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专题 几何法求线线角、线面角、二面角 近三年： 在立体几何板块，高考命题强调“建系法、几何法、向量法三法并重”，突出化归转化思想。这些年立体几 何大题逐渐显示出非常规建系、配合几何法、向量法等方式。几何法并非“备用”方法，而是与向量法并列 的通性通法。在图形规则或难以建系时，往往是更优选择。而在立体几何小题中，大概率使用几何法跟向 量法，而比较少的能用到建系，建系计算更费时。 预测2026 年： 基于以上分析，几何法在2026 年高考中预计将继续受到重视， “几何法”的核心价值在于它直接锻炼了立 体几何最本质的空间想象与逻辑推理能力，这在当前“去套路化”的命题趋势下尤为重要。你在备考中需要 将其放在与向量法同等重要的位置进行系统性训练。 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 1 题型01 定义法求线线角 解｜题｜策｜略 一、概念 异面直线所成角是空间中两条不共面直线的夹角，通过“空间问题平面化”转化为两条相交直线的夹 角，其取值范围为(0, π 2 ]（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 二、用定义求异面直线所成角 利用平行去平移，分别作两条异面直线的平行直线，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随 后在由平行线构成的三角形中，利用边角关系（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 1．（2025·贵州·模拟预测）在正三棱柱 中，已知 ，D，E 分别在棱 上，且 ， ，则异面直线BC 与DE 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在棱 上取点G，使得 ，异面直线BC 与DE 所成的角为 或其补角，结合余弦 定理求解即可. 【详解】在棱 上取点G，使得 ，连接BG，CG，如图所示． 由 ， ，所以 ， ， 又 ，所以 且 ，得四边形 为平行四边形 ， 则有 ，所以异面直线BC 与DE 所成的角为 或其补角． 设 ，则 ， ， 2 在 中， ， ， 由余弦定理得 ． 所以异面直线BC 与DE 所成角的余弦值为 . 故选：A 2．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱 的所有棱长都为 ，且 ， 、 、 分别为 、 、 的中点，则异面直线 和 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 、 ，推导出 ，可知异面直线 和 所成角等于 或其补角，利用余 弦定理求出 、 的长，推导出 ，可求出 的余弦值，即为所求. 【详解】连接 、 ，如下图所示： 3 因为 、 分别为 、 的中点，所以， 且 ， 因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形， 所以， 且 ， 因为 为 的中点，所以， 且 ， 所以，四边形 为平行四边形，则 ， 故异面直线 和 所成角等于 或其补角， 在菱形 中， ， ， ， 由余弦定理可得 ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理可得 ， 在 中， ， ， ，所以， ，故 ， 所以， . 因此，异面直线 和 所成角的余弦值为 . 故选：D. 3．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷 中， 4 ，其体积为 ，E，F 分别为AB，BC 的中点，则异面直线 所成角的余弦值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角 所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接 ，过 作 平面 ，其中垂足为 ，连接 ，如下图： 在正四棱台 中，易知 ， ， 则 ，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ， 易知 ，所以 ， 因为 ， ，所以 ，则 ， 故 ， 因为 分别为 的中点，所以 ， 5 则异面直线 与 的夹角为 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 在正方形 中， ，同理可得 ， 在等腰梯形 中，易知 ， 在正四棱台 中，上下底面面积分别为 ， ， 正四棱台 的体积 ， 则 ，解得 在 中， ， . 故选：D. 4．（2025·江苏南京·三模）在直三棱柱 中，所有棱长都相等， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 ，得 即为异面直线 与 所成的角，设 ，利用余弦定理可得答案. 【详解】连接 ，因为 ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ，所以 即为异面直线 与 所成的角或补角， 设 ，则 ， ， 连接 ，则 ，因为 ， 6 所以 平面 ， 平面 ，所以 ， ， ， 由余弦定理得 . 所以异面直线 与 所成角的余弦值是 . 故选：D. 5．（2025·江西宜春·模拟预测）已知平面 ，异面直线 与 所成的角是 ， 则线段 的长为 . 【答案】5 或 【分析】作辅助线，可知 或 ，可证 平面 ，进而分情况求解即可. 【详解】如图，作 且 ，连接 ， 可知 （或其补角）为异面直线 所成的角， 则 或 . 因为 ，且 ，可知 是平行四边形， 7 则 ， 因为 ，则 ， 且 ， 平面 ，则 平面 ， 且 平面 ，则 .又 ， 若 ，则 ； 若 ，则 . 综上所述： 的长为5 或 . 故答案为：5 或 . 题型02 定义法求线面角 解｜题｜策｜略 线面角的定义：平面上的一条斜线PA与它在平面α的射影AB所成的角即为斜线与平面的线面角，范围 为[0 °,90 °]. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。 定义法：能直接找到P点在α平面的射影B点，能计算出| PB|或者| AB|，则线面角的正弦或余弦可 求。 1．（2025·湖北·三模）在正三棱台 中， 分别为棱 的中点， ，四边形 为正方形，则 与平面 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长 交于点 ，，根据正棱台可判断三棱锥 为正三棱锥，根据棱长进而判断 为正四面体，由正四面体的性质即可结合长度以及线面角的定义求解. 8 【详解】由题意可知，延长 必交于一点 ， 由 可知， 分别是 的中点， 又点 为线段 的中点，所以 ， 因 分别为棱 的中点，则 ， 又四边形 为正方形，所以 ，所以 ， 由于三棱锥 为正三棱锥，因此三棱锥 为正四面体， 因此直线 与平面 所成的角即为直线 与平面 所成角， 取 的中心为 ，连接 ，则 平面 ， 所以 为直线 与平面 所成角， 设正四面体 的棱长为 ， 在 中， ， ， 在 中， ， 故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 故选：B 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱台 中， 平面 ，四边形 为正 方形， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为 . 9 【答案】 【分析】根据线面垂直判定定理得出 平面 ，则 即为所求的线面角，再计算求解. 【详解】连接 与 交于点 ，因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， 因为四边形 为正方形，所以 平面 ， 又 ，则 平面 ， 故 即为 在平面 上的射影， 即为所求的线面角， 又 ， ，故 . 故答案为： . 3．（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥 中，若 ， ，则直线 与 10 平面 所成角的正弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 ，建立空间直角坐标系，设点 ，得出向量坐标，利用向量数量积公式结 合已知条件得出 ，再利用向量的模的计算公式求出 ，最后求出线面角的正弦值． 【详解】设 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴，建立如下图所示空间直角坐标系， 则 ，设点 ， ， ， ，即 ， 同理 ，即 设 ，则 ， ， ，解得 ， 直线 与平面 夹角的正弦值等于点 到平面 的距离 与 的比值，即 11 ． 故选：B． 4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在四面体 中， ，从顶点 作平面 的垂线，垂足 恰好落在 的中线 上. (1)如果 ，直线 与平面 所成的角为 ，求直线 与平面 所成角的大小； (2)证明：平面 平面 【答案】(1) (2)证明详见解析 【分析】利用几何法找到线面成角，利用线面垂直证明面面垂直. 【详解】（1）连接 ，如图. 由题可知， 平面 ， 平面 ,则 ， 且 即为直线 与平面 所成角， 即 .由 ， 为 边的中线， 可得 .而 ，可得 ， . 而 即为直线 与平面 所成角，且 , 12 则 ，可得直线 与平面 所成角为 . （2）由 ， ， ， 平面 ,故 平面 ， 而 平面 ，则平面 平面 5．