文档文本内容
考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要
性质，可用来求最值.
【知识梳理】
1.数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项
小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号
n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，
那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式
子叫做这个数列的递推公式.
[常用结论与微点提醒]
1.若数列{an}的前n 项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2.在数列{an}中，若an最大，则
若an最小，则
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )
(4)如果数列{an}的前n 项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)数列：1，2，3 和数列：3，2，1 是不同的数列.
(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.
(3)数列可以是常数列或摆动数列.
2.( 选修二P8T3 改编) 已知数列{an} 满足a1 ＝2 ，an ＝2 －(n≥2) ，则a5 ＝
________，猜想an＝________.
答案
解析 由题意知a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝，a5＝2－＝，
猜想an＝.
3.已知数列{an}的前n 项和Sn＝n2＋2，则{an}的通项公式an＝________.
答案
解析 当n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋2－(n－1)2－2＝2n－1，
又当n＝1 时，a1＝S1＝3，不满足上式.
故an＝
4.已知an＝n2－3n＋1，则数列{an}的最小项为________.
答案 a1＝a2＝－1
解析 an＝n2－3n＋1＝－，
故当n＝1 或n＝2 时，{an}的最小项为
a1＝a2＝－1.
考点一 由an与Sn的关系求通项
例1 (1)已知数列{an}的前n 项和Sn＝n2＋2n，则an＝________.
答案 2n＋1
解析 当n＝1 时，a1＝S1＝3.
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.
由于a1＝3 也满足上式，∴an＝2n＋1.
(2)已知数列{an}中，Sn 是其前n 项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝
________.
答案 －2n－1
解析 当n＝1 时，a1＝S1＝2a1＋1，
∴a1＝－1.
当n≥2 时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，
∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2 的等比数列.
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
迁移 在本例(1)中，若Sn＝n2＋2n＋1，求an.
解 当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
又当n＝1 时，a1＝S1＝4，不满足上式，
故an＝
感悟提升 1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求
通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
训练1 (1)(2024·山西名校联考)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝
(n＋1)2，n∈N*，则{an}的通项公式an＝________.
答案
解析 因为a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，①
所以a1＝22＝4，
当n≥2 时，
a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝n2，②
由①－②，可得(2n－1)an＝2n＋1，
所以an＝(n≥2，n∈N*)，
当n＝1 时，不满足上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝
(2)设Sn是数列{an}的前n 项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
答案 －
解析 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
因为Sn≠0，所以－＝1，
即－＝－1.
又＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1 的等差数列.
所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
所以Sn＝－.
考点二 由数列的递推关系求通项公式
角度1 累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
例2 (2024·西安质检)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列{an}的通
项公式是________.
答案 an＝
解析 依题意，an＋1＝an＋n＋1，
当n≥2 时，an＝an－1＋n，
即an－an－1＝n，
所以当n≥2 时，an＝(an－an－1)＋(an－1＋an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…
＋2＋1＝，
当n＝1 时，a1＝1 符合上式，
故数列{an}的通项公式是an＝.
角度2 累乘法——形如＝f(n)，求an
例3 (2023·重庆育才中学调研)已知a1＝2，an＝n(an＋1－an)，则数列{an}的通项公
式是an＝( )
A.n
B.n＋1
C.2n
D.
答案 C
解析 由an＝n(an＋1－an)，
得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，
则当n≥2 时，＝，＝，＝，…，＝，
由累乘法可得
＝···…·＝n(n≥2)，
因为a1＝2，所以an＝2n.
感悟提升 1.形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式，可利用累加法求和，特别注意能
消去多少项，保留多少项.
2.形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝
··…··a1代入求出通项.
训练2 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
A.2＋ln n
B.2＋(n－1)ln n
C.2＋nln n
D.1＋n＋ln n
答案 A
解析 因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
…
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2 也满足此式，
因此an＝2＋ln n(n∈N*).
(2)已知在数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝________.
答案 n·2n－1
解析 an＝···…···a1
＝×××…×××1＝2n－1·n，
又n＝1 时，a1＝1 适合上式，所以an＝n·2n－1.
考点三 数列的性质
角度1 数列的周期性
例4 (2024·厦门质检)已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝2，n∈N*，若Tn＝a1a2…
an，n∈N*，则T10＝________.
答案 －6
解析 因为a1＝2，an＋1＝，
所以a2＝＝－3，a3＝＝－，
a4＝＝，a5＝＝2＝a1，…，
所以数列{an}的周期为4，
又T4＝a1a2a3a4＝2×(－3)××＝1，
所以T10＝(a1a2a3a4)·(a5a6a7a8)·(a9a10)
＝1×1×2×(－3)＝－6.
