文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
第十一章 概率
专题11.2 事件的相互独立与条件概率、全概率公式
1.了解两个事件相互独立的含义.
2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．
考点一 相互独立事件的概率
考点二 条件概率
考点三 全概率公式的应用
1．相互独立事件
(1)概念：如果P(AB)＝P ( A ) P ( B ) 成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．
(2)性质：若事件A 与B 相互独立，那么A 与，与B，与也都相互独立．
2．条件概率
(1)概念：一般地，当事件B 发生的概率大于
0(
即
P ( B )>0)
时，已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为
条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B) ＝.
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P ( A ) P ( B | A ) ．
3．全概率公式
一般地，如果样本空间为Ω，A，B 为事件，则BA 与B 是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝
P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，当P(A)>0 且P()>0 时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．
常用结论
1．如果事件A1，A2，…，An 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．贝叶斯公式：设A，是一组对立事件，A＋＝Ω，0＜P(A)＜1，则对任意事件B⊆Ω，P(B)＞0，有P(A|B)＝＝.
题型一 相互独立事件的概率
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．从甲口袋内摸出一个白球的概率是
，从乙口袋内摸出一个白球的概率是
，从两个口袋内各摸1 个球，
那么概率为
的事件是（ ）
A．两个都不是白球
B．两个不全是白球
C．两个都是白球
D．两个球中恰好有一个白球
【答案】B
【详解】解：∵从甲口袋内摸出一个白球的概率是
，从乙口袋内摸出一个白球的概率是
，
故两个球全是白球的概率为
，
故两个球不全是白球的概率为
，
故选：B.
2．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，
比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为
，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.
这次比赛甲获胜的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况：
甲连胜2 局，概率为
，
前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为
，
则甲战胜乙的概率为
．
故选：D．
3．甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（ ）
A．0.36
B．0.48
C．0.64
D．0.54
【答案】C
【详解】由题意得密码未被破译的概率为
，
所以密码被破译的概率为
，
故选：C
4．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5 人，一对一进
行比赛，共进行5 局比赛，每局比赛获胜的一方得1 分，负方得0 分；第二阶段，比赛双方各出4 人，二
对二进行比赛，共进行2 局比赛，每局比赛获胜的一方得2 分，负方得0 分．先得到5 分及以上的一方裁
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的
概率都是
，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是
，每局比赛的结果互不影响，则甲班经
过7 局比赛获胜的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】按照甲班在第一阶段获胜的局数，分类讨论如下：
（1）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率
．
（2）若甲班在第一阶段获胜的局数为
，则甲班经过局比赛获胜的概率
．
（3）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率
．
（4）若甲班在第一阶段获胜的局数为
，则甲班经过局比赛获胜的概率
．
所以所求概率
，故A 项正确.
故选：A.
5．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为
考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定
课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考
试的概率更大（ ）
A．方案一
B．方案二
C．相等
D．无法比较
【答案】A
【详解】设三门考试课程考试通过的事件为
，相应的概率为
，
则考试三门课程，至少有两门及格的事件为
，
其概率为
，
设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为
，则
,
又由
，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，即用方案一的概率大于用方案二的概率.
故选：A.
题型二 条件概率
6．某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3 名女生和4 名男生参赛，并从中随机选取3 人组成
代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】用A 表示事件“代表队既有男生又有女生”， B 表示事件“女生甲被选中”，
则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为
.
所以
，
故选：B.
7．箱子中装有2 个白球和2 个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1 个球，已知其中一人摸到的是白球，
则另外一人摸到的也是白球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，箱子中装有2 个白球和2 个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1 个球，
设事件
为“其中一人摸到的是白球”，事件
为“另一人摸到的是白球”
因为两人先后从中有放回地随机摸取1 个球，
可得
，
所以所求概率为
.
故选：A.
