文档文本内容
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考情
分析
试题
生活实践类
全反射棱镜、光导纤维、增透膜、偏振滤光片、激光等
学习探究类
折射定律、全反射、测量玻璃的折射率、光的干涉现象、光的衍射、光的偏
1
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情境
振现象、用双缝干涉测量光的波长
第74 课时 光的折射、全反射
目标要求 1.理解折射率的概念，掌握光的折射定律。2.掌握发生全反射的条件并会用全反射的条件进行
相关计算。3.会解决几何光学的折射、全反射的综合问题。
考点一 折射定律 折射率
1.折射定律
(1)内容：如图所示，折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两
侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比。
(2)表达式：sin θ1
sin θ2
＝n12(n12为比例常数)。
2.折射率
(1)定义式：n＝sin θ1
sin θ2
。
(2)折射率与速度的关系式：n＝c
v 。因为v<c，所以任何介质的折射率都大于
1 。
说明：①表达式n＝c
v 中的n 是指介质相对于真空的折射率，即绝对折射率。②折射率的大小不仅与介质
本身有关，还与光的频率有关。同一种介质中，频率越大的光折射率越大，传播速度越小。③同一种光，
在不同介质中虽然波速、波长不同，但频率相同。
1.无论是光的折射，还是反射，光路都是可逆的。( √ )
2.入射角越大，折射率越大。( × )
3.若光从空气射入水中，它的传播速度一定增大。( × )
4.根据n＝c
v 可知，介质的折射率与光在该介质中的传播速度成反比。( √ )
例1 (2024·贵州卷·3)一种测量液体折射率的V 形容器，由两块材质相同的直角棱镜粘合，并封闭其
前后两端制作而成。容器中盛有某种液体，一激光束从左边棱镜水平射入，通过液体后从右边棱镜射
2
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出，其光路如图所示。设棱镜和液体的折射率分别为n0、n，光在棱镜和液体中的传播速度分别为v0、
v，则( )
A.n<n0，v>v0
B.n<n0，v<v0
C.n>n0，v>v0
D.n>n0，v<v0
答案 A
解析 由题图可知光从棱镜进入液体中时，入射角小于折射角，根据折射定律可知n<n0，又v＝c
n，可得
v>v0，故选A。
平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制特点
平行玻璃砖
三棱镜
圆柱体(球)
对光路的
控制特点通过平行玻璃砖后光线不改
变传播方向，但要发生侧移
通过三棱镜的光线经两次折
射后，出射光线向棱镜底面
偏折
圆界面的法线是过圆心的直
线，光线经过两次折射后向
圆心偏折
例2 (2024·重庆卷·5)某同学设计了一种测量液体折射率的方案。容器过中心轴线的剖面图如图所示，
其宽度为16 cm，让单色光在此剖面内从空气入射到液体表面的中心。调整入射角，当反射光与折射光
垂直时，测出竖直器壁上的反射光点与液体表面的距离h，就能得到液体的折射率n。忽略器壁厚度，
由该方案可知( )
A.若h＝4 cm，则n＝√3
B.若h＝6 cm，则n＝4
3
C.若n＝5
4 ，则h＝10 cm
3
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D.若n＝3
2，则h＝5 cm
答案 B
解析 光路图如图所示，标注入射角θ1，折射角θ2，
根据几何关系结合折射定律可得
n＝sin θ1
sin θ2
＝sin θ1
cos θ1
＝tan θ1＝x
h ＝8cm
h
若h＝4 cm，则n＝2，故A 错误；
若h＝6 cm，则n＝4
3 ，故B 正确；
若n＝5
4 ，则h＝32
5 cm，故C 错误；
若n＝3
2，则h＝16
3 cm，故D 错误。
例3 (2024·山东临沂市二模)某学习小组测量半径为R 的透明半圆柱体玻璃的折射率，其横截面如图