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在菱形 中， ， ， 分别为 的中 点， ， ，将 沿 翻折，使 到 处， ． (1)证明： 平面 ； (2)求 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定，结合勾股定理逆定理推理得证. （2）结合（1）的信息可得平面 平面 ，法1，利用几何法求出线面角的正弦；法2，建立空 间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦. 【详解】（1）在菱形 中， ，则 为等边三角形， ， ， ， ， ， 28， 于是 ，即 ， 又 ，则 ， 13 而 平面 ，所以 平面 . （2）方法1：由 为等边三角形，得 ，又 平面 ， 则 平面 ，又 平面 ，于是平面 平面 ， 在平面 内过 作 于 ，连接 ，又平面 平面 ， 因此 平面 ， 为 与平面 所成角， 在 中，由 ，得 ， 在 中， ， 则 ， 在 中， ， 在 中， ， 则 ，所以 与平面 所成角的正弦值为 . 方法2：由 为等边三角形，得 ，又 平面 ， 则 平面 ，又 平面 ，于是平面 平面 ， 在平面 内过 作 于 ，因此 平面 ， 14 在 中，由 ，得 ， 在 中， ， 以 为坐标原点，直线 分别为 轴，垂直于底面 的直线 为 轴建立空间坐标系， 则平面 的法向量为 ，点 ， ， 设 与平面 所成角为 ，则 ， 所以 与平面 所成角的正弦值为 . 题型03 体积法求线面角 解｜题｜策｜略 体积法：如果没法直接找到P点在α平面的射影B点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息， 通过体积求出P点到α平面的高度h，则线面角的正弦可求。 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知三棱锥 的体积为1， 是边长为2 的正三角形，且 ，则直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ） 15 A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由体积和底面积，可求出顶点 到底面 的垂直高度 ，进而由直线与平面所成角的正 弦值等于该直线与平面内某条直线(投影)形成的直角三角形中，计算即可求得结果. 【详解】 是边长为2 的正三角形，其面积为： 因为三棱锥 的体积为1 和底面积 ， 得： 解得： 设直线 与平面 所成角为 ，所以 故选：C 2．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥 中， 平面 ， 且 ， 若在 内（包括边界）有一动点 ，使得 与平面 所成角的正切值为 ，则点 的轨迹长为 （ ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】过 作 平面 ， 为等边 的中心，由等体积发可得 ，则 与平面 16 所成角为 ，所以 ， 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的落在 内的圆弧． 【详解】过 作 平面 ，因为 ， 所以 是边长为2 的等边三角形，易知 为 的中心， 由 ，则 ， 则 ， 与平面 所成角为 ， 因为 与平面 所成角的正切值为 ，所以 ， 解得 ，所以 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的落在 内的圆弧． 根据 ，可知四边形 是菱形，且 ， 根据对称性可知： 所形成的轨迹是三段等长的圆弧，故 的轨迹长为 ． 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据线面角的定义找到 与平面 所成角，从而得 的轨迹是解题关键. 3．（2025·山东·模拟预测）如图， 是 的直径， 与 所在的平面垂直， ， 是 上的一动点（不同于 ）， 为线段 的中点，点 在线段 上，且 ． 17 (1)求证： (2)当 时，求直线 与直线 所成角的余弦值 (3)当三棱锥 的体积最大时，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）应用线面垂直判定定理得出 平面 ， 平面 进而得出线面垂直； （2）应用异面直线所成角结合余弦定理计算求解； （3）先根据线面垂直得出点 到平面 的距离，进而结合基本不等式得出正弦值为 ． 【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 ， 平面 ，所以 平面 ， 又因为 在平面 内，所以 又因为 ， 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 ． （2）因为 ，所以 ，所以 又因为 为等腰直角三角形， 为 的中点，所以 取 的中点为，连接 ，则 ，且 ， 所以 为异面直线 ， 所成的角或其补角 18 在直角 中， ，所以 ， 在 中， ， 所以 ， 直线 与直线 所成角的余弦值为 ． （3）设 ，则 ， 设 ，则 ． 过点 作 的垂线，垂足为 ， 由于 是确定的， 所以当三棱锥 的体积最大时， 即为点 到平面 的距离最大， 即点 到平面 的距离最大． 过点 向 作垂线，垂足为 ，又因为 平面 ， 所以 ， 平面 ，所以 平面 ， 所以 为点 到平面 的距离． 故 ， ， 当 ，即 时等号成立 19 此时， ，则点 到平面 的距离为 ， 故直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 4．（2025·陕西西安·二模）如图，已知三棱锥 . (1)证明：平面 平面 ； (2)若三棱锥 的各顶点都在球 的球面上，求球 的半径： (3)求直线 与平面 所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先由几何知识证明 及 ，再利用线面垂直证明 平面 ，即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用球心到球面上各点距离相等列出相应等式，即可求解； （3）结合（2）利用空间向量法求解线面夹角. 【详解】（1）在 中，由 ，得 ，所以 ， 所以 ， 所以 . 又因为 ，所以 ，所以 . 20 又因为 ，所以 ，所以 ， 又因为 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 . （2）由（1）可知，以 为原点， 分别为 轴和 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 ， 则 ， 设球心 ，半径 ，则 ，所以 ， 解得 ，所以球 的半径为 . （3）由（2）知， ， 设平面 一个法向量分别为 ，则 ，即 则 ，取 ，则得 ； 设直线 与平面 所成的角为 ，所以 21 . 5．（2025·上海静安·一模）已知正四棱柱 的底面边长为1，点 、 分别在边 、 上，且 ， ． (1)证明： 平面 ； (2)若 2，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得 ，进而可证线面平行； （2）方法一：建系标点，求平面 的法向量，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点 到平面 的距离，进而求线面夹角. 【详解】（1）因为 ， ，则 ，可得 ， 且 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （2）方法一：以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标 22 系，如图所示： 则 ， 可得 ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， ，可得 ， 则 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值是 ． 方法二：由题意可知： ， ， ， 则 ， ， 设点 到平面 的距离为 ， 23 因为三棱锥 的体积即为三棱锥 - 的体积， 则 ，解得 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值 ． 题型04 定义法求二面角 解｜题｜策｜略 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两 个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱l垂直的射线，如图a,b则它们组成的角为二面角的 平面角，范围为[0 °,180 °] 定义法：如果能直接过棱l上一点，找到与棱l垂直的两条线，则直接找到了二面角。 目标：找与棱l垂直的两条线 1．（多选）（2025·广西·模拟预测）已知 ， ， 分别是正四面体 的棱 ， ， 的中点， 则下列结论正确的有（ ）． A． 平面 B． C．平面 与平面 夹角为 D．平面 平面 【答案】AB 【分析】对于A：根据线面平行分析判断；对于C：首先找到两个平面所成角的平面角，再分析相关边所 在三角形的性质即可判断；对于B、D：根据线面、面面垂直的判定定理分析判断. 【详解】 24 对于A：因为 ， 分别是 ， 的中点，则 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，正确； 对于B：因为 ， 分别是 ， 的中点，则 ， 由 都是等边三角形，则 ， 所以 ， 且 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ，则 ，正确； 对于C：因为 是 的中点，且 是等边三角形， 所以 ，则 是平面 与平面 夹角的平面角， 若正四面体的棱长为2，则 ，易知 ，错误； 对于D：取底面 的中心 ，连接 ，则 平面 ， 但 平面 ，所以平面 与平面 不垂直，错误； 故选：AB 2．