小正周期为___________。
例6
设f (x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[−1, 1)上f (x) = {
,其中a ∈R.若
f (−5
2 ) = f ( 9
2 )，则f (2022a)的值是
.
x + a, −1 ≤x < 0
2
5 −x, 0 ≤x < 1
变式6-1
设由函数f (x)是定义在R上且周期为2的函数，，在区间[−1, 1]上，f (x) =
，其中a, b∈R，若
f ( 1
2 ) = f ( 3
2 )，则a + 3b的值为
.
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
ax + 1, −1 ≤x < 0
bx + 2
x + 1 , 0 ≤x ≤1
变式6-2
奇函数y = f(x)满足对任意x ∈R都有f(2 + x) + f(2 −x) = 0,且f(1) = 9,则f(2016) + f(2017) + f(2018)的值为
47
例7
函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (1 −x) = −f (x)，当x ∈[2, 3]时，f (x) = x，则当x ∈[−1, 0]时，f (x)的解
析式为
A. x + 4
B. x −2
C. x + 3
D. −x + 2
变式7-1
设函数y = f (x)为周期为4的奇函数，且对于x ∈R都有f (x + 2) = −f (x)．
(1)
若当−1 ≤x ≤1时，f (x) = sin x，写出1 ≤x ≤5时f (x)的解析式；
(2)
对于（1）中的f (x)，若A = {x |f(x)| > a} ≠∅，求实数a的取值范围．
变式7-2
已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且y = f (x)的图象关于直线x = 2对称．
(1)
证明：f (x)是周期函数．
(2)
若当x ∈[−2, 2]时，f (x) = −x2 + 1，求当x ∈[2, 6]时，f (x)的解析式．
48
07 函数图像与函数零点
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数图像变换方法
目标2
★★★★★☆ 迁移
运用函数图像求解函数零点相关问题
知识清单
49
知识点1——函数图像
考点1：函数图像及其变换
知识笔记
平移变换
（1）水平平移：函数y = f(x + a)的图像可以把函数y = f(x)的图像沿x轴方向向左(a > 0)或向右(a < 0)平移|a|个
单位即可得到；
（2）竖直平移：函数y = f(x) + a的图像可以把函数y = f(x)的图像沿x轴方向向上(a > 0)或向下(a < 0)平移|a|个
单位即可得到.
对称变换
（1）函数y = f(−x)的图像可以将函数y = f(x)的图像关于
对称即可得到；
（2）函数y = −f(x)的图像可以将函数y = f(x)的图像关于x
对称即可得到；
（3）函数y = −f(−x)的图像可以将函数y = f(x)的图像关于
即可得到.
翻折变换
（1）函数y = |f(x)|的图像可以将函数y = f(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，
并保留y = f(x)的x轴上方部分即可得到；
（2）函数y = f(|x|)的图像可以将函数y = f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y = f(x)
在y轴右边部分即可得到.
伸缩变换
（1）函数y = af(x) (a > 0)的图像可以将函数y = f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a > 1)或压缩（
0 < a < 1）为原来的a倍得到；
（2）函数y = f(ax)(a > 0)的图像可以将函数y = f(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a > 1)或压缩（
0 < a < 1）为原来的1
a 倍得到.
50
经典例题
例1
分别作出下列函数的图象：
（1）y＝|lg(x－1)|；（2）y = 2x+1 −1；（3）y＝x －|x|－2；（4）y＝2x −1
x −1 .
2
变式1-1
指出下列函数图象的变换过程，从 y = 2
x 到①y =
2
x + 1 ；② y = 2
x −1；③y =
2
x −1 + 3.
变式1-2
为了得到函数y = 2 sin( x
3 +
π
6 ), x ∈R的图象，只需把函数y = 2 sin x，x ∈R的图象上所有的点（
）
A. 向左平移
π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的1
3 倍（纵坐标不变）
B. 向右平移
π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3 倍（纵坐标不变）
C. 向左平移
π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D. 向右平移
π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
变式1-3
51
在同一坐标系中，函数y = ax + 1与y = a|x−1|（a>0且a≠1）的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
知识点2——函数零点
考点2：已知零点个数求参
知识笔记
零点的定义
函数y = f(x)的零点不是点，而是方程f(x) = 0的解，也是函数y = f(x)与x轴交点的横坐标.
零点个数问题
求函数y = f(x)零点个数的方法：
（1）利用定义，转化为方程f(x) = 0的根，有几个根就有几个零点；
（2）画出函数y = f(x)的图像，判断它与x轴交点个数，从而判断函数零点的个数.
函数零点关系问题
一般求解函数零点和或积，利用函数性质寻找零点关系，进而求解.
经典例题
例2
若函数f (x) = 3|x| −m |x| + m2 −2 (x ∈R)有唯一零点，则实数m的值为
.
变式2-1
52
函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x −1)为偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x) = √x，若函数g(x) = f(x) −x −m有
三个零点，则实数m的取值范围是（
）
A. (−1
4 , 1
4 )
B. (1 −√2, √2 −1)
C. (4k −1
4 , 4k + 1
4 )(k ∈Z)
D. (4k + 1 −√2, 4k + √2 −1)(k ∈Z)
变式2-2
已知y = f(x)是奇函数，定义域为[−1, 0) ∪(0, 1]，当x > 0时，f (x) = ( 1
2 )
2x−1
−xα −1 (α > 0)，当函数
g(x) = f(x) −m有3个零点时，则实数m的取值范围是
.