所示为半圆形，MN 是通过透明玻璃体横截面圆心O 的直线，用激光笔沿平行于MN 的直线AB 射向该
柱体，B 为入射点，角∠BOM＝60°。CD 为出射光线，CD 与MN 相交，夹角α＝30°。已知光在真空中
的传播速度为c，求：
(1)透明玻璃半圆柱体材料对该激光束的折射率；
(2)激光束在半圆柱体中传播的最短时间。
答案 (1)√6
2 (2)√3 R
c
解析 (1)作出光路图，如图所示
由几何关系知光经过两次偏折后有2(i－r)＝30°，解得r＝45°，由折射定律得n＝sin60°
sin 45° ，解得n＝√6
2 ；
4
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(2)设激光束在半圆柱体中的传播路程为s，由几何关系s＝2Rcos 45°，n＝c
v ，传播时间t＝s
v ，解得t＝
√3 R
c
。
考点二 全反射
1.光密介质与光疏介质
介质
光密介质
光疏介质
折射率
大
小
光速
小
大
相对性
若n 甲>n 乙，则甲相对乙是光密介质
若n 甲<n 乙，则甲相对乙是光疏介质
2.全反射
(1)定义：光从光密介质射入光疏介质时，当入射角增大到某一角度，使折射角达到90°时，折射光完全消
失，只剩下反射光的现象。
说明：入射角增大的过程中，折射光的能量减少，反射光的能量增加，当发生全反射时，反射光的能量最
强。
(2)条件：①光从光密介质射入光疏介质。②入射角大于或等于临界角。
(3)临界角：折射角等于90°时的入射角。若光从光密介质(折射率为n)射向真空或空气时，发生全反射的临
界角为C，由n＝sin 90°
sinC ，得sin C＝1
n。介质的折射率越大，发生全反射的临界角越小。
3.全反射的应用
(1)全反射棱镜
(2)光导纤维
说明：内芯相对于外套为光密介质，内芯的折射率大于外套的折射率。
1.光密介质和光疏介质是相对而言的。同一种介质，相对于其他不同的介质，可能是光密介质，也可能是
光疏介质。( √ )
2.密度大的介质为光密介质，密度小的介质为光疏介质。( × )
3.只要入射角足够大，就能发生全反射。( × )
5
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4.光线从光疏介质进入光密介质，入射角大于等于临界角时发生全反射现象。( × )
例4 (2024·山东滨州市检测)半径为R 的透明玻璃球切去底面半径r＝√3
2 R 的球冠成为一个大球冠，
如图所示，玻璃的折射率n＝2，一束半径r＝√3
2 R 的光束垂直球冠的切面照射到球冠上，进入球冠的
光线有部分从球面射出而使球面发光，已知光在真空中的传播速度为c，且球冠不含底面的表面积公式
为S＝2πRh，R 为球的半径，h 为球冠的高度。不考虑光在球冠内的反射，求：
(1)发光球面的面积；
(2)光束正中间的光线通过大球冠的时间。
答案 (1)(2－√3)πR2 (2)3 R
c
解析 (1)根据题意，设光发生全反射的临界角为C，
由sin C＝1
n解得C＝30°
画出光路图，如图所示
光线①恰好发生全反射，发光区域是一个小的球冠，设小球冠高为h，由几何关系有cos 30°＝R−h
R
，解
得h＝2−√3
2
R，发光球面面积S＝2πRh＝(2－√3)πR2
(2)如图，大球冠底面所对的圆心角为120°，光束正中间的光线②直接穿过大球冠，通过大球冠的路程为x
＝R＋Rcos 60°＝3
2R
光在玻璃球内的传播速度v＝c
n，所以该光束正中间的光线通过大球冠的时间为t＝x
v ＝
3
2 R
c
2
＝3 R
c 。
例5 如图所示，一透明材料制成的圆柱形棒，长度为6 m。一束光线从圆柱形棒的一个底面圆心垂
直射入，经2.5×10－8 s 从另一底面圆心射出。保持入射点不变，调整光线的入射方向，使其在材料内
部恰好发生全反射(光在真空中的速度为3×108 m/s)，则光线通过透明材料的时间为( )
A.2.5×10－8 s
B.3.3×10－8 s
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C.3.125×10－8 s
D.4.95×10－8 s
答案 C
