文档文本内容
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专题05 圆锥曲线与概率统计
题型概览
题型01 直线与圆
题型02 椭圆及其性质
题型03 双曲线及其性质
题型04 抛物线及其性质
题型05 二项式定理与排列组合
题型06 概率的计算
题型07 统计小题
题型08 新定义问题
题型09 统计与概率统计大题
直线与圆
1．（2025·黑龙江·一模）已知
，
是圆
上的两个动点，且
，
为直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．15
D．16
【答案】C
【解析】若
为
的中点，如下图示，
，
，
所以
，
由
，即圆心
，半径
，所以
，
到
的距离
，即直线与圆相离，
结合图知，最小
，此时
.
故选：C.
题型01
1
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椭圆及其性质
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线
，从曲线上任意一点
向
轴作垂线，垂足为
，
且
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设点
，由
轴于点
，且
，得
，则
，
又点
是曲线
上的任意一点，因此
，
所以点
的轨迹方程为
.
故选：A
3．（2025·黑龙江·一模）已知椭圆
的左顶点为
，上顶点为
．若
是
的焦
距的
倍，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02
2
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【答案】B
【解析】设椭圆
的半焦距为c，而
，又
，
则
，整理得
，因此
，
所以
的离心率为
.
故选：B
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）直线
经过椭圆
的两个顶点，则该椭
圆的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为直线
，
令
，则
，所以
，
令
，则
，所以
，
又因为
，所以
，
则该椭圆的离心率
.
故选：B.
5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知圆
与椭圆
，若在椭圆
上存
在一点
，过
点能作圆
的两条切线，切点为
，且
，则椭圆
离心率的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
3
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【解析】由对称性可知，
，
因为
，
，
所以当点
位于长轴端点时
最小，
由题可知，在椭圆
上存在一点
，使得
，
只需当点
位于长轴端点时，
，即
，故
，
又
，所以椭圆
离心率的取值范围为
.
故选：B
6．（2025·黑龙江·一模）已知椭圆
的左焦点为
，过点
且斜率为
的直线与
轴交于
，若线段
的中点在
上，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】左焦点
的坐标为
，其中
，离心率
.
过点
且斜率为
的直线方程为
.
当
时，直线与
轴交点
的坐标为
.
4
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线段
的中点坐标为
.
中点
在椭圆上，代入椭圆方程得到：
，化简得：
.
利用
和
，代入上式得到：
.
通分并整理得到方程：
，
解得
（舍去不合理的解），故离心率
.
故选： D.
7．（2025·黑龙江大庆·一模）已知
是椭圆
的左焦点，直线
交椭圆
于M，N 两点.若
，则椭圆
的离心率为 .
【答案】
【解析】设
是椭圆
的右焦点，连接
，由对称性可知
，
则
为平行四边形，则
，即
，
因为
，则
，
在
中，由余弦定理可得
，即
，
解得
，所以椭圆
的离心率为
.
5
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故答案为：
.
8．（2025·黑龙江·一模）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，经过
且倾斜角为
的直线与椭圆交于
两点（其中点
在
轴上方）．
(1)
为椭圆上顶点时求
的面积；
(2)如图，将平面
沿
轴折叠，使
轴正半轴和
轴所确定的半平面（平面
）与
轴负半轴和
轴
所确定的半平面（平面
）互相垂直．
（ⅰ）若
，求异面直线
和
所成角的余弦值；
（ⅱ）是否存在
，使得折叠后
与
距离与折叠前
与
距离之比为
？若存在，求
的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由椭圆方程
知
6
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当
为椭圆上顶点时
，又
，直线
的方程为
由
知
，
．
（2）（ⅰ）
时在折叠前图中，直线
方程为
，
由（1）可知此时
折叠后仍以
轴为
轴，
轴原位置仍为
轴，折叠后
轴的正方向为
轴正方向，建立空间直角坐标系，
则
，
所以异面直线
和
所成角的余弦值为
；
（ⅱ）折叠前设
，直线
由
知
，
7
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折叠后按（ⅰ）中坐标系
由
知
或
（舍去）
，故存在
双曲线及其性质
9．（2025·黑龙江·一模）已知双曲线
的离心率为
，其左､右焦点分别为
，过
作
的一条渐近线的垂线并交
于
两点，若
，则
的周长为 .
