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知识点30：万有引力定律及其应用（考虑星球自转）
【知识思维方法技巧】
考虑星球自转，万有引力和重力及向心力的关系:
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心
力F 向。地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力.
（1）在空中：天体环绕运动时，F 向＝万有引力，宇宙飞船中物体处于完全失重状态．
（2）在赤道上：地球赤道上的物体，随地球自转需要向心力，F 向＝mω2R＝G—mg1。
（3）在两极上：F 向＝0，地球两极上的物体G＝mg0。
（4）在地球一般位置：万有引力G 等于重力mg 与向心力F 向的矢量和。
考点一：考虑星球自转中心天体万有引力与重力的关系
题型一：中心天体万有引力与重力及向心力的关系
【典例1 拔尖题】设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，
半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，
弹簧测力计的读数为F1＝F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝。假设第三次在
赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距行星表面高度为R 处绕行星做匀速
圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正
确的是( )
A．F3＝，F4＝
B．F3＝，F4＝0
C．F3＝，F4＝0
D．F3＝4F0，F4＝
【典例1 拔尖题】【答案】B
【解析】设该行星的质量为M，则质量为m 的物体在极点处受到的万有引力F1＝＝F0。由
于在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝，则Fn2＝F1－F2＝F0＝mω2R。行星半径以内的部
分的质量为M′＝·M＝M，物体在处受到的万有引力F3′＝＝F1＝F0，物体需要的向心力
Fn3＝mω2·＝mω2R＝F0，所以在赤道平面内深度为的隧道底部，弹簧测力计的示数为F3＝
F3′－Fn3＝F0－F0＝F0，第四次在距行星表面高度为R 处绕行星做匀速圆周运动的人造卫
星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为0。B 正确。
题型二：中心天体自转周期及维稳密度的计算
【知识思维方法技巧】
（1）自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢。
（2）当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会
“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是＝mR.
【典例2 拔尖题】一物体静置在平均密度为
的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常
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量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
A．
B．
C．
D．
【典例2 拔尖题】【答案】D
【解析】当压力为零时，
，又
，联立解得
，，所以
ABC 错误；D 正确．
考点二：考虑地球自转地球万有引力与重力的关系
题型一：地球万有引力与重力及向心力的关系
【典例1 拔尖题】 (多选)某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g，就可以利
用一些常见的数据计算出地球的半径和质量．已知常见数据为万有引力常量G，地球的自
转周期T，地球两极处的重力加速度g0.若视地球为质量分布均匀的球体，赤道处的重力加
速度g 已经测出，则下列说法中正确的是( )
A．地球的半径为 B．地球的半径为
C．地球的质量为 D．地球的质量为
【典例1 拔尖题】【答案】BD
【解析】在两极地区，物体受到地球的万有引力等于其所受的重力，则有＝mg0，在赤道
处，则有－mg＝m，联立可得地球的半径为R＝，将R＝代入＝mg0可得地球的质量为M
＝，故A、C 错误，B、D 正确．
【典例1 拔尖题对应练习】已知地球两极的重力加速度为g，地球同步卫星的轨道半径是
地球半径的n 倍。考虑地球自转的影响，把地球视为质量均匀分布的球体，则赤道上的重
力加速度为( )
A. g
B. (1－)g
C. (1－)g
D. (1－)g
【典例1 拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】考虑地球的自转因素，但两极的自转半径为零，故万有引力等于重力，有G
＝
mg；赤道位置万有引力提供向心力和重力，有G
＝mg 赤＋ma 赤；同步卫星的公转满足
G
＝ma 同；而赤道自转角速度和同步卫星的角速度相同，由a＝ω2r，有
＝n，联立各
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式可得g 赤＝(1－)g，故选D。
题型二：地球赤道上的物体与人造卫星运行参量的比较及计算
【知识思维方法技巧】
地球同步卫星、近地卫星、地球赤道上物体圆周运动各运行参量的特点：
近地卫星
(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球
自转的物体
(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
线速度
由G＝m 得v＝，故v1＞v2
由v＝rω 得
v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心
加速度
由G＝ma 得a＝，故a1＞a2
由a＝ω2r 得a2＞a3
a1＞a2＞a3
轨道半径
r2＞r3＝r1
角速度
由G＝mω2r 得
ω＝，故ω1＞ω2
同步卫星的角速度与地球自
转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
【典例2 拔尖题】（多选）有a、b、c、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在赤道表面上随地
球一起转动，b 是近地轨道卫星，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，它们均做匀速圆
周运动，各卫星排列位置如图所示，则( )
A．a 的向心加速度等于重力加速度g，c 的向心加速度大于d 的向心加速度
B．在相同时间内b 转过的弧长最长，a、c 转过的弧长对应的角度相等
C．c 在4 小时内转过的圆心角是，a 在2 小时内转过的圆心角是
D．b 的周期一定小于d 的周期，d 的周期一定小于24 小时
【典例2 拔尖题】【答案】BC
【解析】a 在地球表面随地球一起转动，其所受万有引力等于重力与向心力的合力，且重
力远大于向心力，故a 的向心加速度远小于重力加速度g，根据牛顿第二定律，由万有引
力提供向心力有G＝man，解得向心加速度an＝，由于卫星d 的轨道半径大于卫星c 的轨道
半径，所以卫星c 的向心加速度大于d 的向心加速度，选项A 错误；地球同步卫星c 绕地
球运动的角速度与地球自转的角速度相同，相同时间内a、c 转过的弧长对应的角度相等，
由＝m 可得v＝，轨道半径越小，速度越大，则vb>vc>vd，又a 与c 角速度相等，且a 的轨
道半径小于c 的轨道半径，故vc>va，即b 的速度最大，所以在相同时间内b 转过的弧长最
长，选项B 正确；a、c 角速度相同，在4 小时内转过的圆心角都为＝，在2 小时内转过的
圆心角都为＝，选项C 正确；c 和b 的轨道半径都小于d 的轨道半径，由开普勒第三定律
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可知，b 的运动周期一定小于d 的运动周期，d 的运动周期一定大于c 的运动周期(24 小时)，
选项D 错误。
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