函数与导数新定义问题、数列新定义问题、解析几何新定义问题、立体几何新定义问
题专项训练
考点目录
函数与导数新定义问题
数列新定义问题
解析几何新定义问题
立体几何新定义问题
1．（24-25 高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17 世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如
下：如图，设r 是
0
f x =
的根，选取
0x 作为r 的初始近似值，过点
0
0
,
x
f x
作曲线
y
f x
=
的切线
0
0
0
:l y
f x
f
x
x
x
¢
-
=
-
，则l 与x 轴的交点的横坐标
1
0
x
x
=
-
0
0
0
0
f x
f
x
f
x
¢
¢
¹
，称
1
x 是r 的第一次近似值；
过点
1
1
,
x
f x
作曲线
y
f x
=
的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为
2x ，称
2x 是r 的第二次近似值；重复以
上过程，得r 的近似值序列，其中
1
0
n
n
n
n
n
f x
x
x
f
x
f
x
+
¢
¢
=
-
¹
，称
1
nx + 是r 的
1
n + 次近似值，这种求方程
0
f x =
近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程
2
3
x =
的近似解，则下列正确的是（ ）
A．若取初始近似值为1，则过点
1,
1
f
作曲线
y
f x
=
的切线
2
3
y
x
=
-
B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为7
5
C．
0
1
2
3
0
0
1
2
f x
f x
f x
x
x
f
x
f
x
f
x
=
-
-
¢
¢
¢
+
D．
0
1
2
1
0
0
1
2
n
n
n
f x
f x
f x
f x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
+ =
-
-
-
¢
-
-
¢
¢
¢
L
考点一
函数与导数新定义问题
2．（24-25 高三上·河北石家庄·期中）定理：如果函数
f x 及
g x 满足：①图象在闭区间
,a b 上连续不断；②
在开区间
,a b 内可导；③对
,
,
0
x
a b
g
x
¢
" Î
¹
，那么在
,a b 内至少有一点c ，满足
f b
f a
f
c
g b
g a
g c
¢
-
=
¢
-
成
立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知
2
ex
x
f x =
，若存在正数
,a b a
b
¹
，满足
ln b
f b
a
l
=
+
f a ，则实数l 的取值范围为（ ）
A．
4
32 1
,
e
e
é
ù
-
ê
ú
ë
û
B．
4
8
2
,
e
e
é
ù
-
ê
ú
ë
û
C．
4
4 1
,
e
e
é
ù
-
ê
ú
ë
û
D．
4
4
2
,
e
e
é
ù
-
ê
ú
ë
û
3．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）定义
f
x
f
x
¢
=
的实数根x 为
f x 的“坚定点”，已知
0
a >
，且
1
a ¹ ，则下列
函数中，不存在“坚定点”的是（ ）
A．
sin
f x
a
x
=
B．
ln
f
x
ax
=
C．
3
2
2
f x
x
x
ax
a
=
+
+
+
D．
eax
f x =
4．（25-26 高三上·湖北孝感·阶段练习）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同
族函数”，那么函数解析式为
2
y
x
= -
，值域为
2, 4, 6
-
-
-
的“同族函数”包含的函数个数为（ ）
A．3
B．8
C．9
D．27
5．（25-26 高三上·广东肇庆·阶段练习）设
x 表示不超过x 的最大整数（如
2
2
=
，5
1
4
é ù =
ê ú
ë û
），对于给定的
*
N
nÎ
，定义
1
1
C
1
1
x
n
n n
n
x
x x
x
x
-
-
+
=
-
-
+
L
L
，
1,
x
¥
Î
+
，则当
3 ,3
2
x
é
ö
Î
÷
êë
ø时，函数
8
Cx 的值域是（ ）
A．16 ,28
3
é
ù
ê
ú
ë
û
B．16 ,56
3
é
ù
ê
ú
ë
û
C．
8
4,
28,56
3
æ
öÈ
ç
÷
è
ø
D．
16
28
4,
,28
3
3
æ
ù
æ
ù
È
ç
ç
ú
ú
è
û
è
û
6．（25-26 高三上·北京平谷·开学考试）设函数
( )
f x 和( )
g x 的定义域为D，若存在非零实数c
D
Î
，使得
( )
( )
0
f c
g c
+
=
，则称函数
( )
f x 和( )
g x 在D 上具有性质 P.现有三组函数：
①
2
( )
, ( )
f x
x g x
x
=
=
②
,
2
e
x
x
f x
g x
-
=
=
③
2,
2x
f x
x
g x
= -
=
其中具有性质 P 的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
7．（25-26 高二上·安徽阜阳·开学考试·多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xÎR ，用[ ]
x 表示不超过x
的最大整数，则
[ ]
y
x
=
称为高斯函数.例如：[ 3.5]
4
-
= - ，[2.1]
2
=
.已知函数
2
1
( )
1
2
2
x
x
f x =
-
+
，( )
[ ( )]
g x
f x
=
，则下
列叙述中正确的是（ ）
A．( )
g x 是偶函数
B．
( )
f x 是奇函数
C．
( )
f x 在R 上是增函数
D．( )
g x 的值域是{ 1,0,1}
-
8．（25-26 高三上·江苏常州·开学考试·多选）若函数
f x 在区间
,a b 上值域为
,
ka kb ，则称