解析 设光在该材料中传播速度为v，由L＝vt，解得v＝L
t ＝2.4×108 m/s，由n＝c
v ，可知n＝1.25，设此
光线在该材料中发生全反射的临界角为C，则sin C＝1
n＝0.8，光线刚好发生全反射时在透明材料中的路程
为s＝
L
sinC ＝7.5 m，则t'＝s
v ＝
7.5
2.4×10
8 s＝3.125×10－8 s，故选C。
考点三 光的折射和全反射的综合应用
分析光学综合问题的基本思路
1.根据题目条件进行光路分析
(1)判断光线是从光疏介质进入光密介质还是从光密介质进入光疏介质。
(2)判断入射角是否大于或等于临界角，明确是否会发生全反射现象。
2.画出反射、折射或全反射的光路图，必要时还可应用光路的可逆性原理画出光路图，在光路图上分析并
找出有关几何图形的边角关系。
3.根据光学的基本规律，结合几何关系(三角函数、勾股定理、正弦定理等)分析或求解相关问题。
例6 (九省联考·广西·13)光学反射棱镜被广泛应用于摄像、校准等领域，其中一种棱镜的截面如图，
eh 边为镀膜反射面，ef＝eh，fg＝gh，∠e＝60°，∠g＝120°，棱镜的折射率为√3，光在真空中的传播
速度为3.0×108 m/s，若细光束从O 点以60°的入射角从真空射入棱镜，求：
(1)光在上述棱镜中传播速度的大小；
(2)光束从棱镜中射出的折射角，并完成光路图。
答案 (1)√3×108 m/s (2)60° 见解析图
解析 (1)由n＝c
v 可得，光在棱镜中传播速度的大小为v＝c
n ＝3.0×10
8
√3
m/s＝√3×108 m/s
(2)作出光路图如图所示，
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ef＝eh，fg＝gh，
知∠f＝90°
由光的折射定律n＝
sin θ1
sin θ2
其中θ1＝60°
解得θ2＝30°
由几何关系可知θ3＝60°
根据sin C＝1
n
可知临界角C<60°
故光线在O1处发生全反射，根据几何关系可知，光线垂直射到eh 边，eh 边为镀膜反射面，结合光路的可
逆性，则光线沿着原路返回，故光线在O 处发生折射，根据几何关系，光束从棱镜中射出的折射角为
60°。
例7 (2024·全国甲卷·34(2))一玻璃柱的折射率n＝√3，其横截面为四分之一圆，圆的半径为R，如图
所示。截面所在平面内，一束与AB 边平行的光线从圆弧入射。入射光线与AB 边的距离由小变大，距
离为h 时，光线进入柱体后射到BC 边恰好发生全反射。求此时h 与R 的比值。
答案 √2＋√2
2
解析 如图，画出光路图
可知sin α
sin β ＝n＝√3
设临界角为C，
得sin C＝1
n ＝√3
3 ，cos C＝√6
3
根据α＝β＋C 可得sin( β ＋C )
sin β
＝√3
解得tan β＝
1
3−√2
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故可得sin β＝
1
√12−6√2
故可知h
R ＝sin α＝√3sin β＝√2＋√2
2
。
课时精练 [A]
(分值：60 分)
1~8 题每小题4 分，共32 分
1.(2024·江苏卷·6)现有一光线以相同的入射角θ，打在不同浓度NaCl 的两杯溶液中，折射光线如图所示
(β1<β2)，已知折射率随浓度增大而变大。则( )
A.光在甲中折射率大
B.甲的NaCl 浓度小
C.光在甲中速度大
D.甲的临界角大
答案 A
解析 入射角θ 相同，β1<β2，由n＝sinθ
sin β 可知n 甲>n 乙，故甲浓度大；根据v＝c
n，可知光线在甲中的传播
速度较小，由sin C＝1
n可知折射率越大临界角越小，故甲临界角小。故选A。
2.如图所示，一束激光照射在横截面为正方形的透明玻璃柱上，光线与横截面平行，则透过玻璃柱的光线
可能是图中的( )
A.①
B.②
C.③
D.④
答案 C
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解析 根据折射定律有n＝
sin i1
sin r1
，且n>1，解得i1>r1，所以折射光线向右偏折；根据折射定律有n＝
sin i2
sin r2
