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专题04 函数与方程
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热点聚焦
方法精讲
能力突破
热点聚焦·析考情
锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
题型引领·讲方法
系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
能力突破·限时练
实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年：函数与方程是近3 年的高考命题热点，以选择题填空题为主，考查内容、频率、题型、难度较为
稳定，重点是函数的零点的个数和由零点求参数问题，以及函数零点与导数相结合．
预测2026 年：函数内容可能还会以考察函数零点求参数问题为主，同时还需重点关注函数方程零点与导
数相结合问题．
热点题型：
题型01 函数零点存在定理及应用 题型02 函数零点二分法及应用
题型03 判断函数零点个数问题 题型04 由函数零点个数求参数问题
题型05 函数的等高问题 题型06 二次可分解因式型零点问题
题型07 二次不可分解因式型零点问题 题型08 镶嵌函数
型零点问题
题型01 函数零点存在定理及应用
解｜题｜策｜略
零点存在定理：连续函数
在
满足
，则
在
一定存在零点
【精选例题】
【例1】函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】 分析函数
的单调性，并根据零点存在定理可确定函数
的零点所在区间.
1
【详解】函数
的定义域为
.
因为函数
是增函数，且
在
和
上分别单调递增，
所以
在
和
上分别单调递增.
当
时，
恒成立，所以无零点；
当
时，
，f (1)=1>0，所以函数
的零点所在区间为
.
故选：B.
【例2】函数
零点所在的大致区间为
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】先根据函数的单调性判断函数零点个数，再利用函数零点存在性定理进行判断.
【详解】因为函数
在
上单调递增，所以函数
在
上至多1 个零点.
又
，
.
所以函数
在
上有零点.
综上，函数
只在
有1 个零点.
故选：B
【例3】方程
的实数根所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】可将方程的根的问题转化为函数的零点问题，再根据零点存在定理求解即可.
【详解】令
,
在
上单调递增，并且有
,
根据零点存在定理，
使得
即方程
的根所在的区间为
.
故选：B.
【例4】已知函数
的零点分别为a，b，c，则a，b，c 的
2
大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性和特殊值计算，可求得
和
，再由函数的单调性和零点存在定理推理得
到
即可.
【详解】因
是
上的增函数，且
，则可得
，
又
是
上的增函数，且
，则可得
．
因为函数
在
上是增函数，
，
，
由零点存在定理可知，
有唯一的零点
，故得
．
故选：D．
【例5】已知函数
在区间
上有零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】易得函数
在
上单调递增，由
求解.
【详解】因为函数
，
在区间
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
由函数
在区间
上有零点，
得
即
解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故选：B.
【例6】已知
、
、是
的三条边且
.设函数
，则下列结论中正确的是
（ ）
A．对任意正数
，
、
、
能作为一个三角形的三条边
3
B．对任意
，
、
、
都不能作为一个直角三角形的三条边
C．当
是钝角三角形时，
有零点
D．存在
，使得
【答案】C
【分析】利用特殊值法可判断AB 选项；利用余弦定理、三角形三边关系以及零点存在定理可判断C 选项；
分
、
两种情况讨论，结合指数函数的单调性可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，不妨取
，
，
，则
，
，
满足
，此时
、
、
不能作为一个三角形的三条边长，A 错；
对于B 选项，取
，
，
，则
，
，
满足
，此时
、
、
能作为一个直角三角形的三条边长，B 错；
对于C 选项，若
是钝角三角形，且
，则
为最大角，且
为钝角，
由余弦定理可得
，故
，
由三角形三边关系可得
，
又因为
，且函数
在
上连续，
由零点存在定理可知，存在
，使得
，
因此当
是钝角三角形时，
有零点，C 对；
对于D 选项，
，
若
，则
，对任意的
，
，
若
，则
，
，令
，
因为函数
、
在
上均为减函数，
故函数
在
上为减函数，
因为
，
，
所以对任意的
，
，则
，D 错.
故选：C.
4
【例7】设函数
，若函数
在
上存在零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
在
上单调递增，结合零点存在性定理，函数
在
上存在零点，需
，求解即可.
【详解】函数
在
上递增，
则函数
在
上存在零点，
需
，
解得
.
故选：B.
【例8】函数
的一个零点在区间
内，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】显然函数
在区间
内连续,由
的一个零点在区间
内,则
,
即可求解.
【详解】由题,显然函数
在区间
内连续,因为
的一个零点在区间
内,所以
,即
,解得
,
故选:C
【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.
【例9】（多选题）已知函数
的定义域为
，若存在实数
，使得
，则称
为函数
的不动点，则下列函数一定存在不动点的是（ ）
A．
5
B．
（a 为常数）
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对A，由不动点定义直接求出判断；对B，令
，转化为判断方程
有无解；对C，根据零点存在性定理可判断；对D，令
，解方程判断.
【详解】对于A，由
，所以是函数
的不动点，故A 正确；
对于B，令
，得
，
，
当
，即
时，方程无实数解，故
无不动点，故B 错误；
对于C，令
，得
，令
，
，
函数
在
上的图象是连续不断的曲线，且
，
，
所以函数
在
上存在零点，即
有解，
所以函数
存在不动点
，故C 正确；
对于D，令
，得
，即
，
，
所以存在
，使得
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式训练】
1．(25-26 高一上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)函数
在下列哪个区间内
一定有零点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】计算函数值，再根据零点存在性定理可判断.
【详解】因为
，
，
，
，
，
则由零点存在性定理可知，函数
的零点所在的区间为
故选：B.
2．已知点
在幂函数
的图象上，则函数
的零点所在区间为（ ）
6
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知条件求出
，则
，判断函数
的单调性及
的正负，
结合零点存在性定理得出结果.
【详解】由于点
在幂函数
的图象上，所以
，
所以
，则
.
又因为函数
在
上都单调递增，
则函数
在定义域
上单调递增，
，
因为
，即
，所以
，
，
因为
，即
，所以
，
因为
在
上单调递增，
，
所以
在
上只有一个零点，且在
内.
故选：C.
3．(25-26 高三上·江苏镇江第一中学、镇江中学·)已知函数
，若函数
的零点均在区间[a，b]内，
，则
的最小值为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【答案】A
【分析】根据导数求
和
的单调性,
，即
在
上单调递增，
,
在
上单调递减,再应用零点存在定理确定零点所在区间,根据图像平移即可求得结果.
【详解】由题知
,
所以，
，则
，
当
时，
，
7
当
时，
，
；
当
时，
，
，
当
时
显然成立，
所以
，即
在
上单调递增，
又
，
，
所以
在
上有唯一的零点，
同理，
，
所以，
，当
，
，
所以
在
上单调递减，
又
，
，
所以
在
有唯一的零点．
则
的零点在区间
内，
的零点在区间
内，
所以
零点均在区间
中
的最大值为
，
的最小值为，
所以
的最小值为
．
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用导数判断函数的单调性，进而根据零点存在定理求得
，
的零点所长区间.
4．(25-26 高三上·黑龙江哈尔滨第六中学校·月考)已知函数
是定义在
上的奇函数，若函数
的零点在区间
内，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数为奇函数求出b 的值，继而求出函数
的零点的表达式，结合题意列出不
等式，即可求得答案.
8
【详解】因为函数
是定义在
上的奇函数，
故
，解得
，
故
，
而
，即满足
，函数
是定义在
上的奇函数，
故
；
令
，解得
，
又函数
的零点在区间
内，
故令
，则
，令
，解得
，
即实数
的取值范围为
，
故选：B
5．(25-26 高三上·北京第一零一中学·)设函数
，则
满足（ ）
A．在区间
内均有零点
B．在区间
内有零点，在区间
内无零点
C．在区间
内无零点，在区间
内有零点
D．在区间
内均无零点
【答案】C
【分析】利用求导判断函数的单调性，求得函数的极大值
，计算得到
，
，
，利用函数的单调性和零点存在定理即可判断
函数的零点情况.
【详解】
的定义域为
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
9
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
时，函数
取得极大值为
，
又
，
，
，
即在区间
上恒有
，
又由零点存在定理
，使得
，
即函数在区间
内无零点，在区间
内有零点.
故选：C.
6．函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得.
【详解】函数
在
上的图象连续不断，且为增函数，
若
在区间
上存在零点，
根据零点存在定理可知，只需满足
，
即
，
解得
，
所以实数
的取值范围是
．
故选：D.
7．(22-23 高二下·河南济源英才学校·月考)函数
在
内存在一个零点，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】根据题意，由
求解.
【详解】解：因为函数
在
单调递增，且在
内存在一个零点，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
，
10
故选：B
8．(25-26 高三上·江西赣州兴国县兴国中学·期中)已知函数
的所有零点都在区间
上.若
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】先判断函数的奇偶性，再结合零点存在性定理求解.
【详解】依题意，函数的定义域为
，
，
所以
为偶函数，
当
时，
，此时
单调递增，
且
，
，
故
在
只有一个零点，且零点在区间
上，
因为
为偶函数，根据对称性，可知
有2 个零点
，其中
，
则
，故实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
题型02 函数零点的二分法及其应用
解｜题｜策｜略
①对于在区间
上连续不断且
的函数
，通过不断把函数
的零点所在的区
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
②对于给定精确度
，利用二分法求函数
零点近似值的步骤如下:
①确定区间
，验证
，给定精确度
;
②求区间
的中点
;
③计算
;
a.若
，则
就是函数的零点;
b.若
，则令
(此时零点
);
c.若
，则令
(此时零点
).
④判断是否达到精确度
，即:若
，则得到零点近似值
(或
);
否则重复②③④.
