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数量关系---第三次课
王陈老师
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 15
第三章 行程问题
第一节 基本行程
一、基本公式
路程 = 速度 × 时间（S=vt）
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能 力 训 练
利用基本公式求解下列问题。
1. 小王家距离单位 1.2 公里，每天步行上班，速度为每分钟 100 米，则他从家步行到单位需要（ ）
分钟。
2. 一辆汽车从 A 地开到 B 地用时一个小时，返回时速度为每小时 75 公里，比去时节约了20 分钟，则 A、
B 两地相距（ ）公里。
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3. 一人骑车从甲地到乙地，先以 12 千米 / 小时的速度骑行了 15 分钟，之后以 24 千米 / 小时的速度骑
行了 10 分钟到达乙地。则此人从甲地到乙地的平均速度是（ ）千米 / 小时。
4. 甲开车从 A 地前往 B 地，出发时的速度为 60 千米 / 小时，此后均匀加速，一段时间后，速度达到 80
千米 / 小时。则这段时间内甲开车的平均速度是（ ）千米 / 小时。
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二、行程图
画行程图时需要标出运动物体在不同时刻的位置，分析不同时刻点前后的路程变化并标注
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能 力 训 练
画行程图回答下列问题。
甲从某地出发匀速前进，一段时间后，乙从同一地点以同样的速度同向前进，在 K 时刻乙距起点 30 米；
他们继续前进，当乙走到甲在 K 时刻的位置时，甲离起点 108 米。
（1）画行程图梳理题干条件。
（2）充分利用题干条件，确定或用未知数表示甲、乙每段时间的路程。
（3）根据图中线段间的关系列式求解整个过程中乙走的路程。
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三、解题训练
【例 1】经技术改进，A、B 两城间列车的运行速度由 150 千米 / 小时提升到 250 千米 / 小时，行车时间
因此缩短了 48 分钟，则 A、B 两城间的距离为（ ）。
A. 300 千米 B. 291 千米 C. 310 千米 D. 320 千米
方法一：根据路程相等列等量关系求解。
方法二：根据时间关系列等量关系求解。
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1. 列车以（x+40）千米 / 时的速度行驶 n 小时行驶的路程，与以 x 千米 / 时的速度行驶 1.5n小时行驶的
路程相等，问：其以（x+60）千米 / 时的速度行驶 560 千米需要多少小时？（ ）
A. 5
B. 4.5
C. 4
D. 3.5
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2. 小赵从单位出发，依次前往甲村和乙村调研。从单位到甲村开车和骑车的速度分别为3x 和 x；从甲村到
乙村开车和骑车的速度分别为 1.5x 和 0.8x，如全程骑车，用时为开车的 2 倍，问从单位到甲村的路程是
从甲村到乙村路程的（ ）。
A. 不到 0.5 倍
B. 0.5 ～ 1 倍之间
C. 1 ～ 2 倍之间
D. 2 倍以上
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2. 小赵从单位出发，依次前往甲村和乙村调研。从单位到甲村开车和骑车的速度分别为3x 和 x；从甲村到
乙村开车和骑车的速度分别为 1.5x 和 0.8x，如全程骑车，用时为开车的 2 倍，问从单位到甲村的路程是
从甲村到乙村路程的（ ）。
A. 不到 0.5 倍
B. 0.5 ～ 1 倍之间
C. 1 ～ 2 倍之间
D. 2 倍以上
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3. 空军某部队运送救灾物资到灾区。原计划飞机每分钟飞行 12 千米，由于灾情严重，飞机速度提高到每
分钟 15 千米，结果比原计划提前 30 分钟到达目的地。则机场到灾区的距离是（ ）千米。
A. 1600
B. 1800
C. 2050
D. 2250
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【例 2】小明从 A 地出发步行前往 B 地，1.5 小时后到达两地的中点，改骑自行车，0.5 小时后到达 B 地。
到达 B 地后立即返回，先骑电动车走完一半路程，再步行返回 A 地。若小明步行速度为 1 米 / 秒，骑电
动车的速度是自行车的两倍，则小明往返 A、B 两地共用多少小时？
（ ）
A. 3.75
B. 4
C. 4.25
D. 4.5
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学 以 致 用
1. 中午 12 点，甲驾驶汽车从 A 地到 B 地办事，行驶 1 小时，走了总路程的 15%。此后甲的速度增加了
15 公里 / 小时，又行驶了 30 分钟后，距离 B 地还有3/4的路程。此后甲的速度如果再增加 15 公里 / 小
时，问几点能到 B 地？（ ）
A. 16:00
B. 16:30
C. 17:00
D. 17:30
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2.A 地到 B 地的道路是下坡路。小周早上 6:00 从 A 地出发匀速骑车前往 B 地，7:00 时到达两地正中间
的 C 地。到达 B 地后，小周立即匀速骑车返回，在 10:00 时又途经 C 地。此后小周的速度在此前速度的
基础上增加 1 米 / 秒，最后在 11:30 回到 A 地。问 A、B 两地间的距离在以下哪个范围内？（ ）
A. 大于 50 公里
B. 40 ～ 50 公里
C. 30 ～ 40 公里