，根据几何关系可知r1＝r2，解得i1＝i2，所以出射光线与入射光线平行，故选C。
3.(多选)(2024·甘肃卷·10)如图为一半圆柱形均匀透明材料的横截面，一束红光a 从空气沿半径方向入射到
圆心O，当θ＝30°时，反射光b 和折射光c 刚好垂直。下列说法正确的是( )
A.该材料对红光的折射率为√3
B.若θ＝45°，光线c 消失
C.若入射光a 变为白光，光线b 为白光
D.若入射光a 变为紫光，光线b 和c 仍然垂直
答案 ABC
解析 由几何关系可知当入射角为30°时，折射角为60°，故折射率为n＝sin60°
sin30° ＝√3，故A 正确；
设临界角为C，得sin C＝1
n ＝1
√3< 1
√2
故C<45°，故若θ＝45°，会发生全反射，光线c 消失，故B 正确；
由于反射角等于入射角，故当入射光a 变为白光，光线b 也为白光，故C 正确；
对同种介质，紫光的折射率比红光大，故若入射光a 变为紫光，折射角将变大，光线b 和c 不会垂直，故
D 错误。
4.(2023·江苏卷·5)地球表面附近空气的折射率随高度降低而增大，太阳光斜射向地面的过程中会发生弯曲。
下列光路图中能描述该现象的是( )
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答案 A
解析 由n1sin θ 上＝n2sin θ 下可知，越靠近地球表面，空气的折射率越大，从光疏介质射入光密介质的光路
如图所示，随着折射率不断变大，太阳光不断向法线方向偏折，A 正确。
5.(多选)如图所示，一束光由空气斜射到透明介质球上的A 点，入射角为i，则( )
A.当i 足够大时，在A 点将发生全反射
B.当i 足够大时，光从球内向外射出时将发生全反射
C.无论i 多大，在A 点都不会发生全反射
D.无论i 多大，光从球内向外射出时，都不会发生全反射
答案 CD
解析 光从光密介质射向光疏介质时才可能发生全反射，因此光在A 点由空气射入介质球，肯定不会发生
全反射。在图中，对于球上任意一点，球面法线一定过球心，设r 为光从A 点射入时的折射角，i'为光从B
点射出时的入射角，它们为等腰三角形的两底角，由光路的可逆性可知，光线在球内不可能等于或大于临
界角，即光从B 点射出时，也不可能发生全反射，在B 点的反射光射向D 点，从D 点射出时也不会发生全
反射。故选C、D。
6.(多选)(2023·湖南卷·7)一位潜水爱好者在水下活动时，利用激光器向岸上救援人员发射激光信号，设激光
光束与水面的夹角为α，如图所示。他发现只有当α 大于41°时，岸上救援人员才能收到他发出的激光光束，
下列说法正确的是( )
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A.水的折射率为
1
sin 41°
B.水的折射率为
1
sin 49°
C.当他以α＝60°向水面发射激光时，岸上救援人员接收激光光束的方向与水面夹角小于60°
D.当他以α＝60°向水面发射激光时，岸上救援人员接收激光光束的方向与水面夹角大于60°
答案 BC
解析 他发现只有当α 大于41°时，岸上救援人员才能收到他发出的激光光束，则说明α＝41°时激光恰好
发生全反射，则sin 49°＝1
n，则n＝
1
sin 49° ，A 错误，B 正确；当他以α＝60°向水面发射激光时，入射角
i1＝30°，则根据折射定律有折射角i2大于30°，则岸上救援人员接收激光光束的方向与水面夹角小于60°，
C 正确，D 错误。
7.(2024·广东卷·6)如图所示，红绿两束单色光，同时从空气中沿同一路径以θ 角从MN 面射入某长方体透明
均匀介质。折射光束在NP 面发生全反射，反射光射向PQ 面。若θ 逐渐增大，两束光在NP 面上的全反射
现象会先后消失。已知在该介质中红光的折射率小于绿光的折射率。下列说法正确的是( )
A.在PQ 面上，红光比绿光更靠近P 点
B.θ 逐渐增大时，红光的全反射现象先消失
C.θ 逐渐增大时，入射光可能在MN 面发生全反射
D.θ 逐渐减小时，两束光在MN 面折射的折射角逐渐增大
答案 B
解析 在MN 面，入射角相同，红光的折射率小于绿光的折射率，根据折射定律n＝sinθ
sin α ，可知绿光在