【精选例题】
11
【例1】已知函数
在区间
内有且仅有1 个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，
经过2 次二分法后确定的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断.
【详解】由
，且
，
，得
在
内有零点；
由
，且
，
，得
在
内有零点；
所以经过2 次二分法后确定的零点所在区间为
．
故选：B
【例2】已知函数
，利用二分法求
的零点的近似值
，若零点的初值区间为
，
精确度为
，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件，计算出
，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求
解.
【详解】因为
，则
，
，
又
，
，
由零点存在定理知零点属于区间
，且
，满足精确度，所以
可以是
，
故选：C.
【例3】在用二分法求方程
在
上的近似解时，构造函数
，依次计算得
，
，
，
，
，则该近似解所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理可知结果.
【详解】根据已知
，
，
，
，
，
12
根据二分法可知该近似解所在的区间是
.
故选：C
【例4】设
，某同学用二分法求方程
的近似解（精确度为0.5），列出了
对应值表如下：
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由表格数据可知，
，又因为函数
在
上连续，且函数
在
上单调递增，所以函数
在区间
上存在一个零点.又因为
，所以方程
的近似解（精确度为0.5）可以是区间
上的任意一
个数，观察四个选项可知C 正确.
【例5】（多选题）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用二分法知识对选项中的函数逐一判断即可.
【详解】对于选项A：函数
在
上单调递增，有唯一零点
，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A 正确；
对于选项B：因为
，故不能用二分法求零点的近似值，B 错误；
对于选项C：因为
，
，且函数
在
上连续，故可以用二分法求函数
在
上零点的近似值，C 正确；
对于选项D：当
时，令
，解得
，
当
时，令
，解得
，
且根据一次函数性质知函数值在零点两侧异号，故能用二分法求零点的近似值，D 正确；
故选：ACD
13
【变式训练】
1．用二分法求函数
在
内的零点近似值，若精确度要求为
，则需重复相同步骤的
次数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用
二分法后区间长度变为
，第二次使用二分法后区间长度变为
，第三次使用二分法后区间长度变为
，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止.
【详解】解：原始区间长度为
，
第一次，区间长度减半，为
，
第二次，区间长度减半，为
，
第三次，区间长度减半，为
，
第四次，区间长度减半，为
，
故至少需要重复四次.
故选：B.
2．(24-25 高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在用二分法求方程
在
上的近
似解时，先构造函数
，再依次计算得
，
，
，
，
，则该近似解所在的区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二分法即可判断.
【详解】由题意，
，
，
，
，
，
则由二分法可得近似解所在的区间为
.
故选：C.
3．用二分法求函数
在区间
内的零点，若要求精确度为0.01 时，所需二分区间的次
数最少为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】由二分法求解步骤即可求解.
【详解】区间
的长度等于1，经过
次操作后，区间长度变为
，所以
，解得
，
所以所需二分区间的次数最少7 次．
14
故选：C
4．(24-25 高一上·河南濮阳·期末)（多选题）下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据二分法的定义结合零点存在性定理逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为
和
在
上连续且单调递增，所以
在
上连续且单调递
增，
所以
，无零点，不能使用二分法，故A 正确；
对于B，
，当且仅当
时取等号，
又零点左右函数值同号，不能使用二分法，故B 正确；
对于C，因为
和
在
上连续且单调递增，所以
在
上连续且单调递增，
因为
，所以可以使用二分法，故C 错误；
对于D，
，无零点，不能使用二分法，故D 正确．
故选：ABD．
5．若在用二分法寻找函数
零点的过程中，依次确定了零点所在区间为
，
，
，则
．
【答案】1
【分析】由指数函数、反比例函数单调性判断已知函数区间单调性，即知区间零点个数，再由二分法则列
方程，即可得.
【详解】根据指数函数与反比例函数的性质，函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上至多有一个零点．
又由二分法依次确定了零点所在区间为
，
对于区间
，由二分法知对应下一个区间有
或
，
15
当区间为
时，显然
不成立，故下一个区间为
，
所以
，化简得
．
故答案为：1
题型03 判断函数的零点个数
解｜题｜策｜略
判断函数零点个数问题一般化为两个函数，判断两个函数的交点个数
【精选例题】
【例1】设函数
则方程
的实数根的个数可能为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】先对
求导，利用导求出
的单调区间和极值，画出
的大致图象，然后令
，
则
，可得方程
有两个不相等的实根，设为
，将问题转化为
与
，
交点个数，利用图象求解即可.
【详解】
的定义域为
，
由
，得
，
由
，得
，由
，得
或
，
所以
在
上递增，在
和
上递减，
所以
的极大值为
，极小值为
，
当
时，
，则
的大致图象如图所示，
16
令
，则
，
所以方程
有两个不相等的实根，
，
，
所以由图可知，
的图象与
有2 个不同的交点，
的图象与
有1 个不同的交点，
所以原方程有3 个不同的根.
故选：B
【例2】若定义在R 上的函数
满足
，且当
时，
，已知函数
，则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】B
【分析】根据函数的解析式及性质，分别作出
与
的图象，根据图象交点个数，即可得答
案.
【详解】因为
，所以
的周期为2，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
令
，则
，
即求
与
在
上交点个数，
作出
与
图象，如图所示
所以
与
图象在
上有11 个交点，
则函数
在区间
内的零点个数为11.
故选：B
【例3】若函数
有极值点
，且
，则关于
的方程
的不同实根个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
17
【分析】设
，可得
或
，根据函数的单调性画出大致图象，根据图象交点个数可得
出.
【详解】
函数
有极值点
，
∴
，且
是方程
的两个根，
不妨设
，由
可得
或
，
易得当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
又
，则可画出
的大致图象如下：
如图所示，满足
或
有3 个交点，
即关于x 的方程
的不同实根有3 个.
故选：A.
【例4】已知函数
则
的图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
【答案】D
【分析】设
，
，利用导数求得函数
的单调性与最小值，再由
关于原点对称的曲线为
，画出
与
的图象，结合图象，即可求解.
【详解】设
，
，
则
，
18
令
，可得
；令
，可得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值
，
又当
时，
，当
时，
，
又由
关于原点对称的曲线为
，
画出函数
与
的图象，可得两函数的图象有4 个交点.
所以
的图象上关于原点对称的点有4 对.
故选：D
【例5】已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
，则函数
的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．16
D．8
【答案】D
【分析】利用换元法结合题意求解零点个数，再利用偶函数性质排除掉其他区间的零点即可.
【详解】令
，由题意得欲求
的零点个数，
则求
的零点个数，即求
的零点个数，
故求
与
的交点个数即可，如图，作出符合题意的图象，
由图象可得共4 个交点，但
，故
，
当
时，此时求
的零点个数即可，
当
时，令
，无解，
当
时，
，
令
，解得
（负根舍去），
19
当
时，
，
令
，解得
，
当
时，由偶函数性质可得
的零点为
和
，
得到
共有4 个零点，
当
时，此时求
的零点个数即可，
当
时，令
，无解，
当
时，
，
令
，无解，
当
时，
，
令
，解得
（负根舍去），
当
时，
，且
，
令
，解得
（负根舍去），
当
时，由偶函数性质可得
的零点为
和
，
得到
共有4 个零点，
则当
时，结合题意归纳得
，无解，
由偶函数性质得当
时，结合题意归纳得
，无解，
则函数
的零点个数为8，故D 正确.
故选：D
【例6】将
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，则函数
的
零点的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数图象平移知识求出
，所求函数的零点问题转化为两个函数图象的交点
问题，在同一直角坐标系中画出图象可得答案．
【详解】由条件得：
，
的零点个数等价于函数
与直线
的图象交点个数，
如图所示，可得两图象交点个数为3．
20
故选：C
【例7】（多选题）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数
有四个零点
，
，
，
，则
的取值范围为
B．若函数
有四个零点
，
，
，
，则
的取值范围为
C．函数
的零点个数为5 个
D．函数
的零点个数为6 个
【答案】ABC
【分析】由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数
的零点
与
的关系，且得到
的取值范围，即可判断A 选项；由
与
的关系化简
，利用
的范围及函数
的单调性求得
取值范围，判断B 选项；由函数
的零点，得到
时
的值，然
后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C 选项；令
，求得
的值，分别求解
方程，即可求得函数
的零点个数，判断D 选项.
【详解】∵函数
为偶函数，即
则函数
关于
对称，
当
时，
，
，
∴函数
的大致图像如下图，
令
，则
，
，
，
为方程的解,所以
∴
，即
，∴
，∴
，
由图可知，
，∴
，A 选项正确；
21
∵
，∴
，且
∴
，
令
，由双勾函数的性质可知，函数
在
上单调递减，∴
，B 选项
正确；
∵
有两个零点
或
，∴
时，
或
，
当
时，由函数图象可知，函数有3 个零点，
当
时，由函数图象可知，函数有2 个零点，
∴函数
存在5 个零点，C 选项正确；
令
，即
，则
或
或
，即
；
，即
；
，无解；
，即
；
，无解；
，即
；
故函数
有4 个零点，D 选项错误.
故选：ABC
【变式训练】
22
1．(25-26 高三上·福建漳州第一中学·)已知函数
则方程
的解的个数为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的
关系，结合图象，可得答案.
【详解】函数
的图象如图所示：
设
，则方程
即
，由图象可知，
与
有三个交点，
横坐标分别为
，其中
，
，
，
方程
解的个数转化为方程
，
，
解的个数之和，
由图象可知，
与
有一个交点，
与
有三个交点，
与
没有交点，
所以方程
解的个数为
.
