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第十一章课后练习（三）常见分布
1．（2026•全国模拟）若随机变量
，则
（ ）
A．1.2
B．3.6
C．5.8
D．10.8
2．（2026•大连校级期中）随机变量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026•江阳区校级二模）下列说法正确的是（ ）
A．某单位有男职工60 人，女职工40 人，其中男职工平均年龄为36 岁，女职工平均年龄为30 岁，则
该单位全体职工的平均年龄是33 岁
B．将4 封不同的信全部投入3 个邮筒，共有64 种不同的投法
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1
D．某人每次投篮的命中率为
，现投篮5 次，设投中次数为随机变量
，则
4．（2026•天津校级月考）下列说法错误的个数为（ ）
①若随机变量
服从两点分布（或
分布），且
，则
；
②要将4 个不同的礼物分给3 位同学，每人至少1 个，不同分法的种数是36 种；
③同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件
为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件
为两枚骰子点数之
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和为8，则
；
④某人射击1 次，未击中目标的概率为0.2，连续射击10 次，设击中目标的次数为
，且每次射击相互没
有影响，则
．
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（2026•长沙校级月考）某人在
次射击中击中目标的次数为
，且
，记
，
，1，2，
，
，若
是唯一的最大值，则
的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
6．（2026•全国模拟）某市高二学生参加2026 年4 月期中考试，数学成绩近似服从正态分布
，
全市共有10000 名考生，据此估计，该市期中考试数学分数
介于75 到115 之间的人数为（ ）
参考数据：若
，则
，
，
．
A．6636
B．8186
C．8400
D．9759
7．（2026•贵州模拟）若随机变量
服从正态分布
，且
，则
（
）
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A．0.86
B．0.72
C．0.36
D．0.14
8．（2026•徐汇区模拟）已知甲、乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩
，
，乙班成绩
，
，其密度曲线如图所示，则有（ ）
A．
且
B．
且
C．
D．
9．（2026•曹妃甸区校级模拟）已知随机变量
，且
，则当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026•成县模拟）下列结论中错误的是（ ）
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A．在回归模型中，决定系数
越大，则回归拟合的效果越好
B．样本数据
，
，
，
的方差为8，则数据
，
，
，
的方差为2
C．若随机变量
服从正态分布
，且
，则
D．具有线性相关关系的变量
，
，其经验回归方程为
，若样本点中心为
，则
11．（2026•多选•碑林区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，3，5，5，5，7，9，11 的第80 百分位数为9
B．样本数据的相关系数
越大，成对数据的相关程度也越强
C．随机变量
，则方差
D．随机变量
，则当
变化时，
为定值
12．（2026•多选•武昌区期末）若
与
是相互独立的随机变量，均服从二项分布，且
，
，
，
，其中
，
，
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．令
，则
，
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D．若
，
，满足
，则有
13．（2026•多选•厦门校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．设随机变量
服从二项分布
，则
B．若
，则
C．甲、乙、丙三人均准备在3 个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1 个景点未被选择的条件下，
恰有2 个景点未被选择的概率是
D．
，
14．（2026•多选•广州一模）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量
（单位：
服从
正态分布
，且
，
．从该流水线上随机抽取4 件产品，这4 件产品中质
量
在区间
，
上的件数记为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15 ．（2026• 多选• 丽水模拟）已知连续型随机变量
服从正态分布
，
，记函数
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，
，则
（注：若
，则
，
A．
（2）
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于点
对称
16．（2026•多选•金坛区校级期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50 次坐公交车
和骑自行车所花的时间，经数据分析后得出坐公交车用时
和骑自行车用时
都服从正态分布，利用信
息技术工具画出
和
的分布密度曲线（如图），如果某天有
可用，根据图中信息李明选择坐公交
去学校，
取值可以是
A．26
B．29
C．38
D．40
三．填空题（共7 小题）
17．（2026•灌南县校级期末）设随机变量
服从二项分布
，随机变量
服从二项分布
，
若
，则
．
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18．（2026•陕西期末）在一个盒子中装有4 张卡片，卡片上的编号依次为1，2，3，4，现从中有放回地
