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专题14 直线和圆
【考点1 直线的倾斜角与斜率范围】
【考点2 求解直线方程】
【考点3 由一般式方程确定两直线位置关系】
【考点4 两条直线的交点与距离问题】
【考点5 对称问题的求解方法】
【考点6 求圆的方程的两种方法】
【考点7 求与圆有关的轨迹问题的方法】
【考点8 解决有关弦长问题的常用方法及结论】
【考点9 求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法】
【考点10 圆与圆的位置关系问题】
【考点11 两圆的公共弦问题】
【考点12 两圆的公切线问题】
知识点1 直线的方程
1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直
线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．
（2）范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．
2、直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝
tanα，倾斜角是的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．
3、直线方程的五种形式
形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0，y0)，斜率k
y－y0＝k(x－x0)
与x 轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b，斜率k
y＝kx＋b
与x 轴不垂直的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
与x 轴、y 轴均不垂直的
1
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直线
截距式
横截距a，纵截距b
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原
点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
（A2＋B2≠0）
平面直角坐标系内所有直
线
【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非
负数．
知识点2 两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝
k 2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1· k 2＝－
1 .
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0 时，l1⊥l2.
2. 直线过定点问题
（1）如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点
的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成．
（2）假如有一定点A 的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n 或者是x
＝m．
3.两条直线的交点坐标
1.两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，
则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
4.两点间距离公式
（1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
2
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（2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝.
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0 与Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝.
知识点3 圆的方程
1.圆的定义及方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：
半径：r＝
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内
3.二元二次方程与圆的关系
不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F 的符号，只有大于0
时才表示圆．
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆，则有：
（1）当F＝0 时，圆过原点．
（2）当D＝0，E≠0 时，圆心在y 轴上；当D≠0，E＝0 时，圆心在x 轴上．
（3）当D＝F＝0，E≠0 时，圆与x 轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0 时，圆与y 轴相切于原点．
（4）当D2＝E2＝4F 时，圆与两坐标轴相切．
4.轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为
关于变量
之间的方程．
1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的
定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或
称相关点法）．
2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3、求轨迹方程的步骤：
3
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（1）建立适当的直角坐标系，用
表示轨迹（曲线）上任一点
的坐标；
（2）列出关于
的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
知识点4：直线与圆的位置关系及判断
（1）三种位置关系：相交、相切、相离．
（2）两种判断方法：
①――――――――――――――――→
②――――――――――――→
知识点5：圆的切线与切线长
（1）过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
（2）过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜
率k，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
（3）切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，
切线长为 .
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2 倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b
的积，即b＝.
【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
知识点6：圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
（1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.
（2）代数法：若直线y＝kx＋b 与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
知识点7：圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
4
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相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
| r 1－
r 2| ＜
d ＜
r1＋
r 2
d＝|r1－r2|
d ＜
| r 1－
r 2|
【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
（2）两圆公切线的条数
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
公切线条数
4 条
3 条
2 条
1 条
无公切线
【考点1 直线的倾斜角与斜率范围】
【典例1】已知直线l过点A (1,2)，B (3,4)，则直线l的倾斜角为（ ）
A．−π
6
B．−π
3
C．π
4
D．π
3
【变式1-1】动点P 在函数y =−√x( x +1)的图象上，以P 为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．[0,π
4 ]
B．[0,π
4 ]∪[
3π
4 ,π)
C．(
π
2 ,2π
3 ]
D．[
3π
4 ,π)
【变式1-2】已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取
值范围是（ ）
A．[－2，0) (0
∪
，1
2
]
B．(－∞，－1
2
] [2
∪
，＋∞)
C．[－2，1
2
]
D．(－∞，－2] [
∪1
2
，＋∞)
【考点2 求解直线方程】
5
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【典例2】已知直线l与直线x−y =0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（ ）．
A．x−y +2=0
B．x−2 y + 4 =0
C．x−y −2=0
D．x +2 y −4 =0
【变式2-1】已知斜率为k(k >0)的直线l与椭圆C : x
2
16 + y
2
2 =1交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，
OB为邻边作平行四边形OAPB，点P恰好在C上．若线段AB的中点M在直线x =−1上，则直线l的方
程为（ ）
A．x−√6 y +2=0B．x−2√6 y + 4 =0
C．√6 x−2 y +1=0
D．x−4√6 y +5=0
【变式2-2】过直线x + y +1=0和3 x−y −3=0的交点，倾斜角为45°的直线方程为 .
