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§2.5 函数性质的综合应用
重点解读 函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，
结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查.
题型一 函数的奇偶性与单调性
例1 (2025·大连模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x ，x ∈[0，+∞)，当x >x 时，f(x )-
1 2 1 2 1
f(x )>4(x +x )(x -x )恒成立，f(2)=16，则满足f(m)≤4m2的实数m的取值范围为 .
2 1 2 1 2
答案 [-2，2]
解析 因为对∀x ，x ∈[0，+∞)，当x >x 时，f(x )-f(x )>4(x +x )(x -x )恒成立，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
即f(x )-f(x
)>4(x2 -x2
)恒成立，
1 2 1 2
所以f(x
)-4x2
>f(x
)-4x2
，
1 1 2 2
令g(x)=f(x)-4x2，则当x >x ≥0时，g(x )>g(x )，
1 2 1 2
所以函数g(x)在[0，+∞)上单调递增，
因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-x)=f(x)，
所以对任意的x∈R，g(-x)=f(-x)-4(-x)2=f(x)-4x2=g(x)，
所以函数g(x)为R上的偶函数，
且g(2)=f(2)-4×22=16-16=0，
由f(m)≤4m2，
可得f(m)-4m2≤0，
即g(m)≤g(2)，
即|m|≤2，解得-2≤m≤2，
所以实数m的取值范围为[-2，2].
思维升华 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”
脱掉，得到具体的不等式(组).
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进
而利用其单调性比较大小.
跟踪训练1 已知函数f(x+1)是R上的偶函数，且f(x)在(-∞，1]上单调递减，a=f(-1)，b=f(e2)，
c=f(2)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.a>c>b D.b>a>c
答案 D
解析 因为函数f(x+1)是R上的偶函数，所以函数f(x+1)的图象关于y轴对称，
所以f(x)的图象关于直线x=1对称，
因为函数f(x)在(-∞，1]上单调递减，
所以f(x)在[1，+∞)上单调递增，
因为a=f(-1)=f(3)，b=f(e2)，c=f(2)，
e2>3>2，
所以f(e2)>f(3)>f(2)，
即b>a>c.
题型二 函数的奇偶性与周期性
例2 (多选)(2024·苏州模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-2)=f(x+2)，当x∈[0，2]时，
f(x)=2x-2，则( )
A.f(2 024)=-1
B.f(x)的值域为[-1，2]
C.f(x)在[4，6]上单调递减
D.f(x)在[-6，6]内有8个零点
答案 AB
解析 函数f(x)满足f(x-2)=f(x+2)，所以f(x+4)=f(x)，所以f(x)是一个周期为4的周期函数，对于A，f(2
024)=f(506×4)=f(0)=-1，所以A正确；
对于B，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-2单调递增，所以当x∈[0，2]时，f(x)的值域为[-1，2]，由于函数是偶函
数，所以f(x)在[-2，0]上的值域也为[-1，2]，又f(x)是一个周期为4的周期函数，所以f(x)的值域为[-1，
2]，所以B正确；
对于C，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-2单调递增，又f(x)的一个周期是4，所以f(x)在[4，6]上单调递增，所以C
错误；
对于D，令f(x)=2x-2=0，得x=1，所以f(1)=f(-1)=0，由于f(x)的一个周期为4，所以f(5)=f(-5)=0，
f(3)=f(-3)=0，所以f(x)在[-6，6]内有6个零点，所以D错误.
思维升华 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数
值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解.
跟踪训练2 (2025·襄阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)
单调递增，则( )
(11)
A.f(6)<f(-7)<f
2
(11)
B.f(6)<f <f(-7)
2(11)
C.f(-7)<f <f(6)
2
(11)
D.f <f(-7)<f(6)
2
答案 B
解析 ∵f(x+2)=-f(x)，
∴f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x)，
∴函数f(x)是一个周期为4的周期函数，
(11) (3) ( 1) (1)
∴f(6)=f(2)=-f(0)=f(0)，f(-7)=f(1)，f =f =-f - =f ，
2 2 2 2
又当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，
(1)
∴f(0)<f <f(1)，
2
(11)
即f(6)<f <f(-7).
