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抽象函数
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】抽象函数的性质
【题型二】常见抽象函数模型①（一次、二次、反比例）
【题型三】常见抽象函数模型②（指数、对数、幂函数、三角函数）
【题型四】复合函数的应用
【误区点拨】
易错点：忽视定义域和对称性与周期性弄混淆。
：以选择填空的形式考察性质，难度中等偏上。
：抽象函数求解的重要技巧：赋值法
1.赋值法使用，注意和题目条件作适当的联系；比如，涉及到奇偶行时候，可以考虑设字母为x 和-x，或
者取值为a 和-a。等等
2.转化过程要以相关定义为目的，不断转变；比如，涉及到单调性，欲寻找单调性证明和推导，可以设变
量为x1与x2两个变量，寻找f（x1）与f（x2）的大小关系。
3.还要学会用反例作论证，推出矛盾，可以直接排除对应的性质关系。
【题型一】抽象函数的性质
【例1】已知
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】定义域均为R 的函数
，
满足
，且
，则（ ）
1
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A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【例3】已知不恒为零的函数
为定义在
上的奇函数，且函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式1】已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，
，则
（ ）
A．4047
B．4048
C．4049
D．4050
【变式2】已知定义在
上的函数
是奇函数，对任意
都有
，当
时，
则
等于（ ）
A．2
B．
C．0
D．
【变式3】已知函数
定义域为
，对
，恒有
，则下列说法
错误的有（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
周期为
一、抽象函数的性质
1.周期性：f (x+a)=f (x)⇒T=a ；f (x+a)=−f (x)⇒T=2a ；
f (x+a)= k
f (x) ⇒T=2a
；（k 为常数）；f (x+a)=f (x+b)⇒T=|a−b|
2.对称性：
2
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对称轴：f (a−x)=f (a+x)或者f (2a−x)=f (x) ⇒ f (x)关于x=a 对称；
对称中心：f (a−x)+f (a+x)=2b 或者f (2a−x)+f (x)=2b ⇒ f (x)关于(a,b)对称；
3.如果f (x)同时关于x=a 对称，又关于(b,c)对称，则f (x)的周期T=|a−b|
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①f (x) 在R 上是奇函数，且f (x)单调递增 ⇒若解不等式 f (x1)+f (x2)>0 ，则有
x1+x2>0 ；
f (x)在R 上是奇函数，且f (x)单调递减 ⇒若解不等式 f (x1)+f (x2)>0 ，则有
x1+x2<0 ；
②f (x) 在R 上是偶函数，且f (x)在(0,+∞)单调递增 ⇒若解不等式 f (x1)>f (x2)，则有|x1|>|x2|（不
变号加绝对值）；
f (x)在R 上是偶函数，且f (x)在(0,+∞)单调递减 ⇒若解不等式 f (x1)>f (x2)，则有|x1|<|x2|（变号
加绝对值）；
③f (x) 关于(a,b)对称，且f (x)单调递增 ⇒若解不等式 f (x1)+f (x2)>2b ，则有
x1+x2>2a ；
f (x)关于(a,b)对称，且f (x)单调递减 ⇒若解不等式 f (x1)+f (x2)>2b ，则有
x1+x2<2a ；
④f (x) 关于x=a 对称，且f (x)在(a,+∞)单调递增 ⇒若解不等式 f (x1)>f (x2)，则有
|x1−a|>|x2−a|（不变号加绝对值）；
f (x)关于x=a 对称，且f (x)在(a,+∞)单调递减 ⇒若解不等式 f (x1)>f (x2)，则有|x1−a|<|x2−a|
（不变号加绝对值）；
5.常见的特殊函数性质一览
①f (x)=loga√1+(mx )2±mx 是奇函数
②
f (x)=loga
k−x
k+x(f (x)=loga
k+x
k−x)（k 为常数）是奇函数
③
f (x)=1−ax
1+ax 或者
f (x)= 1+ax
1−ax 或者
f (x)= ax+1
ax−1 或者
f (x)= ax−1
ax+1 是奇函数
④
f (x)=
m
ax+1 关于(0, m
2)对称
⑤f [g(x)]复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇
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【题型二】常见抽象函数模型①（一次、二次、反比例）
【例1】已知定义在
上的函数
满足
，
，
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．
没有极值点
【变式1】已知定义在
上的函数
满足
，则（ ）
A．
是奇函数且在
上单调递减
B．
是奇函数且在
上单调递增
C．
是偶函数且在
上单调递减
D．
是偶函数且在
上单调递增
【变式2】已知函数
的定义域为
，且
，若
，则下列结论错误的
是（ ）
A．
B．
C．函数
是偶函数
D．函数
是减函数
【变式3】（多选）已知函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
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D．
是偶函数
抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：
，则
，
【一次函数模型】
模型1：若
，则
；
模型2：若
，则
为奇函数；
模型3：若
则
；
模型4：若
则
；
【题型三】常见抽象函数模型②（指数、对数、幂函数、三角函数）
【例1】已知函数
满足
，当
，若在区间
内，函数
有两个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（多选）已知函数
的定义域为R，值域为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
是函数
的极小值点
【变式1】已知函数
的定义域为
，且
，
时，
，
，则（ ）
A．
B．函数
在区间
单调递增
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C．函数
是奇函数
D．函数
的一个解析式为
【变式2】已知
在
上是减函数，且
对任意的
都成立，写出一
个满足以上特征的函数
.
【指数函数模型】
模型1：若
，则
；
模型2：若
，则
；
模型3：若
，则
；
模型4：若
，则
；
【对数函数模型】
模型1：若
，则
模型2：若
，则
模型3：若
，则
模型4：若
，则
模型5：若
，则
【幂函数模型】
模型1：若
，则
模型2：若
，则
代入
则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若
，则
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模型2：若
，则
【正切函数模型】
模型：若
，则
模型3：若
，则
【题型四】复合函数的应用
【例1】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知函数
，若
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）设函数
且
在区间
上单调递减，则
的取值可以
为（ ）
A．
B．
C．
D．
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
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复合函数形式：y=f [g(x)]，令：t=g(x)，则y=f (g(x))转化为y=f (t ),t=g(x)其中t 叫作中间变
量.g(x)叫作内层函数，y=f (t )叫作外层函数.
2.求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数 y=f [g(x)] 分解成y=f (t ),t=g(x)
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
y=f (g( x))在(a,b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
t=g( x)
y=f (t )
y=f (g( x))
增
增
增
增
减
减
减
增
减
易错点：对称性与周期性混淆
1.周期性：f (x+a)=f (x)⇒T=a ；f (x+a)=−f (x)⇒T=2a ；
f (x+a)= k
f (x) ⇒T=2a
；（k 为常数）；f (x+a)=f (x+b)⇒T=|a−b|
2.对称性：
对称轴：f (a−x)=f (a+x)或者f (2a−x)=f (x) ⇒ f (x)关于x=a 对称；
对称中心：f (a−x)+f (a+x)=2b 或者f (2a−x)+f (x)=2b ⇒ f (x)关于(a,b)对称；
3.如果f (x)同时关于x=a 对称，又关于(b,c)对称，则f (x)的周期T=|a−b|
例1、已知函数
的定义域为R，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
例2、已知函数
的定义域均为R，且
．若
的图像关
于直线
对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1：已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶
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函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
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