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培优专题 04 概率与统计
题型1 非线性回归
一、非线性回归模型
解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将陌生的非线性
回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程．
求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，还原后
即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误．
1.建立非线性回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；
（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次
函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）；
（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；
（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；
（6）消去新元，得到非线性回归方程；
（7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．一、解答题
1．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出
的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费 （单
位：百万元）和年销售量 （单位：百万辆）关系如图所示：令 ，数据经过初步处理
得：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有① 和② 两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，
m，n均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出 关于 的回归方程，并预测年广
告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
【答案】(1)模型②的拟合程度更好
(2) ，13（百万辆）
【分析】（1）分别求出两种模型的相关系数，再根据相关系数的几何意义即可得出结论；
（2）先利用最小二乘法求出 关于 的回归方程，再令 ，即可得解.
【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为 ， ，由题意可得： ，
，
所以 ，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好；
（2）因为 ，
又由 ， ，
得 ，
所以 ，即回归方程为 .
当 时， ，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
2．（23-24高三下·湖北·期末）某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投
入经费 （单位：万元）和增加收益 （单位：万元）的数据如下表：
1 1
4 6 8
0 2
2 4 5 5 6
7 2 5 6 0
为了进一步了解技术革新投入经费 对增加收益 的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回
归模型：① ，② ．
(1)根据以上数据，计算模型①中 与 的相关系数 （结果精确到0.01）；
(2)若 ，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益 关于技术革新
投入经费 的回归模型，并预测 时 的值（结果精确到0.01）．附：i）回归直线 的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：
， ，
ii）参考数据：设 ， ， ， ， ，
．
【答案】(1)
(2) ，约为 万元
【分析】（1）根据所给数据求出 ， ， ， ， ，即可求出相关系数；
（2）根据（1）的结论，可判断选择模型②，令 ，求出 关于 的线性回归方程，即可求出 关于
的经验方程，再代入计算可得.
【详解】（1）因为 ，
，
所以 ，
，
，模型①中，相关系数 ，
（2）因为 ，所以选择模型②，
令 ，先建立 关于 的线性回归方程，
由于 ，
，
所以 关于 的线性回归方程为 ，
即 ，
当 时， （万元），
所以若投入经费 万元，收益约为 万元.
3．（23-24高三下·河南南阳·期中）某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一
年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量 （单位：亿元）对年销售额 （单位：亿
元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量 和年销售额 ，该团队建立了两个函数模型：① ，
② ，其中 均为常数， 为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令
，计算得到如下数据.20 66 770 200 14
460 4.20 3125000 0.308 21500
(1)设变量 和变量 的样本相关系数为 ，变量 和变量 的样本相关系数为 ，请从样本相关系数的角度，
选择一个 与 相关性较强的模型.
(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立 关于 的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.
附： ；样本相关系数 ；经验回归方程 ，其中
.
【答案】(1)模型 中 与 的相关性较强.
(2)（i） ；（ii）27.1亿元.
【分析】（1）分别将表中数据代入相关系数公式求出 ，比较大小即可判断；
（2）（i）由 取对数，换元得 ，由表中数据分别求 和 ，得经验回归方程 ，
利用指数式和对数式的互化，即得 ；
（ii）将 代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入量.【详解】（1）由题意知
.
因为 ，所以 ，
故从样本相关系数的角度，模型 中 与 的相关性较强.
（2）（i）由 ，得 ，即 .
因为 ，
所以 ，
故 关于 的经验回归方程为 ，即
,所以 .
（ii）将 代入 得 .
，故得 ，解得 ，
故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元.
4．（2024·山东日照·二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成
绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人
做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为 ，求 的最有可能的取值：
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩 （满分100分）与绩效等级优秀率 ，如下表所示：
32 41 54 68 74 80 920.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9
8 4 4 8 6 4 4
根据数据绘制散点图，初步判断，选用 作为回归方程．令 ，经计算得 ，
（ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似
为样本方差 ．经计算 ，求某个部门绩效等级优秀率不低于 的概率．
参考公式与数据：① 取 ．
②线性回归方程 中， ， ．
③若随机变量 ，则 ， ，
．
【答案】(1)
(2)（ⅰ） （ⅱ）
【分析】（1）依题意 的可能取值为 ， ， ， ，求出所对应的概率，即可判断；
（2）（ⅰ）对 两边取对数，由参考数据可知 ，根据样本中心点求出 ，即可求出回归方
程，再将 代入计算可得；（ⅱ）依题意可得 ， ，再令 ，求出 的取值范围，再
由正态分布的性质计算可得.
【详解】（1）依题意，随机变量 服从超几何分布，且 的可能取值为 ， ， ， ，
则 ， ， ， ．
由此可得 最大，即 的可能性最大，故 最有可能的取值为 ；（2）（ⅰ）依题意， 两边取对数，得 ，
即 ，其中 ，
由提供的参考数据，可知 ，又 ，故 ，
所以 ，
由提供的参考数据，可得 ，故 ，
当 时， ，即估计其绩效等级优秀率为 ；
（ⅱ）由（ⅰ）及提供的参考数据可知， ， ，
又 ，即 ，可得 ，即 ．
又 ，且 ，
由正态分布的性质，得 ，
记“绩效等级优秀率不低于 ”为事件 ，则 ，
所以绩效等级优秀率不低于 的概率等于 ．
5．（23-24高三下·山西长治·期中）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数 （单位：
个）和平均温度 （单位： ）有关，根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图，发现两个变量并不
呈现线性相关关系，现分别用模型① 与模型② 作为平均产卵数 和平均温度 的回
归方程来建立两个变量之间的关系.
平均温度
21 23 25 27 29 32 35平均产卵数
5 9 22 25 65 118 324
个
441 529 625 729 841 1024 1225
1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78
27.43 773.43 81.14 3.55
20.03 0.37 0.29 0.0052
其中 .
(1)根据表中数据，经计算得出模型① ，请建立模型②下 关于 的回归方程；并在两个
模型下分别估计温度为 时的产卵数；（ 与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：
）
(2)模型①，②的决定系数分别为 ，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好；
(3)根据以往统计，该地每年平均温度达到 以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他
情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到 以上的概率为 ，该地今后
年恰好需要2次人工防治的概率为 .
①求 取得最大值时对应的概率 ；
②当 取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为 ，求 的均值和方差.附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)模型②的拟合效果更好
(3)① ；②
【分析】（1）先令 ，建立 与 的线性相关关系，利用表中数据结合最小二乘法求出 即可得
解；
（2）根据决定系数的大小关系及意义即可得解；
（3）①先由题意得 ，再利用导数工具结合 范围即可得解；
②由①得每年需要人工防治的概率为 ，故由题意 ，接着由二项分布的均值和方差公式
即可得解.
【详解】（1）令 ，则 ，
所以 与 呈线性相关关系，
由题 ， ， ，
所以 ，故 ，
所以 ，故 ，所以模型②下 关于 的回归方程为 ；
当 时，
经模型①计算估计产卵数为 ，
经模型②计算估计产卵数为 .
（2）因为模型①，②的决定系数分别为 ，故 ，
所以模型②的拟合效果更好.
（3）①由题 ，
所以
，
令 得 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 取得最大值时对应的概率 .
②由①知，当 时 取最大值，
所以当 时， ，
则由题意可知每年需要人工防治的概率为 ，且 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：常见非线性回归方程类型与求解思路：
求解思路：非线性转化成线性.（1）指数型：
令 ，则 与 建立线性相关关系，
利用最小二乘法公式求出 关于 的线性回归方程，进而利用 即可得到 关于 的回归方程.
（2）幂函数型：
令 ，则 ，故 与 建立线性相关关系，
同理求出 关于 的线性回归方程，即可利用 得到 关于 的回归方程.
（3）对数型：
令 ，则 ，故 与 建立线性相关关系，
同理求出 关于 的线性回归方程，即可利用 得到 关于 的回归方程.
题型2 残差与决定系数
1、残差分析
对于预报变量 ，通过观测得到的数据称为观测值 ，通过回归方程得到的 称为预测值，观测值减去
预测值等于残差， 称为相应于点 的残差，即有 ．残差是随机误差的估计结果，通过对
残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残
差分析．
（1）残差图
通过残差分析，残差点 比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样
的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适．
（2）通过残差平方和 分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；
反之，不合适．
（3）决定系数
用决定系数来刻画回归的效果，其计算公式是： ．越接近于 ，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好．
一、解答题
1．（24-25高三下·广西·开学考试）近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游业的同时，鼓励农户建设温
室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲､乙两名同学一起收
集了6家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：模型① ；模型②
.对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：
种植面积 亩 2 3 4 5 7 9
每亩种植管理成
25 24 21 22 16 14
本 /百元
估计值
25.27 23.62 21.97 17.02 13.72
残差
模型 0.38 0.28
①
估计值
26.84 20.17 18.83 17.31 16.46
模型
②
残差
0.83 3.17
注：表中 .