（多选）（2025·江苏苏州·三模）已知四棱锥 中， 平面 ，四棱 锥 的外接球的球心为 ．记四棱锥 的体积分别为 ，三棱锥 的体积分别为 ，则下列说法中正确的有（ ） A． B． C． 25 D．若二面角 的平面角大小为 ，则 的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用线面垂直的性质判定推理判断A；利用锥体的体积推理判断BC；利用二面角的意义，列出 锥体的体积关系，再利用基本不等式求出最大值判断D. 【详解】对于A，由四棱锥 有外接球，得四边形 有外接圆，由 ， 得 ，由 平面 ， 平面 ，得 ，而 ， 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，因此 ，A 正确； 对于B，由 平面 ，得球心 到平面 的距离等于 ，因此 ，B 正确； 对于C， 均在以线段 为直径的圆上，但 面积无任何关系， 不能确定 ，C 错误； 对于D，由 ，得 是二面角 的平面角，即 ， 则令 ， ， ， 当且仅当 ，即 时取等号，因此 的最大值为 ，D 正确. 故选：ABD 3．（2025·甘肃白银·二模）如图，在直三棱柱 中， ， ，E 为 26 的中点，平面ABE 与直线 交于点G． (1)求四棱锥 的体积； (2)求平面ABEG 与平面CEG 所成角的正弦值． 【答案】(1) ； (2) . 【分析】（1）由 是由棱锥 和棱锥 组合而成，利用线面垂直的判定和性质找到 棱锥 的高，最后应用棱锥的体积公式求体积； （2）根据已知易得 为等腰梯形， 为等腰三角形，应用等体积法求 到平面 的距离，并 求出 中 边上的高，结合二面角的定义即可求其正弦值. 【详解】（1）由 是由棱锥 和棱锥 组合而成， 由 平面 ， 平面 ，则 ，且 ， 即 ，由 且都在平面 内，则 平面 ， 所以 是棱锥 的高， 则 ； （2）由题设 ， ， 由 ，即 为等腰梯形，其高为 ， 27 所以 ， 若 到平面 的距离为 ，则 ，可得 ， 在等腰三角形 中， 边上的高为 ， 所以，平面ABEG 与平面CEG 所成角的正弦值为 . 题型05 三垂线法求二面角 解｜题｜策｜略 三垂线法：当无法直接找到与棱l垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面α找一 点P点，过P点作平面β的垂线PA（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面β垂直的平面，在平面 上作垂线），然后过A或者P作棱的垂线交于B点，连接成直角三角形PAB，即可求二面角的平面角。 1．（2025·湖南长沙·一模）已知三棱锥 满足 ，且其体积为 ，若点 （正投影在 内部）到 的距离相等，则二面角 的正弦值为 . 【答案】 【分析】设 在底面上投影为 ，过 作 ，垂足为D，连接 ，则 是二面角 的 平面角，由体积求得棱锥的高，再结合底面内切圆半径，即可求点到底面的距离，进而求得侧面上的高即 可求解. 【详解】因为 ，所以 是以 为斜边的直角三角形. 由三棱锥体积公式 得三棱锥高 ， 由点到 的距离相等得出点在底面上投影到 各边距离也相等， 28 所以是 的内心，则到 各边距离为内切圆半径， 过作 ，垂足为D，连接 ，则 是二面角 的平面角， 因为底面为直角三角形，所以内切圆的半径为 . 则三棱锥侧面上的高为 ， 则 . 故二面角 的正弦值为 . 故答案为： . 2．（2025·江西新余·模拟预测）在三棱锥 中， 且 ，底面 是等边三角形， 平面 平面 ，若 ，则平面 与平面 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出平面 与平面 所成角 ，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，过点作 ，垂足为 ， 平面 平面 ，且平面 平面 平面 ， 29 作 ，则 ，则 平面 ， 作 于， 平面 ， ， 又 ， 平面 平面 ， 平面 ， 为平面 与平面 所成二面角的平面角． 且 ， 作 于 ，由 是等边三角形， 得 ． 故选：D. 3．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱柱 中，底面 和侧面 均为正方 形. (1)证明: ； (2)若 ，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) . 【分析】（1）由已知得 ， ， ，由线面垂直的判定和性质有 ，又 30 ，再由线面垂直的判定和性质证明结论； （2）令 ，则 ， ，过 作 于，所以 到 的距离 ，连接 ，进而证明 ，找到二面角的平面角，即可求其余弦值. 【详解】（1）由题设，易知四棱柱的棱长都相等，且 ， ， ， 由 都在平面 内，则 平面 ，故 平面 ， 由 平面 ，则 ，在菱形中 ， 而 都在平面 内，则 平面 ， 由 平面 ，则 ； （2）由（1）知 平面 ，令 ，则 ， ， 过 作 于 ，所以 到 的距离 ，连接 ， 平面 ，则 ， 都在平面 内， 所以 平面 ， 平面 ，则 ， 所以 即为二面角 的平面角， ， 所以 ，所求角的余弦值为 . 31 4．（2025·浙江·三模）如图，已知四棱台 的体积为 ，底面 为等腰梯形， ， ， ， 平面 ，且 与 相交于点E. (1)证明： ； (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求得 的值，可求得 的长，结合勾股定理可得出 ，由 平面 可得出 ，利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立； （2）利用台体体积公式求出 的长，取 的中点 ，连接 ，过点 在平面 内作 ， 垂足为点 ，连接 ，结合二面角的定义可知 即为平面 与平面 的夹角，计算出 、 的长，即可求出 的余弦值，即为所求. 【详解】（1）在等腰梯形 中， ，由等腰梯形的几何性质可知 ， 所以， ， 因为 ， 由余弦定理可得 ， 即 ，可得 ， 32 故 ，所以 ，故 ， 又因为 平面 ， 平面 ，故 ， 因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 . （2）设 ，由（1）可知 ，且 ， 故 ，则 ， 所以， ， 易知梯形 梯形 ，且相似比为 ， 故 ， 由题可知棱台的体积为 ，解得 . 取 的中点 ，连接 ，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，连接 ，如下图所示： 因为 ， 为 的中点，所以 ， 33 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 因为 ， ， 、 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 故 即为平面 与平面 的夹角. 由等腰梯形的几何性质可知 ， ， 因为 ，所以 ， 因为 ，故 ， 因为 ，所以 ，故 ， ， 所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 故 ，所以 ， 又因为 ，故 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 则 ， 34 所以 . 因此，平面 与平面 的夹角的余弦值为 . 5．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在正四棱柱 中， 为 上的点， . (1)若 ，证明： ； (2)若 平面 ，求二面角 的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）根据已知，结合线面垂直判定定理证明 平面 ，然后由线面垂直性质可证； （2）通过证明平面 平面 ，判断 ，然后作出二面角 的平面角，根据定义 求解可得. 【详解】（1）连接 ，在正四棱柱 中， 平面 因为 平面 ，所以 . 因为 ，又因为 ， ， 平面 所以 平面 .因为 平面 ，所以 因为 ， ， ， 平面 35 所以 平面 .因为 平面 ，所以 . （2）因为 ， 平面 ， 面 所以 平面 . 因为 ， ， 平面 所以平面 平面 记四边形 ， 的对角线交点分别为 ， . 因为平面 平面 ，平面 平面 平面 平面 ，所以 . 设 与 交于 ，则 为 的中点， 为 的中点，所以 . 作 于 ， 于 ， 则 平面 ， . 所以 为二面角 的平面角. 由 ， ，得 ， 所以 ，即二面角 的正切值为2. 题型06 垂面法求二面角 解｜题｜策｜略 36 垂面法: 若题目条件中能找到棱l垂直的平面，则找出该平面与α ，β的交线即可。若题目中有与棱l垂直 的直线，如图如果AP与棱l垂直，则可以构造出与棱l垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在等腰梯形 中， ，点 为 的 中点，现将该梯形中的 沿线段 折起，形成四棱锥 ，且直线 与平面 所成角的正 弦值为 . (1)在四棱锥 中，求证： ； (2)求点 到平面 的距离； (3)求二面角 的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) ； (3) . 【分析】（1）连 ， 交 于 ，证 平面 ，结合 及线面垂直的性质证明结论； （2）设直线 与平面 所成角的大小为 ，点 到平面 的距离为 ，易得 ，利用线面平 行化为求点 到平面 的距离，即可得； （3）过 在平面 内作 垂直于 ，垂足为 ，由面面垂直判定和性质得 平面 ，根据二 面角的定义求二面角 的大小. 37 【详解】（1）在等腰梯形 中，连 ，则四边形 为菱形， 连 交 于 ，则 ， 在四棱锥 中， 且都在平面 内， 平面 ， ，则 平面 ， 由 平面 ，故 ； （2）设直线 与平面 所成角的大小为 ，点 到平面 的距离为 ， 则 ，且 ，所以 ， 由 平面 平面 ，则 平面 ， 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，距离为 ； （3）由（1）知 平面 且 平面 ，所以平面 平面 ， 平面 平面 ，过 在平面 内作 垂直于 ，垂足为 ， 平面 ，所以 ， 在 中， ，所以 为 中点，易知 ， 所以 ，而 ， 所以二面角 的平面角为 ，大小为 . 