文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2024 高考二轮复习二十五讲
第12 讲、带电粒子在电磁场中的运动
第一部分 织网点睛，纲举目张
1．带电粒子在电场中常见的运动类型
(1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝mv2－mv0
2来求解；对于匀强电场，电场力做功也可以用
W＝qEd 来求解。
(2)偏转运动：一般研究的是带电粒子在匀强电场中的偏转问题。对于类平抛运动可直接利用平抛运动
的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动的合成与分解的方法来处理。
2．带电粒子在有界匀强磁场中运动的几种常见情形
直线
边界
粒子进出磁场具
有对称性
平行
边界
粒子运动存在临
界条件
圆形
边界
粒子沿径向射入
的再沿径向射出
3. 放缩圆、旋转圆、平移圆
（1）.当带电粒子射入磁场的速度方向确定，速度大小变化或磁场磁感应强度大小变化时，
粒子做匀速圆周运动的轨道半径r 随着变化。可以以入射点为定点，作出半径不同的一系列
轨迹，即放缩圆。
“放缩圆”模型的应用
适用条件
速度方向
一定，大
小不同
粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场
时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度
的变化而变化。
轨迹圆圆
心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动
半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨
迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探
索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法。
（2）. 当带电粒子射入磁场的速度大小不变，方向改变，粒子做匀速圆周运动的轨道半
径r 不变。可以以入射点为定点，作出轨迹圆，将轨迹圆旋转，即旋转圆。
“旋转圆”模型的应用
适用方法
速度大小
一定，方
向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场
时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度
为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。
轨迹圆圆
心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆
心、半径R＝的圆上。
界定方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
这种方法称为“旋转圆”法
（3）. 速度大小和方向相同的一排相同带电粒子进入直线边界，各个带电粒子的轨迹圆
弧可以由其它粒子的轨迹圆弧沿着边界平移，即定圆平移。
3．当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；
规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则
粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒
子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
4. 关于粒子的重力
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以
忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应考虑其重力。
(2)不能直接判断是否要考虑重力的情况，在进行受力分析与运动分析时，根据运动状态可分析出是否
要考虑重力。
第二部分 实战训练，高考真题演练
1. （2023 高考全国乙卷） 如图，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy 平面）向里，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
磁场右边界与x 轴垂直。一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒子离开
磁场后，沿直线运动打在垂直于x 轴的接收屏上的P 点；SP = l，S 与屏的距离为
，与x 轴的距离为a。
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达
接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】A
【命题意图】本题考查带电粒子在磁场和复合场中的运动及其相关知识点。
【解题思路】设带电粒子电荷量q，质量为m，从O 点沿x 轴正方向射入磁场，画出运动轨迹，由图中几
何关系可知偏转角θ 为60°，由cosθ=
解得r=2a。由洛伦兹力提供向心力，得qvB=m
，在磁场区
域加上电场，入射粒子沿x 轴到达接受屏，qE=qvB，联立解得
=
，A 正确。
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【思路点拨】解答带电粒子在匀强磁场中运动问题，正确画出带电粒子运动轨迹是关键。
2. （2023 高考全国甲卷）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P 点开有一个小孔，过P
的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P 点沿PO 方向射入，然后与筒壁发生碰撞。假设
粒子每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变，
方向相反；电荷量不变，重力不计。下列说法正确的是
A. 粒子运动轨迹可能通过圆心，
B. 最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D. 每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
【参考答案】BD
【命题意图】本题考查带电粒子在圆形区域匀强磁场中运动、洛伦兹力、牛顿运动定律及其相关知识
点。
【解题思路】粒子沿PO 射入，由于受到洛伦兹力作用，粒子运动轨迹不可能通过圆心，A 错误；画出粒
子运动轨迹，如图，可知粒子最少经2 次碰撞，可能从小孔射出，B 正确；射入小孔时速度越大，粒子做
圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少， C 错误；由题述和对称性可知，
每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线，D 正确。