,a b 为
f x 的“k
倍增区间”，则（ ）
A．若
0, b 为
2
f x
x
=
的“1 倍增区间”，则
1
b =
B．函数
1
1
f x
x
= +
存在“1 倍增区间”
C．若函数
1
f x
m
x
=
-
- 存在“1 倍增区间”，则m 的取值范围是7 , 2
4
æ
ù
ç
ú
è
û
D．二次函数
2
1
2
f x
x
x
= -
+
存在“2 倍增区间”
9．（25-26 高三上·广东中山·阶段练习·多选）已知
*
N ,
3
n
n
Î
³
，集合
1
2
1
2
,
,
,
0
n
n
n
A
a a
a
a
a
a
=
¼
<
<
<
<
L
.若存在
函数
( )( ( )
)
f x
f x
x
¹
，其图象在区间
1,
n
D
a a
=
上是一段连续曲线，且
|
k
k
n
n
f a
a
A
A
Î
=
，则称
( )
f x 是
n
A 的变
换函数，集合
n
A 是D 的一个L 子集，以下说法正确的是（ ）
A．{1,10,26,2000,2016,2025}是数集[1,2025] 的一个L 子集
B．函数
2026
( )
f x
x
=
可作为某个集合
n
A 的变换函数
C．函数
( )
ln 3e
1
x
g x
-
=
+
可作为某个集合
n
A 的变换函数
D．若
n
A 满足
*
,
,
N ,
,
j
i
i
j
n
a
a a
i j
i
j
A
a
"
Î
<
Î
，则存在函数( )
h x 为集合
n
A 的变换函数
10．（25-26 高三上·河北衡水·开学考试）记min{ , , }
a b c 为, ,
a b c 中最小的数.设
0
x >
，
0
y >
，.则
1
1
min 2 ,
,
x
y
y
x
ì
ü
+
í
ý
î
þ
的最大值为
11．（24-25 高三下·广东东莞·阶段练习）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C 是光滑的，在
曲线C 上选定一点
0
M 作为度量弧s 的基点.设曲线上点M 对应于弧s，在点M 处的倾角为a ，曲线上另外一点M ¢
对应于弧
Δ
s
s
+
，在点M ¢ 处的倾角为a
a
+ D
，则弧段
MM ¢的长度为
s
D ，当动点M 转到M ¢ 时切线转动的角度为
a
D
，用比值
s
a
D
D
来表示弧段
MM ¢的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作K .类似于从平均速度引入瞬时速度的
方法，当这个M ¢ 趋于M 时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C 在M 处的曲率，记作K；
Δ
0
Δ
lim Δ
s
K
s
a
®
=
.在数学上
给出曲率的公式：
3
Δ
0
2
2
Δ
lim Δ
1
s
y
K
s
y
q
®
¢¢
¢
=
=
+
.（其中y¢，y¢¢ 分别表示
y
f x
=
在点M 处的一阶、二阶导数）,根据定
义，椭圆
2
2
1
4
x
y
+
= 在点
1
3 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
，的曲率为
.
12．（25-26 高三上·江苏扬州·开学考试）对于函数
( )
f x ，若在其定义域内存在实数
0x ，满足
0
0
(
)
(
)
f
x
f x
-
= -
，则
称函数
( )
f x 为“局部奇函数”，称点
0
0
(
,
(
))
x
f x
和点
0
0
(
,
(
))
x
f
x
-
-
是函数
( )
f x 的一对“局部对称点”，请写出函数
2
( )
1
f x
x
x
=
+
- 的一对“局部对称点”：
；若函数
2
ln
,
0
( )
,
0
x x
x
g x
a
x
x
ì
>
ïï
= í
ï
<
ïî
为“局部奇函数”，则实数a 的取值范围
为
.
13．（24-25 高二下·江西上饶·期末）泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点
附近用多项式逼近．若函数
( )
f x 在包含
0x 的闭区间[ , ]
a b 上具有n 阶导数，在开区间( , )
a b 上具有
1
n + 阶导数，则
对[ , ]
a b 上任意一点x，有
( )
2
0
0
0
0
0
0
0
( )
( )
0!
1!
2!
!
n
n
n
f x
f
x
f
x
f
x
f x
x
x
x
x
x
x
R x
n
¢
=
+
-
+
-
+
+
-
+
¢¢
L
，其中
( )
n
R
x
为泰勒公式的余项．（
( )
f x 的n 阶导数记为
( )( )
n
f
x ，其中
( )
f
x
¢¢
为
( )
f
x
¢
的导数，
( )
f
x
¢¢¢
为
( )
f
x
¢¢
的导数，
( )( )
n
f
x 为
(
1)( )
n
f
x
-
的导数．）
(1)若
3
n =
，写出
( )
ln(1
)
f x
x
=
+
在
0
x =
处的泰勒展开式；
(2)当
0
x >
时，判断第（1）问中
3( )
R x 与0 的大小，并证明；
(3)证明：对任意正整数n，有
2
1
1
e
n
k
k
n
=
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
Õ
，其中，
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
n
k
k
n
n
n
n
n
=
æ
ö
æ
öæ
ö
æ
ö
+
=
+
+
+
ç
÷
ç
֍
÷
ç
÷
è
ø
è
øè
ø
è
ø
Õ
L
．
14．（25-26 高三上·江苏·开学考试）定义：若函数
y
f x
=
和
y
g x
=
同时满足条件①对任意xÎR ，都有
f x
g x
£
成立，②存在
0x ÎR ，使得
0
0
f
x
g x
=
，则称函数
y
g x
=
为
y
f x
=
的“伴随函数”，其中
0x 称为
“伴随点”.
(1)设函数
2
f x
x
=
，若存在一次函数
0
y
kx
b k
=
+
¹
，使得
f x 是y
kx
b
=
+
的“伴随函数”，求b 的取值范围.