抽取
次卡片，每次仅抽取1 张，记这
次抽取的卡片的最大编号为
，则使得
成立的最小
的
的值为
．
19．（2026•江苏校级期中）50 张彩票中只有2 张中奖票，今从中任取
张，为了使这
张彩票里至少有
一张中奖的概率大于0.5，
至少为
．
20．（2026•福建校级期中）某电子管正品率为
，次品率为
现对该批电子管进行测试，设第
次首次
测到正品，则
．
21．（2026•广西模拟）随机变量
的概率密度函数
，设
，
则
．
22．（2026•静安区二模）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径
为
，
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根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，标准差
为
，规定：活塞销的直径在
到
之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是
．（结果保留三位
小数）
参考数据：若随机变量
，则
，
，
．
23．（2026•甘肃模拟）一批电阻的阻值
（单位：
服从正态分布
，
，现从甲、乙两箱成
品中各随机抽取一只电阻，测得阻值分别为
和
，可以认为 （填写所有正确结论的序
号）
①甲、乙两箱电阻均可出厂；
②甲、乙两箱电阻均不可出厂；
③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；
④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂．
四．解答题（共5 小题）
24．（2026•辽宁一模）甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、
乙第一轮猜对的概率都为
．甲如果第
轮猜对，则他第
轮也猜对的概率为
，如果第
轮
猜错，则他第
轮也猜错的概率为
；乙如果第
轮猜对，则他第
轮也猜对的概率为
，如果第
轮猜错，则他第
轮也猜错的概率为
．在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响．
（1）求第二轮活动中甲乙都猜对成语的概率；
（2）若一条信息有
种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为
，
，
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，
，则称
为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度．
试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数
的信息熵
；
（3）如果“星队”共参加了
轮猜成语活动，设在这
轮活动中，每轮活动至少有一人猜对成语
的轮数为随机变量
，求
．
25．（2026•常德二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量
服从参数为
的泊松分布（记作
，则其概率分布为
，其中为自然对数的底
数．
（1）当
时，泊松分布可以用正态分布来近似，当
时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时
可认为
．若
，求
的值；
（2 ）设
，当
且
时，二项分布可近似看作泊松分布，即
，其中
．
某工厂生产电子元器件，次品率为
，各元件是否为次品相互独立，记
为产品中的次品数，按泊松
分布近似计算．
这1000 件产品中恰有2 件次品的概率；
求使得
最大时的值．
（参考数据：
；若
，则有
，
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，
26．（2026•晋江市校级模拟）已知甲口袋有
个红球和2 个白球，乙口袋有
个红球和2 个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2 次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连
续摸球2 次，每次摸出一个球．
（1）当
，
时，
求小明4 次摸球中，至少摸出1 个白球的概率；
设小明4 次摸球中，摸出白球的个数为
，求
的数学期望；
（2）当
时，设小明4 次摸球中，恰有3 次摸出红球的概率为
，则当
为何值时，
最大？
27．（2026•青岛校级一模）某款产品的尺寸误差
（单位：
服从正态分布
，
，若一件产品
的尺寸误差的绝对值不小于
，则认为该件产品不合格．
（1）任取一件产品，求这件产品不合格的概率；
（2）在计算二项分布的概率时，若重复性试验的次数很多且每次试验事件发生的概率很小，则可利用泊
松分布代替二项分布进行近似计算．设随机变量
服从二项分布
，若
，且
，则
，
，1，
，
，其中
（5）．
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现对某一批产品抽取40 件进行检测，若不合格产品超过3 件，则认为这批产品不合格．估算这批产品不
合格的概率（精确到
．
附：若
，则
；
28．（2025•南岗区二模）某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫
苗，最后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是
，至冬季结束仍然有
的居民未接种疫苗，
这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为
．
（1）现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率；
（2）已知泊松分布的概率分布列为
，其中
为自然对数的底数，
是泊松
分布的均值．若随机变量
服从二项分布，当
且
时，二项分布近似于泊松分布，其中
，即
，
．现从该地区接种疫苗的人群中随机抽取1000 人，
按上述泊松分布近似计算：
①求1000 人中流感的患病率小于
的概率约为多少；
②设1000 人中患流感的人数为
，求使得
最大时的
值．
（参考数据：