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3. （2023 高考湖南卷） 如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直
向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁
场方向垂直纸面向外。图中A、C、O 三点在同一直线上，AO 与GF 垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A
点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC 运动的粒子才能进入区域
Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF
的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ
中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A. 若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0
B. 若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0
C. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
D. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
【参考答案】D
【名师解析】根据题述，粒子从CF 的中点射出，由左手定则可知，粒子带正电。若区域Ⅰ中电场强度大
小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，沿直线AC 运动的粒子进入区域Ⅱ，其速
度v=E/B1，设CF=L，粒子从CF 的中点射出，在区域II 的磁场中运动轨迹半径为r0=
，所对的圆心角
为90°，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0=T/4。若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，沿直线AC 运动
的粒子进入区域Ⅱ，其速度v=E/2B1, 在区域II 的磁场中运动轨迹所对的圆心角为90°，它们在区域Ⅱ中
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
运动的时间为t1=T/4，A 错误；若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，沿直线AC 运动的粒子进入区域Ⅱ，
其速度v=2E/B1, 在区域II 的磁场中运动轨迹所对的圆心角为90°，它们在区域Ⅱ中运动的时间为
t2=T/4，B 错误；若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，由qv
=m
，解得r=
=
r0=
=
，大于
，带电粒子将从GF 射出，由sinθ=
=
，粒子运动轨迹所对
的圆心角θ=π/3 则
，C 错误；
若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，由qv
=m
，解得r=
=
r0=
=L，大于
，带电粒子将从GF 射出，由sinθ=
=
，粒子运动轨迹所对的圆心角θ=π/4
，则
，D 正确。
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4. （2023 高考海南卷）如图所示，质量为
，带电量为
的点电荷，从原点以初速度
射入第一象限
内的电磁场区域，在
（
为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在
区
域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（
值有多种可能），可让粒子从
射入磁场后偏转打
到接收器
上，则（ ）
A 粒子从
中点射入磁场，电场强度满足
B. 粒子从
中点射入磁场时速度为
C. 粒子在磁场中做圆周运动的圆心到
的距离为
D. 粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【参考答案】AD
【名师解析】
若粒子打到PN 中点，则
，
解得
，选项A 正确；
粒子从PN 中点射出时，则
速度
选项B 错误；
C．粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，则
粒子从电场中射出时的速度
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则
则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN 的距离为
解得
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
选项C 错误；
D．当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N 点进入磁场，此时竖直
最大速度
出离电场的最大速度
则由
可得最大半径
选项D 正确；
5． （2023 高考湖北卷） 如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。t
= 0 时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入，第一次到达点O 时与运动到该点的带正电
粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3 倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子
乙刚好运动了两个圆周。己知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正碰，
碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）
时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到
的过程中粒子乙运动的路程。
（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【参考答案】（1）
；（2）
，
；（3）甲（－6a，0），乙（0，0），67πa
【名师解析】
（1）由题知，粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入到达点O，则说明粒子甲的半径
r = a
根据
解得
（2）由题知，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周，则
T 甲 = 2T 乙
根据
，有
则
粒子甲、乙碰撞过程，取竖直向下为正有
mv 甲0＋m 乙v 乙0= －mv 甲1＋m 乙v 乙1
解得