(1)将以上表格补充完整，判断哪个模型拟合效果更好，并简要说明理由；
(2)视残差 的绝对值超过1.5的数据为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重
新求其经验回归方程.
参考公式： .
【答案】(1)表格见解析，模型①拟合效果更好.(2)
【分析】（1）根据回归模型①②分别代入 求出相应每亩种植管理成本 的估计值，再由实际值与
估计值的差求出相应残差，然后分别计算残差平方和，比较大小判断拟合效果即可；
（2）根据残差 的绝对值剔除异常数据，由参考公式求解 可得经验回归方程.
【详解】（1）当 时，
当 时， ，
完成表格如下：
注：表中 .
种植面积 亩 2 3 4 5 7 9
每亩种植管理成
25 24 21 22 16 14
本 /百元
估计值
25.27 23.62 21.97 20.32 17.02 13.72
模型
①
残差
0.38 1.68 0.28
估计值
26.84 22.39 20.17 18.83 17.31 16.46
模型
②
残差
1.61 0.83 3.17
模型①的残差平方和为 5.0994，
模型②的残差平方和为 24.4832，
因为 ，
即模型①的残差平方和比模型②的残差平方和小，所以模型①拟合效果更好.
（2）由题意及（1）可知，模型①中仅第四组数据残差的绝对值超过1.5，
故应剔除第四组数据，剔除后，则 ，
，
则 ，
所以所求经验回归方程为 .
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，
在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品
销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额 （单位: 百
亿元）与年份（第 年）的6组数据（时间变量 的取值依次为 ），对数据进行处理，得到如下散
点图（图1）及一些统计量的值. 其中 .
48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1
分别用两种模型：① ；② 进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到
如图所示的残差图（图2）（残差值 真实值 预测值）.(1)根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由；
(2)根据（1）中所选模型，
（i）求出 关于 的经验回归方程（系数精确到0.1）；
（ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额 与当日营销成本 及年份 存在线性关系: ，
则在第几年活动当日营销成本的预测值最大?
参考公式: ；参考数据: .
【答案】(1)应选择模型②，理由见详解；
(2)① ；②第12年活动当日营销成本的预测值最大.
【分析】（1）根据残差的意义结合题中图表分析判断即可；
（2）①令 ，可得 ，根据题中数据和公式代入求解即可；②整理可得
，构建 ，利用导数求最值即可.
【详解】（1）由残差图可知模型①的残差值比较分散和远离横轴，所以模型①平方和大于模型②的残差
平方和，
所以应选择模型②.
（2）（i）对于模型②： ，
令 ，可得 ，则 ，
可得 ，所以 关于 的经验回归方程为 ；
（ⅱ）由（i）可得： ，整理可得 ，
，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
所以当 时， 取到最大值，即 取得最大值，
所以第12年活动当日营销成本的预测值最大.
3．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）一只药用昆虫的产卵数 与一定范围内的温度 有关，现收集了该
种药用昆虫的6组观测数据如下表：
温度 21 23 24 27 29 32
产卵数 个 6 11 20 27 57 77
经计算得： 线性
回归模型的残差平方和 ，其中 分别为观测数据中的温差和产卵数，
.
(1)若用线性回归方程，求 关于 的回归方程 （精确到0.1）；
(2)若用非线性回归模型求得 关于 回归方程为 ，且相关指数 0.9522.
（i）试与（1）中的回归模型相比，用 说明哪种模型的拟合效果更好.
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计为
；相关指数 .
【答案】(1)
(2)（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii） ；
【分析】（1）求出 、 后代入公式直接计算得 、 ，即可得解；
（2）（i）求出线性回归模型的相关指数，与 比较即可得解；
（ii）直接把 代入 ，计算即可得解.
【详解】（1）由题意 ，则 ， ，
， ，
y关于x的线性回归方程为 .
（2）（i）对于线性回归模型， ， ，
相关指数为 ，
因为 ，所以用非线性回归模型拟合效果更好.
（ii）当 ，时 （个）
所以温度为 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.
4．（23-24高三下·河北沧州·期中）2024年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会
组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：
步频 （单位：
0.28 0.29 0.30 0.31 0.32
）
步长 （单位：
90 95 99 103 117
）
(1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出 关于 的回归直线方程，并利用回归方程
预测，当步长为 时，步频约是多少？
(2)记 ，其中 为观测值， 为预测值， 为对应 的残差，求（1）中步长的
残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，
请说明理由．
参考数据： ， ．
参考公式： ， ．
【答案】(1) ， 0.27秒，；
(2)成立，证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件求得回归方程的系数，即可得回归方程，将 代入回归方程，即可得到答
案；
（2）结合题中数据进行计算，可求得步长的残差和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可
证明.。
【详解】（1） ， ，
， ，所以回归直线方程为 ，
将 代入得 ，解得 ，所以当步长为 时，步频约是0.27秒．
（2）根据（1）得到 ， ；
， ；
， ；
， ；
， ，
所以 ，即步长残差和为0．
对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下：
．
题型3 二项分布概率最大问题
一、二项分布
1.定义
一般地，在 次独立重复试验中，用 表示事件 发生的次数，设每次试验中事件 发生的概率为 ，
不发生的概率 ，那么事件 恰好发生 次的概率是 （ ， ， ，…，
）
于是得到 的分布列
… …
… …
由于表中第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，称这样的离散型随机变量 服
从参数为 ， 的二项分布，记作 ，并称 为成功概率．
注：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即 时的二项分布，所以二项分
布可以看成是两点分布的一般形式．
2.二项分布的适用范围及本质
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这 次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3.二项分布的期望、方差
若 ，则 ， ．
一、解答题
1．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，
为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为 （ ）的样本进行调查，调
查结果如下表：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
(1)完成上面的列联表，若有不少于 的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量 的最小值；
(2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同
学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为 ，且3道题目答对与否互不影响．
①设 表示这20人中晋级的人数，求 ；
②记这20人中 （ ）人晋级的概率为 ，求 取得最大值时 的取值．附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)表格见解析，90．
(2)① ；②12
【分析】（1）根据表格中已有数据进行分析，完善列联表，并计算出卡方，得到不等式，结合 为30的
整数倍，故 的最小值为90；
（2）①设出事件，得到20名同学中1人晋级的概率，得到 ，利用二项分布期望公式求出答
案；
②得到 ，根据 ，求出 取最大值时 的取值为12．
【详解】（1）列联表如下：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
先提出统计假设为 ：性别与满意度没有关系，
根据上表可知， ，
因为性别与满意度有关系，所以 ，解得 ，由题意可知， 为30的整数倍，故 的最小值为90；
（2）①设 （ ， ， ）分别表示3道题目答对事件，
令该年级的20名同学中1人晋级的事件为 ，
则
，
由题意可知， ，则 ；
② ， ， ， ， ， ， ，
最大，则
解得 ， ，
所以 ，
即 取最大值时 的取值为12．
2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目
为投篮游戏.游戏的规则如下:每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得
1分.已知甲投篮的命中率为 ，且每次投篮的结果相互独立.
(1)求甲在一局游戏中投篮命中次数 的分布列与期望；
(2)若参与者连续玩 局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖.现有 和
两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择?请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析， ；
(2)甲选择 时，获奖的概率更大，理由见解析.【分析】（1）说明 ，求出概率得到 的分布列，然后求解期望．
（2）首先分布计算当 和 时，计算得3分的次数，再根据二项分布求概率，比较大小.
【详解】（1）由题意知 ，则 ， ，
， ，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
（2）由（1）可知在一局游戏中，甲得3分的概率为 ，得1分的概率为 ，
若选择 ，此时要能获得大奖，则需 次游戏的总得分大于 ，
设 局游戏中，得3分的局数为m，则 ，即 ．
因为 ，故此时获大奖的概率
，
同理当 ，此时要能获得大奖，则需 次游戏的总得分大于 ，
设 局游戏中，得3分的局数为 ，则 ，即 ，
因为 ，故此时获大奖的概率，
所以 ，则 ，
所以甲选择 时，获奖的概率更大．
3．（2025·山东聊城·模拟预测）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至
珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生
的科技创新素养，在全市高三、高三年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高
三年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩 ，单位：分），现从高三年级随机抽取100名
学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从高三年级竞赛分数在 中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3
人，记成绩优秀的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望 ；
(2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)若从参与竞赛的学生中随机抽取 人，求 为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
【答案】(1)分布列见解析， ；
(2) ；
(3) 或 时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.【分析】（1）结合频率分布直方图和分层抽样，可得在 中抽4人，在 中抽2人，进而可得
随机变量的取值，列出分布列，求得期望；
（2）由全概率公式，即可求解；
（3）由题设得 ，利用二项分布概率公式及不等性质解决最大概率问题.