MN 面的折射角较小，由题图可知绿光比红光更靠近P 点，故A 错误；
根据发生全反射的临界条件sin C＝1
n可知红光发生全反射的临界角较大，θ 逐渐增大时，折射光线与NP
面的交点左移过程中，在NP 面的入射角先小于红光发生全反射的临界角，所以红光的全反射现象先消失，
故B 正确；
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在MN 面，光是从光疏介质到光密介质，无论θ 多大，在MN 面都不可能发生全反射，故C 错误；根据折
射定律n＝sinθ
sin α 可知θ 逐渐减小时，两束光在MN 面折射的折射角逐渐减小，故D 错误。
8.(2024·山东威海市二模)光导纤维(可简化为长玻璃丝)示意图如图所示，其折射率为n，AB 代表端面，为
使光能从玻璃丝的AB 端面传播到另一端面，光在端面AB 上的入射角θ 应满足的条件是( )
A.sin θ>√n
2−1B.sin θ<√n
2−1
C.sin θ>√n
2−1
n
D.sin θ<√n
2−1
n
答案 B
解析 为使光能从玻璃丝的AB 端面传播到另一端面，则光在光导纤维内恰好发生全反射，光路图如图所
示
根据折射定律有n＝sinθ
sin r ，n＝
1
sinC ，C＋r＝90°，联立可得sin θ＝√n
2−1，当入射角θ 越小，则在光导
纤维内的上下面上越容易发生全反射，所以应该满足sin θ<√n
2−1，故选B。
9~12 题每小题7 分，共28 分
9.光纤准直器是光通信系统中的一种重要组件，它的作用是将光纤内传输来的发散光转变成准直光(平行
光)，其简化工作原理如图所示，棱镜的横截面为等腰三角形，从光纤一端射入三束相同的单色光a、b、
c，b 光与棱镜的中心线重合，a、c 光恰好分别入射到上、下侧面的中点，经棱镜折射后与中心线平行。已
知棱镜横截面的底角和入射光与中心线的夹角均为30°，棱镜底边长为d，光在真空中的传播速度为c，则(
)
A.棱镜对该单色光的折射率为n＝√3
3
B.棱镜对该单色光的折射率为n＝√2
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C.b 光通过棱镜需要的时间为t＝√3d
6c
D.a 光通过棱镜需要的时间为t＝d
4 c
答案 D
解析 根据几何关系，a 光在棱镜上侧面的入射角为α＝60°
a 光在棱镜上侧面的折射角为β＝30°
根据折射定律，棱镜对该单色光的折射率为n＝sin α
sin β ＝√3，故A、B 错误；光在棱镜中的速度为v＝c
n
根据几何关系有lb＝d
2 tan 30°＝√3
6 d
la＝1
2lb＝√3
12 d
b 光通过棱镜需要的时间为tb＝lb
v ＝d
2c ，故C 错误；a 光通过棱镜需要的时间为ta＝la
v ＝d
4 c ，故D 正确。
10.(2023·湖北卷·6)如图所示，楔形玻璃的横截面POQ 的顶角为30°，OP 边上的点光源S 到顶点O 的距离
为d，垂直于OP 边的光线SN 在OQ 边的折射角为45°。不考虑多次反射，OQ 边上有光射出部分的长度为
( )
A.1
2d
B.√2
2 d
C.d
D.√2d
答案 C
解析 设光线在OQ 界面的入射角为α，折射角为β，由几何关系可知α＝30°，则由折射定律可知n＝
sin β
sin α ＝√2，光线射出OQ 界面的临界条件为恰好发生全反射，光路图如图所示，
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其中CS⊥OB，光线在A、B 两点发生全反射，由全反射规律sin C＝1
n ＝√2
2 可得，全反射的临界角为
45°，AB 之间有光线射出，由几何关系可知AB＝2AC＝2CS＝OS＝d，故选C。
11.如图所示，半径为R、折射率n＝√2的半圆形玻璃砖竖直放置在光屏MN 的正上方，玻璃砖的直径AB
与MN 平行且距离为h。一束单色光在玻璃砖平面内垂直AB 射向圆心O，光线穿过玻璃砖后射到光屏上，
光点落在O'点。已知光屏足够大，且空气中光速近似为c。现使玻璃砖绕过O 点垂直于纸面的轴顺时针转
动，从AB 边射出的光线在光屏上的光点移动的方向和单色光从射入玻璃砖后再折射到光屏上的最长时间