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，多面体 中，四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 在底面 的射影为 的中点 ． 38 (1)证明： 平面 ； (2)求二面角 的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可证得 平面 ，通过平行关系可证得 ，进而证得结果； （2）法一：作 且 ，连接 ，求得 为二面角 的平面角，利用余 弦定理计算即可． 法二：以 为原点，以 为 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量， 利用数量及公式计算即可得出结果. 【详解】（1）由题意得 平面 ，又 平面 ，所以 ． 因为 ， 为 的中点，所以 ． 因为 ， 平面 ，所以 平面 ． 由 ，得四边形 是平行四边形，故 ， 又因为四边形 是平行四边形， 所以 ，得 ， 所以四边形 是平行四边形， 故 ，所以 平面 ； （2）法一：作 且 ，连接 ． 39 因为 ， 为 的中点，故 ， ， 由勾股定理得 ， 由（1）知， ，所以 ， 由（1）知，四边形 是平行四边形，所以 ， 四边形 是平行四边形，所以 ，故由 ， 又 为公共边，得 ≌ ．且两三角形关于 对称， 由于 ，可得 ， 因此 为二面角 的平面角． 由 ， ， 又 平面 ， 平面 ，故 ， ， 由勾股定理得 ，故 ， 因为四边形 是平行四边形，所以 ， 在 中，由余弦定理得： ． 故二面角 的平面角的余弦值为 ． 法二：由（1）可知， 两两垂直，以 为原点，分别以 所在直线 为 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示． 由 ， ，由勾股定理得 ， 40 由题意知各点坐标如下： ， ， ， ． 因此 ， ， ． 设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ． 由 ，即 可取 ． 由 ，即 可取 ． 于是 ， 由题意可知，所求二面角的平面角是钝角， 故二面角 的平面角的余弦值为 3．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱 中，所有的棱长均相等， 是 的中点， 在上底 面 的投影为 的重心 ． (1)证明： ； (2)求平面 与平面 的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得 ，再根据线面垂直的判定定理得 平面 ，最 41 后利用线面垂直的性质定理证明即可. （2）解法一：延长 交 于点 ，则 为平面 与平面 的夹角，然后利用直角三角形 知识求解 ，再结合利用诱导公式求解即可； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量法及同角三角函数关系 求出正弦值. 【详解】（1） 在上底面 的投影为 的重心 ． 平面 ， 平面 ， ， ， ， 是等边三角形， 是 的中点，故 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 又因为 平面 ， . （2）解法一：延长 交 于点 ，如图所示， 由（1）知平面 ，故 为平面 与平面 的夹角， ， ， 设棱长为1，则 ， 为 重心， ， ， ， 42 平面 与平面 的夹角的正弦值为 . 解法二：设 ，有 ， ， ，可求得 ， 由 ， ，可得 ， 又由 平面 ，以 为坐标原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系， 有 ， ， ， ， ， 可得 ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 有 ，取 ， ， ，可得 ， 又由平面 的一个法向量为 ，有 ， ， ， 有 ， 故平面 与平面 的夹角的正弦值为 ． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在正三棱锥 中， ， 为 的中点. 43 (1)求证： ； (2)求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用正三棱锥的性质及中点证明线线垂直再证明出线面垂直再结合线面垂直的定义得出线线垂 直； (2)先根据已知条件作辅助线找到二面角的平面角再在三角形中根据边长求出对应角的余弦值. 【详解】（1）由正三棱锥的性质可知 ， 为 的中点，所以 ， 由正三棱锥的性质可知 ， 为 的中点，所以 ， 又 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ， 所以 . （2）过 作 ，连接 ， 因为 ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ， 所以 ，所以 为二面角 的平面角， 设 ，则 ， 所以等腰三角形 的底边上的高为 ， ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 所以 为直角三角形，所以 ， 44 ， 所以二面角 的余弦值为 题型07 射影面积法求二面角 解｜题｜策｜略 射影面积法：已知平面β内的△ABP在平面α的投影为△A ' B ' P '，则平面α和平面β所成的二面角的平面 角大小为θ，则cos θ = S△A ' B ' P ' S△ABP 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时， 可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 1．（2025·河北·模拟预测）如图正三棱柱 底面边长为2，高为6，点 分别在棱 A A ' ,B B ' ,C C '上，且 ，若平面 恰好将正三棱柱 体积均分，则平 面 和平面 夹角的余弦值为（ ） 45 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析可得点 为 的中点，延长 与 的延长线交于点 ，延长 与 的延长线交 于点 ，连接 ，则 为平面 与平面 的交线，利用勾股定理逆定理得到 ，即可证 明 平面 ，则 为平面 和平面 夹角，最后由锐角三角函数计算可得. 【详解】因为 ，即 ， ， 又平面 恰好将正三棱柱 体积均分，所以点 为 的中点， 延长 与 的延长线交于点 ，延长 与 的延长线交于点 ，连接 ， 则 为平面 与平面 的交线， 因为 ， ， ， ， ， 所以 ，即 ，解得 ，所以 ； ，即 ，解得 ，所以 ， 在 中由余弦定理 ， 所以 ， 所以 ，即 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ， 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 所以 为平面 和平面 夹角，又 ， 所以 ， 即平面 和平面 夹角的余弦值为 . 故选：A 46 2．（2025·河北·模拟预测）等腰梯形 中， ， ， ，沿对角线 将 翻折形成三棱锥 （点 翻折到点的位置），点、 分别为棱 ， 的中点. (1)证明： 平面 ； (2)当直线 与直线 成 角时，求四棱锥 的体积； (3)在翻折过程中求平面 与平面 夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）首先找到直线 与直线 所成的角，再证明平面 平面 ，作出四棱锥 的高即可 求解； （3）建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的法向量，再利用三角函数的范围即可求解. 【详解】（1） ， 是 的中点， ， 又 ， ， ，四边形 为菱形， 47 则 ， 在翻折过程中，总有 ， ， ， 又 平面 ， 平面 ， ， 平面 . （2） ， 分别为棱 ， 的中点， ，直线 与直线 成 角，即为 与直线 成 ， 则 或 ， 为边长为1 的正三角形或顶角为 的等腰三角形， 又四边形 是上下底长分别为1 和2 的梯形，且 ， 四边形 的面积为 , 由（1）知 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ， 过点作 于 ， 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，则 ， 四棱锥 的体积 . （3）由（1）（2）知平面 平面 ，且 ， 分别以 ， 所在直线为轴，轴， 以过点且与平面 垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 48 在翻折过程中设 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ， ，令 ，则 ， ， ； 平面 ，可取平面 的一个法向量为 ， ， 又 ， ，则 ， 在翻折过程中平面 与平面 夹角余弦值的取值范围为 . 3．（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形， 平面BEC， ， ，G，F 分别是线段BE，DC 的中点． (1)求证： 平面ADE； 49 (2)设平面AEF 与平面BEC 的交线为l，求二面角 的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) . 