(2)设函数
F x 为
G x 的“伴随函数”，若函数
1
H x
aF x
a G x
=
+
-
，试证明：对任意
0,1 ,
a
H x
Î
为
G x 的“伴随函数”.
(3)设函数
1
e
-
=
x
x
f x
，若存在一次函数
g x
mx
c
=
+ 是
f x 的“伴随函数”，且“伴随点”
0
1
x > ，求实数c 的最大
值.
15．（25-26 高二上·贵州黔南·开学考试）定义：非零向量
,
OM
a b
=
uuuur
的“伴生函数”为
sin
cos
R
f x
a
x
b
x x
=
+
Î
，函数
sin
f x
a
x
=
+
cos
R
b
x xÎ
的“源生向量”为
,
OM
a b
=
uuuur
（其中O 为坐标原
点）．
(1)已知函数
π
4sin
6
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，求函数
f x 的源生向量OM
uuuur
的坐标；
(2)已知向量
0, 5
OP =
uuur
为函数
5 sin
0
π
g x
x
j
j
=
+
<
<
的源生向量，求j 的值；
(3)已知向量
2,0
ON =
uuur
为函数
h x 的源生向量，若关于x 的方程
1 2 3 cos
h x
k
x
=
+ -
在区间
0,2π 上恰有五个
不相等的实数根，求实数k 的取值．
16．（24-25 高二下·山东·期中）已知函数
f x 的导函数为
f
x
¢
，我们称函数
f
x
¢
的导函数
f
x
¢¢
为函数
f x
的二阶导函数，若一个连续函数
f x 在区间I 上的二阶导函数
0
f
x
¢¢
³
，则称
f x 为I 上的凹函数，若二阶导
函数
0
f
x
¢¢
£
，则称
f x 为I 上的凸函数.
(1)若函数
3
2
1
1
ln
3
2
f x
x
ax
ax
ax x
= -
+
+
-
是
0, ¥
+
上的凸函数，求实数a 的取值范围.
(2)已知函数
e
sin ,
0,π
x
f x
x x
a
=
+
Î
.
①若
f x 是
0,π 上的凹函数，求实数a 的取值范围；
②若
f x 在
0,π 内有两个不同的零点
1
2
,
x x ，证明：
1
2
π
π
2
x
x
<
+
<
.
17．（25-26 高三上·重庆·开学考试）若函数
f x 满足“定义域内任意的x ，都有
1
0
f
f x
x
æ
ö +
=
ç
÷
è
ø
”则称函数
f x 具
有“广义对称性”，已知函数
1
ln
1
x
f x
a
x
x
-
=
-
+ .
(1)判断
f x 是否具有“广义对称性”；
(2)若
f x 有3 个零点
1
x ，
2x ，
3x ，其中
1
2
3
x
x
x
<
<
.
（ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）设
1
2
,
n
m m
m
n
××××××
ÎN 为
f x 的所有极值点，证明：
1
3
1
2
n
i
i
m
x
x
=
æ
ö
<
ç
÷
è
ø
å
.
18．（25-26 高三上·重庆·开学考试）设函数
f x 定义在区间I 上，若对任意
1
2
,
,
,
n
x x
x
I
××××××
Î ，有
1
1
(
)
n
n
i
i
i
i
x
f x
f
n
n
=
=
£
å
å
，则称
f x 为I 上的下凸函数，等号成立当且仅当
1
2
n
x
x
x
=
= ××× =
.若函数
f x 在区间I 上存
在二阶可导函数，则
f x 为区间I 上的下凸函数的充要条件是
0
f
x
¢¢
³
.
(1)若
2
ex
f x
x
ax
=
-
是
1,2 上的下凸函数，求实数a 的取值范围.
(2)在锐角三角形ABC 中，求cos
cos
cos
A
B
C
+
+
的最大值.
(3)已知正实数
1
2
,
,
,
n
x x
x
××××××
满足
1
2
0
2
n
x
x
x
a
a
+
+×××+
=
<
£
，求
1
2
1
2
1
1
1
n
n
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
öæ
ö
+
+
×××
+
ç
÷
ç
֍
÷
è
øè
ø
è
ø
的最小值.
1．（24-25 高二下·江西上饶·期中）若数列
na
满足
1
3
1
n
n
a
a
+ =
- ，则称
na
为“对奇数列”.已知
1
2
nb
ì
ü
+
í
ý
î
þ 为“对奇数
列”，且
1
3
b =
，则
2025
b
= （ ）
A．
2024
3 2
´
B．
2025
3
C．
2024
2 3
´
D．
2023
2
3
´
2．（24-25 高三上·四川南充·阶段练习）若各项为正的无穷数列
na
满足：对于
*
n
" ÎN ，
2
2
1
n
n
a
a
d
+ -
=
，其中d 为
非零常数，则称数列
na
为等方差数列．那么（ ）
A．
3n 是等方差数列
B．若
na
既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
C．若数列
na
是等方差数列，则数列
kn
a
（
*
N
k Î
，k 为常数）也是等方差数列
D．若
na
是等方差数列，则不存在正整数n，使得
1
1
2024
n
i
ia
=
>
å
3．（2025·北京海淀·一模）对于无穷数列
na
和正整数
2
k k ³
，若存在
1
2
,
,
,
k
n n
n
L
满足
1
2
k
n
n
n
<
<
<
L
且
1
2
1
2
kn
n
n
k
a
a
a
n
n
n
=
=
=
L
，则称数列
na
具有性质
kP ．下列选项中错误的是（ ）
A．若
2
na
n
=
，则数列
na
不具有性质
2P
B．若
1 cos
π
na
n
n
=
- +
，则数列
na
具有性质
2025
P
C．存在数列
na
和
nb
，使得
na
和
nb
均不具有性质
2P ，且
n
n
a
b
+
具有性质
2025
P
D．若数列
na
和
nb
均具有性质
2025
P
，则
n
n
a
b
+
具有性质
2025
P
考点二
数列新定义问题
4．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意
*
N
nÎ
，都有
1
n
n
a
a
c
+
+
=
（c 为常数），称数列
na
为“等和”数列.