分别为( )
A.向右移动，√2( R＋h)
c
B.向左移动，√2( R＋h)
c
C.向右移动，√3( R＋h)
c
D.向左移动，√3( R＋h)
c
答案 A
解析 玻璃砖绕过O 点垂直于纸面的轴顺时针转动，转过的角度等于光线在AB 边的入射角，折射角大于
入射角，所以光点向右移动，故B、D 错误；设全反射临界角为C，由临界条件可知sin C＝1
n ＝√2
2 ，则C
＝45°，即当玻璃砖转过45°时，折射光线沿着玻璃砖边沿射向光屏，用时最长，如图所示，
设光点为D 点，光点D 到O'的距离xDO'＝h，xDO＝√2h，光在玻璃砖中的传播速度v＝c
n ＝√2
2 c，传播时间
t1＝R
v ＝√2 R
c
，从玻璃砖射出后到D 点传播时间t2＝xDO
c ＝√2h
c
，则单色光从射入玻璃砖后再折射到光屏
上的最长时间t 总＝t1＋t2＝√2( R＋h)
c
，故A 正确，C 错误。
12.(多选)一个柱状玻璃砖的横截面如图所示，它由半圆CPB 和等腰直角三角形ABC 组成，其中O 为半圆
的圆心，AC＝BC。一束单色光从光源Q 射到圆面上的P 点，入射角i＝45°，光束折射后与AC 平行且恰好
经过OB 中点。已知圆的半径为R，光在真空中的速度大小为c，则( )
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A.玻璃砖材料的折射率为√2
B.玻璃砖材料的折射率为√3
C.光从P 点射入到离开玻璃砖的时间为(√6＋4√2)R
2c
D.光从P 点射入到离开玻璃砖的时间为3√2 R
c
答案 AC
解析 由几何关系知，P 点的折射角r＝30°，光的折射率n＝sini
sin r ，代入数据解得n＝√2，故A 正确，B
错误；画出光束在玻璃砖内传播的光路图如图所示，
根据sin C＝1
n，可得C＝45°，由几何关系可知，∠OMD＝45°，所以光束在M 点发生全反射，可得PD＝
Rcos 30°＝√3
2 R，MD＝DB＝1
2R，MN＝3
2R，光在玻璃砖材料中的速度v＝c
n，所以光在玻璃砖内传播的时
间t＝PD＋DM ＋MN
v
＝(√6＋4√2)R
2c
，故C 正确，D 错误。
课时精练 [B]
(分值：50 分)
1.(8 分)(2025·山东省百师联盟开学考)如图甲所示为一个足球玻璃球，其简化模型的正视图如图乙所示，O
为球心，AB 是沿水平方向的直径。一束激光从C 点平行于AB 射入玻璃球内部，从右侧B 点射出。已知真
空中的光速为c，该玻璃球对激光的折射率为√3，玻璃球的半径为R，且球内的足球是不透光体。不考虑
反射光的情况下，求：
(1)(3 分)该激光在玻璃球内的光速v；
(2)(5 分)玻璃球内足球的最大直径D。
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答案 (1)√3c
3
(2)R
解析 (1)根据n＝c
v
可得v＝c
n ＝√3c
3
(2)根据几何关系，结合光路可逆，作出光路图如图所示
根据几何关系有
sin θ＝sin 2α＝h
R ，
n＝sinθ
sin α ＝√3
解得θ＝60°，α＝30°
光束从C 点射入时恰能从右侧射出且射出点为B，即内部光线与足球相切时，足球直径最大，
根据几何关系可知，足球的最大直径为D＝2Rsin α＝R。
2.(8 分)(2022·全国甲卷·34(2))如图，边长为a 的正方形ABCD 为一棱镜的横截面，M 为AB 边的中点。在截
面所在的平面，一光线自M 点射入棱镜，入射角为60°，经折射后在BC 边的N 点恰好发生全反射，反射
光线从CD 边的P 点射出棱镜，求棱镜的折射率以及P、C 两点之间的距离。
答案 √7
2 √3−1
2
a
解析 设光线在AB 面的折射角为θ，则有sin 60°＝nsin θ，由题知，光线经折射后在BC 边的N 点恰好发
生全反射，则有sin C＝1
n，C＝90°－θ，
联立解得tan θ＝√3
2 ，n＝√7
2
根据几何关系有tan θ＝MB
BN ＝
a
2BN
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解得NC＝a－BN＝a－a
√3
