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8.5 分布列与其他知识的综合运用（精讲）
考点一 利用均值做决策
【例1】（2023·河南·校联考模拟预测）某水果店的草莓每盒进价20 元，售价30 元，草莓保鲜度为两天，
若两天之内未售出，以每盒10 元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40 天
草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：
日销售量/十盒
7
8
9
10
天数
8
12
16
4
假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X 的分布列和数学期望；
(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16 十盒，17 十盒两种方案中应选择哪种？
【答案】(1)分布列见解析，数学期望17.44
(2)选择每两天进17 十盒
【解析】（1）日销售量为7 盒、8 盒、9 盒、10 盒的概率依次为：
，
根据题意可得：
的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，
1
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，
，
，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
14
15
16
17
18
19
20
所以
；
（2）当每两天进16 十盒时，利润为
，
当每两天进17 十盒时，利润为
，
，所以每两天进17 十盒利润较大，故应该选择每两天进17 十盒．
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始
在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022 年该地利用网络直播形式销售农产
品的销售主播年龄等级分布如图1 所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2 所示，若将销售主
播按照年龄分为“年轻人”（20 岁~39 岁）和“非年轻人”（19 岁及以下或者40 岁及以上）两类，将一
周内使用的次数为6 次或6 次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5 次或不足5 次的称为
“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有
是“年轻人”.
2
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(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个
容量为200 的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2 列联表，依据小概率值
的
独立性检验，
能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？
使用直播销售情况与年龄列联表
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用
户
不常使用直播销售用
户
合计
(2)某投资公司在2023 年年初准备将1000 万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案
供选择：
方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能
不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为
，
，
；
方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可
能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为
，
，
.
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.
参考数据：独立性检验临界值表
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3
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2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
其中
，
．
【答案】(1)列联表见解析，能
(2)从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由见解析
【解析】（1）由图2 知，样本中经常使用直播销售的用户有
人，
其中年轻人有
人，非年轻人
人，
由图1 知，样本中的年轻人有
人，
不常使用直播销售的用户有
人，其中年轻人有
人，非年轻人
人，
补充完整的
列联表如下，
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用
户
90
30
120
不常使用直播销售用
户
70
10
80
合计
160
40
200
计算
，
依据小概率值
的
独立性检验，能认为经常使用网络直播销售与年龄有关．
（2）方案一：设获利
万元，则
的所有可能取值为
，
，
，
方案二：设获利
万元，则
的所有可能取值为
，
，
4
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，
所以
，
从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看
方案一更稳定，
所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．
2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4 个选项中有2 个以上选项
是正确的，每一道题考生全部选对得5 分. 对而不全得2 分，选项中有错误得0 分. 设一套数学试卷的多选
题中有2 个选项正确的概率为
，有3 个选项正确的概率为
，没有4 个选项都正确的（在本
问题中认为其概率为0）. 在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多选题的选项A 是错误的，从其余的三个选项中随机选择2 个作为答案，若小明该题
得5 分的概率为
，求
；
(2)小明可以确认另一道多选题的选项A 是正确的，其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案：①只选A
不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1 个，共选2 个；③从另外三个选项中再随机选择2
个，共选3 个. 若
，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
【答案】(1)
(2)①
【解析】（1）记一道多选题“有2 个选项正确”为事件
，“有3 个选项正确”为事件
，“小明该题
得5 分”为事件B，
则
，求得
.
（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2 分.
若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则
，
且
，
5
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，
，
所以，
，
若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则
，且
，
，
所以，
,
因为
，所以小明应选择方案①.
考点二 概率与函数导数的综合
【例2】（2023·海南·海南中学校考模拟预测）根据社会人口学研究发现，一个家庭有
个孩子的概率模型
为：
1
2
3
0
（其中
）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为
，且相互独立，事件
表示一个家庭有个孩子
，
事件B 表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
(1)若
，求
，并根据全概率公式
求
；
(2)是否存在
值，使得
，请说明理由.
6
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【答案】(1)
，
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）当
时，
，
则
，解得
.
由题意，得
.
由全概率公式，得
又
，所以
.
（2）由
，得
.
假设存在
，使
.
将上述两式相乘，得
，
化简，得
.
设
，则
.
