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5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精讲）
一．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线
下方叫俯角(如图1).
二．方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
三．方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
四.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 解三角形在实际生活中的运用
【例1-1】（2023·河北·模拟预测）释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056年，是世界上现存最古老最高大
之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2016年、释迦塔被吉尼斯世界纪录
认定为世界最高的木塔.小张为测量木塔 的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点 ，并垂
直竖立一高度为 的标杆 ，从点 处测得木塔顶端 的仰角为60°，再沿 方向前进 到达 点，
并垂直竖立一高度为 的标杆 ，再沿 方向前进 到达点 处，此时恰好发现点 ， 在一条直
线上.若小张眼睛到地面的距离 ，则小张用此法测得的释迦塔的高度 约为（参考数据：
）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图,过点 作 于点 ,过点 作 于点 ,交 于点 ,
则四边形 , , 都是矩形,所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,
所以 .
在Rt 中, ,
所以 ,
由已知得 ,所以 ,
即 ,解得 .
故选：B.
【例1-2】（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，某景区为方便游客，计划在两个
山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度
，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为 ，N点的人仰角为 ，
以及 ， 则M，N间的距离为（ ）
A． B．120m C． D．200m
【答案】A
【解析】由题意，可得 ，
且 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，由余弦定理得 ，
所以 .
故选：A.
【一隅三反】
1．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）如图所示，某学生社团在公园内测量某建筑
的高度， 为该建筑顶部.在 处测得仰角 ，当沿一固定方向前进60米到达 处时测得仰
角 ，再继续前进30米到达 处时测得仰角 ，已知该建筑底部A和 、 、 在同
一水平面上，则该建筑高度 为（ ）
A． B． C．45 D．90
【答案】D
【解析】设 ，由题意知 ，所以 ，
同理 ，即 .
在 和 中， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由余弦定理可得： ，
即 ，解得 .
故选：D
2．（2023·陕西西安·统考一模）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的
东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称
之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正
东方向找到一座建筑物 ，高为 ，在它们之间的地面上的点 （ 三点共线）处测得楼顶 ，
教堂顶 的仰角分别是 和 ，在楼顶 处测得塔顶 的仰角为 ，则小明估算索菲亚教堂的高度约
为(取 )（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在直角 中， ，
因为在 中， ， ，
所以 ，
在 中由正弦定理 可得 ，
又由 ，
所以在直角 中，可得 ,
故选：B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·浙江·高三专题练习）喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远
处选取了与该建筑物的底端 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，现测得 ，
， 米，在点 处测得酒店顶端 的仰角 ，则酒店的高度约是（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．91米 B．101米 C．111米 D．121米
【答案】B
【解析】由题设 ，在△ 中 ，
又 ，
所以 ，
又 米.故选：B
考法二 解三角形与平面向量的综合
【例2】（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量
， ， 共线，则 形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】 向量 ， 共线， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由正弦定理得： ． ．
，
所以
则 ．
，即 ．
同理由 ， 共线，可得 ．
形状为等边三角形．
故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知点 为 的外心，且 ，
则 为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】 三个角所对的三边分别为 ，
取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，
连接 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
，
，
因为 ，
所以 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由余弦定理得 ，因为 ，所以 ，
即 为钝角三角形.
故选：C.
2．（2022·广东广州·三模）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 ，
， .
(1)若 ， ， 为边 的中点，求中线 的长度；
(2)若 为边 上一点，且 ， ，求 的最小值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)∵向量 ， ， ，∴ ，即
，
∴ ，∴ ，
∵ 为边 的中点， ， ，∴ ，
∴ ，
又 ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴中线 的长度为 ；
(2)∵ 为边 上一点， ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 取等号，故 的最小值为
考法三 解三角形与三角函数性质综合
【例3】（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
令 ，则
所以，单调减区间是 .
（2）由 得：
，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于 ，所以 .
在 中， ，
，
于是 ，则 ， ，
，所以 .