8．逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的
调查研究．据统计，一次性饮酒4.8 两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2 两，诱发这种疾病的
频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8 两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4 两，不
诱发这种疾病的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】记事件A：这人一次性饮酒4.8 两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2 两未诱发这种疾
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
病，
则事件
：这人一次性饮酒4.8 两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4 两不诱发这种疾病，
显然
，
，
所以
.
故选：A
9．甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5 个项目中分别各自随机选择其中一
项，记事件
：甲和乙选择的活动各不同，事件
：甲和乙恰好一人选择①，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意知，
，
，
所以
，
故选：B.
10．湖南第二届旅游发展大会于2023 年9 月15 日至17 日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，
亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基
地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A 为“甲和乙至少有
一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B 为“甲和乙选择研学线路不同”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有
个基本事件，
事件A 含有的基本事件数是
，则
，
事件
含有的基本事件数为
，则
,
所以
.
故选：B
题型三 全概率公式的应用
11．第19 届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择A 餐厅或者B 餐厅就餐，第一天随机地选择一餐厅
用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.7；如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A
餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为（ ）
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．0.75
B．0.6
C．0.55
D．0.45
【答案】B
【详解】运动员甲第二天去
餐厅用餐的概率为
，
故选:B.
12．甲箱中有个红球，
个白球和个黑球；乙箱中有
个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取
出一球放入乙箱中，分别以
、
、
表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机
取出一球，以
表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．事件
与事件
不相互独立
D．
、
、
两两互斥
【答案】A
【详解】依题意，
，
，
，
，
，B 对，
，A 错；
，
，
所以，
，所以，事件
与事件
不相互独立，C 对，
由题意可知，事件
、
、
中的任意两个事件都不可能同时发生，
因此，事件
、
、
两两互斥，D 对.
故选：A.
13．在2023 亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3 分球投手，在比
赛中，她3 分球投中的概率为
，非3 分球投中的概率为
，且她每次投球投3 分球的概率为
，则该球
员投一次球得分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设事件A 为“该球员投球得分”，事件B 为“该球员投中3 分球得分”，
由全概率公式：
，
故选：C
14．某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占
，面包类食
品占
，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01．现从该食品店随机抽检一件
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
商品，则该商品不合格的概率为（ ）
A．0.03
B．0.024
C．0.012
D．0.015
【答案】C
【详解】设事件
表示“抽到的商品为奶类饮品”，事件
表示“抽到的商品为面包类食品”，
则
，
设事件
表示“抽检的商品不合格”，
则
，
所以
，
故选：C．
15．重庆八中味园食堂午餐情况监测数据表明，小唐同学周一去味园的概率为
，周二去味园的概率为
，且小唐周一不去味园的条件下周二去味园的概率是周一去味园的条件下周二去味园的概率的2 倍，则
小唐同学周一、周二都去味园的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设“小唐同学周一去味园”为事件A，设“小唐周二去味园”为事件B，则“小唐同学周一、周
二都去味园”为事件AB，
由题意可知：
，且
，
由全概率公式可知：
，
即
，解得
，
所以
.
故选：A
一、单选题
1．小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为
、
、
，
若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（ ）
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设小明遇到的三人分别为
，
，
，
则小明遇到三人的概率都为
，
若小明与
比赛获胜的概率为
，与
比赛获胜的概率为
，与
比赛获胜的概率为
，
则小明进入决赛的概率为
，
故选：A.
2．若
，
，
，则事件A 与
的关系是（ ）
A．事件A 与
互斥
B．事件A 与
对立
C．事件A 与
相互独立
D．事件A 与
既互斥又相互独立
【答案】C
【详解】由题意，
，
，
，
∴
，
∴事件
与
相互独立、事件
与
不互斥，故不对立.
故选：C.