v 乙0= －5v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则第一次碰撞后粒子乙的速度大小为
。
（3）已知在
时，甲、乙粒子发生第一次碰撞且碰撞后有
v 甲1= －3v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则根据
，可知此时乙粒子的运动半径为
可知在
时，甲、乙粒子发生第二次碰撞，且甲、乙粒子发生第一次碰撞到第二次碰撞过程中乙
粒子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S1= 6πa
且在第二次碰撞时有
mv 甲1＋m 乙v 乙1= mv 甲2＋m 乙v 乙2
解得
v 甲2= v 甲0，v 乙2= －5v 甲0
可知在
时，甲、乙粒子发生第三次碰撞，且甲、乙粒子发生第二次碰撞到第三次碰撞过程中乙
粒子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S2= 10πa
且在第三次碰撞时有
mv 甲2＋m 乙v 乙2= mv 甲3＋m 乙v 乙3
解得
v 甲3= －3v 甲0，v 乙3= 3v 甲0
依次类推
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在
时，甲、乙粒子发生第九次碰撞，且甲、乙粒子发生第八次碰撞到第九次碰撞过程中乙粒子
运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S8= 10πa
且在第九次碰撞时有
mv 甲8＋m 乙v 乙8= mv 甲9＋m 乙v 乙9
解得
v 甲9=－3v 甲0，v 乙9= 3v 甲0
在
到
过程中，甲粒子刚好运动半周，且甲粒子的运动半径为
r 甲1 = 3a
则
时甲粒子运动到P 点即（－6a，0）处。
在
到
过程中，乙粒子刚好运动一周，则
时乙粒子回到坐标原点，且此过程
中乙粒子走过的路程为
S0 = 3πa
故整个过程中乙粒子走过总路程为
S = 4 × 6πa＋4 × 10πa＋3πa = 67πa
6. （2023 高考山东高中学业水平等级考试）如图所示，在
，
的区域中，存在沿y
轴正方向、场强大小为E 的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，
电量为q 的带正电粒子从OP 中点A 进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，求磁场的磁
感应强度B 的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A 点沿y 轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P 点
第二次进入电场，在电场的作用下从Q 点离开。
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（i）求改变后电场强度
的大小和粒子的初速度
；
（ii）通过计算判断粒子能否从P 点第三次进入电场。
【参考答案】（1）
；（2）（i）
，
；（ii）不会
【名师解析】
（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，轨迹如图
根据几何关系可知
联立可得
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
解得
由sinθ=
=0.8，解得
，
洛伦兹力提供向心力
带电粒子从A 点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x 方向有，
沿y 方向上有，
其中根据牛顿第二定律有
联立以上各式解得
，
，
（ii）粒子从P 到Q 根据动能定理有
可得从Q 射出时的速度为
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
此时粒子在磁场中的半径
根据其几何关系可知对应的圆心坐标为
，
而圆心与P 的距离为
故不会再从P 点进入电场。
7. （2023 高考选择性考试辽宁卷）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的
倍。金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀
强磁场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点
飞出电场，并沿PO 方向从图中O'点射入磁场。己知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画
出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的侧形磁场区域的圆心M。
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【参考答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【名师解析】
（1）设板间距离为
，则板长为
，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为
根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度
解得
设粒子在平板间的运动时间为
，根据类平抛运动的运动规律得
，
联立解得
（2）设粒子出电场时与水平方向夹角为
，则有
故
则出电场时粒子的速度为
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需
的向心力得
解得
已知圆形磁场区域半径为
，故
粒子沿
方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入
磁场时运动方向的夹角为
，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为
，由几何关系可得
故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为
或
；
（3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为
，根据几何关系可知，带电粒子在
该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最
长。则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M 的位置如图所示：
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
8. （2023 高考江苏学业水平选择性考试）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存
在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e 的电子