设“等和”数列
na
的首项为
1a ，直线
(
)
2
0
R
kx
y
k
k
-
+
+
=
Î
过定点
1
2
(
,
)
P a a
，则
2025
1
n
n
a
=
=
å
（ ）
A．2025
B．2562
C．3036
D．3037
5．（2025·江西·模拟预测·多选）若无穷数列
nx
对于任意正整数, (
)
a b a
b
<
均有
b
b
a
x
b
x
x
b
a
£
-
-
，则称
nx
是形数
列，则（ ）
A．数列
2n 是形数列
B．“数列n
q
d
ì
ü
+
í
ý
î
þ
是形数列”的充要条件是“
0
dq £
”
C．若正项单调数列
na
是形数列，则
1
n
i
i
a
i
=
ì
ü
í
ý
î
þ
å
是形数列
D．若两个正项递增数列
,
n
n
a
b
均是形数列，则对于任意正整数m，n，均有
m n
m n
a
b
+
+ ³
m m
n n
a b
a b
+
6．（24-25 高二下·福建泉州·期末·多选）已知数列
n
u
，其前n 项和为
n
S ，若存在常数
0
M >
，对任意
*
nÎN ，恒
有
1
1
2
1
n
n
n
n
u
u
u
u
u
u
M
+
-
-
+
-
+
+
-
£
L
，则称
n
u
为B - 数列.则下列说法正确的是（ ）
A．若
n
u
为等差数列，则
n
u
为B - 数列
B．若
n
u
是以1 为首项，(|
| 1)
q q <
为公比的等比数列，则
n
u
为B - 数列
C．若
n
u
为B 一数列，则
n
S
也为B - 数列
D．若
n
S
为B 一数列，则
n
u
也为B - 数列
7．（25-26 高三上·湖南长沙·开学考试·多选）对于n
N
Î
，将n 表示为
0
1
2
0
1
2
3
3
3
3k
k
n
a
a
a
a
=
×
+
×
+
×
+
+
×
L
．其中
1, 0,1
0,1, 2,
,
,
ia
i
k
Î -
=
L
0
ka ¹
．记
I n 为上述表示中
ia 为0 的个数（例如
0
1
2
8
1 3
0 3
1 3
= -
×
+ ×
+ ×
，则
8
1
I
= ，则下列结论正确的是（ ）
A．
10
1
I
=
B．
3
2
2
n
I
n
+
=
-
C．
9
2
I
n
I n
=
+
D．
9
4
4
I
n
I n
+
=
+
8．（2025·云南昆明·二模）已知
1,2,
,
ia i
n
=
L
随机取1
- 或1，构成数列
na
为初始数列，当
na
不为常数列
1
1,1,
,1
n 4
L
1
423
个
时，对数列
na
进行如下操作：①统计
na
中-1 的个数，记为k ；②把
ka 改为
ka
-
，其余项不变，得到新
数列；③若新数列为常数列
1
1,1,
,1
n 4
L
1
423
个
，停止操作，记录操作次数x ，否则将
na
替换为新数列，重复上述操作，可
知对任意初始数列
na
，必在有限次操作后停止．如：
2
n =
，对初始数列1，1
- ，操作过程为1，
1
1
1
k=
¾¾®
-
- ，
2
1
1
k=
¾¾®
-
- ，
1
1
1
k=
¾¾® ，1；
3
x =
．当
3
n =
时，对所有可能的初始数列
na
，对应操作次数的和为
．
9．（2025·福建宁德·三模）已知数列
na
共有
+
m
k 项
*
,
,
,
N
n
m
k m
k m k
=
+
³
Î
，其中m 项为0 ，k 项为1.若数列
na
满足对任意
1
2
,
,
,
,
i
i
m
k a a
a
£
+
¼
中的0 的个数不少于1的个数，则称数列
na
为“规范数列”.当
3
m =
，
3
k =
时，“规范数列”的个数为
，记
m k
P + 表示数列
na
是“规范数列”的概率，则
2
m
P + 的最小值为
.
10．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）若数列
na
的相邻两项或几项之间的关系由函数
f x 确定，则称
f x 为
na
的递归函数；
g x
x
=
为取整函数，它表示不超过x 的最大整数，例如
1.2
1
= ，
1.3
2
-
= - ；设
na
的递归
函数为
2
f x
x
x
= -
+
，
2
1
5
n
n
n
n
a
f a
a
a
+ =
+
+
，且
1
5
3
a =
，
na
的前n 项和记为
n
S ，若
1
1
1
3
1
n
n
i
i
a
T
S
a
=
=
-
+
å
，则
2024
1
i
i
g T
=å
为
．
11．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若数列
na
满足
2
2
1
n
n
n
S
S
S
+
+
<
×
，则称数列
na
是
“方特数列”.
(1)证明：数列
n 是“方特数列”；
(2)若数列
1
1
1
0
n
a q
a
-
¹
是“方特数列”，求q 的取值范围；
(3)证明：当
0
q >
时，数列
1
n
nq -
是“方特数列”.
12．（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）已知数列
na
的项数有限，且满足以下两个条件：
①
1
2
0
n
a
a
a
+
+
+
=
L
，②
1
2
1
n
a
a
a
+
+
+
=
L
.称该数列为n 阶好数列.