∣∣
变式2-3
已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1．
①当a=0时，不等式f（x）+1＞0的解集为
；
②若函数f（x）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是
．
考点3：利用函数性质探究零点关系
例3
已知函数f (x) = {
若存在实数x1，x2，x3，x4 (x1 < x2 < x3 < x4)，满足
f (x1) = f (x2) = f (x3) = f (x4)，则x1x2x3x4的取值范围是（
）
A. (0, 375
4 )
B. (0, 100)
C. (75, 375
4 )
D. (75, 100)
|log5 x|, 0 < x < 5,
−cos ( π
5 x), 5 ≤x ≤15.
变式3-1
已知函数f(x) = 2cos2 ( π
2 x −π
4 ) −1,
g(x) = x3，设函数F(x) = f(x) −g(x)，则F(x)所有的零点之和为
．
变式3-2
设f(x) = x2 −2x ，则函数y = f(x) −2024的所有零点之和为
．
∣∣
53
变式3-3
已知函数f(x)＝||x－1|－1|，若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有四个互不相等的实根x ，x ，x ，x ，则x x x x 的取
值范围是
．
1
2
3
4
1 2 3 4
例4
已知λ ∈R，函数f (x) = {
若函数f (x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是
.
x −4, x ≥λ,
x2 −4x + 3, x < λ,
变式4-1
关于x的方程x2 + a |x| + a2 −9 = 0 (a ∈R)有唯一的实数根，则a =
．
变式4-2
设f (x)是定义在R上周期为2的函数，且f (x) = {
，记g (x) = f (x) −a，若1
2 < a < 1，则函数
g (x)在区间[−2, 3]上零点的个数是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
cos2 π x,0≤x≤1
1 −log2x, 1 < x < 2
54
08 三角比
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握任意角的概念及角度值、弧度制的转换
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握利用三角比的定义求解相关问题的方法
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用三角恒等变换求解相关问题
知识清单
55
知识点1——任意角及其三角比
考点1：任意角与弧度制
知识笔记
任意角的概念
（1）定义：一条射线绕着顶点从它的始边旋转到终边所在位置而形成的图形叫做角。习惯上，按逆时针方向旋转
形成
角，按顺时针方向旋转形成
角，没有旋转形成零角。
（2）角的分类：将角置于平面直角坐标系，顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴，角的终边落在第几象限即为第几
象限角。
（3）终边相同的角：与角 α 终边相同的角的集合为
。
弧度制
（1）弧度：把圆弧的长度与圆的半径的比值表示为该圆弧所对的圆心角的大小，记作 |α| =
，特别地， 1
弧度表示弧长等于
的弧所对圆心角的大小，而用弧度作为度量角的单位制叫做＂弧度制＂。
（2）角度制与弧度制换算关系： 180∘= π 弧度， 1∘=
π
180 弧度；
（3）扇形的弧长公式：l =
；
（4）扇形的面积公式：S =
=
。
经典例题
例1
根据下列条件，确定θ是第几象限角或哪个坐标轴上的角：
（1）sin θ < 0且cos θ > 0；
（2）sin θ cos θ > 0；
（3）sin θ
tan θ > 0；
（4）|sin θ| = sin θ.
56
变式1-1
若sin α < 0, cos α < 0，则α是（
）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
变式1-2
若α是第一象限的角，则α
2 是第几象限的角？2α是第几象限的角？
例2
已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
变式2-1
已知扇形的弧所对的圆心角为36°，半径r=10cm，则扇形的弧长为
cm
57
变式2-2
对于单位圆上任意截取两点连接圆心构成的扇形，其弧长与面积的比值为
．
考点2：三角比
知识笔记
三角比的定义
定义：点 P(x, y) 是任意角 α 终边上的任意一点，记 r = √x2 + y2 ；
规定： sin α =
，cos α =
，tan α = y
x , cot α = x
y ；
特别地，在单位圆内， sin α 表示角的终边与单位圆交点的
，即 sin α = y ； cos α 表示角的终边与单位
圆交点的
，即 cos α = x ； tan α 表示角的终边与单位圆交点的纵坐标与横坐标之比，即 tan α = y
x ；
同角三角关系
平方关系：sin2 α + cos2 α = 1
商的关系：tan α = sin α
cos α
倒数关系：tan α ⋅cot α = 1
经典例题
例3
若α ∈(π, 3π
2 )，则√1 + cos α
1 −cos α −√1 −cos α
1 + cos α =（
）
A. −
1
tan α
B. −
2
tan α
C.
1
tan α
D.
2
tan α
变式3-1
已知 sin α + cos α = 1
5 ，则 sin α ⋅cos α = .
变式3-2
58
已知cos θ = 4
5 ，求θ的其他三角比.
变式3-3
若sin α −cos α
sin α + cos α = 1
2 ，则sin α cos α + cos2 α =
．
知识点2——常用三角公式
考点3：诱导公式
知识笔记
诱导公式
第一组： sin(α + 2π) =
，cos(α + 2π) =
，tan(α + 2π) =
第二组： sin(α + π) =
，cos(α + π) =
， tan(α + π) =
第三组： sin(−α) =
，cos(−α) =
， tan(−α) =
第四组： sin(π −α) =
，cos(π −α) =
，tan(π −α) =
第五组： sin ( π
2 + α) =
，cos ( π
2 + α) =
， tan ( π
2 + α) =
第六组： sin ( π
2 −α) =
，cos ( π
2 −α) =
， tan ( π
2 −α) =
经典例题
59
例4
（1）已知tan θ = 2，求
sin ( 3π
2 + θ) + cos (π −θ)
sin ( π
2 −θ) −sin (π −θ)
的值.