由
，得
，由
，得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
的最小值为
，
所以不存在
使得
.即不存在
值，使得
.
【一隅三反】
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）2021 年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员
7
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选择就地过年．某市统计了该市4 个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
区
区
区
区
外来务工人数
万
3
4
5
6
就地过年人数
万
2.5
3
4
4.5
(1)请用相关系数说明
与
之间的关系可用线性回归模型拟合，并求
关于
的线性回归方程
和
A 区的残差
(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000 元补贴．
①若该市
区有2 万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给
区就地过年的人员发放的
补贴总金额；
②若
区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为
，其中
，该市政府对甲、
乙两人的补贴总金额的期望不超过1400 元，求
的取值范围．
参考公式：相关系数
，
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
．
【答案】(1)答案见解析，
，0.05
(2)①1750（万元）；②
【解析】（1）由题，
，
，
，
，
8
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所以相关系数
，
因为
与
之间的相关系数近似为0.99，说明
与
之间的线性相关程度非常强，
所以可用线性回归模型拟合
与
之间的关系．
，
故
关于
的线性回归方程为
．
∵
，∴
，故A 区的残差为0.05.
（2）（2）①将
代入
，得
，
故估计该市政府需要给
区就地过年的人员发放的补贴总金额为
（万元）．
②设甲、乙两人中选择就地过年的人数为
，则
的所有可能取值为0，1，2，
，
，
．
所以
，
所以
，
由
，得
，又
，所以
，
故
的取值范围为
．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）“英才计划”最早开始于2013 年，由中国科协、教育部共同组织实
施，到2022 年已经培养了6000 多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从
武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
(1)若化学组的12 名学员中恰有5 人来自同一中学，从这12 名学员中选取3 人，
表示选取的人中来自该
中学的人数，求
的分布列和数学期望；
9
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(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，
每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙
两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为
，
，且
，如果甲、乙两位同学想在此
次答题活动中取得6 轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)11 轮
【解析】（1）由题意可知
的可能取值有0、1、2、3，
，
，
，
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
0
1
2
3
所以
．
（2）他们在每轮答题中取得胜利的概率为
，
由
，
，
，得
，
则
，因此
，
令
，
，于是当
时，
．
10
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要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值
．
设他们小组在
轮答题中取得胜利的次数为
，则
，
，
由
，即
，解得
．
而
，则
，所以理论上至少要进行11 轮答题．
3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知甲同学计划从某天开始的连续四天内，每天从座位充足
的
两间教室中选择一间用于自习.若其每天的选择均相互独立，且任意一天选择
教室的概率为
，任意连续两天选择相同教室的概率为
.
(1)求
的取值范围；
(2)若
，记甲在该四天内连续选择相同教室自习的天数最大值为随机变量
（若甲任意连续两天都
不在相同教室自习，则
），求
的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】（1）设事件
为“甲在某天选择
教室自习”，事件
为“甲在某天选择
教室自习”，
则
，.
依题意知，
，
当
时，
的最小值为
，
易知
的取值范围为
.
（2）
，解得
，或者
（舍去），
依题意知，
的所有可能取值为
，
11
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①当这四天的选择依次为
，或
时，
则
，
②当这四天的选择依次为
，或
，或
，或
，或
，或
，或
，或
时，
，
③当这四天的选择依次为
，或
，或
，或
时，
，
④当这四天的选择依次为
，或
时，
，
的分布列为：
1
2
3
4
的数学期望
.
考点三 概率与数列的结合
【例3-1】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3 枚筹码.
一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，
另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为
，求
的分布列和期望；
(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若
表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则
.证明：
为等比数列.
12
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【答案】(1)分布列见解析，
.
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）
的所有可能取值为
，
，
，
，
则
的分布列为：
2
3
4
0.2
0.5
0.3
.
（2）当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2 胜1 和，
其概率为：
.
当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2 胜1 和，
其概率为：
，
所以四局比赛后，比赛结束的概率为
.
（3）因为
表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，
，
在甲所得筹码为枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为
，
在甲所得筹码为枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为
，
在甲所得筹码为枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为
，
根据全概率公式得
，
所以
，变形得
，因为
，
所以
，同理可得
，
所以
为等比数列.