【详解】（1）由直方图可知，分数在 中的学生有32人，分数在 中的学生有16人，
所以根据分层抽样，在 中抽4人，在 中抽2人，
则成绩优秀的学生人数 可取 ，所以
； ； .
所以分布列为
0 1 2
则期望 .
（2）记事件 ：成绩优秀的学生，事件 ：高三年级的学生，
由已知条件可知， ，
所以 .
（3）记随机抽取 人中竞赛成绩优秀的人数为 ，
由题意可知， ，
所以 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 时， ，
令 ，则 ，所以 时， ，
令 ，则 ，所以 ，
所以当 或 时， 最大，即 或 时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
4．（2025·山东·模拟预测）已知 两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，
从 袋中摸出一个红球的概率是 ，从 袋中摸出一个红球的概率是 ．在每轮中，甲同学先选择一个袋
子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选 两袋的概率
均为 ．如果甲选 袋，则乙选 袋的概率为 ；如果甲选 袋，则乙选 的概率为 ．
(1)若 ，求在一轮中乙从 袋中摸出红球的概率；
(2)求在一轮中乙摸出红球的概率；
(3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为， 越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你
同意他的观点吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不同意乙的观点，理由见解析
【分析】（1）先利用全概率公式求出乙从 袋中摸球的概率，再利用乘法概率公式求解即可；
（2）利用全概率公式求解即可；（3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布 ，利用二项分布的概率公式可得3
轮摸球后乙摸出2个红球的概率为 ，令 ，利用导数求
最大时， 的值即可.
【详解】（1）设 “甲从 袋中摸球”， “乙从 袋中摸球”， “乙摸出的是红球”，
由全概率公式知，乙从 袋中摸球的概率 ，
所以在一轮中，乙从 袋中摸出红球的概率为 ．
（2）在一轮中，乙摸出红球的概率 ．
（3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布 ，
则3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为
，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
则当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以当 时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点．
5．（2024高三·全国·专题练习）新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有
多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要
求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中 的学生得部分分， 的学
生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每个学生在第11题
得分情况相互独立．(1)从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为 个，求 的分布列和数学
期望；
(2)从第11题得分的100名学生中随机抽取 人 ，记这 人得到书签的总数为 个的
概率为 ，求 的值；
(3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应
该提前准备多少个书签比较合理？
【答案】(1)分布列见解析，5
(2)
(3)25个
【分析】（1）列出 的所有可能取值，利用二项分布的概率公式求出分布列，再根据分布列求数学期望
即可；
（2）由题意可得这 人中只有1人得到2个书签，所以 ，
利用错位相减法求和即可；
（3）设得到1个书签的人数为 ，则得到书签的总个数 ，利用二项分布的概率公
式列不等式组求解即可.
【详解】（1）由题意得书签的总数 的所有可能取值为4，5，6，7，8，
其中 ， ，
， ，
，
所以 的分布列为
4 5 6 7 8.
（2）因为这 人得到书签的总数为 个（ ），
所以其中只有1人得到2个书签，
所以 ，
则
所以
两式相减得
，
所以 ．
（3）在这20名学生中，设得到1个书签的人数为 ，则得到2个书签的人数为 ，
所以得到书签的总个数 ，
此时得到书签的总个数为 的概率为 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，而 ， ，所以 ，所以 ，
所以需要赠送书签总个数概率最大为依据，王老师应该提前准备25个书签比较合理．
题型4 比赛、下棋、游戏问题中的分布列
1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变
量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果
限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算
2、 比赛模式，要考虑以下可能情况：
（1）比赛几局？
（2）“谁赢了”；
（3）有没有平局
（4）赢了的必赢最后一局；
（5）比赛为啥结束？
一、解答题
1．（23-24高三下·河南新乡·期中）甲、乙两位围棋选手进行围棋比赛，比赛规则如下：比赛实行三局两
胜制（假定没有平局），任何一方率先赢下两局比赛时，比赛结束，围棋分为黑白两棋，第一局双方选手
通过抽签的方式等可能的选择棋色下棋，从第二局开始，上一局的败方拥有优先选棋权.已知甲下黑棋获胜
的概率为 ，下白棋获胜的概率为 ，每位选手按有利于自己的方式选棋.
(1)求甲选手以2:1获胜的概率；
(2)比赛结束时，记这两人下围棋的局数为 ，求 的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由题意可知甲选手以2:1获胜必须前两局双方各胜一局，且第三局甲获胜，则分第一局甲下
黑棋和第一局甲下白棋两种情况求出概率，然后利用互斥事件的概率公式求解，
（2）由题意可知 的取值可能为2，3，7，然后求出各自对应的概率，从而可求出 的分布列与期望.
【详解】（1）甲选手以2:1获胜，则前两局双方各胜一局，且第三局甲获胜.若第一局乙选棋，则所求概率为 ；
若第一局甲选棋，则所求概率为 .
故甲选手以2:1获胜的概率为 .
（2）由题可知， 的取值可能为2，3，则
，
.
则 的分布列为
2 3
.
2．（2025·山东烟台·一模）为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四
届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，
挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，
则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，
则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为 ，第一
次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为 ；两个项目是否挑战成功相互独立.
(1)设事件 “甲参赛队两个项目均挑战成功”，求 ；
(2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量 ，求 的分布列；
(3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金
数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额.
【答案】(1)(2)答案见解析；
(3) 元
【分析】（1）先应用互斥事件概率和公式计算项目挑战成功的概率，再应用概率乘积公式计算即可求解；
（2）先求出甲参赛队可能获得的奖金为 元的所有可能取值，再应用独立事件概率乘积公式求出每个值
所对应的概率，即可求解；
（3）先求出甲参赛队可获得奖金 的数学期望，再结合参加的队数估计需提供的奖金总额即可.
【详解】（1）每个项目挑战成功的概率 ，
则 .
（2）甲参赛队获得奖金数为随机变量 的所有可能取值为4000，3000，2000，1000，0.
； ；
；
； .
∴甲获得奖金数 的分布列为：
400 300 200 100
0
0 0 0 0
（3）由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望
元，
因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为 元
3．（2025·辽宁·模拟预测）某商场开业期间为鼓励顾客消费，积极为顾客办理会员卡，办理了会员卡的顾
客购物时能享受一定的优惠．为统计顾客办理会员卡的情况，商场采用随机抽样的方法统计了200名开业
当天的顾客的办卡情况，得到如下 列联表：未办理会员
性别 办理会员卡 合计
卡
男 15 85 100
女 25 75 100
合计 40 160 200
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为办理会员卡与顾客的性别有关？
(2)该商场给持有会员卡的顾客设置了“石头、剪刀、布”游戏环节，游戏中每名顾客胜、负、平的概率均
为 ，商场根据游戏结果设置了两种奖励方案，持卡会员只能自主选择其中一种方案参加游戏，且只能参
加一次游戏．
方案一：两名持有会员卡的顾客间进行一次游戏对决，每局比赛中胜者积1分，败者积0分，出现平局时
双方各积1分，出现连胜2局时，胜者额外奖励1分，先积满3分者获胜，比赛结束，胜者奖励100元，
败者无奖励；三局比赛后，没有人积够3分或同时积够3分，比赛结束，游戏双方平分100元奖励．
方案二：两名持有会员卡的顾客间进行一次游戏对决，一局比赛中胜者奖励50元，败者无奖励，若出现平
局，双方均无奖励．比赛共进行三局，当出现连胜2局，但未出现连胜3局时，胜者额外奖励20元；当出
现连胜3局时，胜者额外奖励50元．
（ⅰ）顾客小李参加了方案一的游戏，求在小李获胜的情况下，比赛出现一局平局的概率；
（ⅱ）从节省资金的角度考虑，商场希望持有会员卡的顾客选择哪种奖励方案．
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)无关
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）选择方案一
【分析】（1）求出 ，对比临界值即可判断；
（2）（ⅰ）记小李在第 局获胜为事件 ，在第 局打平为事件 ，小李获胜为事件 ，三局中出现一局平局为事件 ，由
及
，再由条件概率计算公式即可求解；（ⅱ）设方案二中一名持卡会员一次
游戏获得的奖金为随机变量 ，求得其均值，即可判断；
【详解】（1）零假设为 ，办理会员卡与顾客的性别无关，
．
依据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为办理
会员卡与顾客的性别无关．
（2）（ⅰ）记小李在第 局获胜为事件 ，在第 局打平为事件 ，小李获胜为事件 ，三局中出现一局
平局为事件 ，
则
，
，
所以 ．
（ⅱ）方案一中，一次游戏商场需支付奖金100元．
设方案二中一名持卡会员一次游戏获得的奖金为随机变量 ，则 的可能取值为0， ，
， ，， ，
，
所以 的分布列为
5 10 12 20
0
0 0 0 0
，
所以方案二中一次游戏商场需支付奖金为 ，
所以从节省资金的角度看，商场希望持有会员卡的顾客选择方案一．
4．（2025·江西新余·模拟预测）小郅与小宏同学玩一个游戏，他们每人面前都有一个不透光的盒子，盒子
中均分别装有标有数字1、2、3的小球各1个，游戏开始时先各自随机从盒中取出一个球，相互交换放入
盒中，再晃匀后各自从盒中随机取出一个球，球上数字较大者获胜.