【变式2-3】已知O为坐标原点，A (1,0)，B为圆M :(x−2)
2+ y
2=1
上一点且在第一象限，|AB|=1，
则直线OB的方程为 ．
【考点3 由一般式方程确定两直线位置关系】
【典例3】已知直线l1:ax−5 y −1=0,l2:3 x−(a+2) y + 4 =0，“a=3”是“l1
∥ l2
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】已知a>0，b>0，直线(a−1) x + y −1=0和x +2by +1=0垂直，则2
a + 1
b
的最小值为
（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
【变式3-2】已知直线l1:√3 x +3 y +1=0，若直线l2
与l1
垂直，则l2
的倾斜角是（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【变式3-3】已知直线Ax + By +C =0与直线y =2 x−3垂直，则（ ）
A．A =−2B≠0
B．A =2B≠0
C．B =−2 A ≠0
D．B =2 A ≠0
【考点4 两条直线的交点与距离问题】
【典例4】抛物线y = x❑
2的焦点到双曲线x
2
2 −y
2
4 =1的渐近线的距离为（ ）
6
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A．√3
12
B．√3
6
C．√6
12
D．√6
6
【变式4-1】若直线l1:ax +2 y −6=0与直线l2: x +(a−1) y −a−1=0平行，则直线l1
与l2
的距离为
.
【考点5 对称问题的求解方法】
【典例5】直线2 x +3 y −6=0关于点(−1,2)对称的直线方程是（ ）
A．3 x−2 y −10=0
B．3 x−2 y −23=0
C．2 x +3 y −4 =0
D．2 x +3 y −2=0
【变式5-1】直线y = x +1关于直线y =2 x对称的直线方程为（ ）
A．3 x−y −1=0 B．4 x−y −2=0
C．5 x−y −3=0
D．7 x−y −5=0
【变式5-2】直线x +2 y +3=0关于直线y =−x对称的直线方程是（ ）
A．x +2 y −3=0
B．2 x + y −3=0
C．x−2 y −3=0
D．2 x +3 y +3=0
【变式5-3】设直线l1: x−2 y −2=0与l2关于直线l:2 x−y −4 =0对称，则直线l2的方程是（ ）
A．11 x +2 y −22=0
B．11 x + y +22=0
C．5 x + y −11=0
D．10 x + y −22=0
【变式5-4】直线l:2 x +3 y +2=0关于点A (2,0)对称的直线方程为 ．
【变式5-5】已知直线l1: x−y +3=0，直线l: x−y −1=0，若直线l1关于直线l 的对称直线为l2，则直
线l2的方程为 ．
【考点6 求圆的方程】
【典例6】过点P(x0,0)引圆C：x
2+ y
2−4 x =0的两条切线，切点分别为A，B．若cos∠APB = 1
2
，
则过P，A，B三点的圆的方程为（ ）
A．
(x−3)
2+ y
2= 4
B．x
2+ y
2= 4
C．
(x −4)
2+ y
2= 4或x
2+ y
2= 4
D．x
2+( y −3)
2= 4或x
2+ y
2= 4
【变式6-1】经过A (1,1)，B (−1,1)，C (0,2)三个点的圆的方程为（ ）
7
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A．
(x +1)
2+( y −1)
2=2
B．
(x−1)
2+( y −1)
2=2
C．x
2+( y −1)
2=1
D．x
2+( y +1)
2=1
【变式6-2】过圆C1：x
2+ y
2+6 x−4 =0和圆C2：x
2+ y
2+6 y −28=0的交点，且圆心在直线
2 x + y + 4 =0上的圆的方程为（ ）
A．
(x +1)
2+( y +2)
2=25
B．
(x +1)
2+( y +2)
2=20
C．
(x −1)
2+( y +6)
2=25
D．
(x −1)
2+( y +6)
2=20
【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知A (1,2)，B (3,2)，C (3,0)，则△ABC的外接圆的标准方程为
．
【变式6-4】已知圆x
2+ y
2=16与直线y =−√3 x交于A，B 两点，则经过点A，B，C (8,0)的圆的方程
为 ．
【考点7 求与圆有关的轨迹问题的方法】
【典例7】已知过点(1,0)的动直线l 与圆C1: x
2+ y
2−4 x =0相交于不同的两点A，B．
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M 的轨迹C 的方程．
【变式7-1】在平面直角坐标系xOy中，点F 的坐标为(2,0)，以线段FP 为直径的圆与圆O: x
2+ y
2=3
相切，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A．x
2
4 −y
2
3 =1
B．x
2
3 −y
2=1
C．x
2
12 −y
2
9 =1
D．x
2
16 −y
3
3 =1
【变式7-2】已知PA是圆C : x
2+( y −1)
2=1的切线，点A为切点，若|PA|=2，则点P的轨迹方程是
（ ）
A．( x−1)
2+ y
2=5
B．x
2+( y −1)
2=5
C．y
2=2 x
D．x
2=2 y
8