D. 小于 30 公里
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第二节 相遇追及
一、直线上的相遇问题
路程和 = 速度和 × 时间
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示例 ：A、B、C 三地位于同一直线公路上，甲、乙两人分别从 A、C 两地同时出发相向而行，甲的速度
为 20 千米 / 小时，乙的速度为 14 千米 / 小时，半小时后两人在 B 地相遇。
（1）画出行程图，分别表示出甲、乙走的路程。
（2）整个相遇过程中两人所用时间有什么关系？
（3）两人所走路程和与两人的速度、时间存在什么关系？
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【例】甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，匀速前进。如果每人按一定的速度前进，4 小
时相遇；如果各自每小时比原计划少走 1 千米，5 小时相遇。则 A、B 两地的距离是（ ）。
A. 40 千米
B. 20 千米
C. 30 千米
D. 45 千米
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学 以 致 用
1. 甲、乙两人骑自行车从东西两地同时出发，相向而行，经过 8 分钟相遇。如果甲每分钟少行 180 米，
而乙每分钟多行 230 米，经过 7 分钟就能相遇，东西两地相距多少米？（ ）
A. 1240
B. 1440
C. 1840
D. 2800
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2. 甲乙两座城市相距 530 千米，货车和客车分别从两城出发，相向而行。货车每小时行50 千米，客车每
小时行 70 千米。客车因故比货车晚出发 1 小时，两车在途中某地相遇。问相遇时货车行驶多少千米？（
）
A. 100
B. 150
C. 200
D. 250
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3. 甲、乙两列直达高铁同时从 C、D 两站出发，匀速相向而行，两车相遇时甲车比乙车多行驶 120 千米，
相遇后甲车经过 96 分钟到达 D 站，乙车经过 150 分钟到达 C 站。问 C、D 两站相距多少千米？（ ）
A. 400
B. 450
C. 540
D. 1080
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二、直线上的追及问题
路程差 = 速度差 × 时间
示例 ：A、B、C三地位于同一直线公路上，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发同向而行，甲的速度为
20 千米 / 小时，乙的速度为 14 千米 / 小时，1 小时后甲在 C 地追上乙。
（1）画出行程图，分别表示出甲、乙走的路程。
（2）整个追及过程中两人所用时间有什么关系？
（3）两人所走路程差与两人的速度、时间存在什么关系
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解题训练
【例】A、B 两地相距 150 公里，甲以 10 千米 / 小时的速度从 A 地出发前往 B 地。6 小时后，乙以 25
千米 / 小时的速度从 A 地出发前往 B 地。问乙出发后多少小时追上甲？（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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学 以 致 用
1. 甲以每小时 6 千米的速度步行从 A 地前往 B 地，在甲出发 90 分钟时，乙发现甲落下了重要物品，立
即骑自行车以每小时 12 千米的速度追甲，终于在上午 11 点追上了甲。问甲出发时间是上午几点？（
）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
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2. 甲车上午 8 点从 A 地出发匀速开往 B 地，出发 30 分钟后乙车从 A 地出发以甲车 2 倍的速度前往 B 地，
并在距离 B 地 10 千米时追上甲车。如乙车 9 点 10 分到达 B 地，问：甲车的速度为多少千米 / 时？（
）
A. 60
B. 45
C. 36
D. 30
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3. 有客、货、轿三车在同一条道路上同向匀速行进，在某时刻，货车在中、客车在前、轿车在后，且三车
间距相等。t 分钟后，轿车追上了货车；又过了t/2分钟，轿车追上了客车。问再过多少分钟，货车可以追
上客车？（ ）
A.t/2
B. t
C.3t/2
D. 3t
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第四章 工程问题
第一节 基本工程
一、基本公式
工作总量 = 工作效率 × 工作时间（W=pt）
示例：某车间生产一批零件，每天生产25个，8天恰好完成。则这批零件共有（ ）个。
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二、解题训练
【例】某工厂生产一批零件，原计划每天生产 100 个，因技术改进，实际每天生产 120 个。结果提前 4
天完成，还多生产了 80 个。则工厂原计划生产零件（ ）个。
A. 2520
B. 2600
C. 2800
D. 2880
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学 以 致 用
1. 甲、乙两人生产零件，甲的任务量是乙的 2 倍，甲每天生产 200 个零件，乙每天生产150 个零件，甲
完成任务的时间比乙多 2 天，则甲、乙任务量总共为多少个零件？（ ）
A. 1200
B. 1800
C. 2400
D. 3600