2
题型三 函数的奇偶性与对称性
例3 (多选)(2024·海口模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足以下三个条件：①f(-x)+f(x)=0；②
f(x)=f(2-x)；③f(1)=2，则下列说法正确的有( )
A.f(x)的图象关于直线x=-1对称
B.f(x)的图象关于点(2，0)对称
C.f(x+4)=f(x)
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(17)=10
答案 ABC
解析 ∵f(-x)+f(x)=0，f(x)的定义域为R，
∴f(x)为奇函数，
又∵f(x)=f(2-x)，
∴f(x)图象的对称轴为直线x=1.
A选项，∵f(x)=f(2-x)，
∴-f(x)=-f(2-x)，
∴f(-x)=f(x-2)，
∴f(x)的图象关于直线x=-1对称，故A正确；
C选项，由A选项分析可知，f(x-2)=-f(x)，∴f(x-4)=f(x)，
∴f(x+4)=f(x)，故C正确；
B选项，方法一 ∵f(-x)+f(x)=0，∴f(-x)+f(4+x)=0，
∴f(x)的图象关于点(2，0)对称.
方法二 ∵f(x)为奇函数，
∴f(x)的图象关于点(0，0)对称，
又f(x)的图象关于直线x=1对称，
∴f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确；
D选项，∵f(1)=2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-2，f(4)=f(0)=0，
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(17)=4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=2，故D错误.
思维升华 解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判
断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.
跟踪训练3 (多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0，则下列命题成立的是( )
A.f(x)的图象关于点(-1，0)对称
B.f(3)=0
C.函数f(x+4)为奇函数
D.函数f(x+1)为奇函数
答案 ABD
解析 因为f(2-x)+f(x)=0，所以f(2-x)=-f(x)，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，又f(x)为定义在R上的
偶函数，所以函数f(x)的图象关于点(-1，0)对称，且f(-1)=0，A选项正确；
因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，又函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)
的一个周期为4，所以f(3)=f(-1)=0，B选项正确；
因为偶函数f(x)的一个周期为4，所以f(x+4)=f(x)，所以f(x+4)为偶函数，C选项错误；
f(x+1)的图象可以由f(x)的图象向左平移一个单位长度得到，则f(x+1)的图象关于点(0，0)对称，f(x+1)为奇
函数，D选项正确.
题型四 函数性质的综合应用
例4 (多选)(2025·菏泽模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，且∀x∈R，都有f
( 1) (3 )
x+ =f -x ，定义在R上的函数f'(x)为f(x)的导函数，则以下结论一定正确的是( )
2 2
A.4为f(x)的一个周期
B.f(x)为偶函数
C.f'(x)为偶函数
(1) (3)
D.f ' =-f '
2 2
答案 ACD( 1) (3 )
解析 由f x+ =f -x ，可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称，又函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，
2 2
所以f(x)是以4为周期的周期函数，A正确；
由函数f(x)的对称性可知，f(-x)=-f(x+4)，又周期为4，所以f(x+4)=f(x)，所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，
B错误；
因为f(-x)=-f(x)，两边求导可得-f'(-x)=-f'(x)，即f'(-x)=f'(x)，所以f'(x)为偶函数，故C正确；
1 (1) (3)
因为f(x+1)=f(1-x)，则f'(x+1)=-f'(1-x)，令x=- ，则f ' =-f ' ，故D正确.
2 2 2
思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起
命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的
转换，再利用单调性解决相关问题.
