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2025 年高考押题预测卷
高三数学·参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
B
D
A
D
D
A
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
AD
ACD
ACD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．252
13．
，
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
【解析】（1）当
时，
．
当
时，
．
因为
是等比数列，
所以
，即
．
．
所以数列
的通项公式为
．..........................6 分
（2）由（1）得
，设数列
的前
项和为
．
则
．①
．②
①
②得
．
所以
．..........................13 分
16．（15 分）
【解析】（1）设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件
，
1
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答卷总份数为
，
其中英语兴趣良好有
，
从收集的答卷中随机选取一份，
这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率为
．........................5 分
（2）设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件
，
，
，
（B）
，
（C）
，
（D）
，
估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率为：
．........................10 分
（3）从参与物理兴趣小组和化学兴趣小组的700 人中，按分层抽样的方法抽取7 人，
其中，参与物理兴趣小组的抽取4 人，参与化学兴趣小组的取3 人，
再从中选取3 人，则
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
3
．........................15 分
17．（15 分）
【解析】（1）
取
的中点
，连接
，
，如图所示：
为棱
的中点，
2
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，
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
又
平面
，
平面
，
平面
...........................5 分
（2）
，
，
，
，
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
又
，
平面
，
，
，又
，
以点
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，
如图：则
，
，
，
，
为棱
的中点，
，
..........................8 分
（i）
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
，
，
平面
的一个法向量为
，
，
则二面角
的正弦值为
；..........................10 分
3
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（ii）假设在线段
上存在点
，使得点
到平面
的距离是
，
设
，
，
则
，
，
由（2）知平面
的一个法向量为
，
，
点
到平面
的距离是
，
，
，
...........................15 分
18．（17 分）
【详解】（1）当的斜率为
时，得方程为
，
由
,消元得
，
，
，
；
由弦长公式得
，
即
，解得
或
（舍去），
满足
，
从而
的标准方程为
......................6 分
（2）法一：因为l1，l2分别交E 于AB 两点和C，D 两点，所以直线斜率存在
设直线
的方程为
，设
，
由
，消去
得
，则
.
设直线
的方程为
，
同理
，消去
得
可得
．
直线
方程为
，即
，
化简得
，
4
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同理，直线
方程为
，
因为
在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点
必在垂直于
轴的直线上，所以只需证
的横坐标为定值即可．
由
消去
，
因为直线
与
相交，所以
，
解得
，
所以点
的横坐标为2，即直线
与
的交点
在定直线
上．.....................17 分
法二：设直线
方程为
，由
消去
得
，
设
，则
．
设直线
的方程为
，
同理可得
．
直线
方程为
，即
，
化简得
，
同理，直线
方程为
，．
因为
在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点
必在垂直于
轴的直线上，所以只需证
的横坐标为定值即可．
由
消去
，
因为直线
与
相交，所以
，
解得
，
5
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所以点
的横坐标为2，即直线
与
的交点
在定直线
上．.....................17 分
19．（17 分）
【解析】（1）
，
，
，
所以
，
．.....................5 分
（2）
，
，
，
所以
，
，
令
，则
，
，
，
设
，则
，
显然当
，
时，
，
递减，所以
（1）
．
最大值为1，
所以
的最大值为1．.....................10 分
（3）
在区间
上有且仅有2 个零点．
证明：
，所以
，
①当
时，因为
，
，则
，
，
，
在
单调递增．
又
，
．
在
上有一个零点，
②设
，则
6
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当
时，
，
单调递增，
，
又
，
恒成立，
在
上无零点．
③当
时，
，
，
在
上单调递减，
又
，
．
在
上必存在一个零点．
综上，
在区间
上有且仅有2 个零点．.....................17 分
7
