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2025 年高考押题预测卷
高三数学（新高考Ⅰ卷03）·参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
A
A
B
A
D
B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
AC
AC
ABC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13 分）
【解】（1）法一：因为
，
由余弦定理：
， …………………………2 分
得：
，
则
， …………………………4 分
1
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因为
，所以
． …………………………6 分
法二：因为
，由正弦定理得：
，
， …………………………2 分
，
， …………………………4 分
因为
，所以
，
因为
，所以
． …………………………6 分
（2）在
中，由余弦定理得：
，
得：
， …………………………8 分
法一：
， …………………………10 分
在
中，由余弦定理得：
，
得：
． …………………………13 分
法二：因为
，所以
，
所以
， …………………………8 分
所以
， …………………………10 分
2
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解得：
． …………………………13 分
法三：因为
，
所以
， …………………………9 分
， ………………………10 分
所以
． …………………………13 分
16．（本小题满分15 分）
【解】（1）如图，连接
交
于点
，连接
.
因为
，所以
∽
，所以
. …………………………2 分
因为
为
上靠近点
的四等分点，所以
.
因为
，所以
. …………………………4 分
因为
平面
平面
，所以
平面
. …………………………6 分
（2）因为
平面
，所以
为
与底面
所成的角，
所以
.因为
，所以
.
由题意得
，又
平面
，所以
两两垂直. …………………………7 分
故以
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
3
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则
，
所以
. …………………………9 分
设平面
的法向量为
，则
，
即
，令
，则
. …………………………11 分
设平面
的法向量为
，则
，
即
， 令
，则
. …………………………13 分
因为
， …………………………14 分
又二面角
的平面角为锐角，
所以二面角
的余弦值为
. …………………………15 分
17．（本小题满分15 分）
【解】（1）
的定义域为
，
…………………………1 分
若
，则
，则
在
单调递减； …………………………2 分
若
，则由
得
.
4
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当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增. …………………………4 分
综上，当
时，
在
单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增. ……………………5 分
（2）若
，由（1）知，
至多有一个零点. …………………………6 分
若
，由（1）知，
当
时，
取得最小值，最小值为
. ………………………7 分
①当
时，由于
，故
只有一个零点； …………………………8 分
②当
时，因为
单调递增，
单调递增，所以
单调递增，
所以
，
，故
没有零点；…………………10 分
③当
时，由于
，即
，
又
，
故
在
有一个零点. …………………………12 分
设正整数
满足
，
则
， …………………………14 分
故
在
有一个零点.
综上，
的取值范围为
. …………………………15 分
18．（本小题满分17 分）
5
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【解】（1）零假设为
：DeepSeek 的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得
， …………………………3 分
依据小概率值
的独立性检验，没有充分证据推断
不成立，
因此可以认为
成立，即认为DeepSeek 的使用情况与学历无关； …………………………5 分
（2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第
道题时，甲得分为
，
，
，
， …………………………8 分
比赛结束甲获胜时的得分
可能的取值为10，20，30，
则
，
，
， …………………………11 分
所以比赛结束后甲获胜的概率
；
…………………………13 分
（ⅱ）设
“比赛结束后甲获胜”，
“比赛结束后乙答对一道题”，
， …………………15 分
则
，
6
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所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1 道题的概率为
． …………………………17 分
19．（本小题满分17 分）
【解】（1）双曲线系
中曲线
经过
两点
由题意，得
，
， …………………………1 分
则
， …………………………2 分
所以双曲线
的离心率为
，
所以双曲线系
的离心率为
； …………………………4 分
（2）（ⅰ）由（1）及题意，知
，
，
．
设
，
．
设直线
的方程为
，其中
在第二象限，
在第三象限，
联立得方程组
，
消去
并整理，得
，
则
，
，
， …………………………6 分
所以
， …………………………7 分
7
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则
， …………………………9 分
所以
，则
．
故数列
是以
为公比的等比数列． …………………………10 分
（ⅱ）由（ⅰ）知
，直线
也恒过定点
， ………………11 分
因此
， …………………………13 分
设
，则
，
则
，当
时，则
，
8
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，
…………………………15 分
所以数列
的所有项之和
. …………………………17 分
9