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2. 某行政村计划 15 天完成春播任务 1500 亩，播种 5 天后，由于更新机械，工作效率提高25%，问这个
行政村会提前几天完成这 1500 亩的春播计划？（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
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第二节 多者合作
一、解题方法
（一）方程法
利用基本公式构造方程
（二）特值法
1. 已知多个主体完工时间时，可设工作总量为特值（工作总量可设为 1 或完工时间的公倍数）
2. 已知多个主体效率关系时，一般根据效率关系将效率最简比设为份数
3. 已知多个主体的效率相同时，一般设每个主体的效率为 1
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示例：生产一批零件，甲车间每天生产 100 个，乙车间每天生产 50 个。若两车间合作，8 天可以完成。
（1）这批零件共有多少个？
（2）若甲车间先生产 3 天后，乙车间加入生产，则共用多少天完成？
（3）若两车间合作，但期间甲休息了 4 天，最终共用 12 天完成任务。已知每天都有车间进行生产，则
乙车间休息了多少天？
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二、解题训练
【例 1】一项工程，甲单独做要 10 天，乙单独做要 15 天。若甲、乙两人合作，需要多少天？（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
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学 以 致 用
1. 有两处消防水池，均含有同样多的水，一处配粗水管，可在 1 小时喷洒完所有的水，另一处配细水管，
可在 2 小时喷洒完所有的水，现两处消防水池同时喷洒，若干分钟后，一处消防水池的剩余水量是另一处
的 2 倍，则喷洒用时多少分钟？（ ）
A. 30
B. 40
C. 35
D. 50
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 21
2. 一项工程，由甲、乙两队合做 10 天可以完成，甲、丙两队合做 15 天可以完成，三队合做 8 天可以完
成。则乙和丙合做的效率是甲单做效率的多少倍？（ ）
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 3
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 23
3. 现有一批手工制品，若 A 和 B 一起制作需要 6 天完成，A 和 C 一起制作需要 8 天完成。现在 B 和 C
先一起制作了 4 天之后，余下的由 A 单独完成还需要 6 天。若这批手工制品由 C单独完成至少需要多少
天？（ ）
A. 18
B. 22
C. 20
D. 24
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 23
【例 2】甲、乙两队完成一项工程的效率比为 2 ∶ 5。该项工程，若由甲队先单独做 3 天，再由乙队单独
做 4 天，最后由甲、乙两队合作 6 天刚好完成。问若由甲队单独完成，需要多少天？（ ）
A. 32
B. 33
C. 34
D. 35
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 23
学 以 致 用
1. 甲、乙、丙三人完成一项任务的效率比为 2 ∶ 3 ∶ 4。该项任务，若由甲、乙两人共同合作完成需要
12 天；若甲先做了 2 天后退出，余下的交由乙与丙合作完成，则完成这项任务共需要多少天？（ ）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
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2. 甲、乙、丙、丁共同完成一项工程，其中甲的效率是乙的 1.25 倍，丙的效率是丁的 1.5倍。甲、丁合
作 3 天后，变成乙、丙合作，又过了 4 天后，剩下的工作量恰好可以由甲和乙合作 1 天完成。已知甲单
独完成需要 20 天，那么丙的效率是甲的多少倍？（ ）
A. 0.5
B. 1
C. 1.5
D. 2
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3. 有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组 2 天的工作量与甲、丙共同工作 1 天的工作量相同。A 工程如由
甲、乙组共同工作 3 天，再由乙、丙组共同工作 7 天，正好完成。如果三组共同完成，需要整 7 天。B
工程如由丙组单独完成正好需要 10 天，问：如由甲、乙组共同完成，需要多少天？（ ）
A. 超过 8 天
B. 7 天多
C. 6 天多
D. 不到 6 天
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 23
【例 3】某农场有 36 台收割机，要收割完所有的麦子需要 14 天时间，现收割了 7 天后增加 4 台收割机，
并通过技术改造使每台机器的效率提升 5%。问收割完所有的麦子还需要几天？（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
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学 以 致 用
工程队接到一项工程，投入 80 台挖掘机。如连续施工 30 天，每天工作 10 小时，正好按期完成。但施工
过程中遭遇大暴雨，有 10 天时间无法施工，工期还剩 8 天时，工程队增派 70台挖掘机并加班施工。工
程队若想按期完成，平均每天需要多工作多少个小时？（ ）
A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D. 3