再由tan θ＝PC
NC ，解得PC＝√3−1
2
a。
3.(8 分)(2024·山东烟台市、菏泽市期中联考)如图，将一平面镜置于某透明液体中，光线以入射角i＝45°进
入液体，经平面镜反射后恰好不能从液面射出。已知该液体的折射率为√2，则平面镜与水平面的夹角α 为
多大？
答案 7.5°
解析 光线经平面镜反射后，恰好不能从液面射出，光路图如图
根据折射定律可得n＝sini
sin r
解得光线在射入液面时的折射角为r＝30°
全反射临界角满足sin C＝1
n
解得C＝45°
由几何关系可得2β＋(90°－r)＋(90°－C)＝180°
解得β＝37.5°
由几何关系可得α＝β－r＝7.5°。
4.(12 分)(2024·山东卷·15)某光学组件横截面如图所示，半圆形玻璃砖圆心为O 点，半径为R；直角三棱镜
FG 边的延长线过O 点，EG 边平行于AB 边且长度等于R，∠FEG＝30°。横截面所在平面内，单色光线以
θ 角入射到EF 边发生折射，折射光线垂直EG 边射出。已知玻璃砖和三棱镜对该单色光的折射率均为
1.5。
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(1)(5 分)求sin θ；
(2)(7 分)以θ 角入射的单色光线，若第一次到达半圆弧AMB 可以发生全反射，求光线在EF 上入射点D(图
中未标出)到E 点距离的范围。
答案 (1)0.75 (2)0<d≤2√3
9 R
解析 (1)由题意，设光在三棱镜中的折射角为α，
则根据折射定律有n＝sinθ
sin α
由于折射光线垂直EG 边射出，
根据几何关系可知α＝∠FEG＝30°
代入数据解得sin θ＝0.75
(2)根据题意作出单色光第一次到达半圆弧AMB 恰好发生全反射的光路图如图
则根据几何关系可知FE 上从P 点到E 点以θ 角入射的单色光线第一次到达半圆弧AMB 都可以发生全反射，
根据全反射临界角公式有sin C＝1
n
设P 点到FG 的距离为l，则根据几何关系有l＝Rsin C
又因为xPE＝R−l
cos30°
联立解得xPE＝2√3
9 R
所以光线在EF 上的入射点D 到E 点的距离范围为0<d≤2√3
9 R。
5.(14 分)(2024·山东青岛市一模)光刻机是现代半导体工业的皇冠，其最核心的两大部件为光源与光学镜头。
我国研制的某型号光刻机的光源辐射出某一频率的紫外光，光刻机光学镜头投影原理简化图如图所示，等
腰直角三角形ABC 为三棱镜的横截面，半球形玻璃砖的半径为R，O 为球心，O'O 为半球形玻璃砖的对称
轴。间距为√2R 的a、b 两束平行紫外光从棱镜左侧垂直AB 边射入，经AC 边反射后进入半球形玻璃砖，
最后会聚于硅片上表面的M 点，M 点位于O'O 的延长线上。半球形玻璃砖的折射率为√2，来自棱镜的反
射光关于轴线O'O 对称，光在真空中的传播速度为c。
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(1)(4 分)要使射向半球形玻璃砖的光线最强(光不能从三棱镜的AC 边射出)，求三棱镜折射率的最小值；
(2)(10 分)求紫外光从进入半球形玻璃砖到第一次折射出玻璃砖的时间。(可能用到sin 75°＝√6＋√2
4
)
答案 (1)√2 (2)(√6−√2)R
c
解析 (1)依题意，可知光射到三棱镜AC 边的入射角为45°，光在三棱镜内发生全反射，则sin C＝1
n0
，有
sin 45°≥1
n0
，所以三棱镜的折射率最小值为√2。
(2)如图所示为光在半球玻璃砖内传播过程。
在△ODE 中，
sin ∠DOE＝DE
OD ＝√2
2 ，则∠DOE＝45°，所以光在射入玻璃砖时的入射角为45°，紫外光进入玻璃砖时由
折射定律得n＝
sin 45°
sin∠FDO ，解得∠FDO＝30°
在△DOF 中，由正弦定理得
R
sin105° ＝
R
sin75° ＝
DF
sin 45° ，解得DF＝(√3－1)R，光在玻璃砖中的传播速
度v＝c
n，光在玻璃砖中的传播时间t＝DF
v ＝(√6−√2)R
c
。
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