(1)设开始时小郅与小宏取出球的序号分别为 ， ，求 分布列与数学期望；
(2)若开始时小郅取球编号为2，求小宏最终获胜的概率；
(3)若开始时小郅、小宏取球编号分别为3、2，求在小宏获胜的条件下，小郅第二次取球编号为2的概率.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先分别写出 对应的值及概率得出分布列，再应用公式计算数学期望；
（2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件的概率和公式计算即可；
（3）应用条件概率公式计算即可.
【详解】（1） 能取0，1，2，
，，
，
故：
0 1 2
.
（2）设小宏第1次取球为 时获胜的概率为 ，设小宏最终获胜的概率为 .
当小宏第1次取球编号为1时，第二轮取球前小郅与小宏面前的盒子中的球标有的数字分别是1，1，3和
2，2，3，
第二轮取球，小宏获胜，只能是小郅取得两个1号球中的一个，此时小宏任意取球均可，
所以 ；
当小宏第1次取球编号为2时，第二轮取球前小郅与小宏面前的盒子中的球标有的数字分别是1，2，3和
1，2，3， 第二轮取球，小宏获胜，则有2种情况：小郅取得1号球且小宏取2号或3号球；小郅取2号
球且小宏取3号球.
所以 ，
当小宏第1次取球编号为3时，第二轮取球前小郅与小宏面前的盒子中的球标有的数字分别是1，3，3和
1，2，2，
第二轮取球，小宏获胜，只能是小郅1号球，此时小宏任意取2个2号球中的一个，
所以
故：
（3）设 小宏最终获胜， 小郅第二次取球为编号2.
第一轮取球时，小郅和小宏分别取得3号球和2号球，交换放入盒中后，小郅和小宏面前的盒子中的球的
编号分别为1，2，2和1，3，3，第二轮取球，小郅取到球的编号为2且小宏胜，小宏必然是从两个3号球
中任意取了一个，小郅取到1号球时小宏胜，则小宏也是可以从两个3号球任意取一个，，
，
故：
5．（2025高三·全国·专题练习）某商场为了促进消费，对于消费满200元以上的顾客，将有参与游戏并赢
得奖品的机会．商场准备了两个游戏，顾客可以自主选择参与其中的一个游戏．
游戏一：顾客随机抛掷一枚质地均匀的骰子，若骰子出现6点，则称抛掷成功，当恰好出现1次抛掷成功
时，游戏结束，顾客赢得奖品，否则继续，每位顾客最多可以抛掷3次．
游戏二：顾客随机抛掷一枚质地均匀的骰子，若骰子出现3点或6点，则称抛掷成功，当恰好出现2次抛
掷成功时，游戏结束，顾客赢得奖品，否则继续，每位顾客最多可以抛掷 次．
(1)若某位顾客选择参加游戏一，求该顾客赢得奖品的概率；
(2)若某位顾客选择参加游戏二，求该顾客赢得奖品的概率；
(3)若顾客选择参加游戏二赢得奖品的概率不小于参加游戏一赢得奖品的概率，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分情况讨论，结合独立事件和互斥事件加法概率公式计算即可；
（2）用 表示顾客参加游戏二赢得奖品抛掷的次数，若顾客抛掷 次骰子且赢得奖品，则前
次中只有1次抛掷成功，且第 次抛掷成功.根据独立事件概率乘法公式，结合组合得到 ，进
而得到 ，令 ，再错位相减求和即可.
（3）由题意知 ，判定函数单调性计算即可.【详解】（1）顾客抛掷1次骰子且赢得奖品的概率 ，
顾客抛掷2次骰子且赢得奖品的概率 ，
顾客抛掷3次骰子且赢得奖品的概率 ．
所以若顾客选择游戏一，该顾客赢得奖品的概率 ．
（2）用 表示顾客参加游戏二赢得奖品抛掷的次数，若顾客抛掷 次骰子且赢得奖品，则前
次中只有1次抛掷成功，且第 次抛掷成功.
由题意可知 ．
所以 ，
令 ，
则 ，
两式相减得
，故 ，
所以 ，
故若顾客选择游戏二，该顾客赢得奖品的概率为 ．（3）由题意知 ，
则 ．
令 ，则 ，
，
因此 为递减数列．
又 ， ，
故 的最小值为5．
【点睛】方法点睛：如果数列 是公差为 的等差数列，数列 是公比为 的等比数列，
求数列 的前 项和 时，可采用错位相减法，具体步骤如下：
（1）列式展开， ①；
（2）同乘公比， ②；
（3）错位相减，① ②得， ；
（4）求得结果， ．
6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．
比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，
则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位
队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派
出的闯关人数X的关系如下： ，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为 、 、 ，且每人能否闯关成功互不影响．
(1)已知 ， ， ，
（i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分 的期望；
（ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分 的概率．
(2)若甲只能安排在第二位次参赛，且 ，要使该队比赛结束后所获积分 的期望最大，试
确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由．
【答案】(1)（i） ；（ii）
(2)丙先参赛，理由见解析
【分析】（1）（i）根据相互独立事件概率计算，先求得 的分布列，进而计算出 的期望；（ii）根据全
概率公式求得正确答案；
（2）分别计算按“乙甲丙”和“丙甲乙”的顺序所获积分的期望，进而作出判断.
【详解】（1）（i） 的可能取值为 ，
， ，
.
所以 的分布列为：
所以
（ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是 ，且必须闯关成功，
所以概率为 .
（2）若顺序为“乙甲丙”：
积分 的可能取值为 ,， ，
.
所以 .
.
若顺序为“丙甲乙”：
积分 的可能取值为 ,
， ，
.
所以
.
，
，
由于 ，所以 ，
所以丙先参赛.
【点睛】易错点睛：1.期望值计算中的概率漏算：在计算期望值时，容易遗漏某些概率，特别是当涉及多
个相互独立事件的联合概率时，需注意所有可能结果的覆盖.
2.顺序安排的误解：在小问2中，可能会误认为甲不需要参与第一位或第二位的安排而导致推导错误，甲
只能在第二位参赛的条件直接限制了顺序安排的自由度，必须在这一条件下进行期望值的比较.题型5 条件概率、全概率、贝叶斯公式
一、条件概率
（1）一般地，设 ， 为两个随机事件，且 ，我们称 为在事件 发生的
条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率．
二、条件概率性质应用
（1）由条件概率的定义，对任意两个事件 与 ，若 ，则 ．我们称
上式为概率的乘法公式．
（2）如果 和 是两个互斥事件，则 ；
三、全概率公式及其应用
一 般 地 , 设 , , 是 一 组 两 两 互 斥 的 事 件 , , 且 ，
,则对任意的事件 ,有 ,我们称此公式为全概率公式.
四、贝叶斯公式及其应用
（ 1 ） 设 , , 是 一 组 两 两 互 斥 的 事 件 , , 且 ，
，
则 对 任 意 的 事 件 , ， 有 ，
.
一、解答题
1．（2025·河北保定·模拟预测）现有甲、乙两个抽题箱，两抽题箱内放有大小、质量、颜色均相同的小球，
且小球内放有题目.已知甲箱内有4个A类题目的小球，5个B类题目的小球，3个C类题目的小球；乙箱
内有2个A类题目的小球，2个B类题目的小球，6个C类题目的小球.