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【变式7-3】已知圆N：x
2+ y
2−6 y +5=0，直线y =−1，圆M 与圆N 外切，且与直线y =−1相切，
则点M 的轨迹方程为 ．
【考点8 解决有关弦长问题的常用方法及结论】
【典例8】已知圆心为M (0,1)的⊙M与直线y = x−1相切，则直线x =−1被⊙M截得的弦长为
（ ）
A．2√2
B．1
C．√2
D．2
【变式8-1】圆O: x
2+ y
2=9被直线l: y =√3 x +2所截线段的长度为（ ）
A．2
B．4
C．2√2
D．4√2
【变式8-2】已知b 是a,c的等差中项，直线ax +by +c =0与圆x
2+ y
2+ 4 y −1=0交于A ,B两点，则
|AB|的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．2√5
【变式8-3】已知圆C : x
2+ y
2−2ax−2 y +1=0关于直线x−y −1=0对称，圆C与x轴交于A ,B两点，
则|AB|=
【考点9 求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法】
【典例9】已知圆C :(x −1)
2+( y −2)
2=9外一点P(−4,2)，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和
B，则直线AB的方程为 .
【变式9-1】圆O: x
2+ y
2=1，直线l:ax + y =3，若直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点是
A ,B，使得∠APB=60
∘，则实数a的取值范围是 ．
【变式9-2】过点(−2,0)与圆x
2+ y
2=1相切的两条直线的夹角为α，则cosα =（ ）
A．1
2
B．√2
2
C．√3
2
D．−1
2
【变式9-3】已知直线l：x−y −2=0与圆O：x
2+ y
2=1，过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA，
PB，切点分别为A，B，则∠APB的最大值为（ ）
A．3π
4
B．2π
3
C．π
2
D．π
6
9
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【考点10 圆与圆的位置关系问题】
【典例10】已知圆E:( x −2)
2+( y −4)
2=25，圆F :( x −2)
2+( y −2)
2=1，则这两圆的位置关系为
（ ）
A．内含
B．相切
C．相交
D．外离
【变式10-1】已知圆M : x
2+ y
2+2ay =0(a>0)的圆心到直线3 x +2 y =2的距离是√13
，则圆M与圆
N :(x−2)
2+( y +2)
2=1的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．内切
D．内含
【变式10-2】已知圆C1: x
2+ y
2=1和圆C2: x
2+ y
2−6 x−8 y +9=0，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点11 两圆的公共弦问题】
【典例11】已知圆C1: x
2+ y
2= 4，圆C2: x
2+ y
2−4 x −4 y + 4 =0，两圆的公共弦所在直线方程是
（ ）
A．x + y +2=0
B．x + y −2=0
C．x + y +1=0
D．x + y −1=0
【变式11-1】圆C1: x
2+ y
2+2 x−8 y −8=0与圆C2: x
2+ y
2+ 4 x−4 y −4 =0的公共弦长为（ ）
A．√55
5
B．2√55
5
C．3√55
5
D．4√55
5
【变式11-2】已知M是圆O: x
2+ y
2=a
2(a>0)上的动点，点N满足⃗MN =(a, λa)( λ>0)，记点N的轨
迹为C，若圆O与轨迹C的公共弦方程为2 x + y −5=0，则（ ）
A．a= 4 , λ =1
B．a=2, λ =1
C．a= 4 , λ = 1
2
D．a=2, λ = 1
2
【变式11-3】圆C1: x
2+ y
2−2 x =10与圆C2:( x +2)
2+( y −4)
2=16的公共弦长为 .
【考点12 两圆的公切线问题】
10
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【典例12】若直线x +my +1=0是⊙C1:( x −1)
2+( y +2)
2=r
2(r >0)与⊙C2:( x −2)
2+( y −2)
2= 4的
公切线，则实数r的值为（ ）
A．34
13
B．17
12
C．12
7
D．9
2
【变式12-1】圆C1:( x−3)
2+ y
2=9与圆C2: x
2+ y
2+8 y =0的公切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式12-2】已知圆C1: x
2+ y
2+ 4 x +3=0，圆C2: x
2+ y
2−8 x +12=0，下列直线中不能与圆C1
，C2
同时相切的是（ ）
A．√3 x +3 y =0
B．√3 x−3 y =0
C．x +√35 y +8=0
D．x−√35 y −8=0
【变式12-3】圆C1:( x −1)
2+ y
2=1与圆C2:( x −5)
2+( y −3)
2=36的公切线的方程为 ．
【变式12-4】圆C1: x
2+ y
2+ 4 x +6 y −23=0与圆C2:(x−2)
2+( y −1)
2= 4的公切线长为 .