故选：B.
2．(25-26 高三上·重庆西南大学附属中学校·月考)定义在R 上的奇函数
，满足
，且当
时，不等式
恒成立，则函数
的零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】构造
研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求
与
的交点个数，数
形结合判断交点个数，即可得.
【详解】令
且定义域为R，则
，
所以
为偶函数，在
上
，
所以
在
上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在
上单调递增，
23
由
，则
，且
，则
，
由
的零点个数等价于
与
的交点个数，函数大致图象如下，
其中
，且该函数关于
对称，在
、
上分别单调递减、单调递增，
显然
时
，
在
上
单调递增，则
时
恒成立，
在
上
单调递减，且
，
所以
使
，
综上，
与
的交点横坐标有
，即
有3 个零点.
故选：D
3．(25-26 高三上·重庆第八中学校·月考)（多选题）记函数
，则下列说法
正确的有（ ）
A．
的图象过定点
B．存在
，使得
恰有 1 个零点
C．若
有 3 个零点
，存在
，使得
成等比数列
D．若
有 3 个零点
，则
为定值
【答案】ACD
【分析】令
前面的系数为0，解出即可判断A；求导得
，利用判别式法判断其根的
个数，再结合A 选项即可得到其零点个数；设
，展开后对比系数即可判断C；
对
求导，再分别代入
，最后通分计算即可判断D.
【详解】对A．由
，令
，解得
，或
，
故
，则
过定点
，故A 正确；
对B．
，其
，
24
故
存在两解
，且当
时，
；
且当
时，
；当
时，
，
从而
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
由
和
，
且由
，可知
恰有3 个零点
，故B 错误；
对C．记
，
又由
，
对比系数可知
，
，
若
为等比数列，则
，则
，
，
代入另外两式有：
，
，故
，解得
，故C 正确；
对D．由
，则
，
则
，
从而
，故D 正确，
故选：ACD．
4．(25-26 高三上·上海中学·期中)设函数
的定义域为
，若
与
都是关于
的奇函数，
则函数
在区间
上至少有 个零点.
【答案】
【分析】由已知求出函数
的周期为
，结合
，可得
，再
，求出
的范围，即可得解.
【详解】∵
是关于
的奇函数，
∴
关于
对称，∴
关于
对称；
∴
，
又
是关于
的奇函数，
∴
关于
对称，∴
关于
对称；
∴
，
25
∴
，∴
，
即
的周期为
.
又易知
，∴
，
∴
，
，
即
，
的一个零点恰为
．
∵
，令
，解得
，
又
，所以
，
所以
在区间
至少有
个零点．
故答案为：
5.（多选题）已知函数
、
的定义域均为
，其图象如图所示，则（ ）
A．
为奇函数
B．
在
单调递增
C．
在
单调递减
D．关于
的方程
在
有三个解
【答案】AB
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项；利用函数单调性的性质可判断B 选项；利用复合函数的单
调性可判断C 选项；数形结合可判断D 选项.
【详解】由图可知，函数
为奇函数，
为偶函数，
对于A 选项，对任意的
，
，故函数
为奇函数，A 对；
对于B 选项，由图可知，函数
在
上为增函数，函数
在
上为减函数，
所以函数
在
上为增函数，故函数
在
单调递增，B 对；
对于C 选项，令
，
，由图可知，
，
当
时，
，因为内层函数
在
时单调递增，
外层函数
在
时单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数
在
上单调递减，
26
当
时，
，内层函数
在
时单调递减，
外层函数
在
上不单调，
由复合函数法可知，函数
在
上不单调，C 错；
对于D 选项，令
，结合函数
的图象可知
或
、
，
其中
，
，
由函数
的图象可知，方程
在
时有两个解，
方程
在
时无解，方程
在
时无解，
综上所述，关于
的方程
在
上有两个解，D 错.
故选：AB.
题型04 根据函数零点的存在情况求参数
解｜题｜策｜略
①若题目中出现唯一零点，求参数，要想到偶函数的性质，结合零点的唯一性求解
②若题目给出零点的个数，求参数，一般通过画出函数的图象，转化为交点个数问题解决
【精选例题】
【例1】已知函数
（
且
）为奇函数，若方程
有两个不同的实数解，
则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，取得
，转化为
有两个不同的实数解，令
，得到
在
有两个不同的实数解，进而转化为
和
的图象有两个不同的交点，
结合基本不等式，作出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】由函数
是定义在
上的奇函数，则
，解得
，
当
时，函数
，则
，
所以
，则
，即
，
因为方程
有两个不同的实数解，
即
有两个不同的实数解，
27
令
，则
，可得
，
即
在
有两个不同的实数解，
所以函数
和
的图象在
上有两个不同的交点，
又因为
，当且仅当
时，即
时，等号成立，
当
时，
，且
时，
，
画出函数
的图象，如图所示，
结合图象，可得
，
即方程
有两个不同的实数解，实数
的取值范围为
.
故选：D.
【例2】若函数
有
个零点，则正数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用零点存在性定理求出函数
的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求
出范围.
【详解】函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，
而
，则
，使得
，函数
在
上有个零点，
由函数
有
个零点，得函数
有个零点，
28
由
，得
，需使
，解得
，
所以正数
的取值范围是
.
故选：A.
【例3】已知函数
且
恰有2 个零点，则a 的值为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】C
【分析】根据对数函数性质可知当
时，
有1 个零点；故当
时，
只有1 个零点，根据二次函数的性质，利用判别式法求解参数即可.
【详解】由题意得，当
时，
，该函数是由
向上平移1 个单位得到，
令
得
，且
，
当
时，
有1 个零点；
当
时，
只有1 个负零点，
由
开口向上，且对称轴
，
，
所以要使
只有1 个负零点，则
，
解得
或
（舍去），故
.
故选：C
【例4】符号
表示不超过
的最大整数，若函数
（
）有且仅有2 个零点，则
的取值
范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得，方程
在
上有且仅有2 个实数根，且
，
，2，3，结合函数
与函数
的图象有两个公共点，作出图形判断即可得
的范围．
【详解】因为
，有且仅有2 个零点，则方程
在
上有且仅有2 个实数根，且
，
，
； 若
，则
；
29
若
，因为
，
，
，
且
随着
的增大而增大．
故不同的
对应不同的
值，故有
，2，3．
若
，则有
；
若
，则有
；
若
，则有
；
在同一坐标系内作出函数
与函数
的图象如下：
函数有且仅有2 个零点，函数
与函数
的图象有两个公共点，
由图可得
的取值范围是
.
故答案为：
．
【例5】已知函数
，若方程
有2 个根，则
的范围是 ．
【答案】
【分析】利用函数在
时的单调性，进而可得函数在
时的值域，再利用二次函数的性质可得
函数
时的值域，即得函数的值域，然后作出函数图象，结合函数图象即可求出参数的取值范围；
【详解】因为
，
当
时，由
单调递增，
∴
在
上单调递增，
∴当
时，
，
当
时，所以
，
综上，函数
的值域为
，
作出函数
的图象与直线
如图所示：
30
函数
有2 个零点，即
与
有2 个交点，
所以
，即
.
故答案为：
.
【例6】若函数
且函数
在区间
内恰有4 个零点，
则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，要使得函数
在区间
内恰有4 个零点，得到
，再分
和
，
两种情况讨论，转化为函数图象间的交点个数问题，结合一次函数与二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意得，函数
，
因为函数
在区间
内恰有4 个零点，则满足
，
当
时，
有两个零点，
令
，即
，即
，
即
与
的图象有两个公共点，如图所示，
则满足
，即
，解得
；
31
当
时，
，
令
，即方程
在
有2 个不等的实数根，
又由函数
的开口向上，对称轴为
，
要使得
的图象在
上有两个不同的交点，如图所示，
则满足
，即
，解得
，
所以要使得函数
在区间
内恰有4 个零点，则满足
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
【例7】已知函数
，若关于x 的方程
有三个不相等的实数根，
则实数k 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意作出
的图像，利用过定点
的直线
与
有三个不同的交点，
结合图像，利用数形结合即可求解.
【详解】当
时，
，即
，
所以
表示以原点为圆心，半径为
的上半部分圆，
当
时，
，
方程
有三个不相等的实数根等价于
与
有三个不同的交点，
又因为直线
恒过定点
，
32
又点
与点
连线的直线的斜率为
，
又过点
的直线与
相切的斜率存在的直线方程为
，即
，
所以
，解得
，
由图可知，当
时，
与
有三个不同的交点，
当
时，
与
有三个不同的交点，
综上所述，
.
故答案为：
.
【变式训练】
1．(25-26 高三上·安徽华师联盟·期中)若函数
有且仅有两个零点，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将问题化为函数
与函数
恰有两个交点，利用导数的几何应用求临界情
况下的切线方程，应用导数研究
的性质，画出大致图象，数形结合确定参数范围.
【详解】令
，即
，
依题意，函数
与函数
恰有两个交点，
所以
，令
或
，解得
或
，而
，
，
33
所以
在
，
处的切线方程分别为
，
，
当
，则
，即
在
上单调递增，
当
，则
，即
在
上单调递减，
所以函数的大致图象如下：
由图知，
的取值范围是
.
故选：C
2．(25-26 高三上·湖北鄂北六校·期中)已知函数
，若
的图象在长度为
的任
意闭区间上与直线
最少有3 个交点，最多有4 个交点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，解出后利用正弦函数性质可得相邻交点的最小距离和最大距离，再结合题意计算即
可得.