跟踪训练4 (多选)(2024·乌鲁木齐模拟)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x-1)=f(x+3)，f(4-
x)=f(x)，当0≤x≤2时，f(x)=x2-x，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的一个周期为4
B.f(x)的图象只关于直线x=2对称
C.当0≤x≤6时，函数f(x)有5个零点
1
D.当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为-
2
答案 AC
解析 由f(x-1)=f(x+3)得f(x)=f(x+4)，所以函数f(x)的一个周期为4，A正确；
由f(4-x)=f(x)知，函数f(x)的图象关于直线x=2对称，由函数的周期性知，f(x)的图象也关于直线x=6对称，
B不正确；
作出函数f(x)在[0，8]上的大致图象如图所示，由图可知，当0≤x≤6时，函数f(x)有5个零点，C正确；
(15) (1) 1
当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为f =f =- ，D不正确.
2 2 4
课时精练
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)+f(x+2)=0，当0≤x≤1时，f(x)=1-x2，则f(2 025.5)等于( )A.-0.75 B.-0.25
C.0.25 D.0.75
答案 A
解析 由f(x)+f(x+2)=0，
得f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)，
则f(x+4)=f(x)，
所以4是f(x)的一个周期，
故f(2 025.5)=f(1.5)=-f(-0.5)=-f(0.5)=-(1-0.52)=-0.75.
(5) (7)
2.已知函数f(x)满足f(1-x)=f(x+3)，且f(x)在(0，2)上单调递增，则f(1)，f ，f 的大小关系是( )
2 2
(5) (7)
A.f(1)<f <f
2 2
(7) (5)
B.f <f(1)<f
2 2
(5) (7)
C.f <f <f(1)
2 2
(7) (5)
D.f <f <f(1)
2 2
答案 B
(5) (3) (7)
解析 由函数f(x)满足f(1-x)=f(x+3)，得函数f(x)的图象关于直线x=2对称，显然f =f ，f =f
2 2 2
(1) 1 3 (1) (3) (7) (5)
，而 <1< ，f(x)在(0，2)上单调递增，因此f <f(1)<f ，所以f <f(1)<f .
2 2 2 2 2 2 2
3.定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在区间[1，2]上单调递减，则函数f(x)( )
A.在区间[0，1]上单调递增，在区间[-2，-1]上单调递减
B.在区间[0，1]上单调递增，在区间[-2，-1]上单调递增
C.在区间[0，1]上单调递减，在区间[-2，-1]上单调递减
D.在区间[0，1]上单调递减，在区间[-2，-1]上单调递增
答案 B
解析 ∵f(x)=f(2-x)，
∴f(x)的图象关于直线x=1对称，
∵f(x)在区间[1，2]上单调递减，
∴f(x)在区间[0，1]上单调递增，
又∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)，
∴f(2-x)=f(-x)，∴f(x)是周期为2的函数，
∴f(x)在区间[-2，-1]上也单调递增.
4.(2025·西安模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，则下列说法错误的是( )
A.f(0)=0
B.f(x)是周期函数，且2是其一个周期
C.f(2 025)=1
D.f(3)=f(4)+f(5)
答案 C
解析 选项A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，选项A正确；
选项B，由f(x)=f(x+2)，知f(x)是周期函数，且2是其一个周期，选项B正确；
选项C，因为f(2 025)=f(1+2×1 012)=f(1)，又f(-1)=f(-1+2)=f(1)，f(-1)=-f(1)，所以f(1)=0，所以f(2 025)=0，
选项C错误；
选项D，f(3)=f(1)=0，f(4)+f(5)=f(0)+f(1)=0，选项D正确.
5.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于直线x=1对称，且f(x+2)为奇函数，若f(1)=2，则f(2 026)+f(2 027)
等于( )
A.-1 B.0 C.2 D.-2
答案 D
解析 函数f(x+2)为奇函数，
所以函数f(x+2)的图象关于点(0，0)对称，
所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，
又函数f(x)的图象关于直线x=1对称，
故函数f(x)的一个周期为4，
因为函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，
故f(2)=0，f(3)=-f(1)=-2，
所以f(2 026)+f(2 027)=f(2)+f(3)=-2.