（2）求
tan (π −α) cos (2π −α) sin (−α + 3π
2 )
cos (−α −π) sin (−π −α)
的值.
变式4-1
在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，角的始边在Ox正半轴上，角α的终边在第二象限，设终边上有一点
P，且sin α = 2√5
5
．
(1)
若点P坐标为(−1, t)，求t的值；
(2)
化简cot(2π −α)
tan(−π + α) +
sin ( 3π
2 −α)
cos(π −α)
并求值．
变式4-2
已知sin (x + π
6 ) = 1
3 ，则sin ( 5π
6 −x) =
.
60
考点4：两角的和差公式
知识笔记
sin(α ± β) =
cos(α ± β) =
tan(α ± β) =
经典例题
例5
将点A (2, 3)绕着原点顺时针旋转45°得到A′，则A′的坐标是
.
变式5-1
已知tan (α −β) = 2，tan α = 3，则tan β=
．
变式5-2
若sin x + sin y = 1
4 ，cos x + cos y = 1
3 ，即tan x + y
2
=（
）．
A. 2
B. 3
4
C. 2
3
D. 1
2
考点5：二倍角、半角与辅助角公式
知识笔记
二倍角公式
sin 2α =
61
cos 2α = cos2 α −sin2 α =
=
tan 2α =
半角公式
sin2 α = 1 −cos 2α
2
, cos2 α =
sin α
2 = ±√1 −cos α
2
; cos α
2 =
tan α
2 = ±√1 −cos α
1 + cos α =
=
万能置换公式
sin α =
，cos α =
，tan α =
辅助角公式
a sin α + b cos α =
(a > 0) ，其中, tan φ =
经典例题
例6
已知α为第三象限角，且√1 + sin α
1 −sin α +
1
cos α = −2，则tan α
2 的值为
．
变式6-1
（1）已知sin α = 3
5 ，α ∈( π
2 , π)，求cos α
2 的值；
（2）证明：tan α
2 =
sin α
1 + cos α .
62
变式6-2
已知锐角α满足sin 2α = tan α，则cos α =
．
例7
已知θ ∈(π, 3π
2 )，化简√1 + sin θ + √2 + 2 cos θ的结果为（
）.
A. √2 sin ( θ
2 + π
4 )
B. √2 sin ( θ
2 −π
4 )
C. √2 cos ( θ
2 + π
4 )
D. √2 cos ( θ
2 −π
4 )
变式7-1
代数式sin α −√3 cos α可化为A sin (α −φ) (A > 0, φ ∈(0, π))的形式，此时φ =
.
变式7-2
已知2 cos2 α
2 + √3 sin α = 11
5 ，−2π
3 < α < π
6 ，则sin (2α + π
3 )的值为
．
63
09 解三角形
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握正弦定理、余弦定理
目标2
★★★★☆☆ 识别
辨识并运用三角形内恒等和不等关系式
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用解三角形知识求解相关应用
知识清单
64
知识点1——正余弦定理
考点1：正弦定理及其应用
知识笔记
面积公式
S =
=
=
正弦定理
a
sin A =
=
=
正弦定理的应用——判断三角形个数
（1）已知两角一边时，三角形被唯一确定
（2）已知两边和一角（非这两边所夹角）时，三角形个数需要讨论：
情况一：A 为锐角
情况二：A 为直角或钝角
边角关系
a = b sin A
a ≥b
b sin A < a < b
a < b sin A
图形
解的个数
边角关系
a > b
a ≤b
a > b
a ≤b
图形
解的个数
65
正弦定理的应用——边角互化
（1）依据：正弦定理
（2）互化：a ↔sin A, b ↔sin B, c ↔sin C
（3）应用场景：等号两边的式子不含独立的常数项，且每一项的次数需相等（边的次数或正弦角的次数）
经典例题
例1
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a = √3，且c −2b + 2√3 cos C = 0，则该三角形外接圆的
半径为（
）
A. 1
B. √3
C. 2
D. 2√3
变式1-1
在△ABC中，已知BC = 5, AC = 4, A = 2B，则cos B的值为
.
变式1-2
在△ABC中，b = 2√2，A = 60∘，C = 75∘，求边长a和△ABC的面积.
例2
已知在△ABC中，a = x, b = 2, B = 45∘，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A. x > 2
B. x < 2
C. 2 < x < 2√2
D. 2 < x < 2√3
66
练2-1
下列条件判断三角形解的情况，正确的是
（填序号）；
①a = 8，b = 16，A = 30∘，有两解；
②b = 18，c = 20，B = 60∘，有一解；
③a = 15，b = 2，A = 90∘，无解；
④a = 40，b = 30，A = 120∘，有一解．
练2-2
在△ABC中，a = 80，b = 100，A = 30∘，则满足条件的B有（
）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 不确定
考点2：余弦定理及其应用
知识笔记
余弦定理
（1）求边
a2 = b2 + c2 −2bc cos A
； b2 =
；c2 =
（2）求角
cos A = b2 + c2 −a2
2bc
；cos B =
；cos C =
三角形中的恒等与不等关系
sin C = sin(A + B)， cos C =
， tan C =
sin A + B
2
= cos C
2 ， cos A + B
2
=
，tan A + B
2
=
tan A + tan B + tan C =
a > b ⇔A > B ⇔sin A
sin B
经典例题
例3
在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C所对的边，若a2 = (c −b)2 + 6，A = π
3 ，则△ABC的面积是
.