(1)从甲箱、乙箱内各随机抽取一个小球，记 表示抽取的小球内放有B类题目的个数，求 的分布列和
数学期望；(2)先从甲箱内抽取一个小球放入乙箱内，再从乙箱内抽取一个小球，求这个小球内放有A类题目的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）求出甲、乙箱内抽取一个小球，且小球内放有B类题目的概率和小球内没有B类题目的概
率，分析知， 的可能取值为 ，求出随机变量 在不同取值下的概率，可得出随机变量 的分布列，
进而可求得数学期望；
（2）设事件 “从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有A类题目”，设事件 分别是从甲箱中取
出A类题目的小球，B类题目的小球，C类题目的小球，利用全概率公式进行求解即可.
【详解】（1）从甲箱内抽取一个小球，且小球内放有B类题目的概率为 ，
小球内没有B类题目的概率为 ；
从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有B类题目的概率为 ，
小球内没有B类题目的概率为 ，
的可能取值为 ，
则 ，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2
.
（2）设事件 “从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有A类题目”，设事件 分别是从甲箱中取出A类题目的小球，B类题目的小球，C类题目的小球.
则
.
2．（2024·广西南宁·一模）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，
6个白球，这些球除颜色外完全相同.
(1)先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号
盒子的概率；
(2)如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，
摸到白球得1分，用 表示这3个球的得分之和，求 的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望是
【分析】（1）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可；
（2）由题设 的可能值为3，4，5，6，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望.
【详解】（1）记“摸出球的结果是一红一白”为事件A，“选择1号盒子”为事件 ，“选择2号盒子”
为事件 ，
则 ， ， ，
由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为
.
（2）由题意， 的可能值为3，4，5，6.
， ，， .
所以 的分布列为
3 4 5 6
所以 .
3．（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，
奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登
顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书
写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支
冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负
情况如表：
甲球员是否上
球队的胜负情况 合计
场
胜 负
上场 38 45
未上场 3
合计 40
(1)完成 列联表，并判断根据小概率值 的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场
有关联？
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，
后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5．
（ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
附： ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0012.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728
【答案】(1)列联表见解析，有关
(2)（ⅰ）0.78；（ⅱ）
【分析】（1）先补全表格再计算卡方，最后根据临界值判断即可；
（2）（ⅰ）先应用条件概率及全概率公式计算；（ⅱ）再应用贝叶斯公式计算求解.
【详解】（1）根据题意，可得 的列联表：
甲球员是否上 球队的胜负情 合
场 况 计
胜 负
上场 38 7 45
未上场 2 3 5
合计 40 10 50
零假设 ：球队胜负与甲球员是否上场无关
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此
推断犯错误的概率不大于0.025．
（2）甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为0.7，
0.9，0.5
（ⅰ）设事件 ：“甲球员上场打边锋”，事件 ：“甲球员上场打中锋”
事件 ：“甲球员上场打后卫”，事件 ：“球队赢球”
则
所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率
当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率0.78（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
．
当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
4．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）生物工程科研小组为研究某显性基因 与患疾病 之间的关系，
从某地区基因信息库中随机抽取了2000份，得到如下数据：
患疾病 不患疾病 合计
携带显性基因 100 200 300
不携带显性基因 440 1260 1700
合计 540 1460 2000
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为患有疾病 与携带显性基因 有关？请说明理由；
(2)用频率估计概率，在所有参加调查者中按是否携带显性基因 进行分层抽样，并随机抽取了20份基因
样本，再从这20份样本中随机抽取2份样本进行家族患病史分析，记2份基因样本中来自于携带显性基因
且患疾病 的份数为 ，求 的分布列和数学期望．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001
2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828
【答案】(1)有关，理由见解析
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据列联表中的数据代入公式计算求解即可；
（2）先根据分层抽样确定携带显性基因 的样本有3份，不携带显性基因 的样本有17份，再由频率估计概率知携带显性基因 患病的概率为 ，不患病的概率为 ，进而确定 可能的取值，再结合全概率公
式求出分布列，进而求解期望.
【详解】（1）零假设为 ：分类变量 与 相互独立，即患有疾病 与携带显性基因 无关，
根据列联表中的数据，可以计算得到
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为患有疾病 与携带显性基因 有关，此推断犯错误的概率不大于 ．
（2）因为携带显性基因 与不携带显性基因 的比为 ，
所以由分层抽样知，随机抽取的20份样本中，
携带显性基因 的样本有3份，不携带显性基因 的样本有17份．
根据频率估计概率知，携带显性基因 患病的概率为 ，不患病的概率为 ，
从选出的20份样本中随机抽取2份，则 可能的取值为0，1，2．
“2份被抽取的基因样本中，恰好抽到 份携带显性基因 ”记为事件 ，
则 ，
“抽取的2份基因样本中来自于携带显性基因 且患疾病 的样本恰好为 份”记为事件 ，
则 ， ， ， ，
， ，
所以，
，
，
故 的分布列如下：
0 1 2
．
5．（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼
券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个
大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，
6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体
并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否
则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投
掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的
小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获
得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券，
(1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率；
(2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概
率；
(3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学
期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适.
【答案】(1)
(2)(3) ， ，选择方案二更合适
【分析】（1）根据全概率公式，即可求解；
（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可求解；
（3）根据两种不同的方案，结合题意，写出不同的期望，比较后即可判断.
【详解】（1）记事件 分别表示第一次抽到A类，B类，C类小正方体，
亊件 表示第一次投掷后向上的面为奇数，事件 表示第二次投掷后向上的面为奇数.
（2）续投掷两次向上的面均为奇数的概率为
故所求概率为
（3）若选择方案一、记事件 表示第三次投掷后向上的面为奇数，
设第三次投掷后最终获得的礼券为 元，
的可能取值为200，100，
则，
，
所以 .
若选择方案二、记事件 表示第三次投掷后向上的面为奇数，
设第三次投掷后最终获得的礼券为 元，
的可能取值为300，100.
①若第一次抽到的是A类小正方体，记事件 （ ）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方
体，
则
；
②若第一次抽到的是B类小正方体，记事件 （ ）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方
体，
则
所以 ，
则 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
所以选择方案二更合适.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并正确使用条件概率公式和全概率公式，求解概率.
题型6 概率中的决策性问题
决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方
案，可能需要借助函数的性质去实现。
一、解答题
1．（2025·新疆·二模）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织
物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序 ，工序 ，工序 ．经过试验测得小李在这三道工序
成功的概率依次为 ， ， ．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最
终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开
始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，
且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘
请费用．
(1)求小李独立成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率；
(3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)小李需要聘请一位技术员，理由见解析
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式得到小李独立成功完成三道工序的概率；
（2）分三种情况，求出相应的概率，再相加得到答案；（3）分别求出没有聘请技术员参与比赛，和聘请技术员参与比赛，收益的期望值，比较后得到结论.
【详解】（1）设事件 “小李独立成功完成三道工序”
则 ．
（2）设事件 “小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，成功完成三道工序”，
当技术员完成工序 时，小李成功完成三道工序的概率为： ，
当技术员完成工序 时，小李成功完成三道工序的概率为： ，
当技术员完成工序 时，小李成功完成三道工序的概率为： ，
故 ．
（3）若小李没有聘请技术员参与比赛，设小李最终收益为 ，
，所以 ，
若小李聘请一位技术员参与比赛，设小李最终收益为 ，
有如下几种情况：
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时 ，
由（1）知， ，
技术员参与补救并成功完成三道工序，此时 ，由（2）知 ，
技术员参与补救但仍未成功完成三道工序，此时 ，
，
所以 ，
因为 ，所以小李需要聘请一位技术员．
2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜．已知共20道试题，
甲能答对其中的15道题，乙答对每道题的概率为 ，每答对一题得5分，答错不扣分．两人商议后约定：
甲随机选择其中的3道题作答；乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题．设甲答题总得分为 ，乙答题总得分为 ．
(1)求甲答题总得分 的概率；
(2)求乙答题总得分的期望 ，并从期望角度说明甲、乙谁胜出？
（参考数据： ）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由已知，甲答题总得分 ，即甲答对2道题，答错1道题，由概率公式计算即可.
（2）由已知，求得 ，由乙答题得分 的取值范围为 ，求出对应概率，进而由期
望公式求出 ，即可得到答案.