从O 点沿x 轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运
动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子
数N0的百分比。
【参考答案】（1）v0B；（2）
；（3）90%
【名师解析】
（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动则有
Ee = ev0B
解得
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
E = v0B
（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且
由于电子入射速度为
，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
解得
（3）若电子以v 入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
F 合 = evmB－eE
在最低点有
F 合 = eE－evB
联立有
要让电子达纵坐标
位置，即
y ≥ y2
解得
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数N0
的90%。
9．（11 分）（2023 年6 月浙江高考选考）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所
示，Oxy 平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在
磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域
Ⅱ的下边界与x 轴重合。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为
60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第四象
限的离子数与总离子数之比η。
【名师解析】（1）画出离子恰不进入区域II 的轨迹，由轨迹图中几何关系得
sin30°=
，
解得r1=2L。
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由洛伦兹力提供向心力，qv1B1=m
，
解得v1=
运动轨迹所对圆心角为θ=2π/3
离子在区域II 中运动时间t=
=
（2）解法一：常规法
画出离子恰好运动到y=L/2 处的运动轨迹，如图。
速度为v2的离子在区域I，由洛伦兹力提供向心力，qv2B1=m
，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得r2=
速度为v2的离子在区域II，由洛伦兹力提供向心力，qv2B2=m
，
解得r2’=
=
= r2/2
在区域II，离子运动轨迹恰好与y=L/2 水平线相切，r2’- r2’cosα=L/2，即r2- r2cosα=L，
解得：cosα=
在区域I，r2cosα-r2cos60°=L，即r2·
-r2cos60°=L，
解得：r2=4L，
由
= r2/2=2L，解得v2=
解法二：等效法。
若B2=2B1，由r=mv/qB
可知离子在区域I 运动轨迹半径为r2=r’1/2，
可以等效为B2=B1时离子恰好运动到y=0 处。
由图中几何关系可得：sin30°=
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得r1’=4L。
离子在区域I 磁场中运动，qv2B1=m
，
解得v
2=
解法三。动量定理+微元法
画出离子恰好运动到y=L/2 处的运动轨迹，如图。我们可以通过微元法，利用动量定理解答。
对离子进入磁场到恰好运动到y=L/2 处的过程，沿y 轴方向的微元时间△t，运用动量定理，
-qB1vy1△t-qB2vy2△t =m△v
方程两侧求和，-qB1Σvy1△t-qB2Σvy2△t=mΣ△v
注意到Σvy1△t=L，Σvy2△t=0.5L，Σ△v=-v2sin30°
可得 -2qB1L=0.5m v2
解得：v2=
（3）解法一：等效法
画出B2=
图像，如图。
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
区域II 中磁场可等效为匀强磁场B1/2 的匀强磁场，若把区域II 中磁场等效为匀强磁场B1，则
磁场宽度则为L/2。画出恰好能够进入第四象限的离子运动轨迹，如图。
由轨迹图中几何关系得
sin30°=
，
解得r3=3L。
由洛伦兹力提供向心力，qv3B1=m
，
解得v3=
即速度大于v3=
的离子都能够进入第四象限，
进入第四象限的离子数与总离子数之比为
η=
×100%=60%
解法二：动量定理+微元法
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
画出B2=
图像，如图。
区域II 中磁场可等效为匀强磁场B1/2 的匀强磁场，
对离子进入磁场到恰好运动到x 轴的过程，沿y 轴方向的微元时间△t，运用动量定理，-
qB1vy1△t-qB2vy2△t =m△v
方程两侧求和，-qB1Σvy1△t-qB2Σvy2△t=mΣ△v
注意到Σvy1△t=L，
ΣB2vy2△t=Σ
vy2△t =
Σvy2△t =
L，
Σ△v=-v2sin30°
可得
qB1L=
m v2
解得：v3=
即速度大于v3=
的离子都能够进入第四象限，
进入第四象限的离子数与总离子数之比为
η=
×100%=60%
10．（2023 高考北京卷）（10 分）某种负离子空气净化原理如图所示．由空气和带负电的灰尘颗粒物（视
为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器．在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
速度
保持不变．在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d．
不考虑重力影响和颗粒间相互作用．
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小为
，其中r 为颗粒的
半径，k 为常量．假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度．
a．半径为R、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
b．已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为
和
的两种颗粒，若
的颗粒恰好100%被收集，求
的颗粒被收集的百分比．
【名师解析】：（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集。
L=v0t，d=
, qE=ma, E=U1/d
联立解得：U1=
,
（2）a。可把颗粒的运动分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向运动
颗粒在水平方向，L=v0t，
颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f=kRvmax，f=qU2/d
在竖直方向颗粒匀速下落， d=vmaxt
联立解得：U2=
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
b. q∞r2，10μm 带电荷量q 的颗粒恰好100%收集，
颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f=kRvmax，f=qU2/d
在竖直方向颗粒匀速下落， d=vmaxt
2.5μm 的颗粒带电荷量为q’=q/16，
颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f’=k
Rv’max，f’=q’U2/d
设只有距离下极板为d’的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落， d’=v’maxt
联立解得：d’=d/4
2.5μm 的颗粒被收集的百分比为
×100%=25%。
12. ．（2023 高考北京卷）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一
内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直．管道横截面半径为a，长度为l（
）．带电粒子束持续以某一速度v 沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，
与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为
，不
计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为
D．粒子束对管道的平均作用力大小为
【参考答案】C
【名师解析】根据题述，带电粒子束持续以某一速度v 沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
弧垂直打到管壁上，可知粒子在磁场中运动的圆弧半径为r=a，A 正确；由洛伦兹力提供向心力，qvB=m
，可得m=
，B 正确；由于带电粒子在管道内做匀速曲线运动，其定向移动的速度小于v，所以管
道内的等效电流小于
，C 不正确；设△t 时间与管道壁碰撞的带电粒子数为N，同一时间与管道壁
碰撞的带电粒子数为N’=l/2a，对带电粒子与管道壁碰撞，由动量定理，F△t=NN’m·2v，N=n△t， m=
，联立解得F=
，D 正确。
14. （2023 高考福建卷）阿斯顿（F．Aston）借助自己发明的质谱仪发现了氖等元素的同位素而获得诺贝
尔奖，质谱仪分析同位素简化的工作原理如图所示。在
上方存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应
强度大小为B。两个氖离子在O 处以相同速度v 垂直磁场边界入射，在磁场中发生偏转，分别落在M 和N
处。已知某次实验中，
，落在M 处氖离子比荷（电荷量和质量之比）为
；P、O、M、N、P 在同一直线上；离子重力不计。
（1）求OM 的长度；
（2）若ON 的长度是OM 的1.1 倍，求落在N 处氖离子的比荷。
【参考答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）粒子进入磁场，洛伦兹力提供圆周运动的向心力则有
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
整理得
OM 的长度为
（2）若ON 的长度是OM 的1.1 倍，则ON 运动轨迹半径为OM 运动轨迹半径1.1 倍，根据洛伦兹力提供向
心力得
整理得
第三部分 思路归纳，内化方法
1. 求解带电粒子在电场中的直线运动的技巧
要注意分析带电粒子是做匀速运动还是匀变速运动，匀速运动问题常以平衡条件F 合＝0 作为突破口进
行求解，匀变速运动根据力和运动的关系可知，合力一定和速度在一条直线上，然后运用动力学观点或能
量观点求解。
(1)运用动力学观点时，先分析带电粒子的受力情况，根据F 合＝ma 得出加速度，再根据运动学方程可
得出所求物理量。
(2)运用能量观点时，在匀强电场中，若不计重力，电场力对带电粒子做的功等于粒子动能的变化量；
若考虑重力，则合力对带电粒子做的功等于粒子动能的变化量。
2. 带电粒子在电场中的偏转运动做好两个方向的分析
在垂直电场方向上做匀速直线运动，在这个方向上找出平行板的板长和运动时间等相关物理量；沿电
场力方向做匀加速直线运动，在这个方向上找出偏转加速度、偏转位移、偏转速度等相关物理量。在垂直
电场方向上有t＝，沿电场力方向上有y＝at2或vy＝at，a＝，联立方程可求解。
3. 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
（1）带电粒子在磁场中运动时的三个几何关系
（2）带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(i)关注常见关键词，如：
“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等临界状态词。
(ii)两种处理方法
①利用“矢量图”“边界条件”等求临界值。
②利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。
（iii）常见的几种临界半径的求解方法
r＋rcos θ＝d
得r＝
当θ＝90°时r＝d
r＋rsin θ＝d
得r＝
当θ＝90°时r＝d
r＋＝d
得r＝d
r1＝d
L2＋(r2－d)2＝r2
2
得r2＝
4 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
（1）．产生多解现象的4 种因素
原因
特点
图例
带电粒子电性不
确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也
可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负
粒子在磁场中的运动轨迹不同，因而形成多解
磁场方向不确定
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具
体指出磁感应强度的方向，此时必须考虑由磁
感应强度方向不确定而形成的多解
临界状态不唯一
如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有
界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因
此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从
入射界面反向飞出，于是形成了多解
运动的往复性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运
动时，往往具有往复性，因而形成多解
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）．解决多解问题的一般思路
