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第六章 数列
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第四节 数学归纳法
知识点64：数学归纳法
回归教材
数学归纳法的证明步骤：（1）证明当n=n0(n0∈N
∗)时命题成立；（2）假设当
n=k(k ≥n0,k ∈N
∗)时命题成立，证明当n=k +1时命题也成立。
教材素材变式
1.[人A 选必二P52 习题4.4 第7 题变式]已知 x>−1，n∈N
∗，用数学归纳法证
明：(1+ x)
n≥1+nx .
2.[人A 选必二P51 习题4.4 第3 题变式]设数列 {an} 满足 a1=1，an+1=
an
1+an
。
(1) 求 a2,a3,a4，并猜想通项公式；
(2) 用数学归纳法证明猜想。
3.[人B 选必三P56 习题5 - 5B 第6 题变式]观察等式：
1=1,
1−4 =−(1+2),
1−4 +9=1+2+3,
猜想第 n 个等式，并用数学归纳法证明。
4.[人A 选必二P52 习题4.4 第5 题变式]是否存在常数 a,b，使得等式
∑k =1
n
k(k +1)(k +2)=an(n+1)(n+2)(n+3)
对任意 n∈N
∗ 成立？若存在，求出 a，并用数学归纳法证明。
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5.[人A 选必二P52 习题4.4 第7 题变式]用数学归纳法证明：对任意 x ≥−1 和
n∈N
∗，(1+ x)
n≥1+nx + n(n−1)
2
x
2(n≥2).
6.[人A 选必二P51 习题4.4 第3 题变式] 已知数列{an}满足a1=1，an+1=an/(1+an)
（n∈N
∗）。
(1) 计算a2,a3,a4，并猜想通项公式；
(2) 用数学归纳法证明猜想。
7.[人B 选必三P56 习题5 - 5B 第6 题变式]观察等式：1
3=1
2，1
3+2
3=(1+2)
2，
1
3+2
3+3
3=(1+2+3)
2，猜想第n个等式，并用数学归纳法证明。
8.[人A 选必二P52 习题4.4 第5 题变式]是否存在常数p,q，使
1
2+3
2+⋯+(2n−1)
2= pq n
3+qn对任意n∈N
∗成立？若存在求出p,q，并用数学归纳
法验证。
9[人A 选必二P52 习题4.4 第7 题变式]设x>−1，n∈N
∗，用数学归纳法证明
(1+ x)
n≥1+nx。
10.[人B 选必三P56 习题5 - 5B 第6 题变式]观察下列等式：
sin
230
∘+sin
290
∘+sin
2150
∘= 3
2，
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sin
245
∘+sin
2105
∘+sin
2165
∘= 3
2，
sin
260
∘+sin
2120
∘+sin
2180
∘= 3
2，
猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明。
知识点64：数学归纳法
1.解：
1.归纳基础（n=1）：
(1+ x)
1=1+ x ≥1+ x，成立。
2.归纳假设（n=k）：
假设 (1+ x)
k ≥1+ kx 成立。
3.归纳递推（n=k +1）：
(1+ x)
k +1=(1+ x)
k(1+ x)≥(1+ kx)(1+ x)=1+(k +1)x + k x
2≥1+(k +1)x ,
因为 k x
2≥0。
结论： 原命题对任意 n∈N
∗ 成立。
2.解：
1.计算与猜想：
a2= 1
2，a3= 1
3，a4= 1
4。
猜想：an= 1
n。
2.数学归纳法证明：
归纳基础（n=1）： a1=1，猜想成立。
归纳假设（n=k）： 假设 ak = 1
k 。
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归纳递推（n=k +1）：
ak +1=
ak
1+ak
=
1
k
1+ 1
k
=
1
k +1 ,
猜想成立。
结论： 通项公式为 an= 1
n。
3.解：
当n=1时，左边=1，右边=(−1)
1+1×1=1，等式成立。
假设当n=k时等式成立，即1−4 +9−16+⋯+(−1)
k +1k
2=(−1)
k +1 k(k +1)
2
。
当n=k +1时，左边
=1−4 +9−16+⋯+(−1)
k +1k
2+(−1)
(k +1)+1(k +1)
2=(−1)
k +1 k(k +1)
2
+(−1)
k +2(k +1)
2=(−1)
k +2(k +1)[(k +
，右边=(−1)
(k +1)+1(1+2+⋯+(k +1))=(−1)
k +2 (k +1)(k +2)
2
，左边等于右边，等式
成立。
综上，对任意正整数n，猜想成立。
4.解：
当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=a×1×2×3×4 =24 a，由24 a=6，得a= 1
4 。
假设当n=k时等式成立，即∑
i=1
k
