文档文本内容
数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和专项训练
1．（24-25 高三下·河北邯郸·开学考试）
2
3
10
1
1
1
1
19
17
15
1
2
2
2
2
´
+
´
+
´
+
+ ´
=
L
（ ）
A．
11
3
18
2
+
B．
11
3
17
2
+
C．
10
3
18
2
+
D．
10
3
17
2
+
2．（24-25 高二上·湖南株洲·期末）已知数列
na
的通项公式为
2
n
n
n
a =
，则数列
na
的前n 项和
n
S = （ ）
A．2
1
2
n
n
n
-
-
B．
1
2
2
2
n
n
n
+ -
-
C．2
1
2
n
n
n
-
+
D．
1
2
2
2
n
n
n
+ -
+
3．（24-25 高三下·江苏扬州·阶段练习·多选）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
1
1
a = ，
2
3
a =
，
1
1
3
2
2
n
n
n
a
a
a
n
+
-
=
-
³
，则下列说法正确的有（
）
A．数列
1
n
n
a
a
+ -
为等差数列
B．数列
1
2
n
n
a
a
+ -
为等比数列
C．
1
2
2
n
n
S
n
+
=
-
-
D．若
n
n
b
na
=
，则数列
nb
的前n 项和
2
1
4
1 2
2
n
n
n
n
T
n
+
+
-
=
-
×
-
4．（24-25 高二下·浙江·期中·多选）已知在等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，其中
1
1
a = ，
2
2
1
n
n
a
a
=
+ ，在等比数列
nb
中，
1
2
b
a
=
，
2
5
b
a
=
，则（ ）
A．
2
n
S
n
=
B．数列
2
log
nb
是等差数列
C．数列
1
1
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
2
2
1
n
n +
D．数列
n
n
a b
的前n 项和为
1
1 3
3
n
n
+
-
+
考点一
错位相减法
5．（24-25 高二下·辽宁·阶段练习）已知数列
na
的通项公式为
1
2
3n
n
a
n
-
=
-
×
，其前n 项和为
n
S ，则
n
S =
．
6．（24-25 高二下·山西·开学考试）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足2
3
3
n
n
S
a
=
- ，则数列
2
n
na
的前n 项和
为
.
7．（2025·全国一卷·高考真题）设数列
na
满足
1
3
a =
，
1
1
1
(
1)
n
n
a
a
n
n
n n
+ =
+
+
+
(1)证明：
n
na
为等差数列；
(2)设
2
1
2
( )
m
m
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+
L
，求
( 2)
f ¢ -
．
8．（2025·云南昆明·模拟预测）设
n
S 为数列
na
的前n 项和，当
2
n ³
时，
2
1
1
5
8
4
n
n
n
n
S
S
S
S
+
+
-
=
-
+
，已知
1
1
a = ，
2
4
a =
，
3
12
a =
．
(1)证明：数列
1
2
n
n
a
a
+ -
为等比数列；
(2)求数列
na
的通项公式；
(3)求
n
S ．
9．（24-25 高三下·甘肃庆阳·期中）记
n
S 为正项数列
na
的前n 项和，且
1
1
n
n
a S
n
a
=
+
.
(1)求
1a 的值；
(2)判断
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是否为等差数列，并求
na
的通项公式；
(3)求数列
2n
na
a
×
的前n 项和
nT .
10．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，其中
3
3
a = ，
2
1
2
n
S
n
n
l
=
+
．
(1)求l 的值以及数列
na
的通项公式；
(2)若
5
4 3n
n
n
b
a
-
=
×
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
11．（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
*
1
1
1
4
N
n
n
n
a
a
S
n
n
+
+
+
=
+
Î
，数列
nb
为等比数列，首项
1
2
5
3,
b
b
a
=
=
．
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
a
b
=
×
，求数列
nc
的前n 项和
nT ．
12．（2025·四川成都·一模）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
2
6
a =
，且
1
2
n
n
n
S
na +
+
=
.
(1)求
1S ，
2S ，
3S ；
(2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分）
①
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是等比数列；②
1
n
a
n
ì
ü
í
ý
+
î
þ 是等比数列.
(3)记
nT 为数列
n
S
的前n 项和，求
nT .