变式3-1
67
在△ABC中，AB = 2, D为AB的中点，若BC = DC = √2，则AC的长为
．
变式3-2
在△ABC中，若a = 8, b = 7, cos C = 13
14 ，则最大角的余弦是（
）
A. −1
5
B. −1
6
C. −1
7
D. −1
8
变式3-3
在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(b2 + c2 −a2) tan A = √3bc．
（1）求角A；
（2）若a = 2，ΔABC的面积S=√3 ，求1
b + 1
c 的值．
例4
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2ac sin B = a2 + c2 −1
2 ，且b = √2
2 .
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为S，求S的最大值.
变式4-1
已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，a = 2，且(a + b)(sin A −sin B) = (c −b) sin C，则△ABC
68
面积的最大值为
．
变式4-2
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2 cos A cos C =
tan B
tan A + tan C ．
(1)
求B；
(2)
若b = 2．求a + c的取值范围．
知识点2——解三角形的应用
考点3：解三角形的实际应用
69
经典例题
例5
某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂
直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示.已知∠ABC = 2
3 π, ∠ACD = π
3
，路宽AD = 24米.设∠BAC = θ ( π
12 ≤θ ≤π
6 )
(1)
求灯柱AB的高h（用θ表示）；
(2)
此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果
精确到0.01米）
变式5-1
如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时
测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是
米（精确到0.1米）
70
变式5-2
小明想测量一棵树的高度，他发现谁的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图1），此时测得地面上的影长为8米，坡
面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米
（如图2），则树的高度为
.
71
10 三角函数的图像与性质
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解并记忆三类基本三角函数的图像与性质
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握三角方程的解法
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用图像与性质解决A sin(wx + φ) + B模型问题
知识清单
72
知识点1——正弦、余弦、正切函数
考点1：三类基本三角函数的图像及其性质
知识笔记
正弦函数与余弦函数
y = sin x
y = cos x
图像
定义域
R
R
值域
奇偶性
单
调
性
严格增区间
严格减区间
对
称
性
对称轴
对称中心
周期性
73
正切函数
y = tan x
图像
定义域
值域
奇偶性
单调性
严格增区间
严格减区间
无
对称性
对称轴
无
对称中心
周期性
经典例题
例1
函数f(x) = sin2 x + 4 cos x，则f(x)的最小值为
．
74
变式1-1
函数y = sin x，x ∈[ π
6 , 2π
3 ]的值域是（
）
A. [−1, 1]
B. [ 1
2 , 1]
C. [ 1
2 , √3
2 ]
D. [ √3
2 , 1]
变式1-2
函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[−1, 1
2 ]，则b－a的最大值是
．
变式1-3
已知x ∈(0, π
2 ),则函数f(x) = (1 + sin x)(1 + cos x)的最大值为
.
例2
已知关于x的函数y = sin(x + φ)（−π < φ < 0）的一条对称轴是x = π
8 ，则φ =
．
变式2-1
（1）函数y = sin(2x + φ)的图像关于y轴对称，则φ=
（2）函数y = 5 cos(2x −θ)为奇函数，则θ =
变式2-2
设函数f(x) = cos x −m(x ∈[0, 3π])的零点为x1､x2､x3，若x1､x2､x3成等比数列，则实数m的值为
.
例3
函数y = 2 sin (2x + π
6 ), x ∈[−π, 0]单调减区间为
75
变式3-1
下列函数中在(0, 1)上为严格减函数的是（
）
A. y = cos x；
B. y = 2x；
C. y = sin x；
D. y = tan x．
变式3-2
已知函数其中ω > 0．若f (x) = √2 sin (ωx + π
4 )，f (x)在区间( π
2 , 3π
4 )上单调递增，则ω的取值范围是
.
知识点2——一般三角函数与三角方程
考点2：正弦型三角函数
知识笔记
一般三角函数
常见的三角函数的一般形式有三种：
1. 正弦型函数 y = A sin(wx + φ) + B
2. 余弦型函数 y = A cos(wx + φ) + B
3. 正切型函数 y = A tan(wx + φ) + B
以正弦型 y = A sin(wx + φ) + B 为例（这里规定 A > 0, w > 0 ），其中，A 为振幅， ωx + φ 为相位，φ 为
初相，周期为 T = 2π
ω ，频率为 f = 1
T 。
定义域
R
值域
奇偶性
视情况而定
单调性
严格增区间
由 ωx + φ ∈[−π
2 + 2kπ, π
2 + 2kπ], k ∈Z 求得
严格减区间
由
求得
76
对称性
对称轴
由
求得
对称中心
横坐标由
求得，纵坐标为 B
周期性
周期公式 T =
三角函数图像的变换
（1）先平移再伸缩
步骤一：画出 y = sin x 的图象
步骤二：平移 |φ| 个单位，得到 y = sin(x + φ) 的图象
步骤三：横坐标变为原来的 1
ω 倍，得到
的图象
步骤四：纵坐标变为原来的 A 倍，得到
的图象
（2）先伸缩再平移
步骤一：画出 y = sin x 的图象
步骤二：横坐标变为原来的 1
ω 倍，得到
的图象
步骤三：纵坐标变为原来的 A 倍，得到
的图象
步骤四：平移
个单位，得到 y = A sin(ωx + φ) 的图象
经典例题
例4
将y = √2 sin (2x +
π
3 )的图象向右平移φ (0 < φ < π )个单位得到函数y = 2 sin x (sin x −cos x) −1的图象，则φ =
．
77
变式4-1
某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是（
）
A. y＝sin(−6
5 x + 3π
5 )
B. y＝sin( 6
5 x −2π
5 )
C. y＝sin( 6
5 x + 3π
5 )
D. y＝－cos( 6
5 x + 3π
5 )
变式4-2
若函数y = A sin (ax + b) (A > 0, a > 0, |b| < π
2 )的图像在同一周期内有一个最高点的坐标是( π
12 , 2)，最低点的坐
标是( 7π
12 , −2)，则这个函数的解析式是
．
变式4-3
已知函数f(x) = 2√2 sin x
2 cos x
2 + 2√2cos2 x
2 −√2.