【分析】（1）取 的中点 ，通过平行的传递性得到 ，由题中条件得到四边形 为平行 四边形，得到 ，利用线面平行的判定定理得到 平面 ； （2）设平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ，由 平面 和 平面 ，得到 在平面 上的射影为 ，利用余弦定理求出 ，利用同角关系式求 ，从而 得到 和 ，则 ，代入数值求解，从而得到二面角 的余弦值. 【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ，即 ， ，G，F 分别是线段BE，DC 的中点, ， 四边形 为平行四边形， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）设平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ， 平面 ， 平面 ， 在平面 上的射影为 ， ， ， , 分别是线段BE，DC 的中点， ， ， ， ， 50 ， ， 又 ， ， 二面角A-l-B 的余弦值为 . 4．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱 中， 为 的中点，点 在棱 上， . (1)证明： 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：根据题意先求 的长，可得 ，利用 ，可得 ，再根据线面垂直的判定证明即可； 方法二：以为 原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）方法一：延长 交于点 ，过点 作 ，垂足为 ，连结 ，又易得 ，则 51 即为平面 与平面 的夹角，再解三角形求其余弦值即可； 方法二：以为 原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面与平面夹角即可； 方法三：根据射影面积法求平面与平面夹角． 【详解】（1）方法一：在直三棱柱 中， ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 又 ，所以 ， ， ， 则 ，所以 ， 所以 ， 即 ，又 平面 ， 所以 平面 ． 方法二：如图，以为 原点，以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， 所以 ， 所以 所以 ，即 又 平面 ，所以 平面 ． 52 （2）方法一：如图，延长 交于点 ，过点 作 ，垂足为 ，连结 ， 则由 平面 得 ， 所以 即为平面 与平面 的夹角． 在 中， ， 所以 ，即 ， 又 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 即平面 与平面 夹角的余弦值为 . 方法二：如图，以为 原点，以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系， 则 ，所以 ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 取 得 ，又平面 的一个法向量为 ， 53 记平面 与平面 的夹角为 ，则 ， 即平面 与平面 夹角的余弦值为 ． 方法三：由（1）知 ， 记平面 与平面 的夹角为 ，则 即平面 与平面 夹角的余弦值为 ． 5．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形 中， ，F 为CD 的中点，点E 在AB 上， ， .将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得面 与 面EFCB 所成的二面角为 ． (1)证明： 平面 ； (2)求面 与面 所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出 平面 及 平面 ， 再应用面面平行判定定理得出平面 平面 ，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点 的坐标表示出来，然后将平面 及平面 的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正 弦值. 54 【详解】（1）设 ，所以 ，因为 为 中点，所以 ，因为 ， ，所以 是平行四边形， 所以 ，所以 ， 因为 平面 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 平面 ，所以 平面 ， 又 ， 平面 ，所以平面 平面 ， 又 平面 ，所以 平面 ． （2） 因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ， 以 为原点， 以及垂直于平面 的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系. 因为 ，平面 与平面 所成二面角为60° ， 所以 . 则 ， ， ， ， ，. 所以 . 设平面 的法向量为 ，则 ，所以 ，令 ，则 ，则 . 55 设平面 的法向量为 ， 则 ，所以 ， 令 ，则 ，所以 . 所以 . 所以平面 与平面 夹角的正弦值为 . 题型08 补形法求二面角 解｜题｜策｜略 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线 （称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 1．（多选）（2025·浙江温州·一模）如图，圆台的上下底面半径分别为1 和2，P，Q 分别为上下底面圆周 上的点， 为圆台的轴截面且 ，则（ ） A． 为母线 56 B． C． D．平面 与平面 的夹角等于30° 【答案】BCD 【分析】根据圆台的基本概念，线面垂直的判定定理，二面角的平面角的概念，逐一判断各选项正误，求 出结果. 【详解】由母线的概念可知， 不是母线，所以A 错误； 如图所示，作上底面圆心 ，下底面圆心 ，线段 中点 ， 连接 ， 可知 ，因为 ，所以 ， 因为 为 中点， 为 中点，所以 ， ， 所以四边形 为平行四边形， 因为 平面 ，所以 平面 ，所以 ， 因为 为 中点，所以 ，所以B 正确； 因为 平面 ，所以 ，因为 ， 57 又因为 面 ， 面 ， ， 所以 平面 ，所以 ，所以C 正确； 因为四边形 为平行四边形，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 面 ， 所以 平行于平面 与平面 的交线， 因为 平面 ， ， 所以 是平面 与平面 的夹角的平面角， 可知 ，所以D 正确； 故选：BCD. 2．（2025·四川宜宾·三模）如图，三棱台 中， 平面 ， 分别是棱 的中点. (1)证明：平面 平面 ； (2)已知三棱台 的体积大于2，且直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 58 (2) 【分析】（1）通过 ， ，得到 平面 ，进而可求证； （2）由面面角的概念 为平面 与平面 所成角，再结合 求解即可. 【详解】（1）证明：因为 平面 平面 所以 ，又因为 ，都在平面 内， 所以 平面 ，又因为 平面 所以平面 平面 （2）解：在三棱台 中， 分别是棱 的中点，所以 且相等， 且相等， 所以 四点共面 由（1）知 平面 ， 平面 ， ， 在平面 内， 得： 所以 为平面 与平面 所成角， 59 设 ，点 到平面 的距离为 由 可得： 所以 所以 或 又因为 所以 ，所以 所以在 中， 所以平面 与平面 所成角的余弦值为 . 3．（2025·河北张家口·三模）如图，在正三棱柱 中， ， ，且 ， 满足 ， ，过 ， ， 三点的平面 与棱 交于点 ，若 . (1)求 的值； (2)求异面直线 与 所成角的余弦值； 60 (3)求平面 与平面 夹角的正切值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由 四点共面，列出方程，结合向量的坐标运算，即可得到 结果； （2）由异面直线的夹角公式，代入计算，即可得到结果； （3）由二面角的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 取 中点为 ，连接 ，因为 为正三角形，所以 ， 又因为正三棱柱 中，平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 以 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由 ，可得 ， 所以 ， 61 因为 ，所以 为 中点，则 ， 又 ，设 ，则 ， 即 ，解得 ，所以 ， 设 ，则 ， 因为 四点共面，所以存在实数 ，使得 ， 即 ， 即 ，解得 ，则 ， 所以 ，即 . （2）由（1）可知， ， 设异面直线 与 所成角为 ，则 . （3）平面 的一个法向量为 ， 62 设平面 的法向量为 ， 因为 ， 则 ，令 ，则 ，所以 ， 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 ， 且 ， 所以 . 4．（2025·广东佛山·二模）如图，将一个棱长为2 的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体 ，E 是 的中点.过点C，E， 的平面 与该多面体的面相交，交线围成一个多边形. (1)在图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积； (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值. 【答案】(1)作图、理由见解析，多边形面积为 ； 63 (2) . 