【详解】令
，则
，
所以
，
或
，
，
则
，
或
，
，
所以相邻交点最小的距离为
，最大距离为
，
由
的图象在长度为
的任意闭区间上与直线
最少有3 个交点，
最多有4 个交点，故相邻四个交点之间的最大距离不大于
，
相邻五个交点之间的最小距离大于
，
又两个周期T 的距离
内最多个交点，
所以
，且
，所以
.
34
故选：D.
3．已知函数
，若函数
恰好有3 个零点，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据函数解析式，分类讨论
，
在不同
的取值范围下，函数
零点的个数，从而得
到恰好有3 个零点时实数
的取值范围.
【详解】①当
时，要使
有意义，故
；
方程
为
，平方得，
，解得
；
显然
，解不等式
得
；
在
上
满足：当
或
时，有1 个零点；当
时，有两个零点；
②当
时，若
，
，函数有无穷个零点；
当
时，方程
，即
，
当
时，
，此时方程无实数解，
当
时，解得
，令
，即
，又
时，所以
；
即在
上
满足：当
时，有1 个零点；
当
时，有无穷个零点；
当
或
时，没有零点．
综上，当
时，
有三个零点．
故答案为：
4．(25-26 高三上·山东聊城颐中外国语学校·期中)若函数
有且仅有两个零点，则实数
a 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分离参数后，利用导数研究函数的单调性，作出大致图象，数形结合求解.
35
【详解】
有且仅有两个零点，故
有两个解，
设
，则直线
与函数
的图象有两个交点．
由
，显然函数
在
上单调递增，
令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
作出函数
的图象如图所示，
其中
，
，
则实数a 的取值范围为
．
故答案为：
5．(25-26 高三·上海静安区·一模)设
是定义在
上的偶函数， 对任意的
， 都有
， 且当
时，
.设
，若函数
在左开右闭区间
上恰有3 个不同的零点，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据对称性，周期性画出函数
在区间
的图象，再在同一坐标系下作出函数
的图象，由函数
的零点个数，转化为两个函数图象的交点个数，列式求解.
【详解】因为
是定义在
上的偶函数， 则
， 函数
图象关于
轴对称，
36
且
， 即
的周期为4.
作出函数
在
上的图象，
根据
的对称性及周期性， 可得出
在
上的图象，
若函数
在左开右闭区间
上恰有3 个不同的零点，
则在区间
上关于
的方程
恰有 3 个不同的实数根，
则函数
与函数
在
上恰有 3 个不同的交点；
所以
，解得
.
故答案为：
题型05 函数的等高问题
解｜题｜策｜略
①根据分段函数,分析函数性质及图象变换,画出图象;②找出满足题意的等式,进行化简;
③代入所求式子中,变为关于一个变量的式子,求出该式子的范围即可.
【精选例题】
【例1】已知函数
，若
，
，则
的
最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题可得
大致图象如下，令
，由题可得
，
则
，然后利用导数知识求出
的最小值可得答案.
【详解】由题可得
，据此可画出
大致图象如下：
令
，则方程
有三个不等根，等价于
图象与直线
37
有三个不同零点，则
.
由
，又可得
.
注意到
.
令
，则
.
令
，
在
上单调递增，
，
在
上单调递减.
则
.
故选：C
【例2】已知定义在正实数集上的函数
，设
、
、是互不相同的实数，满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先画出分段函数的图象，然后确定
的位置和范围，进而求得结果.
【详解】根据分段函数的解析式
，可画出该函数的图象为：
不妨令
，则
，即
，
化简得
.
当
时，
单调递减，且与
轴交于点
，
38
则
.
所以
的取值范围为
.
故选：B.
【例3】已知函数
，函数
有三个零点
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
有三个零点，可转化为
与
图象有三个不同的交点
，作出
图象，可得a 的范围，根据韦达定理可得，
，根据对数的性质，可得
，即可得
的
表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案.
【详解】当
时，
，为开口向下，对称轴为
的抛物线，
因为
有三个零点
，不妨令
，
所以
有三个不相等的根
，
即
与
图象有三个不同的交点
，
作出图象，如图所示
所以
，
因为
为方程
，即
的两个不相等实根，
所以
，
因为
为方程
的根，所以
，
所以
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
.
39
故选：D
【例4】已知函数
若函数
恰有三个零点
，
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出函数图像，可将
零点情况转化为
与
的交点情况，即可得
，即
的取值范围，即可得解.
【详解】
作出
的图象，如图所示，
因为
，
所以函数
的图象关于直线
对称，
当
时，
，
则函数
在
和
上单调递减，
在
，
和
上单调递增，
且
，
，
则若
有三个零点，
则函数
与
有三个交点，
则
，
40
令
，可知
，
，
且
，得
，
则
，
故选：D.
【例5】（多选题）已知函数
，若关于
的方程
恰有4 个不同的实数根
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的单调递增区间为
B．
的取值范围是
C．
D．
的取值范围是
【答案】BCD
【分析】分析可得
在各段上的单调性，根据单调性的写法，可判断A 的正误；由题意可得
与
图象有4 个交点
，作出图象，即可判断B 的正误；根据二次函数的对称性，可判断C 的正
误，化简计算，可得
，根据
的范围及二次函数的性质，可判断D 的正误.
【详解】当
时，
，函数单调递增，
当
时，
，函数单调递减，
当
时，
，
因为函数
图象开口向下，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，在
单调递减，
选项A：
的单调递增区间为
，不能用“
”连接，故A 错误；
选项B：因为关于
的方程
恰有4 个不同的实数根
，
所以
与
的图象有4 个交点
，
作出
与
的图象，如图所示：
由图象可得，当
时，
与
图象有3 个交点，
41
当
时，
与
图象有3 个交点，
当
时，
与
图象有4 个交点，故B 正确；
选项C：根据二次函数的对称性可得，
关于
，
所以
，即
，故C 正确；
选项D：由图象可得，
，
，即
，
所以
，解得
，
所以
，
由图象可得
，函数
令
为开口向下，对称轴为
的抛物线，
所以
，即
，故D 正确.
故选：BCD
【例6】（多选题）已知函数
，若存在四个实数
，使得
，则（ ）
A．t 的范围为
B．
的取值范围为
C．
的取值范围为
D．
的取值范围为
【答案】ACD
【分析】作出给定函数的图象，确定的范围判断A，结合正弦函数、对数函数图象可得
判断B；再由
，借助
和
的单调性求出取值范围从而判断CD.
【详解】函数
的图象，如图：
对于A，函数
的图象与直线
交于4 点，则
，A 正确；
42
对于B，由
，得
，而
，即
，
则
，即
，且
，由
，得
或
，
由
，得
，B 错误；
对于C，
，设
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
，即
，C 正确；
对于D，
，由
，
得
，则
，
，
，而对勾函数
在
上单调递增，则
，
因此
，所以
，D 正确.
故选：ACD
【例7】已知函数
，若
有四个不同的解
，且
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据
的解析式，作出
的图象，由题意得
图象与
图象有四个不同的交点
，根据二次函数的对称性，可得
，根据对数的性质，可得
，分析可得
的范
围，代入所求，化简整理，即可得答案.
【详解】当
时，
为开口向上，对称轴为
的抛物线，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，单调递减，
当
时，
，单调递增，
因为
有四个不同的解
，
所以
图象与
图象有四个不同的交点
，如图所示
43
根据二次函数的对称性可得
，即
，
又
，
所以
，解得
，
又
，所以
，
当
时，
，解得
，所以
，
则所求
，
因为
在
单调递减，则最小值为
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
【变式训练】
1．(25-26 高三上·河南商丘青桐鸣大联考·月考)已知函数
，若存在实数
，使
得
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出函数
的图象，结合图像分析即可求解.
【详解】作出函数
的图象，如图所示，
44
由图可得：设
，
，
所以
，解得：
，
，解得：
，
，
所以
，
，
令
，则
在
上单调递减，
则
①，
令
，则
在
上单调递增，
则
②，
由①②可得
,选项AD 不合题意；
设
，
则
在
上减，
,
又因为
，
所以
的取值范围为
所以C 选项不合题意，
故选：B．
2．(25-26 高三上·四川成都成华区某校·期中)（多选题）已知函数
，则下列说法正
确的有（ ）
45
A．
B．
有3 个实数根
C．若
有8 个实数根，则
D．若
有4 个实数根，从小到大分别为
，
，
，
，则
【答案】ABD
【分析】对于A，计算
；对于B，当
时，
， 当
时，计算
；对于C，设
，则方程
即
，由图知，
要使原方程有8 个实数根，需使
有两个相异实根
，
，且
，
，得到
，同时构造函数
，得到
，计算得解； 对于D，作出函数
的图像，分析可知当
时，直线
与函数
有两个交点；由
时，
，当
时，直线
与函数
均有两个交点，故由
有4 个实
数根可得，
，由图知，得到
和
，由
解得
，由
解得
，从而得到
的范围，求出
用
表示的式子，利用
的单调性得到
的取值范围.
【详解】对于A，由题意，
，故A 正确；
对于B，当
时，由
可得
，
解得
，因
，故得
；
当
时，由
可得
，或
，
解得
或
，
故
有
、
、
共三个实数根，故B 正确；
46
对于C，设
，则方程
即
，
由图知，要使原方程有8 个实数根，需使
有两个相异实根
，
，
且
，
，则由
解得
或
，
设
，依题意，需使
，则得到
，
综上，可得
；
对于D，作出函数
的图像，由
时，
，
且
，可知当
时，直线
与函数
有两个交点；
又由
时，
，当
时，直线
与函数
均有两个交点，
故由
有4 个实数根可得，
，由图知，
，
，则
，解得
，
又由
解得
，由
解得
，则有
，
于是
，因函数
在
单调递减，故
，
则
，
故选：ABD.