（1）求函数f(x)在区间[0, π]上的值域；
（2）若方程f(ωx)=√3(ω > 0)在区间[0, π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围.
78
考点3：三角方程
知识笔记
最简三角方程的解集
（1）sin x = a(|a| ≤1) : {x ∣x = kπ + (−1)k arcsin a, k ∈Z}
（2）cos x = a(|a| ≤1) : {x ∣x = 2kπ ± arccos a, k ∈Z}
（3）tan x = a(a ∈R) : {x ∣x = kπ + arctan a, k ∈Z}
三角方程的常见解法及类型
（1）a sin x + b = 0 ，转化为 sin x = −b
a ；
（2）a sin x + b cos x = c, 转化为 sin(x + φ) =
c
√a2 + b2 , tan φ = b
a
（3）a sin2 x + b sin x + c = 0 ，利用因式分解得 (sin x −m)(sin x −n) = 0 ，故 sin x = m或 sin x = n ；
（4）a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 ，两边同除 cos2 x 得 a tan2 x + b tan x + c = 0 ，故 tan x = m 或
tan x = n 。
经典例题
例6
方程sin x = 1 −cos 2x在区间[0, 2π]上的解集为
.
变式6-1
关于x的方程tan (2x + π
3 ) =
√3
3 在[0, π]上的解集为
.
变式6-2
设α1、α2 ∈R，且
1
2 + sin α1
+
1
2 + sin(2α2) = 2，则|10π −α1 −α2|的最小值等于
79
11 平面向量
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解向量的概念
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握向量的运算法则
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用向量中分解定理和三点共线定理解决问题
目标4
★★★★★☆ 迁移
运用向量性质及定理解决综合运用
知识清单
80
知识点1——向量的概念及线性运算
考点1：向量的概念及线性运算
知识笔记
向量的概念
既有
又有
的量叫向量
向量的表示方法
（1）始终点表示：向量 AB
（2）单一符号表示：小写字母加上箭头，如 →a
（3）坐标表示：在平面直角坐标系中，起点在坐标原点，终点坐标即为向量 →a 的坐标，记作 →a = (x, y)，而它的
模被记作|→a| =
−
→
特殊向量
表示方法
大小
方向
零向量
→0
0
单位向量
与→a同向
相等向量
→a = →b
负（相反）向量
→a = −→b
平行（共线）向量
→a//→b
无要求
向量的线性运算
（1）加减法
平行四边形加法法则：两向量→a，→b 起点相同，和向量→a + →b 为以→a，→b 为邻边的平行四边形的对角线
三角形加法法则：
相连，和向量→a + →b 从
指向
三角形减法法则：两向量起点
，终点相连，差向量→a −→b 指向
向量
81
（2）数乘：实数 λ 与非零向量 →a 的积是一个向量，记作 λ ⋅→a
|λ→a| = |λ| ⋅|→a|, λ > 0 时，方向
，λ < 0 时，方向
，λ = 0 时，λ→a =→0
（3）实数与向量乘积的运算律：
结合律：λ(μ ⋅→a) = (λμ)→a ；
分配律：
(λ + μ)→a = λ→a + μ→a, λ(→a + →b ) = λ→a + λ→b ；
（4）向量的坐标运算：→a = (x1, y1),→b = (x2, y2)
→a ± →b =
λ→a =
（ λ 为实数 )
经典例题
例1
1
已知→a,→b 是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为
（1）2→a的方向与→a的方向相同，且2→a的模是→a的模的2倍；
（2）−2→a的方向与5→a的方向相反，且−2→a的模是5→a的模的2
5 ；
（3）−2→a与2→a是一对相反向量；
（4）→a −
→
b 与−(
→
b −→a)是一对相反向量.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
变式1-1
1
给出下列5个命题：
①若|→a|＝|→b |，则→a＝→b ；
②若AB = DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③平行四边形ABCD中，一定有AB = DC；
④若→
m =→
n，→
n =
→
k，则→
m =
→
k；
⑤若→a//
→
b ，
→
b //→c ，则→a//→c ．
其中不正确的个数为（
）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
−
→
−
→
−
→
−
→
变式1-2
82
1
已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为( )．
A. (7,4)
B. (7,14)
C. (5,4)
D. (5,14)
−
→
变式1-3
1
下列向量中，与向量
→a = (3, 4)共线的一个单位向量是（
）
A. (−6, −8)
B. (−3
5 , −4
5 )
C. (8, 6)
D. ( 4
5 , 3
5 )
例2
1
已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB −PB = λPA，其中λ∈R，则点P一定在（ ）