3．甲、乙两人进行射击比赛，甲的中靶概率为
，乙的中靶概率为
，则两人各射击一次，均没中靶
的概率是（ ）
A．0.6
B．
C．
D．0.3
【答案】D
【详解】甲的中靶概率为
，乙的中靶概率为
，则甲不中靶概率为
，乙不中靶概率为
，因此两
人均没中靶的概率为
，
故选：D
4．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则甲、乙两人都中靶
的概率为（ ）
A．0.72
B．0.26
C．0.98
D．0.85
【答案】A
【详解】由题意知，甲乙两人都中靶的概率为：
.
故选：A.
5．在3 张彩票中有2 张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
【详解】设甲中奖为A 事件，乙中奖为B 事件,
则
,
故选：B.
6．大美黄冈，此心安处．在这里，东坡文化独领风骚；在这里，红色文化光耀中华；在这里，戏曲文化
绚丽多姿；在这里，禅宗文化久负盛名．现有甲乙两位游客慕名来到黄冈旅游，都准备从H，G，L，Y 四
个著名旅游景点中随机选择一个游玩，设事件A 为“甲和乙至少一人选择景点G”，事件为B“甲和乙选择
的景点不同”，则条件概率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题两位游客从4 个著名旅游景点中各随机选择一个游玩，共有
种，
其中事件A 的情况有
种，事件A 和事件B 共同发生的情况有
种，
所以
，
，所以
.
故选：A.
7．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出
行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班
不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天
上班小明迟到的概率是（ ）
A．0.24
B．0.14
C．0.067
D．0.077
【答案】D
【详解】记小明步行上班为事件
，骑共享单车上班为事件
，乘坐地铁上班为事件
，
小明上班迟到为事件
，
则
，
，
，
，
所以
，
所以某天上班他迟到的概率是
.
故选：D.
8．现代足球的前身起源于中国古代山东淄州（今淄博市）的球类游戏“蹴鞠”，后经阿拉伯人由中国传
至欧洲，逐渐演变发展为现代足球.周末，高二年级甲乙两位同学出于对足球的热爱，去体育场练习点球
､
.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在同一罚球点，两人各自踢了10 个球，甲进了9 个球，乙进了8 个球，以频率估计各自进球的概率.记事
件A：甲踢进球；事件B：乙踢进球.甲乙两人是否进球互不影响，则接下来一次点球中，
､
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意知，甲乙两人是否进球互不影响，即事件
､
与事件
相互独立，
又由
，所以
.
故选：D.
二、多选题
9．A，B 两组各有2 名男生、2 名女生，从A，B 两组中各随机选出1 名同学参加演讲比赛.甲表示事件
“从A 组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B 组中选出的是1 名男生”，丙表示事件“从A，B 两
组中选出的是2 名男生”，丁表示事件“从A，B 两组中选出的是1 名男生和1 名女生”，则（ ）
A．甲与乙互斥
B．丙与丁互斥
C．甲与乙相互独立
D．乙与丁相互独立
【答案】BCD
【详解】对于A 选项，因为
，
，
，所以
，所
以甲与乙相互独立，故A 选项错误；
对于B 选项，因为
，
，
，
所以
，所以丙与丁互斥，故B 选项正确；
对于C 选项，由A 选项知故C 选项正确；
对于D 选项，因为
，
，所以
，故乙与丁
相互独立，故D 选项正确.
故选：BCD.
10．已知随机事件
、
发生的概率分别为
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
与
互斥，则
B．若
与
相互独立，则
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．若
，则事件
与
相互独立
D．若
，则
【答案】ABC
【详解】对于A 选项，若
与
互斥，则
，A 对；
对于B 选项，若
与
相互独立，则
，
所以，
，B 对；
对于C 选项，若
，且
，
所以，事件
与
相互独立，C 对；
对于D 选项，若
，则
，所以，
，D 错.
故选：ABC.