【详解】（1）因为共20道试题，甲能答对其中的15道题，
甲答题总得分 ，即甲答对2道题，答错1道题，
所以甲答题总得分 的概率为
.
（2）设甲答对题目的个数为 ，则 ，
则 ，
所以 ；
由题意可知，乙答题得分 的取值范围为 ，
， ， ， ，
，，
记 ，
，
得
，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
则 ，所以乙胜出．
3．（24-25高三上·云南德宏·期末）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这
一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区
分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有
两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1
个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为
p，正确答案是三个选项的概率为 （其中 ）．(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若 ，求学生甲该题
得2分的概率；
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ：随机选一个选项； Ⅱ：随机选两个选项； Ⅲ：随机选三个选项．
（i）若 ，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；
（ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好?
【答案】(1)
(2)（i） ；（ⅱ）
【分析】（1）由全概率公式求解即可；
（2）（i）记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出 的可能取值及其概率，即可求出
的分布列，再由期望公式求出；
（ⅱ）记 分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出 的
数学威望，由题意可得 ，解不等式组即可得出答案.
【详解】（1）记事件 为“正确答案选两个选项”，事件 为“学生甲得 分”．
，
即学生甲该题得 分的概率为 ．
（2）（i）记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则 可以取 ， ， ，
， ，，
所以 的分布列为
则数学期望 ．
（ⅱ）记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则 ，
，
，
所以
记 为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则 ，
，
，
所以
记 为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则 ，
，所以 ．
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则 ，解得： ，
故 的取值范围为 ．
4．（24-25高三上·山西运城·期末）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，
有多个选项符合题目要求，由于正确选项有4个的概率极低，可视作0，因此我们可以认为多项选择题至
少有2个正确选项，至多有3个正确选项.多项选择题题目要求：“在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”其中“部分选对的得部分分”是指：
若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确
得2分，只选2个选项且都正确得4分.
(1)已知某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少1个选项，至
多3个选项，且每种选择是等可能的.请根据已知材料，分析该生可能的得分情况与所得分值的相应概率，
并求该生得分的期望
(2)已知某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率相等，一考生只能判断出A 选项是正确的，
其他选项均不能判断正误，试列举出该生所有可能的符合实际的答题方案，并以各方案得分的期望作为判
断依据，帮该考生选出最优方案.
【答案】(1)答案见解析，期望 ；
(2)选择方案①，只选择A选项.
【分析】（1）写出样本空间，确定该生所有可能的得分情况为0分、3分、6分，设出对应事件并求出对
应概率，即可求期望；
（2）通过已知信息，从合理性角度看该生必选A，有三种方案，求出每种方案的期望，比较大小即可得出
结论.
【详解】（1）由题意，该考生的所有选择结果 ，
共14个样本点.该生所有可能的得分情况为0分、3分、6分.
设事件 “该考生得0分”，含11个样本点，事件 “该考生得3分”，含2个样本点，事件 “该
考生得6分”，含1个样本点，
则 ， ， ，从而得分期望 .
（2）通过已知信息，从合理性角度看，该生必选A.
根据其他选项的选取情况分析，有下三种答题方案：
①选择A选项，且不再选其他选项；
②选择A选项的同时随机选择一个其他选项；
③选择A选项的同时随机选择两个其他选项；
设三个不同方案的得分分别为X，Y，
对于①，X的所有可能取值为2、3，
且 ， ，
则 ；
对于②，Y的所有可能取值为0、4、6，
， ， ，
则 .
对于③，Z的所有可能取值为0、6，
， ，
则 .
综上， ，所以该考生选择方案①，只选择A选项 .
5．（23-24高三上·山东日照·期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会
主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，
每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．
每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，
将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案
例分析题得分超过8分．
(1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的
概率；
(2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前
强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了 ，以获得“优胜奖”的次数期望
为参考，试预测该同学能否进入决赛．
【答案】(1)
(2)该同学没有希望进入决赛
【分析】（1）由题意分析出超过8分的题型，求出对应的概率，相加即可求解；
（2）设强化训练后法律文书题超过8分的概率为 ，案例分析题的为 ，则 ，求得强化训练
后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为 ，结合二次函数的性质求得
，令 ，利用换元法可得 ，由二次函数的性质和二项分布的数学
期望计算公式可得 ，即可下结论.
【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有：
①超过8分的是1道法律文书题，2道案例分析题， ，
②超过8分的是2道法律文书题，1道案例分析题， ，
③超过8分的是2道法律文书题，2道案例分析题， ，
故所求的概率 ；（2）设强化训练后，法律文书题超过8分的概率为 ，案例分析题超过8分的概率为 ，
则 ，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为：
，
，且 ， ，即 ， ，
则 ， ，
故可得： ， ，
，
，
令 ，则 在 上单调递减，
．
该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数 ，
，
故该同学没有希望进入决赛．
6．（23-24高三下·湖北武汉·期末）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有
份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验 次；
方式二：混合检验，将其中 份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这 份血液样
本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样
本再分别化验一次，检验总次数为 次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率
均为 ．
(1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就
能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中 份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ；采用混合
检验方式，样本需要检验的总次数为 ．
①若 ，求 关于 的函数关系式 ；
②已知 ，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据： ， ， ， ， ．
【答案】(1)
(2)① （ 且 ），②答案见解析
【分析】（1）根据题意确定3次检验的事件，利用有序排列，利用样本空间法，即可求解；
（2）①根据 和 的取值，求两个随机变量的期望，利用期望相等，求解 ；
②根据①的结果，比较 和 的大小，通过构造函数 ，利用导数判断
单调性，比较大小，从而得到结论.
【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件 ，
事件 分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无
抗体，所以，
所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为 ；
（2）①由已知得 ， 的所有可能取值为1， ，
所以 ， ，
所以 ，
若 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，得 ，
所以P关于k的函数关系式 （ 且 ）；
②由①知 ， ，
若 ，则 ，所以 ，得 ，
所以 （ 且 ）
令 ，则 ，
当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，
，所以不等式 的解是 且 ，
所以 且 时， ，采用方案二混合检验方式好，
且 时， ，采用方案一逐份检验方式好，
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求 和 ，从而才可以建立等量关系或是不等式，为后
面构造函数打下基础.
题型7 概率结合导数
一、解答题
1．（24-25高三上·河北唐山·期末）某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互
独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ， ， ，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为
p．
(1)若 ， ， ，求p；
(2)若 ， ，求p取最大值时 的值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用分类思想及相互独立事件同时发生，即概率乘法公式来求解即可；
（2）利用同（1）方法，引入变量 ，可得三次函数，再用导数来求最值即可.
【详解】（1）根据 ， ， ，
可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为 ;（2）根据 ， ，
可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为
，
求导得： ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
所以当 时， 取到最大值，此时 ，
故 取最大值时，
2．（2025·福建·模拟预测）为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共有
40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组
，第五组 ，第六组 ，得到如下频率分布直方图：
(1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数（保留1位小数）；
(2)若评分结束后只对所有评分在区间 的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），
其中每个节目获评为一等奖的概率为 ，获评为二等奖的概率为 ，每个节目的评奖结果相互
独立．（ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为 ，求 的极大值点 ；
（ⅱ）以（ⅰ）中 作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使
得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值．
【答案】(1)91.7
(2)（ⅰ） （ⅱ）100元
【分析】（1）根据频率和为1，求出评分为 的节目的频率为0.15，进而利用百分位数的概念即可求
得结果.
（2）（i）先写出恰有2个一等奖的概率为 ，再利用导数知识求得最大
值；（ii）设获得一等奖的节目数为随机变量X，总奖金为Y，根据题干，易知 ，先求出变量
X的期望，进而可求出变量Y的期望.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
评分为 的节目的频率为 ，
因为前四组的频率为： ；
前五组的频率为： ；
则第85百分位数占第五组的比例为 ，
所以 ，
∴估计所有参赛节目评分的第85百分位数为91.7；
（2）（i）评分在 的节目的频数为 ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ∴当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， ，所以 取得极大值，
∴ 的极大值点 ；
（ii）设获得一等奖的节目数为随机变量X，总奖金为Y，
易知， ，∴ ，
设二等奖奖金为a元，则 ，
∴ ，解得 ，
∴二等奖奖金的最大值为100元．
3．（23-24高三下·福建三明·期中）医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 份血
液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验 次；
方式二：混合检验，将其中 （ 且 ）份血液样本分别取样混合在一起检验．
若检验结果为阴性，这 份的血液全为阴性，因而这 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为
阳性，为了明确这 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 份再逐份检验，此时这 份血液的检验次数总
共为 ．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本
是阳性结果的概率为 ．
(1)现有4份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经2次检验就能把阳性样
本全部检验出来的概率．
(2)现取其中 （ 且 ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ，采用混
合检验方式，样本需要检验的总次为 ．
（i）若 ，试求 关于 的函数关系式 ；（ii）若 ，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期
望值更少，求 的最大值．
参考数据： ， ， ．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）结合题意，由排列组合知识及概率公式即可得解；
（2）先由已知条件求得 关于 的函数关系式，再利用导数研究函数的单调性，再结合函数性质即
可得解．
【详解】（1）设恰好经过 次检验能把阳性样本全部检验出来为事件 ，则 ，
所以，恰好经过 次检验就能把阳性样本全部检验出来概率为 ．
（2）（i）由已知得 ， 的所有可能取值为 、 ，
， ，
，
由 ，得 ，化简得 ；
（ii）由题意知 ，则 ，
，即 ，
，
构造函数 ，则 ，当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减，
， ， ， ，
所以 的最大值为 .