3．(25-26 高三上·山东菏泽单县苏教高级中学·月考)（多选题）已知函数
，若
有四个不同的解
，
，
，
且
，则有（ ）
A．
B．
47
C．
D．
的最小值为
【答案】BD
【分析】先画出图像，结合图像即可判断AC 选项，再通过
判断B 选项，最后构造函数令
，由其单调性判断D 选项．
【详解】由题意，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
作出函数
的图象，如图所示，
易知
与直线
有四个交点，分别为
，
，
，
，
因为
有四个不同的解
，
，
，
且
，
所以
，故C 错误；
且
，故A 错误；
，又
，
，
所以
，即
，故B 正确；
所以
，且
，
令
且
，则
在
上单调递减，
且
，所以
的最小值为
，故D 正确．
故选：BD．
4．(25-26 高三上·天津河东区·期中)已知
方程
有4 个不同解
，
，
，
，则实数
的取值范围为 ；
的取值范围为 ．
【答案】
48
【分析】根据题意作图，由图像结合方程
有4 个不同解，可得
，且
，
，再根据对数的运算计算范围即可．
【详解】根据题意作图如下：
方程
有4 个不同解
，
，
，
，
所以
，且
，
，
，
，
即
的取值范围为
．
故答案为：
；
．
5．(25-26 高三上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知函数
，若
有四个不同的
解
，
，
，
，且
，则
的最小值为 .
【答案】16
【分析】二次函数和对数函数得到函数的单调区间，以及函数的最值和端点的值，由此得出函数图像，再
由方程有4 个不同解以及方程解的大小关系作出大致图像.由二次函数对称性得到
，由对数函数得到
，代入代数式后利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】由二次函数可知，当
，函数
单调递减，当
，函数
单调递增，且
，
由对数函数可知，当
，函数
单调递减，当
，函数
单调递增，且
，
故作分段函数图像如下：
49
若
有四个不同的解，则
，
即
由二次函数的对称性可知
，
由对数函数可知
，即
，则
，即
，且
.
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为16.
故答案为：16.
题型06 二次可分解因式型零点问题
解｜题｜策｜略
遇到二次可分解因式，我们一定要分解因式之后，再解决两个函数交点问题
【精选例题】
【例1】已知函数
，若关于
的方程
有
个不相等
的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将所求方程因式分解后可知当
时，
或
；作出
图象，根据交点个数可
确定
，当
时可知不合题意，进而求得
的范围.
50
【详解】由
得：
，
当
时，
或
；
作出
图象如下图所示，
则
有三个不等实根，
与
有四个不同交点，
，解得：
；
当
时，
，此时方程有
三个不等实根，不合题意；
综上所述：实数
的取值范围为
.
故选：D.
【例2】设函数
则方程
的实数根的个数可能为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】先对
求导，利用导求出
的单调区间和极值，画出
的大致图象，然后令
，
则
，可得方程
有两个不相等的实根，设为
，将问题转化为
与
，
交点个数，利用图象求解即可.
【详解】
的定义域为
，
由
，得
，
由
，得
，由
，得
或
，
所以
在
上递增，在
和
上递减，
所以
的极大值为
，极小值为
，
当
时，
，则
的大致图象如图所示，
51
令
，则
，
所以方程
有两个不相等的实根，
，
，
所以由图可知，
的图象与
有2 个不同的交点，
的图象与
有1 个不同的交点，
所以原方程有3 个不同的根.
故选：B
【例3】（多选题）已知函数
，若方程
有四个实数根
，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由题意有
，得
或
，由
解得
，即
有3
个不等的实根，作出
的函数图像，利用数形结合即可求解.
【详解】由
，所以
，所以
或
，
由
有，
，解得
，即
，故A 正确；
所以
有3 个不等的实根，
作出
的函数图像：
由图可知：
，故B 正确；
，故C 正确；由
，
52
，所以
，
由
，所以
，故D 错误，
故选：ABC.
【例4】已知函数
，若关于
的方程
有
个不相等
的实数根，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先画出
的图象，由
，可得
或
，结合图象
可知
与
有
个交点，则
与
有
个交点，结合图象得到参数的取值范围.
【详解】因为
，
当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，又
，
，
所以
的图象如下所示：
由
，即
，
即
或
，所以
或
，
因为
与
有
个交点，即
有
个不相等的实数根，
因为关于
的方程
有
个不相等的实数根
所以
与
有
个交点，由图可知
或
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
【变式训练】
1．(25-26 高二上·贵州毕节威宁县六校·)已知函数
若关于
的方程
53
有7 个不相等的实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象进行数形结合分析可得.
【详解】由
，得
，
所以
或
.
再由
，图象如下：
显然
与
有三个交点，所以
有三个不同的实数根.
所以
必须有四个不同的实数根，即
与
有四个交点，
因
，再结合图象分析判断可得
.
故选：D.
2．(25-26 高三上·四川仁寿县高中·)（多选题）已知函数
函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若关于
的方程
恰有1 个实数根，则
的取值范围是
B．若关于
的方程
恰有2 个不同的实数根，则
的取值范围是
C．若
有5 个零点，则
的取值范围是
D．
可能有6 个零点
【答案】BC
【分析】作出
的大致图象，对于A 和B，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解；对
于CD，首先若
，则有
或
，数形结合即可建立
的不等式组并求解，即可判断.
【详解】如图，作出
的大致图象，
由图可知，
54
若关于
的方程
恰有1 个实数根，则
的取值范围是
，故A 错误；
若关于
的方程
恰有2 个不同的实数根，则
的取值范围是
，故B 正确.
令
，得
，解得
或
.
若
有5 个零点，则
或
解得
，故C 正确.
若
有6 个零点，则
解得
，则
最多有5 个零点，故D 错误.
故选：BC.
3．(25-26 高三上·江西赣州大余县部分高中·期中)已知函数
．若方程
有且仅有5 个不同实数根，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设
，解出关于的一元二次方程的解，画出函数
的图象，数形结合求出
的取值范围.
【详解】令
，原方程化为
，即
，解得
或
，
函数
在
上单调递减，函数值集合为
，在
上单调递增，函数值集合为
，
在
上单调递增，函数值集合为R，作出函数
的图象，如图，
观察图象，得当
或
时，方程
有1 个解；
当
或
时，方程
有2 个解；
55
当
时，
有3 个解，
由方程
有且仅有5 个不同实数根，
得
或
，解得
或
，则
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
4．已知函数
，若关于x 的方程
有2 个不同的实根，则实数a 的取值范围为
；若关于x 的方程
有4 个不同的实根，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据分段函数解析式，画出函数图象，判断方程
有2 个不同的实数根时参数的范围；再
根据一元二次方程的解法，方程的根与函数图象交点之间的关系，以及分段函数的性质，求出参数范围.
【详解】
如图所示，方程
有2 个不同的实数根时，
，即实数a 的取值范围为
；
由
，因式分解得
，
解得
或
.
由函数图象可知
有2 个不同的实数根，则
也有2 个不同的实根，
56
则
，解得
或
，
即实数a 的取值范围为
.
故答案为：
，
.
题型07 二次不可分解因式型零点问题
解｜题｜策｜略
遇到二次不可分解因式，一般要判断零点所在区间，再利用实根分布解决问题
【精选例题】
【例1】已知函数
，若有另一函数
有且仅有3 个不同零
点，则常数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用分段函数的图象，来分析二次方程根的分布，最后利用根的分布可列参数满足的不等式，并
进行求解即可.
【详解】作出函数
的图象：
函数
的零点等价于方程
，
当
时，此时方程化为
可得
，
由
，结合图象，可得方程仅有2 个解，此时不满足题意；故
；
当
时，此时方程化为
可得
或
，
由
可得方程有一个解为
，
57
由
，结合图象，可得方程有个解，此时不满足题意；故
；
所以要使得函数有且仅有3 个不同零点，则满足
，
由于
所以二次方程
的根仅有一个满足
，另一个根
，
则满足
或
，解得
，
综上
的取值范围为
，
故选：D
【例2】已知函数
，若函数
有8 个不同的零点，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先作出
的大致图象，令
，根据一元二次方程根的分布，结合图象计算即可.
【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出
的大致图象如下：
设
，则
有8 个不同的零点，
需
有两个不同零点
，不妨设
同时
分别对应4 个零点，
若
，
即
，
58
则
，且
，
即
，解之得
.
若
，则仍需
，此时
，不符合题意，舍去；
综上：
.
故选：B
【例3】（多选题）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
有3 个实数根
C．若
有4 个实数根，从小到大分别为
，则
D．若
有8 个实数根，则
【答案】ABC
【分析】对于A，B 只需代值计算，根据自变量范围进行取舍即得；对于C，则需要作出函数的图象，利用
函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单调性即可判断C 项，对于D，设
，结合图象，将问题转化为方程
在
上有两个相异实根的问题，利用一元二次
方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围.
【详解】对于A，由题意，
，故A 正确；
对于B，当
时，由
可得
，
解得
，因
，故得
；
当
时，由
可得
，或
，解得
或
，
故
有
、
、
共三个实数根，故B 正确；
对于C，作出函数
的图象，由
时，
，
且
，可知当
时，直线
与函数
有两个交点；
59
又由
时，
，当
时，直线
与函数
均有两个交点，
故由
有4 个实数根可得，
，由图知，
，
，则
，解得
，
又由
解得
，由
解得
，则有
，
于是
，因函数
在
单调递减，故
，
则
，故C 正确；
对于D，设
，则方程
即
，
由图知，要使原方程有8 个实数根，需使
有两个相异实根
，
且
，
，则由
解得
或
，
设
，依题意，需使
，则得
，
综上，可得
，故D 错误.