【分析】（1）若 为 的中点，连接 ，结合正方体的结构易得 共面，即得多 边形，进而求其面积； （2）先证平面 平面 ，再求平面 与平面 的夹角 的余弦值即可. 【详解】（1）若 为 的中点，连接 ，显然 ， 所以 共面，即交线围成的多边形为 ， 由题意， 为等腰梯形，且 ， ， 所以 . （2）由正方体的结构特征，易知 ， 由 平面 ， 平面 ，则 平面 ， 同理得 平面 ， 都在平面 内， 所以平面 平面 ， 故平面 与平面 的夹角，即为平面 与平面 的夹角 ， 而 是棱长为 的正四面体，所以 . 题型9 线面角与二面角综合 64 解｜题｜策｜略 线面角与二面角一起出现时，通常情况下会共高线，这时，线面角与二面角的正弦值就会有关系。通过 这个给出其中一个，求另外一个。 1．（多选）（2025·全国·模拟预测）如图，平面四边形 满足 ， 与 交于点，若将 沿 翻折，得到三棱锥 ，已知二面角 的平面角为， 直线 与平面 所成的角为， ，则下列说法正确的是（ ） A．在翻折过程中， 与 始终垂直 B．在翻折过程中， 始终成立 C．在翻折过程中，的最大值为 D．当平面 平面 ，则三棱锥 为正三棱锥 【答案】ACD 【分析】结合线面垂直的判定和性质数形可判断A；由二面角的平面角、线面角的定义，找到相关角后表 达对应的正弦值，即可推导分析B；由角的函数值的最值关系可判断分析C；由垂直关系判断边长关系， 结合正三棱锥的定义可判断D. 【详解】对于A，在平面四边形 中，由于 ，所以 ， ， 如图1，在翻折过程中，始终满足 ， ， 面 ，所以 65 面 ，所以 ，A 正确； 对于B，如图2，作 ，连接 ，由题意得在翻折过程中，始终满足 ，又 ， 所以二面角 的平面角为 ，即 ，则 ，又 面 ，所以 ， 所以直线 与平面 所成的角为 ，所以 ，又 ，所以 ， 则 ，B 错误； 对于C，由B 知， ， ，当 ，即 时， 的最大值为 ，此时 ，C 正 确； 对于D，如图3，由A 知， ，由于平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 ，则 ，由于 ， 所以 ，则三棱锥 为正三棱锥， 正确，故选ACD. 故选： . 2．（多选）（2025·上海虹口·一模）如图，已知点 在表面积为 的球的球面上，且 ， 平面 ，点为 中点，当二面角 的大小为时，则有（ ） 66 A．异面直线 和 所成角的大小为 B．直线 与平面 所成角的大小为 C． D． 的面积为 【答案】D 【分析】设球的半径为，求得 ，证得 平面 ，得到 ，得到 ，进而得 到 ，把异面直线 和 所成角转化为直线 和 所成角，可判定A 不正确；作 ， 证得 平面 ，得到 即为直线 与平面 所成角，可判定B 不正确；在直角 中，求 得 ，结合二倍角公式，可得判定C 不正确；结合面积公式，可判定D 正确. 【详解】设球的半径为，因为球的表面积为 ，可得 ，可得 ， 因为和分别为 的中点，所以 ，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 因为 ，且 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 ， 所以 为二面角 的平面角，所以 ， 67 在直角 中，可得 ， 对于A，由 ，可得异面直线 和 所成角，即为直线 和 所成角， 因为 ，所以异面直线 和 所成角的大小为，所以A 不正确； 对于B，过点作 ，垂足为 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ， 所以 即为直线 与平面 所成角， 在直角 中， ，可得 ，则 ， 所以 ，所以B 不正确； 对于C，在直角 中， ，可得 ， 所以 ，则 ， 所以 ，所以C 不正确； 对于D，由 的面积为 ，所以D 正确. 故选：D. 3．（多选）（2025·广东广州·模拟预测）如图，在三棱锥 中，侧棱OA，OB，OC 两两垂直，且 68 ，P 为底面ABC 内一动点（含边界），点P 到三个侧面的距离分别为 ， ， ， 直线OP 和三条侧棱所成的角分别为 ， ， ，直线OP 和三个侧面所成的角分别为α，β，γ，则 （ ） A．该三棱锥的外接球半径为 B． C． D．当 时，P 点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】选项A，可将三棱锥补成长方体计算；选项B、C，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成 长方体，找到相应角进行计算；选项D，点的轨迹为以为球心，半径为 的球面被三角形面 所截 得的三段圆弧，根据弧长公式计算. 【详解】对于A，由三条侧棱 两两垂直，则该三棱锥可补成长方体，如图所示，该三棱锥的外 接球也就是补成的长方体的外接球， 则外接球半径 ，故A 正确； 对于B，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成如图所示的长方体， 69 则直线 与 所成角为 记为 ，与 所成角为 记为 ，与 所成角为 记为 ， 则 ， ， ， 则 ，故B 错误； 对于C，直线 与平面 、平面 、平面 所成角分别为 ， 则 ， 故 ，故C 正确； 对于D，在该长方体中， ，则 ， 故点的轨迹为以为球心，半径为 的球面被三角形面 所截得的圆弧， 设点到平面 的距离为，则 ， 由 ，可得 ，解得 ， 则截面圆半径 ． 设 内切圆半径为，则由 ，解得 ， 因为 ，所以轨迹为三段圆弧， 70 如图，设 、 分别为其中一段圆弧的两个端点，则 ， 由对称性易得 由正弦定理， 的外接圆半径 ， 在 中由余弦定理， ， 即 ，解得 或 （由对称性，此时 ，故舍去） 所以 ，所以弧 对应的圆心角为，其长度为 所以点的轨迹长度为 ，故D 正确． 故选：ACD. 4．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，在三棱柱 中， 为正三角形， 为等腰三角形， 且 为底边， 为 的中点， ，平面 平面 . (1)证明： 平面 ； (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 71 (2) 【分析】（1）利用中位线得线线平行，再由线线平行得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，根据空间向量的夹角求解线面角，即可得棱 的长度，再利用空间向量求 解二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：如图，连接 交 于点，连接 . 三棱柱的侧面为平行四边形， 为 的中点. 又 为 的中点， 为 的中位线， . 平面 平面 ， 平面 . （2）如图，连接 . 为正三角形， 为 的中点， . 平面 平面 ， 平面 平面 平面 ， 平面 . 平面 . 72 为等腰三角形， 为底边 的中点， ， 两两垂直. 如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系 .设 . ， , 是平面 的一个法向量， 直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 解得 （负值已舍去）. 由 ，得 . 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，可得 ， 平面 的一个法向量为 . 73 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 ， 平面 与平面 的夹角的余弦值为 . 5．（2025·广西柳州·三模）如图，已知四棱锥 中，顶点 在底面 上的射影 落在线段 上（不含端点）， ， ， ， . (1)求证： 平面 ； (2)若二面角 的大小为 ，直线 与平面 所成角为 ，求 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得 ，根据三角形的边角关系可得 ，即可结合线面 垂直的判定求解， （2）由二面角的平面角和线面角知识结合锐角三角函数即可求解. 【详解】（1）由于 平面 平面 故 因为 ，所以底面 为直角梯形，故 ， 过 ，且与 相交于 ， 则 ， 又 ， 74 故 ,所以 , 由于 平面 ， ， 所以 平面 ， （2）由题意可知 ，过 作 的垂线，垂足为 ,连接 , 由于 平面 平面 故 ， 平面 ， 故 平面 ， 平面 ，故 ， 故 为二面角 的平面角， 所以 从而 . 题型10 线面角、二面角与圆锥曲线 解｜题｜策｜略 线面角、二面角与圆锥曲线结合时，属于综合性较强的创新题或压轴题。利用圆锥曲线的定义来判断动 点轨迹，根据轨迹来求线面角、二面角。 1．（多选）（2025·山东济南·模拟预测）已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为3 的正方形，点 在 底面ABCD 内（包含边界），且直线 底面ABCD，记直线PA 与底面ABCD 所成角为，PB 与底面 ABCD 所成角为，二面角P-CD-A 的平面角为，则（ ） A．若 ，则 在AB 的垂直平分线上 B．若 ，则 的轨迹长度为 75 C．若 ，则 的轨迹为抛物线的一部分 D．若 ，则当 与 面积之比为 时， 【答案】ACD 【分析】对于A，由 可得 ，即可判断；对于B，建系后利用 推出 ，求出点P0的轨迹是以点 为圆心，半径为2 的圆，结合图形求出轨迹圆弧所对的圆 心角，即可求得答案；对于C，利用条件，根据抛物线定义即可判断；对于D，建系后，易得点P0的轨迹 方程为 ，利用条件推得 ，继而求出直线 的斜率，利用抛物线焦半径计算公 式即得. 【详解】 对于A，如图1，因直线 底面ABCD，则 是直线PA，PB 与底面ABCD 所成角 ， 由 ，可知 ，则 在AB 的垂直平分线上，故A 正确； 对于B，由 可得 ，即 . 