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【例3-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能
执行
次
科考任务，一艘该型号飞艇第1 次执行科考任务，能成功返航的概率为
，
若第
次
执行科考任务能成功返航，则执行第
次科考任务且能成功返航的概率也为
，
否则此飞艇结束科考任务.一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航，则可获得价值为
万元的科
考数据，且“
”的概率为0.8，“
”的概率为0.2；若不能成功返航，则此次科考任务不能获
得任何科考数据.记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为
万元.
(1)若
，
，求
的分布列；
(2)求
（用
和
表示）.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【解析】（1）若
，
，则
的所有取值为0，200，400，
记一艘该型号飞艇第次执行科考任务能成功返航为事件
，获得价值为200 万元的科考数据为事件
，
.则
，
，
所以
的分布列为
0
200
400
0.86
0.13
0.01
14
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（2）解法一：
取值表示的意义如下：若一艘该型号飞艇能执行第次科考任务且在此次任务中获得价值
200 万元的科考数据，则
，否则
，
.
因为
的分布列为
0
200
所以
因为
，
所以
解法二：
（2）因为
的分布列为
0
200
0.8
0.2
所以
，
记一艘该型号飞艇共可成功返航
次.
则
的全部取值为
，且
的分布列为
0
1
2
…
…
所以
所以
，
15
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所以
所以
，
所以
.
【一隅三反】
1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各
答一道题，若两人都答对，该团队得1 分；只有一人答对，该团队得0 分；两人都答错，该团队得－1 分．
假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为
，
．
(1)记X 表示该团队一轮答题的得分，求X 的分布列及数学期望
；
(2)假设该团队连续答题n 轮，各轮答题相互独立．记
表示“没有出现连续三轮每轮得1 分”的概率，
，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每
轮得1 分”的概率越大．
【答案】(1)分布列见解析，
；
(2)
，证明见解析.
【解析】（1）由题可知是，
的取值为
，
；
；
故
的分布列如下：
16
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则
.
（2）由题可知，
；
经分析可得：
若第
轮没有得分，则
；
若第
轮得分，且第
轮没有得分，则
；
若第
轮得分，且第
轮得分，第
轮没有得分，则
；
故
，故
；
因为
，故
，
故
；
故
，且
，
则
，
所以答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1 分”的概率越大.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）国学小组有编号为1，2，3，…，
的
位同学，现在有两个选择题，
每人答对第一题的概率为
、答对第二题的概率为
，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如
下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1 号同学开始第1 轮出赛，先答第一题；②若第
17
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号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第
号同学继继续比赛；③若第
号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生
未答对第二题，则第轮比赛失败，由第
号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若
比赛进行到了第
轮，则不管第
号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量
表示
名同学在第
轮比赛结束，当
时，求随机变量
的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第
号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第
号同学
重新从第一题开始作答．令随机变量
表示
名挑战者在第
轮比赛结束．
①求随机变量
的分布列；
②证明：
单调递增，且小于3．
【答案】(1)分布列见解析
(2)①分布列见解析 ；②证明见解析
【解析】（1）由题设，
可取值为1，2，3，
，
，
，
因此
的分布列为
1
2
3
（2）①
可取值为1，2，…，
，
每位同学两题都答对的概率为
，则答题失败的概率均为：
，
所以
时，
；当
时
，
故
的分布列为：
18
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1
2
3
…
…
②由①知：
（
，
）．
，故
单调递增；
由上得
，故
，
∴
，
故
．
3．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）第22 届世界杯于2022 年11 月21 日到12 月18 日在卡塔尔
举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左中右三个方向射门，门将
､
､
也会等可能地随机选择球门的左中右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有
､
､
的可能性扑
不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X 的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲乙丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始
､
､
，
等可能地随机传向另外2 人中的1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2 人中的1 人，如此不停
地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知
．
19
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①试证明：
为等比数列；
②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)①证明见解析 ；②
【解析】（1）方法一：
的所有可能取值为
，
在一次扑球中，扑到点球的概率
，
所以
，
，
所以
的分布列如下：
0
1
2
3
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为
，
门将在前三次扑到点球的个数
可能的取值为
，易知
，
所以
，
故
的分布列为：
0
1
2
3
20
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所以
的期望
．
（2）①第
次传球之前球在甲脚下的概率为
，
则当
时，第
次传球之前球在甲脚下的概率为
，
第
次传球之前球不在甲脚下的概率为
，
则
，
即
，又
，
所以
是以
为首项，公比为
的等比数列．
②由①可知
，所以
，
所以
，
故
．
考点四 概率证明
【例4】（2023·浙江·校联考模拟预测）某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，
甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50 天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况
统计如下：
上下午体育锻炼项目的情况（上
午，下午）
（篮球，篮
球）
（篮球，乒乓
球）
（乒乓球，篮
球）
（乒乓球，乒乓
球）
甲
20 天
15 天
5 天
10 天
乙
10 天
10 天
5 天
25 天
假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的
概率；
21
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(2)记
为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求
的分布列和数学期望
；
(3)假设A 表示事件“室外温度低于10 度”，
表示事件“某学生去打乒乓球”，
，一般来说在室
外温度低于10 度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10 度的情况下去打乒乓球的概率要
大，证明：
.