故选：ABC.
【例4】设函数
，若关于
的函数
恰好有六个零点，
则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用数形结合，可知外函数要有三个零点，再利用二次方程根的分布可确定参数范围.
【详解】作出函数
的图象如下：
60
令
，则
可化为
，
依题意，要使函数
恰好有六个零点，
则方程
在
内有两个不同的实数根，
解得：
，解得
．
实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
【变式训练】
1．(25-26 高三上·山东菏泽·期中)已知函数
，若方程
有4 个不相等
的实数根，则实数
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先作出
的函数图像，令
，则方程
有4 个不相等的实数根等价
于方程
在
有两个不等的实根，令
，
即
，解出即可.
【详解】由题意作出
的函数图像：
61
令
，所以
，
当
时，方程
没有解，
当
时，方程
的解集为
，
当
时，方程
的解集为
，
当
时，方程
有两个不相等的实数根，
设两根为
，则
，
，故
，
当
时，方程
有两个不相等的实数根，
设两根为
，则
，
，故
，
方程
有4 个不相等的实数根等价于方程
在
有两个不等的实根，
令
，
所以
，解得
，
所以实数
取值范围是
，
故选：B.
2．(25-26 高三上·四川泸州高级中学校·开学考)设函数
，则方程
（
）的实数根的个数可能为（ ）
A．1
B．3
C．1 或3
D．3 或5
【答案】B
【分析】先对
求导，利用导求出
的单调区间和极值，画出
的大致图象，然后令
，则
，可得方程
有两个不相等的实根，设为
，将问题转化为
与
，
交点个数，分类讨论利用图象求解即可.
【详解】
的定义域为
，
由
，得
，
由
，得
，由
，得
或
，
所以
在
上递增，在
和
上递减，
所以
的极大值为
，极小值为
，
62
当
时，
，则
的大致图象如图所示，
令
，则
，
因为
，所以方程
有两个不相等的实根，
设方程
的两个实根为
，则
，
所以
与
异号，不妨设
，则
，
，
当
时，
，所以
，
所以
，
所以由图可知，
的图象与
无交点，
的图象与
有3 个不同的交点，
所以原方程有3 个不同的根，
当
时，
，所以
，所以
。
所以由图可知，
的图象与
有2 个不同的交点，
的图象与
有1 个交点，
所以原方程有3 个不同的根，
当
时，
，则由图可知，
的图象与
有1 个的交点，
的图象与
有2 个不同的交点，
所以原方程有3 个不同的根，
综上，原方程有3 个不同的根.
故选：B
3．已知函数
，若函数
有6 个零点，则
的值可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
63
【分析】根据题意分析
的图像，令
，由零点个数可确定
有2 个不同的实数解
，
且
，再由二次函数零点分布求解即可.
【详解】令
，则方程
，即
，
由题可得，
在
上单调递减，在
上单调递增，
据此作出函数
的大致图象，如图1 所示，
作直线
，则当
或
时，直线
与曲线
有1 个交点；
当
或
时，直线
与曲线
有2 个交点；
当
时，直线
与曲线
有3 个交点．
作出函数
的可能的大致图象，如图2，横轴为轴，纵轴为
轴，
所以要使方程
有6 个不同的解，
则
有2 个不同的实数解
，且
，
则
，解得
.
故选：BC.
4．(25-26 高三上·四川绵阳外国语学校·)已知函数
，若关于
的方程
有4 个不同的实数根，则
的取值范围是
【答案】
【分析】作出
的图象，由题意知
在
内有两个不等实根，再结合二次方程
根的分布列不等式即可求得m 的范围.
【详解】作出
的图象，
64
令
，则方程
，即为
，
有4 个不同的实数根，则
在
内有两个不等实根，
所以
，解得
，
所以实数m 的取值范围为
.
故答案为：
.
题型08 镶嵌函数
零点问题
解｜题｜策｜略
镶嵌函数
零点问题，我们要设
，然后再解决问题
【精选例题】
【例1】已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
，则函数
的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．16
D．8
【答案】D
【分析】利用换元法结合题意求解零点个数，再利用偶函数性质排除掉其他区间的零点即可.
【详解】令
，由题意得欲求
的零点个数，
则求
的零点个数，即求
的零点个数，
故求
与
的交点个数即可，如图，作出符合题意的图象，
由图象可得共4 个交点，但
，故
，
当
时，此时求
的零点个数即可，
65
当
时，令
，无解，
当
时，
，
令
，解得
（负根舍去），
当
时，
，
令
，解得
，
当
时，由偶函数性质可得
的零点为
和
，
得到
共有4 个零点，
当
时，此时求
的零点个数即可，
当
时，令
，无解，
当
时，
，
令
，无解，
当
时，
，
令
，解得
（负根舍去），
当
时，
，且
，
令
，解得
（负根舍去），
当
时，由偶函数性质可得
的零点为
和
，
得到
共有4 个零点，
则当
时，结合题意归纳得
，无解，
由偶函数性质得当
时，结合题意归纳得
，无解，
则函数
的零点个数为8，故D 正确.
故选：D
【例2】已知函数
，
，若方程
有且仅有5 个不相等的
整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.
66
【详解】先作出
的大致图象，如下：
令
，则
，根据
的图象可知：
要满足题意必须
有两个不等根
，且
有两个整数根，
有三个整数根，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数
相切时符合题意，
因为
，当且仅当
时取得等号，
又
，易知其定义域内单调递减，
即
，此时有两个整数根
或
，
而要满足
有三个整数根，结合图象知必有一根大于0 小于2，
显然只有
符合题意，当
时有
，则
，
解方程
得
的另一个正根为
，
又
，此时五个整数根依次是
，
显然最大的根和最小的根和为
.
故选：B.
【例3】函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】设
，则解方程
，进而利用数形结合求出
与
的交点个数，从而可得
函数
的零点个数.
【详解】设
，则
，
当
时，
，解得
或
（舍去），则
；
当
时，
，解得
.
画出
的函数图象，如下图所示：
67
由图象可知，
与
有3 个交点，
与
有2 个交点，
所以函数
的零点个数为5.
故选：C
【例4】（多选题）已知函数
，函数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．若
，则
有1 个零点
B．若
，则
有6 个零点
C．若
有5 个零点，则
的取值范围为
D．
一定有零点
【答案】BD
【分析】画出
的简图，令
，则
，令
，则
，然后结合图象，分
，
，
，
，
，
和
七种情况讨论函数的零点即可.
【详解】令
，解得
或2；
令
，解得
或1 或3.
根据函数图象的平移变换，可画出
的简图，如图所示.
令
，则
.
令
，则
.
当
时，
只有1 解，且
，此时
只有1 解，所以
只有1 个零点.
68
当
时，
有2 解，即
或2.
有1 解；
有2 解.所以
有3 个零点.
当
时，
有3 解
，
，
.
当
时，
只有1 解；
当
时，
有2 解；
当
时，
有2 解.所以
有5 个零点.
当
时，
有3 解，即
或1 或3.
只有1 解；
有2 解；
有3 解.所以
有6 个零点.
当
时，
有2 解
，
.
当
时，
有2 解；
当
时，
有3 解.所以
有5 个零点.
当
时，
只有1 解
，
有2 解，所以
有2 个零点.
当
时，
只有1 解，且
，此时
只有1 解，所以
只有1 个零点.
综上，B，D 正确.
故选：BD
【例5】已知函数
，若函数
有6 个零点，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【分析】据题意对实数
进行讨论，分
，
，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解．
【详解】当
，
时，函数
，对称轴为
，
因此函数
在
单调递增，函数图象如下：
69
令函数
，
，解得
或
，
即
或
，
根据图象
有2 个解，
有1 个解，
因此此时函数
有3 个零点，不符合题意；
当
，
时，函数
，对称轴为
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，函数图像如下：
令函数
，
，解得
或
或
，
根据图象，
有3 个解，
有2 个解，
又
有6 个零点，所以
要有1 个解，
即
，解得
；
综上，实数
的取值范围为
.
故答案为：
．
【例6】已知函数
则
有 个零点；若函数
有两个零点，
则实数
的取值范围是 ．
【答案】 2
【分析】（1）当
时，运用导数求得函数单调区间，可得
，可得一根，当
时，
直接求解可得.（2）先运用导数求得函数单调区间，并作出函数的图象，再根据图象列出函数有2 个零点
所需要的条件，即可求得结果.
70
【详解】（1）当
时，
，所以
，
令
，得
，并且当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，故当
时，
有唯一根
，
当
时，
，令
，解得
（舍去）或2，
故当
时，
的根为2，
综上，
根为
或2；
（2）因为
，
当
时，由（1）
，则
，
当
时，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且仅当
，且
，
因为当
时，则有
或
，
即
或
，
由图象得，要使函数
有两个零点，
则
或
或
，
解得
或
或
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为： 2；
.
71
【例7】已知函数
，若函数
恰有6 个零点，则m 的取值范
围为 ．
【答案】
【分析】目标函数内外两层是不同的解析式，可以分层化归为已知函数来求解.