13．（24-25 高二下·辽宁·期末）已知数列
na
满足
1
2
a = - ，且
1
4 3n
n
n
a
a
+ +
= - ´
．
(1)求
2a ，
3a ，
4a ；
(2)求数列
na
的通项公式；
(3)设
n
n
b
na
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
14．（24-25 高二下·辽宁大连·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a = ，
1
2
n
n
a
S
+ =
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
n
n
b
na +
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
1．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
a =
，
1
2
2
1
n
n
S
a
n
+
=
-
+
，数列
nb
满足
1
1
n
n
n
n
a
b
a a +
+
=
，记
nb
的前n 项和为
nT ，若
nT
m
<
恒成立，则m 的最小值为（ ）
A．1
B．
1
2
C．1
3
D．1
4
2．（24-25 高二下·云南丽江·期末）已知数列
na
满足
*
1
2
1
2
N
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
n
a
a
+
+
+
+
-
-
=
Î
，且
1
1
a = ，
2025
1
1013
a
=
，则
1
2
2
3
1
n
n
a a
a a
a a +
+
+
+
=
K
（ ）
A．2
1
n
n +
B．
2
n
n +
C．
2
2
1
n
n +
D．2
2
n
n +
3．（24-25 高二下·广东肇庆·期末）记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
S =
，
6
12
S =
，记
nT 为
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项
和，则
8T = （ ）
A．9
5
B．116
45
C．14
5
D．232
5
4．（24-25 高二下·云南·期末）设数列
na
满足
*
1
2
3
2
3
2
1
n
a
a
a
na
n
n
+
+
+
+
=
-
ÎN
L
，则数列
2
na
n
ì
ü
í
ý
+
î
þ的前9 项和
为（ ）
A．161
165
B．106
165
C．49
66
D．71
66
5．（24-25 高二下·四川雅安·期末·多选）已知数列
na
中，
1
7
a = - ，
1
2
n
n
a
a
+ =
+
，
*
nÎN ，其前n 项和为
n
S ，则
（ ）
A．
2
9
na
n
=
-
B．
8
0
S =
C．当
n
S 取最小值时，
5
n =
D．数列
1
2
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
1
1
7
2
7
nT
n
= -
-
-
考点二
裂项相消法
6．（24-25 高二下·内蒙古包头·期末·多选）若等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
2
4
a =
，
7
42
S =
，则下列说法正确
的是（ ）．
A．
6
7
a =
B．
n
a
n
+
为递增数列
C．
2
1
5
2
2
n
S
n
n
=
+
D．
1
1
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前4 项和为5
21
7．（24-25 高二下·四川资阳·期末）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人
称为“三角垛.“三角垛”最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，…，设第n 层有
na 个球，则
5a =
，数列
1
{
}
na
的前50 项和为
.
8．（24-25 高二下·河南焦作·期末）在数列
na
中，
1
4
a =
，且
1
1
8
n
n
a
a
a
n
+ =
+
+
，则
1
2
3
2025
1
1
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
+
+
+
+
=
-
-
-
-
L
.
9．（24-25 高二下·湖北武汉·期末）已知数列
2
1
4
n
n
a
ì
ü
-
í
ý
î
þ
既是等差数列又是等比数列，且
1
1
3
a =
，则数列
na
的前
50项的和
50
S
=
．
10．（24-25 高二下·湖南永州·期末）已知数列
na
满足
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
，则数列
1
1
n
n
a
a +
ì
ü
í
ý
×
î
þ
前100 项和
为
．
11．（24-25 高三下·山西大同·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
6
a =
，
2
2
2
n
n
S
a
n
=
+
-
．
(1)求
na
的通项公式：
(2)若
1
n
n
b
a
=
，
1 2
2 3
1
n
n
n
T
b b
b b
b b +
=
+
+
+
L
，求
nT ．
12．（24-25 高二下·广东江门·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
3 .
n
S
n
n
=
+
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)令
1
4
1
n
n
n
b
a a +
=
+ ，求数列
nb
的前n 项和
.
nT
13．（24-25 高三下·云南·阶段练习）设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
*
1
1
2
n
n
n
S
a
n
a
æ
ö
=
+
Î
ç
÷
è
ø
N
.