A. AC边所在的直线上
B. BC边所在的直线上
C. AB边所在的直线上
D. △ABC的内部
−
→
−
→
−
→
变式2-1
1
1
2 (
→a + 2
→
b −3
→c ) −3 (
→a −2
→
b −
→c ) = （
）
A. −5
2
→a −4
→c
B. −5
2
→a + 4
→
b −2
→c
C. −5
2
→a + 7
→
b + 3
2
→c
D. −5
2
→a + 5
→
b −9
2
→c
变式2-2
1
在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（
）
A. AB = DC
B. AD + AB = AC
C. AB −AD = BD
D. AD + CB =→0
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
83
知识点2——数量积及模长问题
考点2：数量积
知识笔记
夹角与投影
（1）向量夹角
θ 的取值范围是
（2）数量投影与投影向量
数量投影： →a 在 →b 上的数量投影表示为
，它是一个有向线段
投影（向量）： →a 在 →b 上的投影（向量）表示为
，它是一个向量
数量积及其相关运算
（1）数量积公式：→a ⋅→b =
，夹角也可由此推出： cos θ =
注意：两个向量的数量积一定是一个数量，而不是向量；
（2）两个向量 →a 与 →b 垂直的充要条件是
；
（3）设 →a = (x1, y1),→b = (x2, y2)
→a ⋅→b =
；cos θ =
经典例题
例3
1
已知向量→a与→b 是非零向量，且满足→a −→b 在→b 上的投影为−4 →b ，→a = 4 →b ，则→a与→b 的夹角余弦值为（
）
A. −3
4
B. 3
4
C. −1
4
D. 1
4
∣∣∣
84
变式3-1
1
已知向量
→a = (1, 2),
→
b = (−3, 4)，则
→a在
→
b 上的投影向量为
.
变式3-2
1
已知
→a = √2,
→
b
= 1，向量
→a与
→
b 的夹角为45∘.向量
→a在
→
b 方向上的数量投影为
.
∣∣
变式3-3
1
已知△ABC的外接圆圆心为O，且AB + AC = 2AO, OA |=|AB ，则向量BA在向量BC上的投影向量为(
)
A. 1
4 BC
B. √3
4 BC
C. −1
4 BC
D. −√3
4 BC
−
→
−
→
−
→
∣
−
→
−
→
∣
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
例4
1
在平面直角坐标系中，已知点A(−1，0)，B(2, 0)，E，F是y轴上的两个动点，且|EF| = 2，则AE ⋅BF的最小值为
．
−
→
−
→
−
→
变式4-1
1
在△ABC中，AB = (2, 3)，AC = (1, k)，若B为直角，则实数k =
.
−
→
−
→
变式4-2
1
在△ABC中，若AB ⋅BC + AB
2
= 0，则△ABC的形状是
三角形.
−
→
−
→
−
→
变式4-3
1
85
已知A(−1, 0)、B(1, 0)、P(1, √3)，点C是圆x2 + y2 = 1上的动点，则PC ⋅PB + PC ⋅PA的取值范围是
.
−
→
−
→
−
→
−
→
考点3：模长问题
知识笔记
模长问题
（1）数量积有关的模长公式
因为 →a ⋅→a = →a 2 = |→a|2 ，此公式给出了模长的一种计算方式 |→a| =
（2）坐标运算下的模长公式
记 →a = (x, y)，|→a| =
（3）模长的几何意义
|→a| 表示向量 →a
|→a −→b | 表示
（将向量 →a, →b 平移至起点相同）
|→a + →b | 表示
（将向量 →a, →b 平移至起点相同）
经典例题
例5
1
已知向量 →a,→b 满足 |→a| = 3, |→b | = 2, (2→a + →b ) ⋅→b = 1 ，则 |2→a + →b | =
变式5-1
1
已知向量 →a,→b 的夹角为 5π
6 ， 且 |→a| = 2√3，→b = (−3, 4) ，则 |→a + 2→b | =
变式5-2
1
已知向量→a，→b 满足→a −→b
= √3，→a + →b
= 2→a −→b ，则→b
= .
∣∣∣∣∣∣
86
例6
1
已知向量
→a,
→
b ,
→c 满足：
→
b
=
→a = 1, (
→c −2
→a) ⋅
→a = 0，则
→c −
→
b 的最小值是（
）
A. 1
B. √2
C. 2
D. 3
∣∣∣∣
变式6-1
1
已知非零向量OA与OB的夹角为60∘，OA = 1，OB = 2，则对于任意的t ∈R，OA + tOB 的最小值为
.
−
→
−
→
∣
−
→
∣∣
−
→
∣∣
−
→
−
→
∣
变式6-2
1
设平面向量→a,
→
b ,→c 满足：→a = 2，
→
b
= →c ，→a −
→
b
= 1，
→
b ⊥→c ，则
→
b −→c 的取值范围是 .
∣∣∣∣∣∣∣
知识点3——向量的定理及其相关运用
考点4：向量定理及其运用
知识笔记
平面向量基本定理
如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个
向量，那么对该平面内的任一向量 →a 有且只有一对实数 λ1, λ2
，使 →a =
→
→
共线定理及其推论
（1）共线定理：
→b 与非零向量 →a 平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得
，设 →a = (x1, y1),
→b = (x2, y2)，坐标关系表示为
（2）三点共线定理：
87
向量 PA, PB, PC 中 A, B, C 三点共线 ⇔ 存在实数 λ, μ 使得 PA =
且
.