(1)若
na
为等比数列，写出4 阶好数列的各项(不必说明理由).
(2)若
na
为等差数列，且为2
1
k + 阶好数列，求该数列的通项
na (1
2
1
n
k
£
£
+ ，用n 、k 表示).
(3)记n 阶好数列
na
的前k 项和为
kT ，若存在m (1
m
n
£
£
)满足
1
2
m
T =
，则数列(1
)
kT
k
n
£
£
能否为n 阶好数列?请
说明理由.
13．（2025·湖南湘潭·一模）在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新
操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法
k
H ，它的作用是在第
*
N
k k Î
轮对密钥片段进行一次变
换．具体变换规则如下：若k 为奇数，则
k
H 将在第k 轮变换中让序列
1
kA - 的奇数项的值增加1，偶数项的值减少
k；若k 为偶数，则
k
H 将在第k 轮变换中让序列
1
kA - 的奇数项的值增加2k，偶数项的值减少2．若初始密钥序列
0
1
0,0,0,0,0,0,0,0,0
n
n
n
A
A
H
A -
=
=
，
*
N
nÎ
，则加密序列
n
A 的所有项之和为
na ．已知数列
nb
的前n 项和为
nT ，且满足 3 nT = 4
1
nb - ．
(1)写出
4
A ，并求出
nb ；
(2)求
na ；
(3)证明：
2
2
1
2
102
n
k
k
k
k
a
a
b
=
+
<
å
14．（2025·福建三明·模拟预测）数列
na
的项数为m ，各项互不相同，
1,2,
,
na
m
Î
L
．设
1,2,
,
i
m
Î
L
，对数列
na
各项作变换：若n
i
m
+ £
，将
na 移到第n
i
+ 项；若n
i
m
+ >
，将
na 移到第n
i
m
+ -
项，得到的新数列记为
1
na
；对
1
na
各项重复上述变换，得到的新数列记为
2
na
；…；依此类推．给定
1,2,
,
r
m
Î
L
，若存在
*
sÎN ，使得
s
na
的第r 项为r ，则称i 是
na
的“ r 关联数”．
(1)若
na
：4，1，3，5，2，给定
2
i =
，写出
2
na
；
(2)给定
9
m =
，证明：对任意
1,2,
,9
k Î
L
，2 和7 都是
na
的“k 关联数”；
(3)已知：若整数
6
p >
，则存在a ，b ，qÎZ ，使得
1
ap
bq
+
= ，其中1
1
q
p
<
<
- ．证明：当
6
m > 时，对任意
1,2,
,
k
m
Î
L
，
na
至少有4 个“k 关联数”．
15．（25-26 高三上·北京延庆·阶段练习）已知数列
1
2
:
,
,
,
3
n
A a a
a
n ³
L
，定义：
1
1
1
Γ
n
i
i
i
A
a
a
-
+
=
=
-
å
.从A 中选取第
1i 项､第2i 项､L､第mi 项
1
2
,2
1
m
i
i
i
m
n
<
<
<
£
£
-
L
，则称数列
1
2
,
,
,
i
i
im
a
a
a
L
为A 的长度为m 的子列.若
1
2
:
,
,
,
3
n
A a a
a
n ³
L
为1,2,
,n
L
的一个排列，则称数列A 具有性质P .
(1)已知
:1,3,4,2,5,6
A
，若数列B 是数列A 的长度为5 的子列，写出
Γ B 的最大值和最小值；
(2)已知数列
1
2
6
:
,
,
,
A a a
a
L
具有性质P ，且存在唯一的长度为3 的子列B ，使得
Γ
Γ
B
A
=
，求
Γ A 的最小值；
(3)已知数列
1
2
:
,
,
,
n
A a a
a
L
具有性质P ，且n 为偶数，求
Γ A 的最大值，并直接写出当
Γ A 取得最大值时数列A 的
个数.
1．（25-26 高三上·湖南·开学考试）若双曲线
1
C 与
2
C 关于直线y
x
=
对称，且
1
C 的离心率
1e 与
2
C 的离心率
2e 之积为
常数
(
1
m m > ），则称
1
C 与
2
C 互为m 型双曲线.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
，则E 的3 型双曲线的渐近线为
（ ）
A．
2
y
x
= ±
B．
2
y
x
= ±
C．y
x
= ±
D．
2
2
y
x
= ±
2．（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线G 的对称中心为原点O ，若对于G 上的任意一点A ，均存在G 上两点
B ，C ，使得原点O 到直线AB ，AC 和BC 的距离都相等，则称曲线G 为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
3．（2025·山东淄博·三模·多选）旋转变换是原图上所有的点都绕一个固定的点朝同一方向，转动同一个角度.例
如， 对任意平面向量
,
AB
x y
=
uuur
，把AB
uuur 绕起点A 沿逆时针方向旋转q 角得到向量
cos
sin
sin
cos
AP
x
y
x
y
q
q
q
q
=
-
+
uuur
，
，这一过程叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转 q 角得到点P .已知椭圆
2
2
:
3
2
C x
y
+
=
，绕坐标原点O 逆时针旋转π
4 得到斜椭圆 C¢ ，则下列结论正确的是:（
）
A．已知点
3 2 3
A -
，
，点
3
2 3
B
-
，
，把点B 绕点A 逆时针旋转 3
p 得到点
6,3
P
B．斜椭圆 C¢ 的离心率是
1
2
C．斜椭圆 C¢ 方程是
2
2
1
+
-
=
x
y
xy
D．过斜椭圆 C¢ 在第一象限内的焦点作斜率为
1
- 的直线，与斜椭圆交于点
,
M N ，则
2 2
3
MN =
考点三
解析几何新定义问题
4．（2025·海南·模拟预测·多选）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694 年，雅各布·伯努
利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到
两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲
线C（如图所示）过坐标原点O，且C 上的点
,
P x y 满足到两个定点
1
,0
F
a
-
，
2
,0 (
0)
F
a
a >
的距离之积为4，
则下列结论正确的是（ ）
A．
2
a =
B．点
,1 (
0)
M x
x >
在C 上，则
1
2 2
MF =
∣
∣
C．点N 在椭圆
2
2
1
6
2
x
y
+
= 上，若
1
2
F N
F N
^
，则N
C
Î
D．过
2F 作x 轴的垂线交C 于A，B 两点，则
2
AB <
∣
∣
5．（2025·北京朝阳·二模）设
0
a >
，过原点O 的直线（不与x 轴重合）与圆
2
2
2
:
(
)
A x
y a
a
+
-
=
交于点P 与直线
2
y
a
=
交于点Q ．过点P 作x 轴的平行线，过点Q 作x 轴的垂线，这两条直线交于点
( , )
M x y ，称y 为x 的箕舌线函
数，记作
y
f x
=
，给出下列四个结论：
①函数
y
f x
=
的图象关于y 轴对称；
②若
1
2
x
x
<
，则
1
2
f x
f x
>
；
③设函数( )
( )
h x
xf x
=
，则( )
h x 的最大值为
2
2a ；
④设函数
2
( )
( )
g x
f x
x
=
+
，则( )
g x 的最小值为2a ．
其中所有正确结论的序号是
．
6．（2025·浙江绍兴·二模）设点
,
P x y 在“笑口”型曲线
2
2
5
7
2
2
x
y
y
+
+
-
=
上，则
2
2
2
5
x
y
y
+
-
的最小值
为
.
7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
y
C x
b
b
-
=
>
的两条渐近线分别为1 :
3
l
y
x
=
，2 :
3
l
y
x
= -
，若
点A ，B 分别在1l ，2l 上（A ，B 不同于原点O ），且直线AB 是C 的切线，则称
OAB
△
是C 的“渐切三角形”．已知
C 在点
,s t 处的切线方程为
2
1
ty
sx
b
-
= ．
(1)写出C 的一个“渐切三角形”的顶点A ，B 的坐标及切线AB 的方程，并求出其面积；
(2)已知点
1
1
,
A x y
，
2
2
1
2
,
0
B x
y
x x >
分别在1l ，2l 上，
OAB
△
的面积为
3 ，试问
OAB
△
是否是C 的“渐切三角
形”？并说明理由；
(3)若
OAB
△
是C 的“渐切三角形”，AB 与C 相切的切点M 的横坐标大于0，F 为C 的左焦点，证明：
AFB
Ð
为定
值．
8．（2025·湖北黄冈·二模）已知向量
cos , sin
OP
r
r
q
q
=
uuur
绕着原点O 沿逆时针方向旋转a 角可得到向量
cos
, sin
OP
r
r
q
a
q
a
=
+
¢
+
uuur
.
(1)求点
2,0
T
绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到的点T¢的坐标；
(2)若曲线E 上的所有点绕着原点逆时针方向旋转π
4 得到曲线E¢ 对应的方程为
2
2
5
5
2
24
x
y
x y
¢
¢
¢ ¢
+
-
=
.
（i）求曲线E 的方程；
（ii）设直线l 过定点
2,0
-
与曲线E 交于点
,
A B ，直线m 过定点
2,0 与曲线E 交于点C ，D ，且l
m
^
，求
, ,
,
A B C D 四点构成的四边形面积的最小值.
9．（2025·湖北·模拟预测）对于椭圆E：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
，定义其“椭圆值函数”
2
2
2
2
,
x
y
f x y
a
b
=
+
.对于平面上
的点
0
0
,
P x
y
，以及
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，若
0
1
2
0
0
0
1
2
0
0
2
,
2
,
x
x
x
f x
y
y
y
y
f x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，则称A，B 关于点P“ f -共轭”，它们互为“ f -
共轭点”；如果A，B 还满足同时在椭圆E 上，则称A，B 为点P 的“
f
E -共轭点对”，对于椭圆E ：
2
2
1
4
x
y
+
= .
(1)已知点
2,2
A
，
3,1
P
，若A，B 关于点P“ f -共轭”，求点B 的坐标；
(2)对椭圆外任意点P，证明：点P 的“
f
E -共轭点对”必存在；
(3)若点P 在直线
4
x =
上运动，
2,0
M
，且A，B 为点P 的“
f
E -共轭点对”，求
MAB
△
面积的最大值.
10．（2025·吉林·模拟预测）已知对任意平面向量
,
AB
x y
=
uuur
，把向量AB
uuur 绕其起点沿逆时针方向旋转q 角后得到向量
cos
sin , sin
cos
AP
x
y
x
y
q
q
q
q
=
-
+
uuur
，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转q 角得到点P .
(1)若平面内点
1,2
A
，点
1
2,2
2 2
B
+
-
，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π
4 后得到点P ，求点P 的坐标；
(2)若双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
绕坐标原点O 逆时针旋转π
3 得到曲线
3
2 3
3
x
y
x
=
+
.
（i）求双曲线E 的标准方程及离心率；
（ii）双曲线E 的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且斜率存在的直线l 交双曲线E 于M ，N 两点，点T 是
AMN
V
的外心，求证：直线OT 与直线l 的斜率之积为定值.
11．（2025·江西·模拟预测）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个
顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭
圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.