一、单选题
1．过直线y = x上的点P 作圆C：
(x +3)
2+( y −5)
2= 4
的两条切线l1
，l2
，当直线l1
，l2
关于直线y = x对称时，
点P 的坐标为（ ）
A．(1,1)
B．(
3
5 , 3
5)
C．(
6
5 , 6
5)
D．(
3
2 , 3
2)
2．动点P 在函数y = ln(4−x)−ln x的图像上，以P 为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．[0,π
4 ]
B．[0,π
4 ]∪[
3π
4 ,π)
C．¿
D．[
3π
4 ,π)
3．双曲线x
2
4 −y
2
16 =1的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
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A．√5
B．4
C．4√5
5
D．2√3
4．过点E (a,−1)向圆M :(x −1)
2+( y −1)
2=2作两条切线，切点分别为A ,B，若∠AEB =π
3
，则（ ）
A．a=2或a=−1
B．a=−2或a=1
C．a=−3或a=1
D．a=3或a=−1
5．已知A (2,0)，P为圆C：x
2+ y
2=1上的动点，且动点Q满足：⃗OP =⃗OA +⃗CQ，记Q点的轨迹为E，则
（ ）
A．E为一条直线
B．E为椭圆
C．E为与圆C相交的圆
D．E为与圆C相切的圆
6．已知点P 在抛物线M：y
2= 4 x
上，过点P 作圆C：
(x−2)
2+ y
2=1的切线，若切线长为2√7，则点P 到
M 的准线的距离为（ ）
A．5
B．√29
C．6
D．√30
7．下列方程中表示圆心在直线 y = x上，半径为 √2，且过原点的圆的是 （ ）
A．( x −1)❑
2+( y −1)❑
2=√2
B．( x −1)❑
2+( y +1)❑
2=√2
C．( x−1)❑
2+( y +1)❑
2=2
D．( x−1)❑
2+( y −1)❑
2=2
8．已知⊙C : (x−2)²+ y ² =1，过坐标原点O 作⊙C的两条切线，切点为A、B，则四边形OACB的面积
为（ ）
A．1
B．√3
C．2
D． 2√3
9．已知拋物线C1: y
2=2 px( p>0)，其焦点F到准线的距离为2，过焦点F且斜率大于0 的直线l交拋物线
于A ,B两点，以AB为直径的圆C2与准线相切于点Q (−1,2)，则圆C2的标准方程为（ ）
A．( x−3)
2+( y −2)
2=16
B．( x−2)
2+( y −3)
2=16
C．( x −3)
2+( y −2)
2=8
D．( x −2)
2+( y −3)
2=8
二、填空题
10．过圆C：x
2+ y
2=m
上的点M (1,√3)作圆C 切线l，则l 的倾斜角为 .
11．抛物线y =−1
4 x
2的焦点到双曲线x
2−y
2
3 =1的渐近线的距离为 ．
12．设A，B是半径为3 的球体O表面上两定点，且∠AOB =60°，球体O表面上动点P满足|PA|=2|PB|，
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则点P的轨迹长度为 .
13．已知圆O: x
2+ y
2=2，过点M (1,3)的直线l交圆O于A，B两点，且|AB|=2，则直线l的方程为
.
14．已知圆C的圆心与抛物线x
2= 4 y的焦点关于直线y = x对称，直线3 x−4 y +2=0与C相交于A ,B两点，
且|AB|=6，则圆C的标准方程为 ．
三、解答题
15．已知点P(2,2)，圆C : x
2+ y
2−16 x =0过点P的动直线l与圆C交于A ,B两点，线段AB的中点为M，
O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|=|OM|，求l的方程及△POM的面积．
16．已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的准线l与圆O: x
2+ y
2=1
相切．
(1)求C的方程；
(2)点P(x0, y0)是C上的动点，且x0>1，过点P作圆O的两条切线分别与l交于A ,B两点，求△PAB面
积的最小值．
17．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (3,0)，直线l: x sinθ+ y cosθ =b(0<θ<π)与C相交于
A、B两点．
(1)求直线l 被圆O: x
2+ y
2=a
2所截的弦长；
(2)当θ =π
2
时，|AB|= 24
5
．
（i）求C的方程；
（ii）证明：对任意的θ∈(0,π)，△ABF的周长为定值．
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