76 如图以 所在直线为轴， 的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设点 ，则 ，则得 ， 化简得 ，即点 的轨迹是以点 为圆心，半径为2 的圆， 如图2 所示，该圆交棱AD 于点F，则 ， ， 故 的轨迹长度为 ，故B 错误； 对于C，当 时， 到点A 的距离等于 到CD 的距离， 由抛物线的定义，可知 的轨迹是抛物线的一部分，故C 正确； 对于D，如图3，以AD 的中点为G 为原点，GA 所在直线为x 轴，以过点G 且与AD 垂直的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系， 因 ，直线 的方程为 ，由C 可得：点 的轨迹方程为 ， 过 作 垂直于CD，垂足为M，过 作 垂直于AD，垂足为N， 由当 与 面积之比为 时， ， 因 ，则 ，则 ， 则由抛物线的焦半径公式，可得 ，故D 正确. 故选：ACD. 77 2．（2025·上海·三模）已知长方体 中， 为矩形 内一 动点，设二面角 为，直线 与平面 所成的角为，若 ，则三棱锥 体积的 最小值是 . 【答案】 / 【分析】根据题意，判断得的轨迹为抛物线一部分，建立平面直角坐标系，写出直线 和抛物线段的 方程，由题意，计算点到线段 的最短距离，再由等体积法计算三棱锥 最小体积. 【详解】如图，作 平面 ，垂足为 ，再作 ，垂足为 ， 连接 因为 平面 ，故 ， 而 平面 ，故 平面 ， 而 平面 ，故 ，故 为 的平面角， 则 ， ，由 ，则 ， 又 、 平面 ，故 ， ，则 ， 由抛物线定义可知， 的轨迹为以为焦点，以 为准线的抛物线一部分， 所以的轨迹为以 为焦点，以 为准线的抛物线一部分， 78 当点到线段 距离最短时，三角形 面积最小，即三棱锥 体积最小， 取 中点 为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则 ， ， ， 则直线 的方程为： ，即 ， 抛物线的方程为 ，则 ， 由题意，令 ，得 ，代入 ，得 ，所以点的坐标为 ， 所以动点到直线 的最短距离为 ， 因为 ，所以 ， 所以三棱锥 体积的最小值为 . 故答案为： . 3．（2025·广东·模拟预测）在三棱锥 中， ，直线 与平面 所成的角 为，则三棱锥 体积的最大值为 . 【答案】 / 【分析】设 ，得到点在以 为焦点的椭圆上，当在该椭圆的上顶点 时， 的面积最大， 79 取 的中点，求得 ，设点到平面 的距离为，得到 ，求得 ，设 且 ，利 【详解】不妨设 ，由 中 ，可得 ， 又由 ，故点在以 为焦点，且2 为长半轴长的椭圆上， 当在该椭圆的上顶点 时， 的面积最大，此时 ， 取 的中点，可得 ， 则 ， 设点到平面 的距离为， 因为直线 与平面 所成的角为，可得 ， 所以 ， 设 且 ，则 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以 ， 所以 ， 当且仅当 ，且 时，等号成立， 所以三棱锥 体积的最大值为 . 故答案为： 80 4．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线 ，点 ，且 ，若 ，且 ，则二面角 平面角的余弦值最小为 . 【答案】 【分析】先确定点、 的轨迹及相关线段长度表达式，再利用余弦定理得 的表达式，最后通 过换元求最值. 【详解】根据双曲线的定义，平面内到两个定点、（焦点）的距离之差的绝对值为定值（小于 ） 的点的轨迹为双曲线.由 ，可知 ， 所以点在以、为焦点的双曲线上.在空间中，是此双曲线绕 旋转得到的曲面. 因为 ，根据直径所对的圆周角是直角，所以点 同时在以 为直径的球面上. 由于 ，所以、 在与 垂直的面上. 不妨令固定在一支双曲线上，设双曲线方程为 . 过作 于，在双曲线 中，变形可得 . 在 （因为 ）中， 的长度可根据坐标关系得到， 因为 在过与 垂直的面与球的交线上，设球心为（ 中点）， 由 （球的半径的平方为，根据勾股定理得到此关系）， 的长度与有关（点坐标与点 81 纵坐标有关），且 在轴上的投影长度就是，所以 . 在 中，根据余弦定理 ， 通过 ， 代入余弦定理公式化简得到, . 令 ，则 . 对于二次函数 ，其对称轴为 ，当 时， 取得最大值 . 所以 . 故答案为： . 5．（多选）（2025·湖北黄冈·二模）在三棱锥 中， ， ， ， ，且 ，则（ ） A．点的轨迹为椭圆 B．当平面 固定时，点的轨迹对应曲线的离心率为 82 C．当二面角 为 时， 的面积与 的面积之和有最大值 D．二面角 的余弦值的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，可根据椭圆的定义来判断；对于B，根据双曲线的定义判断点C 的轨迹，然后根据双曲 线的性质求出离心率；对于C，首先将两个三角形的面积表达式列出来，然后根据二面角是60°，利用正 弦定理，将 的表达式列出来，然后根据角的范围求出最大值；对于D，将二面角的余弦值表示出来 后，通过化简求出最小值. 【详解】对于选项A： 在三棱锥 中，因为 ， 根据椭圆的定义：平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹叫椭圆. 这里 为两个定点， 为定值且大于 ，而点在空间中， 所以点的轨迹是以 为焦点的椭球.所以A 错误. 对于选项B： 因为 ，根据双曲线的定义可知点的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支. 设双曲线方程为 ， ，则 ， 则 ，所以离心率为 ，B 正确. 对于选项C： 作 ，连接 . 因为 平面 ，所以 平面 . 所以 ，所以 为 的二面角，根据题意为60°. . 83 要求其最大值，即是求 的最大值. 在 中，设 ,根据正弦定理得 . 所以 ， 所以 . 因为 ，所以 ，所以 . 所以 的最大值为. 所以 的最大面积为 ，所以C 正确. 对于选项D： 在平面 中，因为 ， ，所以在该平面内点的轨迹是椭圆. 所以 ， ，所以椭圆方程为 设为 中点，对应的椭圆为： 椭圆方程可变换为 ，所以可设 ， ， 在平面 中，因为 ， ，所以在该平面内点的轨迹是双曲线. 所以 ， ，所以双曲线方程为 .图像如下： 84 因为双曲线方程为 ，所以 . 所以 ， 所以，根据余弦定理 ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 因此，二面角 的余弦值的最小值为 .D 正确. 故选：BCD. （建议用时：30 分钟） 1．（2025·广东·模拟预测）在正方体 中， 分别为棱 的中点，则异面直线 85 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 ，连接 ，设 ， 为异面直线 与 所成的角，即 可求解． 【详解】如图，设 ，连接 ，设 ． 易得 ，且 ， 所以四边形 为平行四边形，则 ， 所以 或其补角为异面直线 与 所成的角． 设正方体 的棱长为1，则 ． 因为 ，且 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，则 ． 故异面直线 与 的夹角为． 故选：A 2．（2025·江西宜春·一模）如图，直线，，相互平行，且两两之间的距离为1，平面 平面 86 ，且平面ABC 与平面 之间的距离为3，直线与平面ABC 所成的角为，则三棱柱 的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得四边形 的面积，然后结合柱体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为平面ABC 与平面 之间的距离为3，直线与平面ABC 所成的角为， 所以 . 则四边形 的面积为 . 因为直线，，相互平行，且两两之间的距离为1， 所以直线到平面 的距离为 . 三棱柱 的体积为 . 故选：A 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）在正方体 中，为线段 上的动点，则直线 与 所成角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 87 【分析】根据异面直线所成角定义结合正方体的几何特征求解. 【详解】正方体 中， ，所以 为等边三角形. 因为 ，所以 或其补角为直线 与 所成的角. 当点与线段 的端点重合时，直线 与 所成的角取得最小值； 当点与线段 的中点重合时，直线 与 所成的角取得最大值. 故直线 与 所成角的取值范围 . 故选：D. 4．（多选）（2025·辽宁盘锦·三模）在正三棱柱 中，点E 为棱 的中点，点F 为棱 的 中点，则下列说法正确的是（ ） A． 平面 B．若 ，则 C．若 ，则直线 与 所成角的余弦值为 D．若 ，则平面 与平面 的夹角为 【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用空间位置的向量证明判断B； （或其补角）即为直 线 与 所成的角，由余弦定理求出异面直线夹角余弦判断C； 是平面 与平面 的 夹角，即为平面 与平面 的夹角，利用三角函数关系求出二面角大小判断D. 【详解】对于A：依题意， ，则四边形 为平行四边形, 所以 ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，故A 正确； 88 对于B：因为 ，又 ， ， 所以 ， 则 ，故B 正确； 对于C，因为 ，所以 （或其补角）即为直线 与 所成的角， 不妨设 ， ，则 ， ， 故直线 与 所成角的余弦值为 ，故C 错误； 对于D，取 的中点 ，连接 ，则 是正三棱柱 的中截面， 平面 平面 ，平面 与平面 的夹角等于平面 与平面 的夹角， 取 的中点，连接 ，由 ， 得 ，又 ，则 是平面 与平面 的夹角， 在 中， ，则 ， 所以平面 与平面 的夹角为，故D 正确． 故选：ABD 89 5．（多选）（2025·江苏南通·模拟预测）在棱长为2 的正方体 中，是其表面上一点，且 与 所成的角为，下列说法正确的是（ ） A．