【一隅三反】
1．（2023·上海·高三专题练习）已知 ， ，
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，求 边上的高的最大值．
【答案】（1）最小正周期为 ；单调递减区间为 ；（2） ．
【解析】（1）
．
的最小正周期为： ；
当 时，
即当 时，函数 单调递减，
所以函数 单调递减区间为： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）因为 ，所以
， ，
， ．
设 边上的高为 ，所以有 ，
由余弦定理可知： ，
， ，
（当用仅当 时，取等号），所以 ，
因此 边上的高的最大值 .
2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量 ， ，函数 .
（1）求函数 的零点；
（2）若钝角 的三内角 的对边分别是 ， ， ，且 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】1）由条件可得： ，
∴ ，
所以函数 零点满足 ，
则 ，得 ， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由正弦定理得 ，
由（1） ，而 ，得 ，
∴ ， ，又 ，得 ，
∴ 代入上式化简得：
，
又在钝角 中，不妨设 为钝角，有 ，则有 .
∴ .
3．（2023·安徽）已知函数 ，将 的图象横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
再向左平移 个单位后得到 的图象，且 在区间 内的最大值为 .
（1）求 的值；
（2）在锐角 中，若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）将函数 的图象横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单
位后得到 的图象，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
， ，
当 ，即 时， 最大值 ，所以， ；
（2） ，
，则 ，所以， ，所以， ，
，
是锐角三角形，由 ，解得 ，
所以， ， ，则 .
考法四 解三角形与各种心的综合
【例4】（2022·广东·模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，且
.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.
① 为 的内心；② 为 的外心；③ 为 的重心.
(1)求 ；
(2)若 ，__________，求 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)选①： ；选②： ；选③： .
【解析】(1)因为 ，
由正弦定理得 ，
，
，
三角形中， ，所以 ，
，则 ，所以 ， ；
(2)选①O为 的内心，如图， 分别是内切圆在各边上的切点，
在 中由余弦定理得 ，
，
设内切圆半径为 ，则 ， ，
所以 ；
选②O为 的外心， 在 外部，如图， 外接圆 上，
由（1） ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中由余弦定理得 ，
， ，
．
选③O为 的重心，如图， 分别是各边上的中点，
在 中由余弦定理得 ，
，
由三角形重心的性质可得， ，
故 .
【一隅三反】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图，在△ABC中，已知 ， ， ，BC边
上的中线AM与 的角平分线 相交于点P．
(1) 的余弦值．
(2)求四边形 的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)在 中，由余弦定理可知： ,即
故 , , 是等腰三角形，故
在 中，由余弦定理可知：
即 ,
在 中，由正弦定理可知：
因为 为锐角，所以
(2)由（1）知： 是 的重心，所以 ,故
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以四边形 的面积为
2．（2022·广东广州·三模）在① ；② 这两个条件中任选一个，补充
在下面的问题中，并作答.
问题：已知 中， 分别为角 所对的边，__________.
(1)求角 的大小；
(2)已知 ，若 边上的两条中线 相交于点 ，求 的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) ；
(2)
【解析】(1)
若选①， ，由正弦定理得 ，又 ，
则 ，又 ，即 ，又 ，则 ；
若选②，由正弦定理得 ，又 ，则 ，
即 ，则 ，又 ，则 ；
(2)
以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过 点垂直于 的直线为 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
易得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 可得 ，则 ，则 ，
则 .
3．（2022·广东深圳·一模）如图，在 ABC中，已知 ， ， ，BC，AC边上的
△
两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求 的正弦值；
(2)求 的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
与 互补，则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ．
解法2、由题意可得， ，
由AM为边BC上的中线，则 ，
两边同时平方得， ，故 ，
因为M为BC边中点，则 的面积为 面积的 ，
所以 ，
即 ，
化简得， ．
(2)
解：方法1、在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，
由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为 重心，
可得 ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
又由 ，所以 ．
解法2：
因为BN为边AC上的中线，所以 ，
，
，即 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