−
→
−
→
−
→
−
→
定比分点公式
设 P(x, y), P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) ，且 P1P = λPP2 ，则
,
特别地，若λ = 1，则为中点坐标公式：
−
→
−
→
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x = x1 + λx2
1 + λ
y = y1 + λy2
1 + λ
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x = x1 + x2
2
y = y1 + y2
2
经典例题
例7
1
已知向量|
→a| = |
→
b | = |
→c | = 1，若
→a ⋅
→
b = 1
2 ，且
→c = x
→a + y
→
b ，则x + y的最大值为
.
练7-1
1
下列向量组中，能作为基底的是（
）
A. e1 = (0, 0), e2 = (1, −2)
B. e1 = (−1, 2), e2 = (5, 7)
C. e1 = (3, 5), e2 = (6, 10)
D. e1 = (2, −3), e2 = ( 1
2 , −3
4 )
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
练7-2
1
如图，在四面体O −ABC中，OA =→a，OB =
→
b ，OC =→c ，且OM = 2MA，BN = NC，则MN =（
）
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
88
A. 2
3
→a + 2
3
→b + 1
2
→c
B. 2
3
→a + 2
3
→b −1
2
→c
C. −2
3
→a + 1
2
→b + 1
2
→c
D. 1
2
→a −2
3
→b + 1
2
→c
例8
1
已知点G为△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M, N两点，且
⇀
AM = x
⇀
AB,
⇀
AN = y
⇀
AC,
x, y ∈R，则1
x + 1
y =（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
练8-1
1
已知向量→a = (2, 3),→b = (−1, 2)，若m→a +→b 与→a −2→b 平行，则实数m等于
.
练8-2
1
在△ABC中，若AD = mDB, CD = 1
3 CA + λCB，则λ =（
）
A. 2
3
B. 1
3
C. −1
3
D. −2
3
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
练8-3
1
点P分有向线段P1P2成定比λ，若PP1 = 2P1P2，则λ =
−
→
−
→
−
→
89
12 复数
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解复数的概念
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握复数的运算方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握复平面及其几何问题
目标4
★★★★★☆ 迁移
运用复数性质解决实系数一元二次方程问题
目标5
★★★★★☆ 迁移
运用复数三角性质解决相关问题
知识清单
90
知识点1——复数的概念与运算
考点1：复数的概念
知识笔记
虚数单位
虚数单位 i : i2 =
复数的定义
形如 a + bi(a, b ∈R) 的数叫复数，a 叫复数的
，b 叫复数的
复数的分类
z = a + bi
b = 0
b ≠0
a = 0
实数0
a ≠0
虚数a + bi
虚数相等
虚数
比大小（填“可以”或“不可以”），如果两个虚数的
分别相等，那么我们
就说这两个虚数相等
经典例题
例1
1
设z ，z 为复数，下列命题一定成立的是（
）
A. 如果|z1| = a，a是正实数，那么z1z1 = a2
B. 如果|z1| = |z2|，那z1 = ±z2
C. 如果|z1| ≤a，a是正实数，那么−a ≤z1 ≤a
D. 如果z2
1 + z2
1 = 0，那么z1 = z2 = 0
1
2
–
91
变式1-1
1
设z1, z2 ∈C，则“z1, z2均为实数”是“z1 −z2是实数”的.
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
变式1-2
1
设复数z = (m2 −4m −5) + (m2 + 5m + 4)i，m为实数．
当m为何值时，z是纯虚数;
考点2：复数的运算
知识笔记
四则运算
设 z1 = a + bi, z2 = c + di(a, b, c, d ∈R)
（1）加法：z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) =
（2）减法：z1 −z2 = (a + bi) −(c + di) =
（3）乘法：z1z2 = (a + bi)(c + di) =
（4）除法：a + bi
c + d1
= (a + bi) (c −d1)
(c + d1) (c −d1) =
=
92
模长运算与共轭复数
设 z = a + bi(a, b ∈R)
（1）模长：|z| =
复数的乘除运算与取模交换运算顺序，结果不变：
|z1z2| =|z1| |z2| ；当z2 ≠0, z1
z2
= |z1|
|z2|
（2）共轭复数：–z =
，有|z|2 = |–z |2 = z–z =
复数的四则运算与共轭交换运算顺序，结果不变：
z1 ± z2 =z1 ± z2；z1z2 =z1 ⋅z2 ；当z2 ≠0, ( z1
z2 ) = z1
z2
∣
–
–
–
–
–
–
经典例题
例2
1
已知z = 3 + 4i，若实数a, b满足z + a–z + b|z| = 0，则a + b =
变式2-1
1
复数2 + i
1 −2i 的虚部是
A. i
B. −i
C. 1
D. −1
变式2-2
1
已知复数z = a + 3i (a ∈R)，满足下列表达式(Rez)2 −2Rez = −1，则|z| =（
）
A. √10
B. 3
C. 10
D. 1
变式2-3
1
设f (n) = ( 1 + i
1 −i )
n
+ ( 1 −i
1 + i )
n
(n ∈N∗) ，则集合{f (n)}中元素的个数为
．
93
变式2-4
1
已知复数z1和复数z2满足z1 + z2 = 3 + 4i, z1 −z2 = −2 + i（i为虚数单位），则z2
1 −z2
2 =
.