(1)求
2a ；
(2)求证：数列
2
2
1
n
n
a
a
ì
ü
+
í
ý
î
þ
为等差数列；
(3)求数列
na
的前100 项的和
100
S
.
14．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知等差数列
na
的首项为
2
5
1,3a
a
=
.数列
nb
为等比数列，且
2
2
5
3
1,
1
b
a
a
b
-
=
-
= .
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)设数列
n
n
a
b
×
的前n 项和为
n
S ，求
n
S ；
(3)求证
2
1
1
1
(
1)
2
n
k
k
k
n
k
n n
a
a
a
=
+
+
+
=
×
å
.
15．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）已知各项均为正数的数列
na
满足
1
1
a = ，
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
4
1
n
n
b
a
=
- 数列
nb
的前n 项和为
nT ，若
100
n
n
T
b
>
，求满足条件的最小正整数n .
16．（24-25 高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
4
11
a =
，
3
21
S =
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
b
a a +
=
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，求
100
T
．
1．（2025·河南·模拟预测）已知数列
na
和
nb
满足
1
2
1
2
2,
5,
2,
3,
n
n
a
a
b
b
a
b
=
=
=
=
+
是等比数列，
n
n
a
b
-
是等
差数列.
(1)求
n
n
a
b
+
和
n
n
a
b
-
的通项公式；
(2)求
na
和
nb
的通项公式；
(3)求
na
的前n 项和
n
S .
2．（24-25 高二下·北京房山·期末）设
na
是等差数列，
nb
是各项均为正数的等比数列，已知
1
1
a = ，
1
2
b =
，
2
2
b
a
=
，
3
2
4
b
a
=
+
.
(1)求
na
和
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
a
b
=
+
，求数列
nc
的前n 项和
n
S .
考点三
分组与并项求和
3．（24-25 高二下·河南商丘·期末）已知数列
na
的首项是
1
1,
1,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
为奇数，
为偶数
(1)证明：
na
的奇数项成等差数列；
(2)求
na
的前n 项和
n
S .
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知数列
na
满足
1
2
3,
6
a
a
=
=
，数列
nb
为各项均为正数的等比数列，且满足
*
1
1,
n
n
n
n
b
a
a
b
n
+
+
-
=
ÎN
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)已知数列
nb
的前n 项和为
n
S ，若______．
下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中．
①
2
3
3
3
S
S
=
-
；
②
2
3
3
,2
,
b
a b 成等差数列；
③
1
3
3
,
,
b a b 成等比数列．
记数列
nc
满足
3
2
,
,
log
,
,
n
n
n
a n
c
b
n
ì
= í
î
为奇数
为偶数求数列
nc
的前20 项和
20
T ．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
5．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
a = - ，
1
2,
2
1,
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
为奇数
为偶数，记
2
1
n
n
b
a
-
=
，
(1)证明：数列
2
1
5
n
a
- +
是等比数列；
(2)求数列
nb
的通项公式；
(3)求数列
n
nb
的前n 项和
n
S .
6．（2025·福建莆田·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
2,
,
2
,
,
n
n
n
a
n
a
a n
+
+
ì
= í
î
为奇数
为偶数
(1)记
2
2
n
n
b
a
=
+
，求
1b ，
2b ，并证明数列
nb
是等比数列；
(2)记
2
3
n
n
c
a
=
+
，求满足
1
2
3
100
n
c
c
c
c
+
+
+
+
<
L
的所有正整数n 的值.
7．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知
na
是等差数列，
nb
是等比数列，且
1
1
3
a
b
=
=
，
2
4
2
2
a
a
b
+
=
，
1
3
3
a a
b
=
．
(1)求
na
和
nb
的通项公式；
(2)求数列
n
n
a
b
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
S ；
(3)求数列{|
18|}
na -
的前n 项和
n
W ．
8．（2025·陕西安康·模拟预测）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
3
7
a =
，
8
92
S =
．
(1)求数列
na
的通项公式以及
n
S ；
(2)记数列
1
1
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
nT ，求满足
7
22
nT >
的n 的最小值；
(3)若数列
nb
满足：
1
,
3 ,
m
n
m
m
m
m n
a
b
a
n
a +
=
ì
= í
<
<
î
，求数列
nb
的前14 项和．