题型03
8
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【答案】
【解析】由题意
，即
，化简和是
，
，
因此双曲线方程为
，右焦点为
，渐近线方程为
，
不妨设直线
方程为
，设
，
由
得
，
，
，
，
所以
，解得
，从而
，
由双曲线的定义可得
，
所以
，
从而
的周长为
，
故答案为：
．
10．（多选题）（2025·黑龙江·一模）设
，
分别为双曲线
的左、右焦点，
为
上一点，则（ ）
A．
的焦距为
B．当
在
的右支上，且
时，
C．当
时，点
到
的两条渐近线距离之和为
9
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D．当
时，
为直角三角形
【答案】ABD
【解析】由双曲线
可知
，
得
的焦距为
，故A 正确；
由
在双曲线
的右支上，且
可得
，从而
，
又因为
，此时
轴，即
，所以
，故B 正确；
的渐近线方程为
，当
时，
，
故点
到
的两条渐近线距离之和为
，故C 错误；
由
可得
，而
，取
，
，
，则
，所以
，
因此
为直角三角形，由对称性可知当
时也成立，故D 正确.
故选：ABD.
11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）双曲线
的渐近线方程为
，则
的关
系为（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
，
因为双曲线
的渐近线方程为
，所以
，
所以
.
故选：A.
12．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线
的左右焦点分别为
，过
且
斜率存在的直线与双曲线
的渐近线相交于
两点，
中点纵坐标为
，若
，则双
曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】易知，直线的斜率不为0，设方程为
，
双曲线的渐近线方程为
，
联立
解得
，由
解得
，
由题知，
，即
，
整理得
①，
因为
，记
的中点为
，则
，
，
所以
，整理得
②，
②代入①得
，整理得
③，
11
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③代入②整理得
，即
，
因为
，所以
，所以
，
又
，所以
，即
，所以渐近线方程为
.
故答案为：
.
13．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）焦点在x 轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为
，直线过
点
与双曲线的左、右支分别交于点A、B
(1)求双曲线E 的方程；
(2)若
，求直线AB 的斜率；
(3)若点B 关于原点的对称点C 在第三象限，且
，求直线AB 斜率的取值范围．
【解析】（1）设等轴双曲线
的方程为
，其渐近线方程为
，
故
，解得
，所以双曲线E 的方程为
.
（2）
12
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由题意，过点
的直线
斜率存在且不为0，可设其方程为
，
设
，由
，得
，
联立
，整理得
，
由韦达定理得：
，
，
联立解得
，经验证均满足题意，所以直线
的斜率为
.
（3）
点
在第三象限，如图所示，故直线
的斜率是正数，
由
，得
，
所以
，则
，则
，
由
，得
，
13
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所以
，则
，
又因为直线
交两支两点，故直线
的斜率
，
所以
.
14．（2025·黑龙江·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，且
，
渐近线方程为
．
(1)求
的方程；
(2)设
轴上方的点
，
分别在
的左支与右支上，若
，求四边形
的面积．
【解析】（1）双曲线
的渐近线方程为
，依题意，
，半焦距
，
而
，解得
，
所以
的方程为
.
（2）设
，而
，由
，得
，
依题意，
，解得
，即
，
，
，
等腰
底边
上的高
，
又四边形
为梯形，则
，
所以四边形
的面积为
.
14
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15．（2025·黑龙江·一模）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，点
是双曲线
上一点.过双曲线
的右焦点
且斜率存在的直线与双曲线交于
两点，线段
的垂直平分
线与
轴交于点
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)证明：
；
(3)当
均位于双曲线的右支上时，若
，求直线
的方程.
【解析】（1）由双曲线
的一条渐近线方程为
，可知：
再由点
是双曲线
上一点得：
，
代入得：
，故
，
所以双曲线
；
（2）
设过双曲线
的右焦点
且斜率存在的直线为
，
15
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与双曲线
，联立消去
得：
，其中
，
不等于0，
设
，则
，
所以
设
的中点为
，
则
，
，
所以线段
的垂直平分线方程为：
，
令
得：
，
则
，
所以有
；
（3）
设过双曲线
的右焦点
且斜率存在的直线为
，
与双曲线
，联立消去
得：
，
16
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设
，则
，
由直线与双曲线右支相交，则
，解得
，
由（2）知
，由
可知：
，
即
，根据
，结合与右支交点可知
，
根据（2）可知：
，
则
，
，
代入
到上两式得：
，
，
再消
得：
，
此时满足
，故符合题意，
则直线
方程为
.