11．在六月一号儿童节，某商家为了吸引顾客举办了抽奖送礼物的活动，商家准备了两个方案.方案一：
盒中有6 个大小和质地相同的球，其中2 个红球和4 个黄球，顾客从
盒中不放回地随机抽取两次，每次
抽取一个球，顾客抽到的红球个数等于可获得礼物的数量；方案二：顾客投掷一枚质地均匀的骰子两次，
两次投掷中向上点数为3 的倍数出现的次数等于可获得礼物的数量．每位顾客可以随机选择一种方案参加
活动，则下列判断正确的是（ ）
A．方案一中顾客获得一个礼物的概率是
B．方案二中顾客获得一个礼物的概率是
C．方案一中顾客获得礼物的机会小于方案二中顾客获得礼物的机会
D．方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为7”相互独立
【答案】ABD
【详解】A:方案一中顾客获得一个礼物的概率是
,故A 正确;
B:方案二中顾客获得一个礼物的概率是
,故B 正确;
C: 记方案一中顾客获得礼物的概率为
，
记方案二中顾客获得礼物的概率为
，
,故C 错误;
D: 记方案二中“第一次向上点数是1”为事件
, 两次向上点数之和为7 为事件
,
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
,
,
所以方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为7”相互独立,故D 正确.
故选：ABD.
12．国庆节期间，某商场搞促销活动，商场准备了两个装有卡片的盒子，甲盒子中有4 张红色卡片、2 张
绿色卡片，乙盒子中有5 张红色卡片、3 张绿色卡片(这14 张卡片球除颜色外，大小、形状完全相同). 顾客
购物满500 元即可参加抽奖，其规则如下：顾客先从甲盒子中随机取出1 张卡片放入乙盒子，再从乙盒子
中随机取出1 张卡片，记“在甲盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件
， “在甲盒子中取出的卡片是
绿色卡片”为事件
， “从乙盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件M，若事件M 发生，则该顾客中
奖，否则不中奖. 则有（ ）
A．
与
是互斥事件
B．
C．
D．
与
相互独立
【答案】AC
【详解】从甲箱中摸一张卡片，红色卡片与绿色卡片不可能同时出现，所以
与
是互斥事件，故A 正
确；
由题意知
，
，所以
，故B 错误；
，所以
，故C 正确；
因为
，故D 错误.
故选：AC．
三、填空题
13．篮球爱好者小张练习定点投篮，分别在5 个不同位置投篮，每个位置投篮2 次，每个位置进球1 次得1
分，进球2 次共得3 分．若小张每次投篮进球的概率都是
，则小张投篮10 次后总得分不低于12 分的概
率为 ．
【答案】
【详解】小张投篮10 次后总得分不低于12 分可以分为以下3 种情况：
4 个位置都投进2 球，1 个位置没投进球，得12 分；
4 个位置都投进2 球，1 个位置只投进1 球，即9 次投进球，1 次没投进球，得13 分；
5 个位置都投进2 球，即10 次全部投进球，得15 分，
所以小张投球10 次后得分不低于12 分的概率为：
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
．
故选：
.
14．某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）
的情况，其中新能源车占销售量的
，男性占近期购车车主总数的
，女性购车车主有
购买了
新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是 .
【答案】0.7/
【详解】设男性中有
购买了新能源车，则
，解得
，
所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是0.7.
故答案为：0.7
四、解答题
15．甲乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
､
和
，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影
响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲乙各射击一次，至少击中目标一次的概率；
､
(2)若乙在射击中出现连续2 次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4 次后被终止射击的概率．
【详解】（1）甲乙各射击一次，至少击中目标一次的概率为：
､
.
（2）乙恰好射击4 次后被终止射击，则“第
次击中，后两次未击中”，
故所求概率为：
.
16．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参
加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率
分别为
，
；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为
，
；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互
不影响．
(1)从甲、乙两人中选取1 人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【详解】（1）设事件
表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件
表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件
表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件
表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
则
表示“甲赢得比赛”，
，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
表示“乙赢得比赛“，
因为
，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大．
（2）设
表示“甲赢得比赛”，
表示“乙赢得比赛”，
，
，
因此“两人中至少有一个赢得比赛”的概率为
．
14