6.(2024·济宁检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若∀a，b∈[0，+∞)，且a≠b，都有
af(a)-bf(b) (1)
<0成立，则不等式f -(2t2-t)f(2t-1)>0的解集为( )
a-b t
(1 )
A.(-1，0)∪ ，+∞
2
( 1 )
B. - ，0 ∪(1，+∞)
2
(1 )
C.(-∞，-1)∪ ，+∞
2( 1)
D. -∞，- ∪(1，+∞)
2
答案 D
解析 令g(x)=xf(x)，
由题意知g(x)在[0，+∞)上单调递减，
又f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为R上的奇函数，所以g(x)在R上单调递减，
①当t>0时，原不等式等价于
1 (1)
f >(2t-1)f(2t-1)，
t t
(1) 1
即g >g(2t-1)，所以 <2t-1，
t t
所以1<2t2-t，解得t>1；
②当t<0时，原不等式等价于
1 (1)
f <(2t-1)f(2t-1)，
t t
(1) 1
即g <g(2t-1)，所以 >2t-1，
t t
1
所以1<2t2-t，解得t<- .
2
1
所以t<- 或t>1.
2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
f(x )-f(x )
7.若定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数，且对任意x ，x ∈[1，+∞)，且x ≠x ，都有 2 1
1 2 1 2 x -x
2 1
>0，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(-1，0)对称
B.f(x)是R上的增函数
C.f(x)+f(2-x)=2
D.关于x的不等式f(x)<0的解集为(-∞，1)
答案 BD
解析 由定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数，得f(-x+1)=-f(x+1)，因此函数f(x)关于点(1，0)对称，
f(x )-f(x )
由对任意x ，x ∈[1，+∞)，且x ≠x ，都有 2 1 >0，得f(x)在[1，+∞)上单调递增，由函数的对称
1 2 1 2 x -x
2 1
性知，f(x)在(-∞，1]上单调递增，又f(1)=0，因此f(x)是R上的增函数，B正确；
显然f(-1)<f(1)=0，则f(x)的图象不关于点(-1，0)对称，A错误；由f(x)关于点(1，0)对称，得f(x)+f(2-x)=0，C错误；
显然f(1)=0，又f(x)在R上单调递增，则由f(x)<0，得x<1，D正确.
8.(2025·开封模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则( )
A.f(0)=2
B.f(3-x)=f(3+x)
C.f(x)是周期函数
π
D.f(x)的解析式可能为f(x)=2sin x
6
答案 ABC
解析 由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，
令x=1，y=0，有f(1)+f(1)=f(1)f(0)，可得f(0)=2，故A正确；
令x=0，则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y)，则f(y)=f(-y)，
π
函数f(x)是偶函数， 而f(x)=2sin x为奇函数，故D错误；
6
f(1)=1，令y=1，
则f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x)，
所以f(x+1)=f(x)-f(x-1)，
则f(x)=f(x-1)-f(x-2)，
f(x+1)=[f(x-1)-f(x-2)]-f(x-1)=-f(x-2)，
所以f(x)=-f(x-3)=f(x-6)，则f(x)的一个周期为6，C正确；
由于f(x)为偶函数且周期为6，故f(3-x)=f(x-3)=f(3+x)，B正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
[π (T)]
9.(2024·杭州模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且是最小正周期为T的周期函数，则sin +f 的
3 2
值为 .
√3
答案
2
解析 因为f(x)的最小正周期为T，
(T) (T ) ( T)
故f =f -T =f - ，
2 2 2
( T) (T)
又f(x)为奇函数，故f - =-f ，
2 2
(T) (T) (T)
故f =-f ，即2f =0，
2 2 2(T)
解得f =0，
2
[π (T)] π √3
故sin +f =sin = .
3 2 3 2
10.(2025·郑州联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈[-1，1]时，
f(x)=ax+1，则f(2 025)= .
答案 2
解析 因为f(2x-1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称，
又f(x+1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，
所以f(x)为周期函数且周期T=4×|1-(-1)|=8，
所以f(2 025)=f(8×253+1)=f(1)=a+1，
因为f(-1)=-a+1=0，所以a=1，所以f(2 025)=a+1=2.