若是 的中点，则 B．若在线段 上，则 C．若 ，则的轨迹长度是 D．若 ，则不在面 上 【答案】ABD 【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断AB；由异面直线夹角的定义确定轨迹推理判断CD. 【详解】对于A，由 ，得 ，又 平面 ，则 ，A 正确； 对于B，过作 交 于，连接 ，则 ， ， ， ，B 正确； 对于C，由 ， ，得射线 的轨迹是以 为轴，轴截面等腰三角形顶角 为的圆锥侧面，当点在底面 内时， ， 90 点的轨迹是以 为圆心，所含圆心角为的圆弧，轨迹长度为 ； 当点在侧面 内时，点的轨迹分别是圆锥一条母线的一部分，长度为 ， 因此的轨迹长度是 ，C 错误. 对于D， ，射线 的轨迹是以 为轴，轴截面等腰三角形顶角为 的圆锥侧面， 当点在平面 内时， ，不在底面 上，D 正确. 故选：ABD 6．（2025·湖北·模拟预测）已知长方体 中， ， ，点是底面 上的一个动点.设平面 与平面 的夹角为，平面 与平面 的夹角为，记 表示，中的最大者， 表示，中的最小者，若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据 ，初步确定点所在的位置.举特例说明 与 的大小关系不确定，排除 AB；再按点在不同位置时，研究 与 ， 与 的大小，即可得出结论. 91 【详解】如图，取长方体的下底面的各边中点, , , ，上底面的中心为，下底面的中心为. 平面 与平面 的夹角为，平面 与平面 的夹角为， 过作 于 ，作 于 ，则 ， . 所以 ，等价于到 的距离比到 的距离大，所以在如图所示的阴影范围内. 在 和 中， ， 为公共边，为共同的中点， ， 的大小由 与 ， 所成的角大小所决定.所成角越小，则对应角越大. 显然 与 和 所成的角的大小关系不确定： 当在靠近 时 与直线 所成的角较小，与直线 所成的角则接近于 ，此时 . 同样当接近于 时 ，故A、B 错误； 与 的大小关系实际上是看在 的左侧还是右侧. 若在 左侧，则 ； 若在 右侧，则 ； 若是在 上，则 . 同样，在 的前面，则 ； 92 在 上，则 ； 在 的后面，则 ， 所以当在 内时， ， ， ， . 因为 ，所以 . 因为 ，所以 . 因此 ， ， 根据对称性，在其余区域内，具有相同的结论. 故选：C 7．（多选）（2025·广东清远·二模）如图，在直棱柱 中，底面 是边长为2 的菱形， ， ，点为 的中点，动点在侧面 内（包含边界），则下列结论正确的是 （ ） A． B．平面 与平面 所成角的余弦值为 C．若 ，则点轨迹的长度为 D．若点 在直线 上，则 的最小值为 93 【答案】ABC 【分析】通过线面垂直可判断线线垂直，判断A 的真假；利用投影面积法求二面角的余弦，判断B 的真假； 弄清点的轨迹，再求其长度，可判断C 的真假；利用表面展开，转化为两点之间，直线段最短求 的最小值，判断D 的真假. 【详解】如图1，连接 ，由菱形 可得 ． 再由直棱柱 ，可得 底面 ． 又因为 底面 ，所以 ， 而 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 ，故A 正确； ， ， ，所以 为直角三角形，且 ， 其在底面投影的三角形 的面积为 ， 由投影面积法可得平面 和平面 所成角的余弦值为 ，故B 正确； 如图2，动点在侧面 内（包含边界），过 作 ，垂足为 ， 由直棱柱 ， 所以平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 94 且 ，所以 平面 . 而 侧面 ，即有 ，由菱形 边长为2， ，可得 ， 再由勾股定理得： ，则点的轨迹是以 为圆心， 以 为半径的圆弧（如图3 中 ），则由侧面正方形 ， 可知 ， ，可得 ，所以点轨迹的长度为 ，故C 正确； 由 为直角三角形，且 为等腰直角三角形， 将 与 展开成一个平面图，如图4，则 ； 由余弦定理得： ， 即 ，故 的最小值为 ，故D 错误． 故选：ABC 8．（2025·山西晋城·模拟预测）已知点是边长为的菱形 所在平面外一点，且点在底面 上 的射影是 与 的交点，已知 ， 是等边三角形. 95 (1)求证： ； (2)求二面角 的平面角的正切值； (3)若点是线段 上的动点，问：点在何处时，直线 与平面 所成的角最大?求出最大角的正弦 值，并说明点此时所在的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)当点在线段 上靠近 点的处时，直线 与平面 所成的角最大，最大角的正弦值为 【分析】（1）由题意得到 平面 ，即得 ，再由 可证 平面 ，由线面 垂直可得 ； （2）过在平面 内作 于 ，连接 ，证明 平面 ，得到 为二面角 的平面角，在 中，利用三角函数的定义求解即得； （3）由 平面 得到到平面 的距离即为 到平面 的距离，利用等体积求得 ， 设直线 与平面 所成的角为，求得 ，推得当 时， 最小，从而 的值最大， 由此即得点的位置. 【详解】（1）因为点在底面 上的射影是 与 的交点， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 因为四边形 为菱形，所以 ， 因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ， 96 又 平面 ，所以 ． （2） 如图，过在平面 内作 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ， 、 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ，故 为二面角 的平面角， 因菱形 中， ，则 ， ， 又 是等边三角形，故 ， 由 ，知 ， 在 中， ，故二面角 的正切值为. （3）因为 ，且 平面 平面 ，所以 平面 ， 所以到平面 的距离即为 到平面 的距离， 因为 ，所以 ， 即 ， 所以 ， 97 设直线 与平面 所成的角为，则 ， ， 因正弦函数在第一象限单调递增，故要使 最大，即使最大，则需使 最小， 此时 ，由对称性知， ， 所以 ，此时 ， 故当点在线段 上靠近 点的处时，直线 与平面 所成的角最大，且最大角的正弦值为. 9．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在三棱台 中， ， ， ， 为线段 上一点， . (1)求证：点 为线段 的中点； (2)若直线 与直线 所成角的正切值为5， ，求证：平面 平面 . (3)设二面角 的大小为 ，直线 与平面 所成角的大小为 ，求 关于 的函数表达式， 并求 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 （1）过 作 垂足为 ，依题可推出 平面 ，进而得 .又因 得出 为 中点，再结合梯形 中 是等腰梯形且 ，得到N 为 中点. （2）由（1）知 是二面角 平面角，作 ，通过线段关系证四边形 是平行 四边形，得出 ，确定 是直线 与 所成角（或补角），利用三角函数值和余弦定理求 98 ，进而判断二面角情况. （3）利用 在底面投影，找出直线 与平面 所成角，分 为钝角、锐角、直角讨论相关线段长 度，得出 表达式，将其看作半圆上点与定点连线斜率，根据直线与半圆相切情况确定 取值范围. 【详解】（1）过 作 交 于点 ，连接 . ， ， 平面 ， . ， 为 的中点. 在梯形 中， ，∴梯形 为等腰梯形. 又 ， 为线段 的中点. （2）由（1）知， 为二面角 的平面角，过 作 交 于点 ，则 ，连 接 . 在等腰梯形 中， ， . .又 ，∴四边形 为平行四边形， . 为直线 与 所成角（或补角）， ， . 在 中， ， . 由余弦定理得： ，得： ，解得 ，或 （舍）， 99 在 中， ， ， ， . . 二面角 为直二面角，即平面 与平面 所成二面角为直二面角， 平面 平面 . （3）设 在底面的投影分别为 ， ，N 到平面 的距离为， 则 ，则 为直线 与平面 所成角， . ， ， . 为钝角时， 在 的外部， ， ， . 当 为锐角时， 在 的内部， ， . . 100 当 为直角时，也符合 ， 综上， . 设 是 （上半圆，不包括与 轴的交点）上任意一点， 则 可看作是半圆 上一点 与点 连线的斜率. 直线 与半圆相切时，直线的斜率最小值为 . 与 连线的斜率的取值范围为 ， 的取值范围为 . 10．（2025·江苏·模拟预测）如图，在正三棱柱 中， ， 分别是 和 的中点. (1)证明：平面 平面 ； (2)若 ，平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求该三棱柱的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2) . 101 【分析】（1）取 中点 ，利用平行公理，结合平行四边形的判定性质证得 ，再利用线面平行 的判定性质、面面垂直的判定推理即得. （2）取 中点 ，利用面面平行的判定证得平面 平面 ，再利用二面角大小求出正三棱柱 的高。进而求出体积. 【详解】（1）在正三棱柱 中，取 中点 ，连接 ， 由 是 中点，得 ，而 是 中点， 则 ，四边形 是平行四边形， ， 由 平面 平面 ，得 ，而 ， 又 平面 ，于是 平面 ， 因此 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 . （2）由（1）知 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ， 取 中点 ，连接 ，则 ，而 平面 ， 平面 ， 则 平面 ，又 平面 ，于是平面 平面 ， 平面 与平面 的夹角等于平面 与平面 的夹角， 由 平面 ， 平面 ，得 ， 102 则 是平面 与平面 的夹角， ， ， 于是 ，而 ，则 ， 所以正三棱柱 的体积 . 103