5. 带电粒子在组合场中运动问题的处理原则及方法
处理原则：分解过程，依次分析，场场关联，求解速度。
处理方法：
(1)按照进入不同的场的时间顺序分成几个不同的阶段。
(2)分析带电粒子在各场中的受力情况和运动情况。若粒子进入电场区域，则其运动为加速(减速)以及
偏转两大类运动，而进入磁场区域时，粒子通常做匀速圆周运动。
(3)画出带电粒子的运动轨迹，注意运用几何知识，找出相应几何关系与物理关系。
(4)选择物理规律列方程。对于加速(减速)运动，一般根据动能定理或牛顿第二定律分析；对于类平抛
运动，一般分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动；对于粒子在磁场
中做匀速圆周运动的情况，应注意洛伦兹力提供向心力这一特点。
(5)注意确定粒子在组合场交界处的速度大小与方向，该速度往往是联系两段运动的“桥梁”。
6. 解答带电粒子在叠加场中的运动问题基本思路
7. 把握好带电粒子在交变场中运动的周期性
（1）．引起带电粒子运动的周期性的原因，主要有两个方面：
(i)带电粒子运动空间的周期性。带电粒子通过周期性的圆周运动或往返式运动，可以在不同时刻通过
同一位置而带来周期性。
(ii)带电粒子运动时间的周期性。此时的电磁场一般为周期性变化的交变电场或交变磁场，在交变电磁
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
场中时间的周期性导致带电粒子的运动具有周期性。
（2）．根据带电粒子运动的周期性作出其运动轨迹，然后找出运动空间或运动时间的周期性，并列
出相应的通式，对于有特解的情况，可以由通式得出对应的最大值或最小值。
第四部分 最新模拟集萃，提升应试能力
1. . (2024 福建莆田重点高中12 月质检)如图甲所示，离子源持续逸出带电量为
、质量为m 的离子，其
初速度视为0，离子经过加速电场后，以速度
沿两平行极板PQ 的中线飞入交变电场。已知极板P、Q 水
平放置，间距为d，长度为L，极板上所加的交变电压如图乙所示，变化周期
，所有离子均能从PQ
极板右侧射出，不计离子重力及离子间相互作用，求：
（1）加速电场的电压大小
；
（2）PQ 极板间所加电压U 的最大值
。
【参考答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）离子经过加速电场后有
解得
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）离子在平行极板PQ 间运动时，水平方向为匀速直线运动
解得
即离子在平行极板PQ 间运动的时间恰为电场变化的一个周期，则
（n=0，1，2，3……）
时刻进入电场的离子恰从极板边缘离开时，电压最大，根据牛顿第二定律可得
解得
2. (2024 重庆名校1 月质检)某个粒子分析装置的简化示意图如图所示，一圆心为
、半径为
的半圆和
一圆心为
、半径为
的圆相切于A 点，直径
下方的半圆圆外区域存在垂直纸面向里的匀强磁场
，
半径为
的圆内区域存在垂直纸面向外的匀强磁场
（未知），上方电容器的平行金属板
和
正对放
置，板长为
，两板间距为
，金属板下边缘连线与圆形磁场最高点
在同一水平线上，
点距左金属
板
，上边缘连线紧挨着一水平放置的感光板
。一群电量为
、质量为
的粒子，可在
左侧长度
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
为
的水平线状粒子发射装置
上以相同速度
竖直向下射出，控制出发的时间，使得所有粒子同时
到达A 点，其中
点出发的粒子经过A 点后恰好能运动至
点，粒子进入电容器若打到金属板上会被吸收，
不考虑电容器的边缘效应，不计粒子重力及粒子之间相互作用力。（计算过程中取
）
（1）求匀强磁场的磁感应强度
的大小；
（2）若要
点出发的粒子能打到感光板
上，求电容器的
板电势差范围
；
（3）控制电容器的电压，使得所有粒子都能打到感光板
上让感光板上发光，求感光板发光持续的时间。
【参考答案】（1）
；（2）
；
（3）
【名师解析】
（1）从
上以相同速度
竖直向下射出的相同带电粒子，根据几何知识可知，只有在匀强磁场
内做
圆周运动的半径为2R 时，才能都到达A 点，带电粒子轨迹如下图
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
解得
（2）
点出发的粒子经过A 点后恰好能运动至
点，根据几何关系可得
故
即
点出发的粒子经过A 点后恰好能运动至
点，在磁场
中的偏转角度为
，而
点出发的粒子经
过A 点时速度与水平方向为
，故在
点速度与水平方向的夹角为
，即
带电粒子在电容器的
板间做类斜抛运动，竖直方向做匀速直线运动，水平方向做匀变速直线运动，且
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
若带电粒子能到达感光板
，则运动时间为
若带电粒子恰能到达感光板
的最左侧，此时电容器的
板为高电势，则
解得
若带电粒子恰能到达感光板
的最右侧，此时电容器的
板为低电势，取水平向右为正方向，设此时加
速度大小为a，则
解得
故电场强度大小为
故此时
故电容器的
板电势差范围为
（3）对于由
点出发的粒子，根据几何知识可得
根据几何知识可得
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得
根据洛伦兹力提供向心了可得
带电粒子在磁场B2中周期为
带电粒子在磁场B2中的运动时间为
带电粒子从A 点出发到达感光板的时间为
对于由
点出发的粒子，运动轨迹如下图
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
带电粒子从A 点出发后，设在磁场B1内的偏转角为
，由几何知识可得
由题意可知
故
故带电粒子在磁场B2中的运动时间为
带电粒子射出磁场B2时速度的竖直分速度为
带电粒子射出磁场B2到运动到达感光板竖直方向的位移大小为
由于带电粒子射出磁场B2到运动到达感光板竖直方向都做匀速直线运动，故该过程时间为
故带电粒子从A 点出发到达感光板的时间为
故感光板发光持续的时间为t=t6-t3=
3. （2024 江西红色十校9 月联考） 如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、二象限内有垂直于坐标平
面向外的匀强磁场，在第三、四象限内有平行于坐标平面斜向下的匀强电场，电场方向与x 轴负方向的夹
角为45°，从坐标原点O 向第二象限内射出一个质量为m、电荷量为－q 的带电粒子，粒子射出的初速度大
小为v0，方向与x 轴负方向的夹角也为45°，此粒子从O 点射出后第三次经过x 轴的位置P 点离O 点的距
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
离为d，粒子第二次在电场中运动后恰好从O 点离开电场，不计粒子重力，求：
（1）磁感应强度B 的大小；
（2）电场强度E 的大小；
（3）粒子从O 点射出到第一次回到O 点所经历的时间。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）设粒子在第一次在磁场中做圆周运动的半径为r，带负电粒子运动轨迹如图所示