角度2 数列的单调性
例5 (多选)(2024·湖南六校联考)已知数列{an}满足a1＝1，＝an＋，则下列说法正
确的是( )
A.an＋1≥2an
B.是递增数列
C.{an＋1－4an}是递增数列
D.an≥n2－2n＋2
答案 ABD
解析 对于A，法一 由＝an＋，
得an＋1＝a＋1≥1.
又a1＝1，所以an≥1，
所以＝an＋≥2＝2，
所以an＋1≥2an，当且仅当an＝，
即an＝1 时取等号，故A 正确.
法二 由于＝an＋，
所以an＋1＝a＋1，
所以an＋1－2an＝a＋1－2an＝(an－1)2≥0，
所以an＋1≥2an，故A 正确.
对于B，由于an＋1≥2an，得an＋1>an，
所以{an}为递增数列，
由a1＝1，y＝x＋在[1，＋∞)上单调递增，可得为递增数列，故B 正确.
对于C，由an＋1＝a＋1，a1＝1，
得a2＝2，a3＝5，
所以a2－4a1＝－2，a3－4a2＝－3，
所以数列{an＋1－4an}不是递增数列，故C 错误.
对于D，因为an≥1，
所以an＋1－a＝1≤an＋1－an，
所以an＋1＝(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1≥n＋1，
所以an≥n，所以an＋1＝a＋1≥n2＋1，
则an≥(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，故D 正确.
角度3 数列的最值
例6 (2024·合肥质检)若数列{an}的前n 项积bn＝1－n，则an的最大值与最小值之
和为( )
A.－
B.
C.2
D.
答案 C
解析 ∵数列{an}的前n 项积bn＝1－n，
当n＝1 时，a1＝；
当n≥2 时，bn－1＝1－(n－1)，
an＝＝＝＝1＋，
当n＝1 时也适合上式，
∴an＝1＋，
∴当n≤4 时，数列{an}单调递减，且an＜1；
当n≥5 时，数列{an}单调递减，且an＞1，
故an的最大值为a5＝3，最小值为a4＝－1，
∴an的最大值与最小值之和为2.
感悟提升 1.解决数列单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常
数列.
(2)用作商比较法，根据(an＞0 或an＜0)与“1”的大小关系进行判断.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
2.求数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数的单调性求最值.
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项.
(3)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
训练3 (1)已知数列{an}的前n 项积为Tn，a1＝2 且an ＋1＝1－，则T2 025＝
________.
答案 －1
解析 ∵a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，
a4＝1－＝2，…，
∴数列{an}是周期为3 的数列.
又a1a2a3＝2××(－1)＝－1，
且2 025＝3×675，
∴T2 025＝(－1)675＝－1.
(2)已知数列{an}满足an＝n2－λn(n∈N*)，若{an}是递增数列，则λ 的取值范围是
___________.
答案 (－∞，3)
解析 已知an＝n2－λn(n∈N*)，
若{an}是递增数列，
则当n≥2 时，an＝n2－λn>an－1＝(n－1)2－λ(n－1)，
得2n－1>λ，所以λ<3，
则λ 的取值范围为(－∞，3).
(3)已知数列{an}的通项an＝，n∈N*，则数列{an}前20 项中的最大项与最小项分
别为________.
答案 3，－1
解析 an＝＝＝1＋，
当n≥11 时，>0，且数列{an}单调递减；
当1≤n≤10 时，<0，且数列{an}单调递减.
因此数列{an}前20 项中的最大项与最小项分别为第11 项，第10 项.a11＝3，a10＝
－1.
【A 级 基础巩固】
1.数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项可能是( )
A.an＝
B.an＝
C.an＝
D.an＝
答案 A
解析 数列为，，，，，…，其分母为2，
分子可表示为1＋5(n－1)＝5n－4，
因此通项公式可能为an＝.
2.已知an＝，那么数列{an}是( )
A.递减数列
B.递增数列
C.常数列
D.摆数列
答案 B
解析 an＝1－，将an看作关于n 的函数，n∈N*，易知数列{an}是递增数列.
3.(2024·青岛质检)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，则a10＝( )
A.36
B.15
C.46
D.66
答案 C
解析 由题意得an＋1－an＝n，
则a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝9＋…＋2＋1＋1＝＋1＝46.