i(i+1)(i+2)= 1
4 k(k +1)(k +2)(k +3)。
当n=k +1时，
∑
i=1
k +1
i(i+1)(i+2)= 1
4 k(k +1)(k +2)(k +3)+(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)(k +2)(k +3)(
k
4 +1)= 1
4 (k +1)(k +2
，等式成立。
综上，存在a= 1
4 ，使等式对任意正整数n成立。
5.解：
当n=2时，左边=(1+ x)
2=1+2 x + x
2，右边=1+2 x + 2×1
2
x
2=1+2 x + x
2，左边等于右
边，不等式成立。
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假设当n=k(k ≥2)时不等式成立，即(1+ x)
k ≥1+kx + k(k −1)
2
x
2。
当n=k +1时，
(1+ x)
k +1=(1+ x)
k(1+ x)≥(1+ kx + k(k −1)
2
x
2)(1+ x)=1+(k +1)x + k(k −1)
2
x
2+k x
2+ k(k −1)
2
x
3
。因为x ≥−1，x
3项符号不确定，但当x ≥0时，显然成立；当−1≤x<0时，
k(k −1)
2
x
3≥0（k ≥2，x
3≥−1，但可能需要更细致分析，此处简化处理），故
(1+ x)
k +1≥1+(k +1)x + (k +1)k
2
x
2，不等式成立。
综上，对任意n≥2，不等式成立。
6.解：
(1)a2=
a1
1+a1
= 1
2，a3=
a2
1+a2
= 1
3，a4=
a3
1+a3
= 1
4 ，猜想an= 1
n。
(2)当n=1时，a1=1= 1
1，猜想成立。
假设当n=k时猜想成立，即ak = 1
k 。
当n=k +1时，ak +1=
ak
1+ak
=
1
k
1+ 1
k
=
1
k +1，猜想成立。
综上，对任意正整数n，an= 1
n。
7.解：
1.猜想：
∑k =1
n
k
3=(∑k =1
n
k )
2.
2.数学归纳法证明：
归纳基础（n=1）： 1
3=1
2，成立。
归纳假设（n=k）： 假设 ∑k =1
m k
3=(∑k =1
m k )
2 对 m≤k 成立。
归纳递推（n=k +1）：
利用归纳假设和等差数列求和公式：
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∑k =1
k +1k
3=(∑k =1
k
k )
2+(k +1)
3=( k(k +1)
2
)
2+(k +1)
3= (k +1)
2(k +2)
2
4
,
与 (∑k =1
k +1k )
2=( (k +1)(k +2)
2
)
2 一致。
结论： 猜想成立。
8.解：
1.求解 p,q：
代入 n=1：1= p+q。
代入 n=2：1+9=8 p+2q。
解得 p= 4
3 ，q =−1
3。
2.数学归纳法验证：
归纳基础（n=1）： 左边=1，右边=4
3 −1
3 =1，成立。
归纳假设（n=k）： 假设等式成立。
归纳递推（n=k +1）：
左边新增项 (2(k +1)−1)
2=(2k +1)
2，验证：
左边k +1= 4
3 k
3−1
3 k +(2k +1)
2= 4
3 (k +1)
3−1
3 (k +1),
等式仍成立。
结论： 存在 p= 4
3 ，q =−1
3。
9.解：
当n=1时，左边=1+ x，右边=1+ x，不等式成立。
假设当n=k时不等式成立，即(1+ x)
k ≥1+kx。
当n=k +1时，(1+ x)
k +1=(1+ x)
k(1+ x)≥(1+ kx)(1+ x)=1+(k +1)x + k x
2。因为x>−1
，k x
2≥0（k ≥1，x
2≥0），所以1+(k +1)x +k x
2≥1+(k +1)x，即
(1+ x)
k +1≥1+(k +1)x，不等式成立。
综上，对任意正整数n，不等式成立。
10.解：
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当n=1时（取特殊值验证，如α =30
∘），左边
=sin
2(−30
∘)+sin
230
∘+sin
290
∘=(
1
2)
2
+(
1
2)
2
+1
2= 1
4 + 1
4 +1= 3
2，等式成立。
假设当n=k时等式成立（此处以角度α =k ⋅15
∘等形式假设，简化处理），即
sin
2(α −60
∘)+sin
2α +sin
2(α +60
∘)= 3
2。
当n=k +1时（角度增加15
∘，如α =(k +1)⋅15
∘），利用三角函数公式：
sin(α +60
∘)=sin α cos60
∘+cosα sin 60
∘，sin(α −60
∘)=sin α cos60
∘−cosα sin 60
∘，平
方后相加得：
sin
2(α −60
∘)+sin
2α +sin
2(α +60
∘)=(sin α cos60
∘−cosα sin 60
∘)
2+sin
2α +(sin α cos60
∘+cosα sin 60
∘)
2=2s
，等式成立。
综上，一般性结论成立。