【详解】令
，则
恰有
个零点，
等价于
有三个不同的解
，
，
，
且对应
有
个实数根，
由函数
的图象，如图，
所以
，
，
要满足
有
个实数根，则需
即
，解得
．
故m 的取值范围为
．
故答案为：
．
【变式训练】
1．(25-26 高三上·陕西西安西北工业大学附属中学·三模)设函数
.若函数
与
都没有零点，则函数
与
（ ）
A．都没有零点
B．都有零点
C．至少有一个没有零点
D．至少有一个有零点
【答案】C
【分析】假设函数
与
都有零点，再根据反证法证明假设不成立即可得答案.
【详解】解：因为
的开口向上，
所以，设
最小值分别为
，
72
假设函数
与
都有零点，
则存在
使得
，令
，则
；
存在
使得
，令
，则
；
所以
，
下面分三种情况讨论：
假设
，则函数
，即函数
与
有零点，与函数
与
都没有零点矛盾，故不成立；
假设
，则
使得
，此时
，即函数
存在零点
，与
没有零点矛盾，故不成立；
假设
，则
使得
，此时
，即函数
存在零点
，与
没有零点矛盾，故不成立；
综上，假设函数
与
都有零点不成立，即函数
与
至少有一
个没有零点.
故选：C
2．(25-26 高三上·重庆鲁能巴蜀中学校·)已知函数
，若函数
有6 个零点，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意对实数
进行讨论，分
，
，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求
解.
【详解】当
，
时，
，对称轴为
，
所以
在
单调递增，函数图象如下：
令
，
，解得
或
，
即
或
，根据图象
有2 个解，
有1 个解，
73
所以此时
有3 个零点，不符合题意；
当
，
时，
，对称轴为
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，函数图像如下：
令
，
，解得
或
或
，
根据图象
有2 个解，
有3 个解，
又
有6 个零点，所以
要有1 个解，
即
，解得
，
故选：D.
3．（多选题）已知函数
，方程
有三个不同的实根
，
，
，则（ ）
A．方程
有两个不同的实根
B．
C．
是方程
的一个根
D．
【答案】ACD
【分析】画出函数的图象，结合图像可得
有两个不同的解
且
，
，从而可判断A
的正误，同样结合图形求出
的范围后可判断B 的正误，将
代入计算后可判断C 的正误，根据方程的
解的传递性可用
表示
后根据单调性可求范围，从而可判断D 的正误.
【详解】令
，考虑
的解.
的图象如图所示：
74
对于A，因为
有3 个不同的解，故
有两个不同的解
，
且
，
，故A 正确.
对于B，由A 的分析可得
，故B 错误.
对于C，由A 的分析结合图象可得：
有两个不同的解，
故
且
，故
，
故
是方程
的一个根，故C 正确.
对于D，由A 的分析可得
有两个不同的解，不妨设为
，
有唯一解，不妨设为
，
则
，
，故
，
故
，
而
即
，
所以
，
记
，则
，
故
在
上单调递增，故
，D 正确.
故选：ACD.
4．已知函数
（
），其图象与直线
有两个交点，若关于
的方程
有三个不等的实根，且
（
），则
的值为 .
【答案】
【分析】先由
与
有两个交点，得
，再由
有三个不等的
实根，进而得
，由此可得结果.
【详解】由函数
（
），其图象与直线
有两个交点，
所以方程
有两个正根，即
，令
，
75
所以
，当且仅当
时等号成立.
要使
与
有两个交点，则
.
再令
，则方程
有两个不等的实根，且
所以满足上述方程的
有两个值为
，且
，如图：
所以方程
的根必是极值点
且极值为正数，另一个方程
有两个根，如图：
所以
，即
.再由
，得
.
故答案为：
.
5．设函数
，则关于
的方程
根的个数为 ，其所有根之和的取值范
围为 ．
【答案】 2
【分析】令
，则
，由
得
，进而得
，作出
的图象，利用数
形结合即可求解；由题意
，进而得
，令
，则
，令
，利用导数法研究单调性得
，又
时，
，可得
，即可求解.
【详解】令
，则
，所以
，由
，
因为
，所以
，作出
的图像：
76
由图可知：
有两个交点，所以
的根的个数为2；
由
有
，
所以
，
所以
，
令
，则
，令
，则
，
所以
在
上单调递减，
所以当
时，
，所以
，
又因为
时，
，所以
，且当
时，
，
又当无限趋向于正无穷大时，
无限趋向于正无穷大，
所以
，所以
.
故答案为：
.
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．(25-26 高三上·北京朝阳区·期中)若方程
在区间
上有解，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】易得函数
在
上单调递增，结合
，
，根据零点存在性定
理即可求解.
【详解】由
，则
，
，
因为函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
77
又
，
，
则函数
有且仅有一个零点
，且
，则
.
故选：C
2．(25-26 高三上·福建福州第三中学·)已知函数
，
，
的零点分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
单调性结合
，
与0 的大小可得
，由
单调性结合
与0 的大小
可得
，据此可得答案.
【详解】注意到
在
上单调递增，
，注意到
，
又
，则
，则
，
又
，则
；
令
，得
；
在R 上单调递减，注意到
.
则
，即
.
故选：D
3．(25-26 高三上·福建泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟·期中)函数
，若
恰有6 个不同实数解，则正实数
的范围为
（ ）
78
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把问题转化为
与
或
的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求
出参数取值范围即可.
【详解】由题意可知
的实数解可以转化为
或
的实数解，
即
与
或
的图象交点的横坐标，
当
时，
，则
，
所以
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，可得
在
上单调递减，
所以当
时，
取得极大值，也是最大值，且
；
作出函数的大致图象如下图所示：
所以当
时，由图可知
与
无交点，即方程
无解；
与
有两个不同的交点，即
有两个实数解；
当
时，
，
令
，则
，则
，
作出大致图象如下图所示：
79
因为当
时，
与
有两个不同的交点，
所以
与
及
共有四个交点，
所以
，解得
，
即可得正实数
的取值范围
.
故选：B
4．定义在
上的函数
满足：
，若函数
恰有3 个
零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由解析式画出
的图象，
恰有3 个零点转化为
的图象和直线
恰有3 个交点，结合图象找到临界情况即可得出
的范围.
【详解】由题意作出
的大致图象如图中曲线所示：
恰有3 个零点，
的图象和直线
恰有3 个交点，
过定点
，
当直线过点
时，此时斜率为
，
当直线过点
时，此时斜率为
，
结合图象可知当
，即
时，函数
的图象和直线
恰有3 个交点，即
80
.
故选：C.
5．已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
有零点
D．
【答案】D
【分析】令
，求得
，可判定A 不正确；由
，得到函数
的图象不过坐标原点，
可判定B 不正确；令
，求得
或
，可判定C 不正确；令
，化简求得
，可判定D 正确.
【详解】对于A，因为
，令
，可得
，
因为
，所以
，所以A 不正确；
对于B，由函数
的定义域为
，且
，显然函数
的图象不过坐标原点，所以函数
不是奇函数，所以B 不正确；
对于C，令
，得
，即
，
解得
或
，显然函数
没有零点，所以C 不正确；
对于D，令
，可得
，即
，
所以
，所以D 正确.
故选：D.
6．(25-26 高三上·北京第十一中学·月考)若函数
恰有2 个零点，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
进行分类讨论，根据函数
零点的个数求得
的取值范围.
【详解】由函数
，
81
令函数
，
当
时，
，
可得：
或
，
当
或
时，
方程
在
上有唯一的解
，
当
或
时，
方程
在
上有两解
或
，
当
时，令
，
所以当
时，
，即方程
有一个解，
当
时，
，即方程
在
上无解，
综上所述，当
时，函数
有两个零点：
，
当
时，函数
有两个零点：
，
当
时，函数
有三个零点：
，
当
时，函数
有两个零点：
，
所以若函数
恰有2 个零点，则
或
，
所以
的取值范围是：
,
故选：B.
7．(25-26 高三上·陕西渭南瑞泉中学·月考)已知函数
，若函数
恰有3
个零点，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将原问题转化为函数
与
的图象有3 个交点，结合
的图象可得答案.
【详解】若函数
恰有3 个零点，
即函数
与
的图象有3 个交点，
而当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，由对数函数性质得
单调递减，
当
时，
，当
时，
，
82
可得函数
的图象如下，
结合图象可得
，故A 正确.
故选：A.
8．(25-26 高三上·山西大同第一中学校·)已知函数
，若关于
的方程
有4 个不同的实根，则实数
的取值不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先对方程进行因式分解求出
的值，分析分段函数的单调性和值域，结合方程有４个不同实
根及
的实根情况得出
有两个不同实根，再结合分段函数的值域求出
的取值范围，最
后判断各选项．
【详解】
，
或
.
，
当
时，
，是开口向下，对称轴为
，在
内单调递增；
当
时，
，是单调递减的指数函数，值域为
．
当
时，
，解得
，有一个实根，
当
时，
，即
，解得
，
，
，有一个实根，
与已知函数有2 个实根；
83
方程有4 个实根，
有2 个实根，
有2 个实根，
当
时，
，
有一个实根，则
，解得
，
当
时，
，
有一个实根，则
，解得
，
若
，即
时，
与
重合，实数根总数为2，舍去，故
，
，且
，即
，
，即选项
对应的值均为实数
的可能取值．
故选：B．
9．已知函数
是周期为2 的周期函数，且当
时，
，则函数
的零点个数是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．18
【答案】B
【分析】作出函数图象，利用数形结合计算即可.
【详解】易知
在
上为偶函数，结合其周期性，画出函数
的图象，
再作出函数
的图象，如下图，
由图可知，
与
共有10 个交点，
故原函数有10 个零点.