由几何关系
即
由牛顿第二定律可得
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可得
（2）粒子第二次进入电场做类平抛运动，则
qE=ma
解得
（3）粒子在磁场中运动的时间
粒子第一次在电场中运动的时间
其中
则
则粒子从O 点射出到第一次回到O 点所经历
时间
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4. （2024 辽宁十校联合体）回旋加速器在科学研究中得到了广泛应用，其原理如图所示。
和
是两个
中空的半圆形金属盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，他们接在电压为U、频率为f 的高频交流电源上。
已知匀强磁场的磁感应强度为B，D 形盒的半径为r。若位于
圆心处的粒子源A 处能不断产生带电量为
q、速率为零的粒子经过电场加速后进入磁场，当粒子被加速到最大动能后，再将他们引出。忽略粒子在
电场中运动的时间，忽略相对论效应，下列说法正确的是（ ）
A. 粒子第n 次被加速前后的轨道半径之比为
B. 从D 形盒出口引出时的速度为
C. 粒子在D 形盒中加速的次数为
D. 当磁感应强度变为原来的2 倍，同时改变交流电频率，该粒子从D 形盒出口引出时的动能为
【参考答案】D
【名师解析】
根据洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，则有半径公式
与
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可得
所以粒子第n 次被加速前、后的轨道半径之比为
，选项A 错误；
B．从D 形盒出口引出时根据
可得
其中
解得速度为
选项B 错误；
C．粒子在D 形盒中加速的次数为
选项C 错误；
D．粒子从D 形盒出口引出时的动能为
当磁感应强度变为原来的2 倍，因
则f 变为原来的2 倍，则此时
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
选项D 正确。
。
5. （2024 南京六校联合体调研） 如图所示，在x 轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场。在x 轴下方有沿y
轴正方向的匀强电场。一个质量为m、电荷量为＋q、初速度为v 的带电粒子从a（0，d）点处沿y 轴正方
向开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x 轴正方向成45°角进入电场，经过y 轴上b 点时速度方向恰好
与y 轴垂直，带电粒子重力不计。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）粒子从a 点开始到第三次经过x 轴的时间。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）粒子运动轨迹如图
以后重复
过程，粒子
磁场中做圆周运动有
由图可得
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
rcos45° = d
联立可得
（2）粒子在x 轴下方运动到b 点过程中，水平方向
r＋rsin45° = vcos45°∙t2
竖直方向
联立可得
（3）粒子在磁场中运动到x1，即第一次到达x 轴所用时间
从x1到x2，根据对称性可知
在x2处，粒子以速度v 与x 轴正方向成45°进入磁场，从x2到x3
所以粒子第三次到达x 轴所用时间为
6. （2024 黑龙江大庆第一次质检）如图所示，一对长平行栅极板（有缝的平行板）水平放置，极板外存
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为
的匀强磁场，两极板与电压为
的电源相连。一带正电粒子
从正极板上
点处以大小为
的速度垂直极板向上射出，粒子的质量为
、电荷量为。粒子经电场一次
加速后从
点进入上方磁场，然后第一次从负极板上的
点返回电场。一足够长的不带电绝缘挡板
与正极板成
倾斜放置。忽略栅极板的电场边缘效应及粒子所受的重力。
（1）求粒子进入上方磁场时的速度大小
；
（2）求
、
两点间的距离
；
（3）若改变两极板间的电压（保持下极板接电源正极），其他条件不变，使粒子不能打在挡板
上，
求电压应满足的条件。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）粒子经电场加速，对此过程由动能定理有
解
（2）设粒子在极板上方磁场中运动的半径为
，由洛伦效力提供向心力有
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得
（3）粒子的运动轨迹如图所示
粒子两次经过极板间电场后，进入正极板下方的匀强磁场，粒子不能打在挡板上，临界条件是粒子做匀速
圆周运动的轨迹与挡板相切，粒子两次经过极板间电场，电场力对粒子做的总功为零，则粒子进入下方磁
场的速度大小等于
，设粒子进入上方磁场的速度大小为
，对应的匀速圆周运动的半径为
，在下方磁
场中做匀速圆周运动的半径为
，由动能定理有
由洛伦兹力提供向心力，有
由几何关系有
可得
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得
故当
，其他条件不变，使粒子不能打在挡板
上。
7. (11 分)(2024 浙江名校联考)如图为某同学设计的带电粒子的聚焦和加速装置示意图。位于S 点的粒子源
可以沿纸面内与SO1(O1为圆形磁场的圆心)的夹角为θ (θ≤60° )的方向内均匀地发射速度为v0=10 m/s、电
荷量均为q= -2.0×10-4C、质量均为m=1.0×10-6kg 的粒子，粒子射入半径为R=0.1m 的圆形区域匀强磁场。
已知粒子源在单位时间发射N=2.0×105个粒子，圆形区域磁场方向垂直纸面向里，沿着SO1射入圆形区域
磁场的粒子恰好沿着水平方向射出磁场。粒子数控制系统是由竖直宽度为L、且L 在0≤L≤2 R 范围内大
小可调的粒子通道构成，通道竖直宽度L 的中点与O1始终等高。聚焦系统是由有界匀强电场和有界匀强磁
场构成，匀强电场的方向水平向右、场强E=0.625N/C,边界由x 轴、曲线OA 和直线GF (方程为: y=- x+0.4
(m) )构成，匀强磁场方向垂直纸面向里、磁感应强度B=0.25T,磁场的边界由x 轴、直线GF、y 轴构成，已
知所有经过聚焦系统的粒子均可以从F 点沿垂直x 轴的方向经过一段真空区域射入加速系统。加速系统是
由两个开有小孔的平行金属板构成，两小孔的连线过P 点,上下两板间电势差U=- 10kV，不计粒子的重力
和粒子间的相互作用力。求：
48
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)圆形磁场的磁感应强度B0;
(2)当L=R 时，求单位时间进入聚焦系统的粒子数N0;
(3)若进入加速系统内粒子的初速度均忽略不计，设从加速 系统射出的粒子在测试样品中运动所受的阻力f
与其速度v 关系为f =kv (k=0.2N·s·m-1) ,求粒子在样品中可达的深度d;
(4)曲线0A 的方程。
