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2025 年高考押题预测卷
高三数学（天津卷）·参考答案
一、选择题：本大题共9 小题，每小题5 分，共45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
D
D
A
C
A
D
C
B
C
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分
10．
11．
12．
13．
14．
；
. 15．
4
三、解答题：（本大题共5 小题，共75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题14 分）
【详解】（1）在
中，由正弦定理
，可得
，
又由
，得
即
，----------------------------------2 分
∴
，∴
，∴
．
又因为
，可得
；----------------------------------5 分
（2）在
中，由余弦定理及
，
，
，
有
，故
；----------------------------------10 分
（3）由
，可得
，
1
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因为
，所以
，故
为锐角，故
，
因此
，
．----------------------------------11 分
所以，
-------------------------------14 分
17．（本小题15 分）
【详解】（1）证明：取
的中点
，连接
，因为
为
的中点，所以
，
又因为
且
，所以
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.-----------------------------5 分
（2）解：取
的中点
，连接
，因为
且
，
所以
且
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
因为
，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
，
以
为坐标原点，以
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得
，则
,-----------------------------8 分
所以
，则
可得
，所以
，
则点
到直线
的距离为
.-----------------------------10 分
（3）解：由（2）中的空间直角坐标系，可得
，
所以
，
2
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设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，-----------------------------12 分
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.-----------------------------15 分
18．（本小题15 分）
【详解】（1）因为不超过正整数
且与
互素的正整数只有
，所以
因为不超过正整数
且与
互素的正整数只有
，所以
正偶数与
不互素，所有正奇数与
互素，比
小的正奇数有
个，所以
；------------------------------4 分
（2）所有不超过正整数
的正整数有
个，其中与
不互素的正整数有
，
，
，
，
，共
个，
所以所有不超过正整数
，且与
互素的正整数的个数为
个，
即
，
------------------------------7 分
3
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两式相减得
------------------------------10 分
（3）由（2）可知
，
得
恒成立，
令
，------------------------------12 分
则
，
可得
； 当
时，
，当
时，
，
所以
的最大值为
，
故
------------------------------15 分
19．（本小题15 分）
【详解】（1）设椭圆的焦距
，
所以
的周长为
，即
.
又椭圆
的离心率为
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
的标准方程为
.--------------------------------4 分
4
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（2）
是定值.
由（1）得
，
设
，
，--------------------------------5 分
又
三点共线，所以
，化简得
，
则直线
的方程为
，直线
的方程为
，
由
，化简得
，--------------------------------7 分
由根与系数关系可知，
，
所以
，
同理
，--------------------------------9 分
又
，
5
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所以
.--------------------------------15 分
20．（本小题16 分）
【详解】（1）函数
的定义域为
，当
，函数
，
由对勾函数性质可知，
单调递减；
单调递增；
且
，所以不等式
的解集为
.-------------------------------4 分
（2）因为
.
所以当
时，当
时，
，
单调递增；
当
时，
在区间
上，
单调递减，-------------------------------6 分
在区间
上
单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递
增.-------------------------------9 分
（3）由题意可得
，
①
时，
在区间
上恒成立，故
在
上单调递增，
若不等式
在区间
上有解，则
，即得
.------------------------11 分
②当
时，当
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
6
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所以若不等式
在区间
上有解，则
，
设
，
单调递减，所以
所以当
时，
单调递增，在区间
单调递减；
且
，
所以此时不等式
在区间
上无解，-------------------------------14 分
③当
时，
在
上恒成立，故
在间
上单调递减，
所以若不等式
在区间
上有解，则
，则
；
所以
；
综上：若不等式
在区间
上有解，求
的取值范围
或
.-------------------------------16 分
7