–
∣∣
知识点2——复数的几何意义
考点3：复数的几何意义
知识笔记
复平面
复数 z = a + bi(a, b ∈R) 与有序实数对 (a, b) 是一一对应关系，点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数
z = a + bi(a, b ∈R) 可用点 Z(a, b) 表示。
这个用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点
都表示实数。
复数的几何意义
对于虚轴上的点，除原点外（原点对应的有序实数对为 (0, 0) ，它所确定的复数是 z = 0 + 0i = 0 表示是实
数），都表示纯虚数。
复数 z = a + bi
一一对应
⟷ 复平面内的点 Z(a, b) ，这就是复数的几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几
何表示方法，例如，|z1 −z2| 表示复平面上点 z1 和点 z2 点的距离。
经典例题
例3
1
已知复数z的虚部为1，且|z| = 2，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为
.
变式3-1
1
设复平面上表示2 −i和3 + 4i的点分别为点A和点B，则表示向量AB的复数在复平面上所对应的点位于（
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
−
→
94
变式3-2
1
已知复数z = (x −2) + yi(x、y ∈R)的模为√3，则y
x 的最大值为
.
变式3-3
1
已知复数z1, z2满足z1 + √3 −i + z1 −√3 + i = 2√5, z2 = 2 + 2√3i，（其中i是虚数单位），则|z1 −z2|的最小
值为 .
∣∣∣
知识点3——实系数一元二次方程及复数的三角形式
考点4：实系数一元二次方程
知识笔记
实系数一元二次方程在复数域内的解
（1） Δ = b2 −4ac > 0 时，方程有两个不相等的实根 x1, x2 ；
（2） Δ = b2 −4ac = 0 时，方程有两个相等实根 x1 = x2 ；
（3） Δ = b2 −4ac < 0 时，方程有两个共轭虚根x1,2 = −b ± √−Δi
2a
，x1 = x2 ；此时 |x1|2 = |x2|2 = x1x2 = c
a
–
两种题型的解法
（1）|x1 −x2|
当 Δ = b2 −4ac ≥0 时，|x2 −x1| = √(x1 + x2)2 −4x1x2 =
；
当 Δ = b2 −4ac < 0 时，|x2 −x1| =
=
.
（2）|x1| + |x2|当 Δ = b2 −4ac ≥0 时，
若x1 ⋅x2 ≥0, 即 c
a ≥0，则|x2| + |x1| =
=
,
若x1 ⋅x2 < 0, 即 c
a < 0，则|x2| + |x1| =
=
;
当 Δ = b2 −4ac < 0 时，|x2| + |x1| =
=
=
.
95
虚系数一元二次方程
虚系数一元二次方程有实根，不能用判别式法，一般用两个复数相等求解
经典例题
例4
1
若实系数一元二次方程x2 + ax + b = 0有一个虚数根的模为4，则a的取值范围是
.
练4-1
1
若3 −i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2 + ax + 10 = 0的一个虚根，则a =
．
练4-2
1
复数3 + 4i的平方根是
A. 2 + i
B. 1 ± 2i
C. −2 −i
D. ±(2 + i)
练4-3
1
已知复数 z1 = a + 2 + (a2 −3)i，z2 = 2 −(3a + 1)i（a ∈R，i 是虚数单位）．
(1)
若 z1 −z2 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 a 的取值范围；
(2)
若虚数 z1 是实系数一元二次方程 x2 −6x + m = 0 的根，求实数 m 的值．
–
96
考点5：复数的三角形式
知识笔记
复数的三角形式
复数 z = a + bi(a, b ∈R) 对应着复平面上的一个点 Z(a, b)， r = |z| = √a2 + b2 ，a = r cos θ， b = r sin θ，于
是我们把： z =
，复数的这种表示形式叫做它的三角形式。
（1）辐角：原点 O 为顶点， x 轴正半轴为始边，射线 OZ 为终边的角 θ ，叫做复数 z 的辐角，记作 Argz ；
（2）规定：复数 0 的辐角的大小是任意的值；
（3）辐角主值：在复数 z 的所有辐角中，满足 0 ≤θ < 2π 的辐角 θ 称为 z的辐角主值，记作 arg z 。
三角形式下的复数运算
设两个复数 z1 = r(cos α + i sin α), z2 = s(cos β + i sin β) ，其中 r = |z1| ≥0, s = |z2| ≥0 ，则
（1）复数相乘，模相乘，辐角相加：z1z2 =
（2）复数相除，模相除，辐角相减：z1
z2 =
（3）zn =
（4）z 的 n 次方根为：
n√r (cos α + 2kπ
n
+ i sin α + 2kπ
n
), k = 0, 1, 2, ⋯, n −1
97
经典例题
例5
1
把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）.
(1)
3；
(2)
−2i；
(3)
1 + i；
(4)
−1 + √3i.
练5-1
1
已知复数z ＝√2 (cos π
12 + isin π
12 )，z ＝√3 (cos π
6 + isin π
6 )，则z z 的代数形式是（
）
A. √6 (cos π
4 + isin π
4 )
B. √6 (cos π
12 + isin π
12 )
C. √3－√3i
D. √3＋√3i
1
2
1 2
练5-2
1
计算：
(1)
8 (cos π
6 + i sin π
6 ) ⋅2 (cos π
12 + i sin π
12 )；
(2)
8 (cos 240∘+ i sin 240∘) ÷ 2 (cos 150∘−i sin 150∘)．
98
练5-3
1
−1的平方根是
，−1的立方根是
．
99