(1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
(2)如图，已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，椭圆
2
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
¢
¢
¢
¢
+
=
>
>
的离心率为
1
,
e C
¢
与
2
C 相似，且
1
C 与
2
C 的相似比为
:1
k
，若
2
AF B
V
的面积为S ，求
1
2
A F F
¢
¢
¢
V
的面积（用e¢ ，k，S 表示）；
(3)若椭圆
2
2
3 :
1
2
x
C
y
+
= ，写出与椭圆
3
C 相似且长半轴长为a ，焦点在x 轴上的椭圆
a
C 的标准方程.若在椭圆
a
C 上存
在两点M，N 关于直线
3
2
x
y =
- 对称，求椭圆
a
C 的“焦顶三角形”的周长的取值范围.
12．（2025·辽宁·二模）过抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
上任意一点
1A 能作圆
:
E
2
(
)
(
x
a
y
-
+
-
2
2
)
(
0)
b
r
r
=
>
的两条切
线，与C 交于另外两点
2
A ，
3A ，若直线
2
3
A A 也与E 相切，则称圆E 具有性质P ．已知抛物线
:
C¢
2
4
y
x
=
的焦点为
F ，圆E¢ ：
2
2
2
(
)
(
0)
x
m
y
n
n
-
+
=
>
在C¢ 内部，过C¢上一点Q 作E¢ 的两条切线，分别交C¢于点M ，N ．
(1)若
3
m =
，点
(4,4)
Q
，求cos
QFE¢
Ð
；
(2)若
2
m =
，
2
n =
，判断圆E¢ 是否具有性质P ，并说明理由；
(3)若
3
m =
，圆E¢ 具有性质P ，求n ．
1．（24-25 高二上·湖北·期中）在《线性代数》中定义：对于一组向量
1
ar ，
2
ar ，
n
ar
L
存在一组不全为0 的实数
1k ，
2k ，
nk
¼
使得：
1
1
2
2
0
n
n
k
k
k
a
a
a
+
+
+
=
r
r
r
r
L
成立，那么则称
1
ar ，
2
ar ，
n
ar
L
线性相关，只有当
1
2
0
n
k
k
k
=
=
=
时，才能使
1
1
2
2
0
n
n
k
k
k
a
a
a
+
+
+
=
r
r
r
r
L
成立，那么就称
1
ar ，
2
ar ，
n
ar
L
线性无关.若
1
2
3
,
,
a a a
r
r
r
为一组不共面的空间向
量，则以下向量组线性无关的是（ ）
A．
1
2
a
a
+
r
r ，
1
2
3
a
a
a
+
+
r
r
r ，
3
ar
B．
2
ar ，
2
3
a
a
+
r
r ，
2
3
a
a
-
r
r
C．
1
ar ，
1
2
a
a
+
r
r ，
1
2
a
a
-
r
r
D．
1
2
a
a
+
r
r ，
1
2
a
a
-
r
r ，
3
ar
2．（24-25 高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量ar 与b
r ，定义叉乘运算a
b
´
r
r
，规定：①a
b
´
r
r
为同时与
,a b
r
r
垂直的向量；②, ,
a b a
b
´
r
r
r
r
三个向量构成右手系（如图1）；③|
|
sin
,
a
b
a b
a b
´
=
á
ñ
r
r
r
r
r
r
．如图2，在长方体中
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
2,
4
AB
AD
AA
=
=
=
，则下列说法中错误的是（ ）
A．
1
AB
AD
AA
´
=
uuur
uuur
uuur
B．AB
AD
AD
AB
´
=
´
uuur
uuur
uuur
uuur
C．
1
1
1
AB
AD
AA
AB
AA
AD
AA
+
´
=
´
+
´
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
D．
1 1 1
1
1
ABCD A B C D
V
AB
AD
CC
-
=
´
×
uuur
uuur
uuuur
考点四
立体几何新定义问题
3．（24-25 高二上·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系D
xyz
-
中，点
1
1
1
,
,
N x y z
，
2
2
2
,
,
F x
y
z
，定义
1
2
NF
x
x
=
-
+
1
2
1
2
y
y
z
z
-
+
-
.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为3，E 为棱BC 的中点，平面yDz 内两个动点
P，M，分别满足
1
2
PD =
，
AMD
CME
Ð
= Ð
，则PM 的取值范围是（ ）
A．5 2
2,3 5
2
2
é
ù
-
+
ê
ú
ë
û
B．1,
41
2
é
ù
+
ë
û
C．5 2
2, 41
2
2
é
ù
-
+
ê
ú
ë
û
D．1,3 5
2
é
ù
+
ë
û
4．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习·多选）莱昂哈德•医拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支上都
可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面数之间的关
系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则
2
V
E
F
-
+
=
．根据欧拉公式，判断下列说法正确的是
（ ）
注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体
A．若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥
B．存在7 条棱的多面体
C．存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同
D．若某凸多面体每个面都是边长为1 的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均
相同，则面数的所有可能取值为6，7，12
5．（24-25 高一下·江西九江·期末·多选）球面三角是研究球面三角形的边、角关系的一门科学.从十六世纪起由于
天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科．球面上的三个点，每两点之间用球的大
圆劣弧相连接，三段弧所围成的球面部分称为球面三角形.如图，球O 的半径为1，A，B，C 为球面上三点.平面
ABC
V
中，三内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.球面
ABC
V
中，
BC ，
,
AC AB 的弧长分别记为a b c
) ) )
，，线段
OA，OB，OC 与球面
ABC
V
围成的封闭几何体叫作球面三棱锥，记为球面O
ABC
-
.设
,
,
BOC
AOC
AOB
a
b
g
Ð
=
Ð
=
Ð
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．sin
sin
sin
2
2
2
a
b
g
+
>
B．若
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
a
b
c
+
=
，则
2
2
2
a
b
g
+
=
C．若
2
2
2
a
b
c
+
=
，则
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
a
b
c
+
=
D．若
π
ˆ
ˆ
ˆ
3
a
b
c
=
=
=
，则球面O
ABC
-
的体积
2
12
V >
6．（24-25 高一下·贵州·阶段练习）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲
性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：
正四面体每个顶点均有3 个面角，每个面角均为π
3 ，则其各个顶点的曲率均为
π
2π
3
π
3
- ´
=
．若正四棱锥
S
ABCD
-
的侧面与底面所成二面角的正切值为2 ，则四棱锥S
ABCD
-
在顶点S 处的曲率为
．
7．（24-25 高一下·浙江嘉兴·期末）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共
面的三条射线
,
,
PA PB PC 构成的图形称为三面角P
ABC
-
，记
,
APC
BPC
Ð
a Ð
b
=
=
，
APB
g
Ð
=
，二面角
A
PC
B
-
-
的大小为q ，则cos
cos
cos
sin
sin
cos
g
a
b
a
b
q
=
+
.已知平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的底面ABCD 为菱
形，
60
BAD
Ð
=
o ，
1
2,
3 3
AB
AA
=
=
.若
1
1
3
cos
cos
4
A AB
A AD
Ð
Ð
=
=
，则二面角
1
A
CC
B
-
-
的余弦值为
.