【答案】(1)0.4；
(2)分布列见解析，1.82
(3)证明见解析
【解析】（1）设事件
为“早上甲打篮球”，事件
为“下午甲打篮球”，
则
，
.
（2）由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为
，乙上下午都选择篮球的概率为
，
甲上下午都选择乒乓球的概率为
，乙上下午都选择乒乓球的概率为
，
记
为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则
的所有可能取值为、
，
所以
，
，
所以
的分布列为：
1
2
所以
.
（3）证明：由题意知
，即
，
即
，
即
，
即
，即
，
即
.
【一隅三反】
22
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1．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）2022 年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上
运动”的热潮.为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200 名学生进行问卷
调查，得到以下信息：
①抽取的学生中，男生占的比例为60%；
②抽取的学生中，不喜欢雪上运动的学生占的比例为45%.
③抽取的学生中，喜欢雪上运动的男生比喜欢雪上运动的女生多50 人.
(1)完成2×2 列联表，依据小概率值α=0.001 的χ² 独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联?
喜欢雪上运
动
不喜欢雪上运动
合计
男生
女生
合计
(2)（i）从随机抽取的这200 名学生中采用分层抽样的方法抽取20 人，再从这20 人中随机抽取3 人.记事件
A=“至少有2 名是男生”，事件B=“至少有2 名喜欢雪上运动的男生”，事件C=“至多有1 名喜欢雪上运运
的女生”.试分别计算
和
的值.
（ii）根据第（i）问中的结果，分析
与
的大小关系.
参考公式及数据
，
.
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)表格见解析，是否喜欢雪上运动与性别有关联.
(2)（i）答案见解析；（ii）答案见解析
【解析】（1）2×2 列联表如下：
喜欢雪上运
动
不喜欢雪上运动
合计
男生
80
40
120
女生
30
50
80
23
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合计
110
90
200
假设
：是否喜欢雪上运动与性别无关联.
根据表中数据，计算得到
依据小概率值
的
独立性检验，我们推断
不成立.
即认为是否喜欢雪上运动与性别有关联.
（2）①由已知事件ABC 表示：“2 男生1 女生都喜欢雪上运动”和“3 男生中至少两人喜欢雪上运动”事
件
因为
，
，
所以
.
②由（i）得
与
相等的关系可以推广到更一般的情形，
即对于一般的三个事件A，B，C，有
.
证明过程如下：
，得证.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）2022 年11 月20 日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世
界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，
为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，
该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：
球队输球
球队赢球
总计
甲参加
2
30
32
24
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甲未参
加
8
10
18
总计
10
40
50
(1)根据小概率值
的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；
(2)从该球队中任选一人，A 表示事件“选中的球员参赛”，B 表示事件“球队输球”．
与
的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R．
①证明：
；
②利用球员甲数据统计，给出
，
的估计值，并求出R 的估计值．
附：
．
参考数据：
a
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)认为该球队胜利与甲球员参赛有关
(2)①证明见解析 ；②
,
；
【解析】（1）零假设为
：该球队胜利与甲球员参赛无关．
，
因为
，
所以依据
的独立性检验，我们推断
不成立，所以认为该球队胜利与甲球员参赛有关，此推断
犯错误的概率不大于0.005．
25
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（2）①证明：
②
，
，
．
26