4．（24-25高三上·四川自贡·期中）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒
乓球训练，已知甲第一局赢的概率为 ，前一局赢后下一局继续赢的概率为 ，前一局输后下一局赢的概
率为 ，如此重复进行.
(1)求乙同学第2局赢的概率；
(2)记甲同学第i局赢的概率为 ；
（ⅰ）求
（ⅱ）若存在i，使 成立，求整数k的最小值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（2） ．
【分析】（1）根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算出甲同学第2局赢的概率，再由对立事件概
率公式计算；
（2）（ⅰ）根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算；
（ⅱ）根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式确定 与 的关系， ，构造等比
数列得出 ，不等式化为 ，利用导数求出函数 的单调性，求出 的最大
值为 ，再由函数单调性对 进行估值，从而得出 的最小整数值．
【详解】（1）由题意甲第2局赢的概率为 ，所以乙赢的概率为 ；
（2）（ⅰ）由已知 时， ，
所以 ，又 ，所以数列 是等比数列，公比为 ，
所以 ，所以 ；
（ⅱ） 即 ，
令 ，则 ，易知 是减函数， ，
所以 时， ， 递减，
显然 ，因此要求 的最小值，即求 的最大值，
又 ， 为偶数时， ，
为奇数时， ，且在 为奇数时， 是单调递减的，
所以 是 中的最大值， ，
所以 ，
又 在 上是减函数，所以 ，
而 ， （∵ ），
所以 ，
所以满足 的整数 的最小值为 ．
【点睛】方法点睛：重复进行的概率问题，一般都要通过独立事件的概率公式、互斥事件概率公式等确定概率的递推关系 ，然后构造新的等比数列，从而利用等比数列通项公式求得出表达式．
5．（2024·湖北襄阳·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中 是
红球， 是白球.
(1)当 时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率.
(2)由概率学知识可知，当总量 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布，现从甲箱中
不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作 ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率
记作 .
①求 ， .
②当 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即 ）的前提下认为超几何分布近似为
二项分布？（参考数据： ）.
【答案】(1)
(2)① ， ；②145
【分析】（1）由题意可知甲箱中有3个红球，2个白球，然后求出基本事件总数和抽出的2个球的颜色不
同的事件数，再利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）①由题意可知甲箱中是不放回取3个球，乙箱中有放回地取3个小球，则 ，
，②由题意可得 ，化简后得 ，然后构造函数 ，利用导数可求出 的最小值.
【详解】（1）当 时，甲箱中有3个红球，2个白球，从甲箱中随机抽出2个球，
基本事件总数 ，
记事件 表示“抽出的两个球的颜色不同”，则事件 包含的基本事件个数 ，
则2个球的颜色不同的概率为 .
（2）① ，
，
② ，即 ，即 ，
即 ，
由题意知 ，
从而 ，
化简得 ，
又 ， ，
令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 处取得最小值，
从而 在 时单调递增，
考虑到 ， 都是整数，则 一定是5的正整数倍，
当 时， ，
又 ， ，
当 时，符合题意，则 至少为145.
【点睛】关键点点睛：此题考查古典概型，考查超几何分布，考查导数的应用，第（2）解题的关键是由
， ， ，得 ，考查转化思想和计算能力，属于
较难题.
题型8 概率结合数列递推(马尔科夫链)
一、马尔科夫链
①基本原理
1、转移概率：对于有限状态集合 ，定义： 为从状态 到状态 的转移概率.
2、马尔可夫链：若 ，即未来状态 只受当
前状态 的影响，与之前的 无关.
无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系
高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可
3、完备事件组：如果样本空间 中一组事件组 符合下列两个条件：
（1） ；
（2） .则称 是 的一个完备事件组，也称是 的一个分割.
4、全概率公式： 设 是一个完备事件组，则有
5、一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻 时，位于点
，下一个时刻，它将以概率 或者 （ ）向左或者向右平移一个单位.
若记状态 表示：在时刻 该点位于位置 ，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于 ，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在 与 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再
游走.于是， .随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
，原地不动，其概率为 ，向右
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为
P=aP +bP+cP
平移一个单位，其概率为 ，那么根据全概率公式可得： i i−1 i i+1
②解题技巧
①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性
②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列）
③利用数列递推关系求出数列的通项公式
一、解答题
1．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练
车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为 ，抽到乙练习的概率
为 ，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为 ，抽到丙练习的概率为 ，每次丙练习后，系统抽到甲
练习的概率为 ，抽到乙练习的概率为 ，直到这天练习结束，一共练习了n（ ， ）轮，已知
练习从甲开始.
(1)当 时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望；
(2)求第n轮为甲练习的概率.【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据排队系统设定分析 的情况，然后计算概率求期望即可；
（2）根据排队系统设定得到 ， ，然后构造
数列 为等比数列，最后利用等比数列的通项公式计算.
【详解】（1）根据题意得，X的可能取值分别为1，2，3，
则 时，表示第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为丙，即 ，
时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为乙，或第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为甲，
即 ，
时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为甲，即 ，
所以X的分布列如下表
X 1 2 3
P
.
（2）设第n轮练习为甲，乙，丙的概率分别为 ， ， ，
由题意得 ， ①
， ②
由②得 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，则 代入①中，
得 ，故第n轮为甲练习的概率为 .
2．（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及
到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出
ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概
率均为 ，记 “第 次发球的人是甲”．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2) ,
【分析】（1）根据条件概率的意义可证明 ；
（2）利用（1）中的结果可求 ，结合全概率公式可得 ，利用构造法可求
.
【详解】（1）若第 次为甲发球的条件下第 次还是甲发球，
则第 次甲没有发出ACE球，故此时 ，
若第 次不是甲发球的条件下第 次是甲发球，
（1）乙发ACE球，则第 次是甲发球；
（2）乙没有发出ACE球，则有 的概率第 次是甲发球；故 ，
故 .
（2）
， ,
故 ，所以 即 ，
所以 ，
故
而 ，故 为等比数列，
故 即 .
3．（2024·贵州六盘水·模拟预测）深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大
量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中
的人选择只游览海滨栈道，另外 的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨
栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互
独立，视频率为概率.
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取 个人 ，记这 个人的合计得分恰为 分的概率为 ，求 ；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为 分 的概率为 ，随着抽取人数的无限增加， 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
(3)是，
【分析】（1）根据题意得到变量 的可能取值为 ，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，
列出分布列，利用期望的公式，求得期望.
（2）由这 人的合计得分为 分，得到 ，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
（3）记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ，得到 ，结合数列的递
推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案.
【详解】（1）依题意，随机变量 的可能取值为 ，
则 ， ，
所以 的分布列如下表所示：
2 3 4
数学期望为 .
（2）由这 人的合计得分为 分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，
于是 ，令数列 的前 项和为 ，
则 ，
于是 ，两式相减得
，因此 ，
所以 .
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为 分或
分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件，
则 ， ， ，即 ，
由 ，得 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，因此 ，
随着 的无限增大， 无限趋近于0， 无限趋近于 ，
所以随着抽取人数的无限增加， 趋近于常数 .
【点睛】方法点睛：如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前n项和时，可采用错
位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差求解．
4．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3
张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随
机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片 张，恰有2张银色纪念卡
片的概率为 ，恰有1张银色纪念卡片的概率为 ．
(1)分别求 ， 的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p．
(2)记 ．
（ⅰ）证明数列 是等比数列；
（ⅱ）求 的数学期望．（用n表示）
【答案】(1) ， ，
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）分析出 包含两种情况，把两种情况的概率相加得到 ，同理 也包含两种情况，求
出相应的概率，相加可得 ，由 ，故交换一次不合要求，而 ，故操作两次满足
要求，并求出概率为 ；
（2）（ⅰ）先求出 ， ， ， ，判断出数列
是等比数列；
（ⅱ）由（ⅰ）求出 ， 的所有可能取值为0，1，2，并得到对应的概率，得到分布列，求出数
学期望.
