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变力做功
求变力做功的常用方法
1.“微元法”求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力
做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法适用于求解大小不变、方向改变的变
力做功。如图所示，质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W 克f＝
Ff·Δx1+Ff·Δx2+Ff·Δx3+…＝Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)＝Ff·2πR。
例1 (多选)(2024·山东泰安市检测)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后
静止释放摆球。设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力的大小Ff不变，重力加速度为g，则下
列说法正确的是( )
A.重力做功为mgL
B.悬线的拉力做功为0
C.空气阻力做功为－mgL
D.空气阻力做功为－1
2FfπL
2.“平均力”求变力做功
当力的方向不变而大小随位移线性变化时，可先求出力在这段位移中的平均值F ＝F1+ F2
2
，再由W＝F
lcos α 计算，如弹簧弹力做功。
例2 野山鼠擅长打洞，假设野山鼠打洞时受到的阻力Ff与洞的深度L 成正比，即Ff＝kL(k 为比例常
数)，则野山鼠打到洞深d 的过程中，需要克服阻力做的功为( )
A.kd2
B.k d
2
2
C.2kd2
D.k
2d
2
2
3.“图像法”求变力做功
在F－x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移内所做的功，且位于x 轴上方的
“面积”为正功，位于x 轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线与x 轴所围面积的情况
(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。如图所示，一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为
x1，F－x 图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0+ F1
2
x1。
1
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例3 一物体所受的力F 随位移x 变化的图像如图所示，在这一过程中，力F 对物体做的功为( )
A.3 J
B.6 J
C.7 J
D.8 J
4.“转化法”求变力做功
通过转换研究对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Flcos α 求解，如轻绳通过光滑轻质定滑轮拉物
体运动过程中拉力做功问题。如图所示，恒力F 把放在光滑水平面上的物体从A 拉到B，因轻绳对物体做
的功等于拉力F 对轻绳做的功，故轻绳对物体做功W＝F(
h
sin α －
h
sin β )。
例4 如图所示，一辆拖车通过光滑轻质定滑轮将一重为G 的物体匀速提升，当拖车从A 点水平移动
到B 点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ 角，不计空气阻力，求此过程中拖车对绳子所做
的功。
其他求变力做功的方法
(1)当发动机功率一定，求发动机做功用W＝Pt。
(2)利用动能定理求变力做功WF+W 其他力＝ΔEk。
1.(2025·山东烟台市龙口市段考)水平桌面上，长6 m 的轻绳一端固定于O 点，如图所示(俯视图)，另一
端系一质量m＝2.0 kg 的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F 拉着小球从M 点运
动到N 点，F 的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空
气阻力，g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是( )
2
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A.拉力F 对小球做的功为16π J
B.拉力F 对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
2.如图所示，n 个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它
们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩
擦因数为μ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大
小为( )
A.1
4 μMgl
B.1
3μMgl
C.1
2μMgl
D.μMgl
3.(多选)(2024·山东泰安市检测)如图甲所示，质量为4 kg 的物体在水平推力作用下由静止开始运动，推
力大小F 随位移大小x 变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ=0.5，g 取10 m/s2，则(
)
A.物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动
B.物体在运动过程中的加速度先变小后不变
C.运动过程中推力做的功为200 J
D.物体在运动过程中的最大速度为8 m/s
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答案精析
例1 ABD [根据W＝Flcos α，摆球下摆过程中，重力做功为mgL，A 正确；悬线的拉力始终与速度方向
垂直，故做功为0，B 正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，使用微元法得空气阻力做
功为－Ff·1
2πL＝－1
2FfπL，C 错误，D 正确。]
例2 B [由于打洞时受到的阻力Ff与洞的深度L 成正比，则野山鼠打到洞深d 的过程中，需要克服阻力
做的功为W＝F f·d＝kd
2 d＝k d
2
2 ，故选B。]
例3 B [力F 对物体做的功等于F－x 图线与横轴所围面积的代数和，0~4 s 这段时间内力F 对物体做的
功为W1＝1
2×(3+4)×2 J＝7 J，4~5 s 这段时间内力F 对物体做的功为W2＝－1
2×(5－4)×2 J＝－1 J，全过
程中，力F 对物体做的功为W＝W1+W2＝7 J－1 J＝6 J，故选B。]
例4 1−cosθ
sinθ
Gs
解析 拖车对绳子做的功等于绳子对物体做的功，以物体为研究对象，由于整个过程中物体匀速运动，所
以绳子的拉力大小FT＝G。物体上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB 减去开始时的绳长OA，即l＝
s
sinθ －
s
tanθ ，所以绳子对物体做的功W＝FTl＝1−cosθ
sinθ
Gs，则拖车对绳子做的功等于1−cosθ
sinθ
Gs。
跟踪训练
1.A [将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F 在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F 大小不变，方向
始终与小球的运动方向成37°角，
所以W1＝Fl1cos 37°，
W2＝Fl2cos 37°，…
Wn＝Flncos 37°
故WF＝W1+W2+…+Wn
＝Fcos 37°(l1+l2+…+ln)
＝Fcos 37°·π R
3 ＝10×0.8×π
3 ×6 J
＝16π J，故A 正确，B 错误；同理可得小球克服摩擦力做的功W 克f＝μmg·π R
3 ＝8π J，故C、D 错误。]
2.C [小方块依次进入粗糙区域，摩擦力随位移线性增大，设小方块全部进入粗糙区域时的摩擦力为Ff，
则Ff=μMg，整个过程中的平均摩擦力Ff=0+ Ff
2
=1
2μMg，摩擦力对所有小方块做的功W=-Ff·l=-1
2μMgl，
所以做功的大小为1
2μMgl。故选C。]
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3.CD [滑动摩擦力大小为Ff=μmg=20 N，一开始推力大于滑动摩擦力，随着推力的减小，物体先做加速度
逐渐减小的加速运动；当推力减小到20 N 时，加速度为零，物体的速度达到最大；之后推力小于滑动摩擦
力，物体做加速度逐渐增大的减速运动，当推力减小为零后，物体做匀减速运动，故A、B 错误；根据F-x
图像中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，可得运动过程中推力做的功为W=1
2×100×4 J=200 J，故C
正确；当推力减小到20 N 时，加速度为零，物体的速度达到最大，根据F-x 图像可知此时物体的位移为
x=3.2 m，根据动能定理可得WF-Ffx=1
2mvm
2-0，其中WF=1
2×(100+20)×3.2 J=192 J，解得物体在运动过程中
的最大速度为vm=8 m/s，故D 正确。]
5