故选：B
10．(25-26 高三上·辽宁丹东第一中学等校·)已知函数
，若关于
的方程
有且仅有4 个不同的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求导，判断函数
单调性及极值，作出函数图象，将方程
变形
84
为
，结合函数图象，数形结合可得参数
范围.
【详解】因为
，
当
时，
，
在
单调递增，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增，
注意到
时
，
，
，
时
，大致图象如下，
方程
分解为
，
由于
，故知
有三个解，故须使
有一个不同的实数解，
由图象知
.
故选：B.
11．已知
为偶函数，当
时，
，若关于
的方程
恰有4 个不同的实根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先解方程
得到
或
，方程
有两根，问题转化
为方程
有两个不同于方程
的两根，数形结合，可求
的取值范围.
【详解】因为
.
所以
或
.
当
时，
，此时方程
无解；
当
时，
.
85
因为
为偶函数，所以
有两解，分别为
和
.
又方程
恰有4 个不同的实根，
所以
也有两个不同于
和
的两根.
作出函数
的草图如下：
要使
有两个不同于
和
的两根，则
或
且
.
故选：D
12．已知函数
，若
是函数
的一个零点，
，
均是函数
的
零点，且
，则
（ ）
A．3
B．9
C．27
D．36
【答案】B
【分析】先分析函数的单调性，结合题意可得
，
，进而得到
，再结合解析式代值求解即可.
【详解】由
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
由题得
，
，
故
，
，
结合单调性知，
，
则
，
所以
，则
.
86
故选：B.
二、多选题
13．已知
是定义在
上的奇函数，且对任意
，有
，当
时，
，则（ ）
A．
是以
为周期的周期函数
B．点
是函数
的一个对称中心
C．
D．函数
有个零点
【答案】BCD
【分析】A：根据奇偶性和对称性可判断出周期性；B：根据
关于点
中心对称以及关于直线
对称，可作出判断；C：利用周期性可得
，由此可计算出结果；D：在同一
坐标系中作出
的图象，根据图象可判断出结果.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
又因为
，所以函数
关于直线
对称；
所以
，
所以
，
所以函数
是周期为的周期函数，所以A 选项错误；
由于函数
是奇函数，关于点
中心对称，且函数
关于直线
对称，
因此点
是函数
的一个对称中心，所以B 选项正确；
由于函数
是周期为的周期函数，且
时，
，
那么
，因此
，所以C 选项正确；
作出函数
与函数
的图象如图所示，
根据图象可知，两个图象有个交点，因此函数
有个零点，所以D 选项正确，
故选：BCD．
87
14．(25-26 高三上·广东深圳实验学校高中园、惠东县惠东高级中学·)若函数
，则下
列说法正确的是（ ）
A．值域为
B．单调递增区间是
和
C．
有两个零点
D．方程
有5 个实根
【答案】BD
【分析】结合二次函数和导数分析函数的单调性，画出函数
的图象，结合图象分析判断各选项.
【详解】当
时，
，
此时函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，则
，
令
，得
，令
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
时，
，
时，
，
作出函数
的图象，如下：
由图可知，函数
的值域为
，
函数
的单调递增区间是
和
，
只有一个零点
，故A 错误，B 正确，C 错误；
对于D，由
，令
，
，则
，
88
由图可知，函数
和
在
上有2 个交点，
则有两个值， 且
和
，
当
时，函数
和
在
上有4 个交点，
当
时，函数
和
在
上有1 个交点，
所以方程
有5 个实根，故D 正确.
故选：BD
15．设函数
，其中a，b，c 为
的三边，且满足
，
，
，
，
．下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，
，则对任意
，
，
，
都能构成一个三角形的三边边长
B．若
，则
的零点大于1
C．
，
D．若
为直角三角形，则
，
【答案】BD
【分析】取特值
，不符合三角形两边之和大于第三边即可判断A；先解得零点
，再利用对
数函数性质判断范围判断B；化简函数
，判断符号即可判断C；
化简函数
，即可判断D.
【详解】A，
，
，
，当
时，
，
，
，
因为
，所以不能构成三角形的三边边长，A 错误．
B，当
时，
，
由
，得
，解得
，
又
，则
，因此
，
所以当
时，函数
的零点大于1，B 正确．
C，由
，
，得
，
，
89
又
，则当
时，
，C 错误．
D，由
为直角三角形，得
，
，
当且仅当
时取等号，D 正确．
故选：BD
16．（多选）已知函数
为定义在
上的单调函数，且
10.若函数
有3 个零点，则
的取值可能为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】BC
【分析】令
，然后可得
，进一步作出图象可得结果.
【详解】因为
为定义在
上的单调函数，所以存在唯一的
，使得
，
则
，
即
，
因为函数
为增函数，且
10，所以
.
当
时，由
，得
；当
时，由
，得
.
结合函数的图象可知，若
有3 个零点，则
.
故选：BC
17．已知函数
若函数
恰有4 个零点，分别为
，
，
，
，且
，则（ ）
A．
90
B．
C．
D．当
时，关于
的方程
最多有4 个不相等的实根
【答案】AC
【分析】画出函数的图象，根据函数零点的性质、基本不等式、函数单调性的性质，结合换元法、数形结
合法逐一判断即可.
【详解】由题意，
，
函数图象如下图所示：
，
因为函数
恰有4 个零点，分别为
，
，
，
，且
，
所以结合函数图象可知：
，
又因为
，所以
.
A：由上可知：
，
因为
，
所以
，因此A 正确；
B：因为
，
所以
，所以B 错误；
C：因为
，
91
所以
，
，
设
，且
，
根据函数单调性的性质可知，当
时，函数
单调递增，
于是有
，因此有
，所以C 正确；
D：令
，则
，
由绝对值的非负性可知：
，且只有当
时，函数值为零.
因此由
或
，
当
时，
，函数
图象与直线
有两个不同的交点，
当
时，由函数的图象可知，函数
图象与直线
有三个不同的交点，
所以关于
的方程
最多有5 个不相等的实根，因此D 错误.
故选：AC.
三、填空题
18．(25-26 高三上·安徽淮北实验高级中学·期中)函数
的图象由函数
的图象向右平移
个单位长度得到；当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
.
【答案】2
【分析】根据三角函数图象平移可得
，由题可得
与
只有一个交
点，画出图象，结合图象列式求解即可.
【详解】
92
，
由题可知，当
时，方程
只有一解.
即
与
只有一个交点，
结合函数图象可知，
，所以
.
故答案为：2.
19．(25-26 高三上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)已知函数
，当
时，函数的值
域为 .若函数
有三个不同零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】当
时，结合指数函数与二次函数的性质，求得函数
的值域，再由
有三个不同零点，
即
有三个实数根，结合对数的运算性质和二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解.
【详解】当
时，函数
，
当
时，可得
，可得
；
当
时，可得
，可得
，
所以函数
的值域为
；
因为函数
有三个不同零点，即
有三个实数根，
当
时，由
，可得
，解得
，
若
在
上存在零点，则满足
，解得
；
当
时，由
，可得
，
若方程
在
上两个实数根，设两根分别为
，
93
则满足
解得
，
综上可得，若函数
有三个不同零点，实数
的取值范围为
.
故答案为：
；
.
20．已知函数
若实数
，
，满足
，且
，则
的
取值范围为 .
【答案】
【分析】作出函数
的图象，根据图象先确定
，再由函数
确定出的取值范围，再由
确定出
，即可求解.
【详解】作出函数
的图象，如图，
当
时，
，
由图可知，
，即
，
得
，则
.
由
，即
，得
，求得
，
，
故答案为：
.
21．(25-26 高三上·福建福州闽江涵雅艺术实验高中·月考)已知函数
，关于
的方程
的解的个数可能是 .
【答案】
【分析】令
，方程转化为
，再根据判别式分析二次方程根的个数，再结合分段
函数得出方程
的解的个数情况.
【详解】函数
的图像如下：
94
令
，则
，则
，
当
时，即
，
或
，方程
无解，
即
无解；
当
时，
，由图可知
与
的图象有两个交点，即方程
解的
个数为2 个，
当
时，即
，
，
，则
，
故
，
，
当
时
，则
有两解，
当
时，若
，则
有三解，若
，则
有两解，
故方程
解的个数为4 或5 个，
综上方程
解的个数可能为
个.
故答案为：
.
22．设函数
，若
在区间
上恰有
个零点，则
实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意先画出函数
的图象为函数
在
上的图象不断向右、向下平移1 个单
位可得函数
的图象，
在区间
上恰有
个零点，即函数
的图象与
在区
间
上恰有
个交点，即函数
的图象与
在区间
上都有两个交点，所以只
需函数
的图象与
在区间
上有两个交点即可，利用导数的几何意义求解切线即可.
【详解】根据题意，函数
将函数
在
上的图象向右、向下平移1 个单位可得函数
在
时的图象，
95
再向右、向下平移1 个单位可得函数
在
时的图象，
继续向右、向下平移1 个单位可得函数
在
时的图象
如图可得函数
的图象，
令
，即
，
因为
在区间
上恰有
个零点，
即函数
的图象与
在区间
上恰有
个交点，
即函数
的图象与
在区间
上都有两个交点，
所以只需函数
的图象与
在区间
上有两个交点即可，
当
时，函数
的图象与
在区间
上有1 个交点
再求函数
斜率为
的切线，
导数为
，令
，得
，则切点为
，
代入
，可得
，
所以
时，函数
的图象与
在区间
上有两个交点，
这样函数
的图象与
在区间
上恰有
个交点.
故答案为：
96
97