【详解】（1）根据题意， 表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色纪念卡片”的概率，包含两种情
况：
第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片；
第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片，
则 ， ， ，
表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况：
第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片；
第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片，乙交换金色卡片，则 ．
其中 ，故交换一次不会出现 的情况，而 ，
操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，其概率为 ．
（2）（ⅰ）由题意可得 ，
，
则 ， ，
所以 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
（ⅱ）由（ⅰ）知 ，所以 ．
的所有可能取值为0，1，2，
其分布列为
0 1 2
P
从而 ．
【点睛】关键点点睛：分析出 ， ， ，从而得到数列 是首
项为 ，公比为 的等比数列，再进行下一步的求解.
5．（2025·四川成都·二模）北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线 和路线 .公园附近的居民经常
来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线 的居民第二天选择路线 和路线 的概率均为 ；
前一天选择路线 的居民第二天选择路线 和路线 的概率分别为 和 .已知居民第一天选择路线 的概率为 ，选择路线 的概率为 .
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线 散步的人数为 ，求 的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第 天选择路线 的概率为 .
（i）请写出 与 的递推关系；
（ii）设 ，求证： .
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用
二项分布期望公式可得期望；
（2）（ⅰ）分析第 天选择路线 ，和路线 情况下第 天选择路线 的概率，再由全概率公式列式，
利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前 和公式推理
得证.
【详解】（1）记附近居民第 天选择路线 分别为事件 ，
依题意， ， ， ，
则由全概率公式，得居民第二天选择路线 散步的概率
；
记第二天选择路线 散步的人数为 ，则 ，
则 ， ，
， ，
，则 的分布列为：
0 1 2 3 4
故 的数学期望 ．
（2）（i）当第 天选择路线 时，第 天选择路线 的概率 ；
当第 天选择路线 时，第 天选择路线 的概率 ，
所以 .
（ii）由（i）知 ，则 ，而 ，
于是数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
因此 ，即 ， ，
当 时， ，而 ，
所以 ；
当 时， ，而 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概
率求和问题.题型9 概率中的新定义问题
解决计数原理与概率背景下的新定义问题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟
悉”问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还
需要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题．
一、解答题
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 和 的分布列分别
为： ， ，其中 ．定义 的信息熵： ， 和 的
“距离”： ．
(1)若 ，求 ；
(2)已知发报台只发出信号 和 ，接收台只收到信号 和 ．现发报台发出信号 的概率为 ，由于通信信
号受到干扰，发出信号 接收台收到信号 的概率为 ，发出信号 接收台收到信号 的概率也为 ．
（ⅰ）若接收台收到信号为 ，求发报台发出信号为 的概率；
（ⅱ）记 和 分别为发出信号和收到信号，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先得到 的分布列，再根据所给定义求出 ；
（2）（i）记发出信号0和1分别为事件 ，收到信号0和1分别为事件 ，根据全概率公
式求出 ，再由条件概率公式求出 ；
（ii）结合（ⅰ）及所给定义表示出 ，设 ，利用导数证明 ，从而得到，即可证明 .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 的分布列为：
所以 .
（2）（i）记发出信号0和1分别为事件 ，收到信号0和1分别为事件 ，
则 ，
所以 ，
所以 ；
（ii）由（ⅰ）知 ，则 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以当 时 ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减；
所以 ，即 （当且仅当 时取等号），
所以 ，
所以
，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 .
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解题干所给定义，第二问关键是利用导数证明 （当且
仅当时取等号），从而得到 .
2．（2025高三·全国·专题练习）在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随
机变量 ，定义协方差为 .将号码分别为1，2，3，4的4个小球
等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球.
(1)求1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中的概率；
(2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为 ，不同的个数为 ，求证： ；
(3)结合实例，解释协方差的实际含义.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）求出总的基本事件数和满足题意的基本事件数，利用古典概型的概率计算公式进行求解即
可，
（2）求出 的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列，利用数学期望公式及其性质求出 的数学
期望，求出 的分布列，即可得证，或者求解 的分布列，进而得数学期望，
根据期望的性质化简计算即可求解，
（3）根据 的正负，即可结合（2）求解.
【详解】（1）将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，
每个盒子恰好放1个小球的所有情况有 （种），1号球在2号盒子中时，有 种情况，1号球在3或4号盒子中时，有 种情况
1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中包含的情况有 （种），记“1号球不在1
号盒子中，且2号球不在2号盒子中”为事件 ，
则 .
（2）由题意知 的所有可能取值为0，1，2，4，且 ，
， ，
， ，
故 的分布列为
0 1 2 4
所以 ， .
解法一：因为 ，
所以 ，
令 ，则 的分布列为
0
则 .
解法二：
因为 ，所以 时， ， 时， ，
则 ，时， ，则 ，
时， ，则 ，
故 .
.
（3）令 ，
可知当 时， 和 同时大于或同时小于各自的数学期望；
当 时， 和 相对于各自数学期望的大小情况相反.
因此， 刻画了 和 之间的变化趋势：
如果 ，表示 和 的变化趋势相同；
如果 ，表示 和 的变化趋势相反.
在第（2）问中， 表示“所放小球号码与盒子号码相同”的个数和“所放小球号码与盒子号
码不同”的个数的变化趋势相反，与实际情况相吻合.
【点睛】关键点点睛：求解本题第（1）问的关键是分析1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中
包含哪些情况；求解本题第（2）问的关键是借助 的关系，求 或对协方差公式进行等价转化；求解
本题第（3）问的关键是理解协方差的概念，分析出协方差刻画的问题本质.
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是
， ，那么 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 ，即
.已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和
2个黑球(6个球的大小形状完全相同).记操作 :从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.
在重复 次 操作后，记甲盒子中黄球个数为 ，恰有3个黄球的概率为 ，恰有2个黄球的概率为 ，
并记 的数学期望为 .
(1)求 ;
(2)求 ;
(3)证明: .
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据组合公式和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）分析得 的所有可能得取值为3，2，1，0，再写出对应的概率，利用期望公式即可得到答案；
（3）分别计算 ，构造得 ，再利用等比数列通项公式得
，再取倒数，求和放缩即可.
【详解】（1） 分别表示操作一次后，甲盒子中恰有3个、2个黄球的概率，由题可知: .
（2）记重复 次 操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为 ，
易得 .
由题易得 的所有可能得取值为3，2，1，0，
且 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
3 2 1 0
数学期望为 .
（3）记重复 次 操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为 ，
由题，可得 ，
而 ，
，，
于是， ，
也即 ，
因此 是等比数列，公比为 ，
首项为 ，
所以 .
因此: ，
，
.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是构造等比数列 ，再求出 ，最
后求和即可.
4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标 表
示，其中 .而在 维空间中 ，单位立方体的顶点坐标可表示为 维坐标
，其中 .在 维空间中，设点 ，定义 维向量 ，数量积 ， 为坐标原点，即 .
(1)在3维空间单位立方体中任取两个不同顶点 ，求 的概率；
(2)在 维单位立方体中任取两个不同顶点 ，记随机变量 .
（i）当 时，若 最大，求 的值；
（ii）求 的分布列及期望值 .
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型概率公式计算可得结果；
（2）（i）依题意可知 ，当 时得出使得 最大时的不等关系，解不
等式可得 ；
（ii）根据（i）中的结论可求得分布列，写出期望值的表达式，再由二项式定理结合导数以及赋值法计算
可得 ，即可求出期望值.
【详解】（1）记“ ”为事件 ，
满足题意的两点坐标为 ，
则 .
（2）（i）当随机变量 时，坐标 与 中有 个对应的坐标值均为1即
，剩下 个坐标值满足 ，此时所对应情况数为 种即 ，
当 时，设 ，要使得 最大，
则 ，
即 ，所以 ；
因此 ，即 ，
综上可知， 时取最大值.
（ii）由（i）可知， ，
故分布列为：
0 1 … …
… …
所以
，
设 ，则 ，
令 可知 ，
设 ，则 ，
令 可知， ，故 .
【点睛】关键点点睛：求解期望值时关键是利用二项式定理并结合导数以及赋值法计算可得
和 ，即可求得最简形式.