【名师解析】（1）由洛伦兹力提供向心力得 qvB0=m
解得 B0=0.5T
（2）临界1：粒子恰好从控制系统上边界进入，粒子在S 点入射速度与SO1的夹角为θ1,
sinθ1=0.5 解得 θ1=30°
临界2：粒子恰好从控制系统下边界进入，粒子在S 点入射速度与SO1的夹角为θ2,
sinθ2=0.5 解得 θ2=30°
能进入控制系统的粒子数 N0=
N=105个粒子
（3）对粒子在加速系统运用动能定理：qU=
解得 v=2000m/s
49
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对粒子进入样品得过程运用动量定理 -Σkv△t=0-mv
解得 d=Σv△t=mv/k=0.01m
（4）设粒子从曲线OA 的（x、y）点进入电场，则粒子从直线GF 的（0.4-y，y）点射出电场，
qE（0.4-y-x）=
-
。
│q│v1B=m
得10y2-y-x=0
8．（2023 福建晋江部分重点高中联考）如图所示，在一边长为l 的等边三角形OPQ 内存在方向垂直纸面
向外的匀强磁场。现以O 点为坐标原点，OP 方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，在第一象限内加
一方向竖直向上的匀强电场，在y 轴的左侧有一加速电场，A、C 两极板之间的加速电压为U，在C 板的中
间有一小孔。现将一带电荷量为
、质量为m 的带负电的微粒在A 板中间由静止释放，带电微粒从C 板
的小孔处飞出，接着从y 轴上的M 点垂直y 轴进入电场，随后从OP 的中点N 进入磁场，且速度方向与OQ
边平行。经过一段时间，带电微粒恰好从Р 点离开磁场，不计微粒重力。
（1）求第一象限内的匀强电场的电场强度E 的大小；
（2）求三角形OPQ 区域内匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（3）若将磁场方向改为垂直纸面向里，磁感强度的大小为某适当值时，带电微粒恰好不从OQ 边离开磁场，
回到第一象限，则微粒从M 点运动到第一次离开磁场所用的总时间。
【参考答案】．（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】：（1）在加速电场中由动能定理得
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在第一象限运动的过程中有
解得
（2）
由几何关系可得
微粒在磁场中由洛伦兹力提供向心力得
解得
（3）
由几何关系可得
51
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
微粒在磁场中由洛伦兹力提供向心力得
微粒在磁场中运动的周期为
微粒在磁场中运动的时间为
微粒从M 点运动到第一次离开磁场所用的总时间为
解得
9．（12 分）(2024 广东七校第一次联考)某质谱仪部分结构的原理图如图所示。在空间直角坐标系Oxyz 的
y>0 区域有沿-z 方向的匀强电场，电场强度大小为E，在y<0 区域有沿-z 方向的匀强磁场，在x=-2d 处有一
足够大的屏，俯视图如图乙。质量为m、电荷量为q 的粒子从y 轴上P（0，-d，0）以初速度v0沿+y 方向
射出，粒子第一次经过x 轴时速度方向与-x 方向的夹角θ=60°。不计粒子的重力，粒子打到屏上立即被吸
收。求：
（1）粒子的电性；
（2）磁感应强度大小B；
（3）粒子打到屏上位置的z 轴坐标z1。
【参考答案】．（1）正电；（2）
；（3）
52
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【名师解析】：（1）粒子在磁场中的运动轨迹如图
由左手定则知粒子带正电；
（2）设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力
解得
（3）设粒子经过x 轴时的坐标为-x1，则
粒子在y>0 区域电场中做类平抛运动，在xOy 平面内沿v0方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛
运动的时间为t1，则
粒子运动的加速度
在z 轴负方向运动的距离
解得
，
所以打到屏上位置的z 轴坐标
53
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
10. （2023 山东济南三模）如图所示为内径为R 的中空圆柱形管，OO′为管的中轴线，管内分布着沿中轴
线OO′方向的匀强电场，电场强度大小为E。带电粒子与管内壁发生碰撞时会被反弹（碰撞时间极短），
反弹前后沿管壁切向分速度不变，垂直管壁方向分速度大小不变、方向相反。一质量为m、电荷量为q 的
带正电粒子以垂直于中轴线OO′方向的速度v0从O 点射出，不计粒子的重力，求：
（1）带电粒子从O 点出发与管壁发生碰撞后第一次经过中轴线OO′（带电粒子仍在圆柱形管内）时的速
度大小；
（2）若带电粒子恰好能从O′点离开圆柱形管，求圆柱形管管长的可能值；
（3）若粒子第一次经过中轴线OO′时撤去电场，并立即换成与电场方向相同的匀强磁场，磁感应强度大小
为
，求带电粒子第二次经过中轴线时（带电粒子仍在圆柱形管内）的位置与O 点之间的距离；
（4）若粒子第一次经过中轴线OO′时撤去电场，并立即换成与电场方向相同的匀强磁场，粒子与管壁发生
n 次（3≤n≤6）碰撞后恰好从O′点射出圆柱形管，射出圆柱形管时带电粒子的速度与刚撤去电场时速度的
大小和方向均相同，求磁感应强度的可能值以及对应的管长值。（结果中要求含有n）
【参考答案】（1）
；（2）
（
，
，
）；
（3）
；（4）见解析
【名师解析】
（1）设沿轴线方向为
轴方向，带电粒子从O 点出发与管壁发生碰撞后第一次经过中轴线OO′过程，在垂
直于轴线方向
54
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在沿轴线方向
，
则有
联立解得
（2）假设粒子与圆筒碰撞
次，在垂直于轴线方向
在沿轴线方向
联立解得
（
，
，
）
（3）在电场加速过程中，粒子沿轴线前进距离
在磁场偏转过程中
解得
如图所示，粒子碰撞一次后再次回到轴心
55
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
根据几何关系可得转过的圆心角
再次回到轴心的时间
粒子沿轴线前进距离
带电粒子第二次经过中轴线时（带电粒子仍在圆柱管内）与O 点的距离
（4）如图所示
若粒子能再次回到
点且速度不变，则应满足
且
，
为碰撞次数；由几何关系可得
56
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
①当
时
，
联立方程可得
解得
（
，
，
，
）
，
管长
解得
（
，
，
，
）
②当
时
，
联立方程可得
57
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得
（
，
）
（分别为
，
与
时相同）
，
管长
解得
（
，
）
（分别为
，
）
各种情景运动图像如下
58
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
59