8．（24-25 高二上·浙江·开学考试）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ 的一个顶点，定义多
面体G 在点P 处的离散曲率为
1
2
2
3
1
1
1
Φ
1
2π
P
k
k
k
Q PQ
Q PQ
Q
PQ
Q PQ
-
= -
Ð
+ Ð
+
+ Ð
+
L
，其中
1,2,
, ,
3
i
Q i
k k
=
³
L
为多面体G 的所有与点P 相邻的点，且平面
1
2
Q PQ ，平面
2
3,
Q PQ L，平面
1
k
k
Q
PQ
-
，平面
1
k
Q PQ 为多面体G 的所有
以P 为公共点的面．已知平面多边形ABCDE 的外接圆圆心O 为AD 与BE 的交点，如图①，且AB
AE
=
=
2
2
CD =
，将EAD
V
沿AD 翻折到
PAD
△
如图②，连接
,
PB PC ．
(1)求四棱锥P
ABCD
-
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)已知直线PB 与直线CD 所成角的余弦值为
6
4
．
①求四棱锥P
ABCD
-
在顶点A 处的离散曲率；
②设Q 为线段PD 上的动点（不包括端点），QA与平面ABCD 所成角为a ，二面角Q
AC
D
-
-
的平面角为b ，其
中
π
,
0, 2
a b
æ
ö
Îç
÷
è
ø，求
tan b
a
-
的最大值．
9．（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在空间直角坐标系O－xyz 中，已知向量
, ,
n
a b c
=
r
，点
0
0
0
0
(
,
,
)
P x
y
z
．若平面a 以nr 为法向量且经过点
0P ，则平面a 的点法式方程为
0
0
0
(
)
(
)
(
)
0
a x
x
b y
y
c z
z
-
+
-
+
-
=
，一
般式方程可表示为
0
ax
by
cz
d
+
+
+
=
．
(1)若直线l 的方向向量为
2,1,1
a =
r
，平面α 的一般式方程为3
2
1
0
x
y
z
-
+
+ =
，求直线l 与平面α 所成角的正弦
值；
(2)若平面β 经过点
(1,1,2)
A
，点
(2,0,1)
B
，点
( 2,2,1)
C -
，平面γ 的一般式方程为
4
0
y
z
+
-
=
，直线l 为平面β 和平
面γ 的交线，求平面β 的一般式方程，并求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；
(3)已知集合
, ,
1,
1,
1
P
x y z
x
y
z
=
£
£
£
，
,
|
,
Q
x y z
x
y
z
m
=
+
+
£
，记集合Q 中所有点构成的几何体为
1
W ，P
Q
Ç
中所有点构成的几何体为
2
W ．
（ⅰ）若
5
2
m =
，求几何体
1
W 的体积和
2
W 的表面积．
（ⅱ）若
2,3
mÎ
，求几何体
2
W 的体积
V m 关于m 的函数关系式．
10．（2025·山东青岛·模拟预测）在空间直角坐标系O
xyz
-
中，任何一个平面的方程都能表示成
0
Ax
By
Cz
D
+
+
+
=
，其中A ，B ，C ，DÎR ，
2
2
2
0
A
B
C
+
+
¹
，且
, ,
n
A B C
=
r
为该平面的法向量.已知集合
, ,
1,
1,
1
P
x y z
x
y
z
=
£
£
£
∣
，
, ,
2
Q
x y z
x
y
z
=
+
+
£
∣
，
, ,
2,
2,
2
T
x y z
x
y
y
z
z
x
=
+
£
+
£
+
£
∣
.
(1)设集合
, ,
0
M
x y z
z
=
=
∣
，记P
M
Ç
中所有点构成的图形的面积为
1S ，Q
M
I
中所有点构成的图形的面积为
2S ，求
1S 和
2S 的值；
(2)记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为
1V ，P
Q
Ç
中所有点构成的几何体的体积为
2
V ，求
1V 和
2
V 的值：
(3)记集合T 中所有点构成的几何体为W .
①求W 的体积
3
V 的值；
②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数.