4.(2024·沈阳市郊联体联考)九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具，有多
种玩法.在某种玩法中：已知解下1 个圆环最少需要移动圆环1 次，解下2 个圆环
最少需要移动圆环2 次，记an(3≤n≤9, n∈N*)为解下n 个圆环需要移动圆环的
最少次数，且an＝an－2＋2n－1，则解下8 个圆环所需要移动圆环的最少次数为(
)
A.30
B.90
C.170
D.341
答案 C
解析 由题意，a8＝a6＋27，a6＝a4＋25，
a4＝a2＋23＝2＋23，
所以a8＝2＋23＋25＋27＝170.
5.(2024·潍坊调研)已知数列{an}满足an＝n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数
a 的取值范围是( )
A.(2，3)
B.[2，3)
C.
D.(1，3)
答案 C
解析 当n≤6 时，有3－a>0，即a<3；
当n>6 时，有a>1，
又a7>a6，所以a>10－6a，解得a>.
综上，有<a<3，故选C.
6.已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 025＝( )
A.－1
B.
C.1
D.2
答案 A
解析 由a1＝，an＋1＝得
a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，…，
可知数列{an}是以3 为周期的数列，
因此a2 025＝a3×674＋3＝a3＝－1.
7.(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是( )
A.a1是数列{an}的最小项
B.a4是数列{an}的最大项
C.a5是数列{an}的最大项
D.当n≥5 时，数列{an}递减
答案 BCD
解析 假设第n 项为{an}的最大项，
则
即
所以
又n∈N*，所以n＝4 或n＝5，
故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，
当n≥5 时，数列{an}递减.
8.(2024·深圳调研)已知数列{an}的前n 项和Sn＝－2n2＋4n(n∈N*)，则a5＝
________.
答案 －14
解析 当n＝1 时，a1＝S1＝－2＋4＝2，
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋4n－[－2(n－1)2＋4(n－1)]＝－4n＋6.
当n＝1 时上式也符合，所以an＝－4n＋6.
所以a5＝－20＋6＝－14.
9.已知数列{an}，Sn为其前n 项和，Sn＝2an＋1＋1，a1＝，则an＝________.
答案
解析 由Sn＝2an＋1＋1，①
得Sn－1＝2an＋1，n≥2，②
①－②得an＝2an＋1－2an，
即an＋1＝an，n≥2.
又a1＝2a2＋1，所以a2＝≠a1＝，
所以数列{an}从第二项起是公比为的等比数列，
所以an＝
10.若数列{an}的前n 项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝
________，数列{nan}中数值最小的项是第________项.
答案 2n－11 3
解析 ∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1 时，a1＝S1＝－9 也适合上式.
∴an＝2n－11(n∈N*).
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，
∴当n＝3 时，f(n)取最小值，
∴数列{nan}中数值最小的项是第3 项.
11.求下列数列{an}的通项公式.
(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
解 (1)由an＋1＝an＋3n得an＋1－an＝3n，
当n≥2 时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝1＋31＋32＋33＋…＋3n－1
＝＝，
当n＝1 时，a1＝1＝，满足上式，
∴an＝(n∈N*).
(2)由an＋1＝2nan，得＝2n，
当n≥2 时，an＝a1××××…×＝1×2×22×23×…×2n－1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2.
当n＝1 时，a1＝1 满足上式，
∴an＝2(n∈N*).
12.已知数列{an}中，a1＝1，其前n 项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ 的取值范围.
解 (1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，
∴＝，∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*).
(2)bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2·3n－λ(2n＋1).
∵数列{bn}为递增数列，
∴2·3n－λ(2n＋1)＞0，
即λ＜.令cn＝，
即＝·＝
＝1＋＞1.
∴{cn}为递增数列，∴λ＜c1＝2，
即λ 的取值范围为(－∞，2).
【B 级 能力提升】
13.在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记bn＝，Tn
为数列{bn}的前n 项和，则T2 025＝________.
答案
解析 由n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，得n2an－(Sn－Sn－1)＝n2an－1，
所以(n2－1)an＝n2an－1，
所以＝×.
令cn＝，则cn＝cn－1×，
所以＝.
由累乘法得＝，
又c1＝a1＝1，
所以cn＝，所以＝，
所以an＝，
所以bn＝＝＝2×，
所以T2 025＝
2×
＝2×＝.
14.已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R 且a≠0).
(1)若a＝－9，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a 的取值范围.
解 (1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又a＝－9，∴an＝1＋(n∈N*).
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知1>a1>a2>a3>a4>a5，a6>a7>…＞an>1(n∈N*).
∴数列{an}中的最大项为a6＝2，最小项为a5＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5<<6，即－10<a<－8.
故a 的取值范围是(－10，－8).