抛物线及其性质
16．（2025·黑龙江·一模）已知抛物线
的焦点为
，点
在
上，且
，则
到
轴的
距离为 ．
【答案】
/
17
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【解析】在抛物线
中，
，则
，所以准线方程为
.
设点
的坐标为
，由抛物线的定义，已知
，即点
到焦点
的距离为
，那么点
到准
线
的距离也为
.
点
到准线
的距离为
，所以
.
解方程
，可得
.
点
到
轴的距离就是点
横坐标的绝对值，因为
，所以点
到
轴的距离为
.
故答案为：
.
17．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知O 为坐标原点，经过点
的直线与抛物线
交于
、
两点，直线
：
是线段AB 的垂直平分线，且与
的交点为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．
D．
【答案】BC
【解析】
根据题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为
，
，
18
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与抛物线方程
联立，可得
，
∴
，
，
∴
，
，
对于A，若
，则
，故A 错误；
对于B，若
，由题意
，则
，得
，
∴直线的方程为
，
，
∵
，
原点
到直线的距离
，
∴
，故B 正确；
对于C，由题意
为线段
的中点，则
，即
，
又
，点
在直线
上，则
，故C 正确；
对于D，由
，得
，则
，
∴由
得
，又
，解得
，故D 错误，
故选：BC.
18．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知抛物线
的焦点为
，准线为，点
在
上，
为坐标原点，则（ ）
19
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A．直线
的倾斜角为
B．的方程为
C．
D．
在点
处的切线方程为
【答案】ACD
【解析】由点
在抛物线
上，得
，
，
对于A，直线
的斜率
，因此直线
的倾斜角为
，A 正确；
对于B，抛物线
的准线方程为
，B 错误；
对于C，
为焦点，则
，C 正确；
对于D，由
，求导得
，则
在点
处的切线斜率为
，
切线方程为
，即
，D 正确.
故选：ACD
19．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知抛物线
的准线方程为
是
上位于第
一象限内的一点，过点
作准线的垂线，垂足为
，直线
（
为坐标原点）与
交于点
（异于点
），则（ ）
A．
B．直线
过抛物线
的焦点
C．当
为等腰三角形时，
或
D．过点
且与抛物线
相切的直线平分
【答案】ABD
【解析】因为准线方程为
，所以
，A 正确；
抛物线的焦点为
，设
，则
,直线
，
20
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由
，可得
，
，即
,
当
时，
，即
，此时直线
过抛物线
的焦点
；
当
时，直线
的斜率分别为
，
则
，
所以直线
过抛物线
的焦点，B 正确；
由抛物线定义可知
,
当
时，则
在
的中垂线上，则
，即
，
解得
（设）或
，此时
,C 不正确；
设过点
的切线方程为
，
联立
，得
，
易知
，令
，可得
；
直线
的斜率即为直线
的斜率，即
.
设直线
过点
的切线的倾斜角分别为
，
则
，
21
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而
，即
，
因为点
在第一象限，所以
，所以
；
因为直线
的斜率为0，所以过点
且与抛物线
相切的直线平分
.
故选：ABD
20．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）点
为直线
上的动点，
为坐标原点，过点
作直线垂直于
轴，
过点
作直线
的垂线交直线于点
.
(1)求点
的轨迹方程；
(2)记
点轨迹为曲线
，
上一定点
，过
作两不同直线分别交
于
两点，
①直线
的斜率满足
，且直线
过点
，求定点
坐标；
②若点
，且直线
的斜率满足
，设
的外接圆为圆
，过点
作曲线
的切
线
，判断直线
与圆
位置关系，并说明理由.
【解析】（1）设
，则直线：
，直线
：
，
时，直线
：
，点
的轨迹为
，
时，
，
综上，点
的轨迹方程
；
（2）
22
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①设
，
，
，
由已知直线
的斜率存在，
所以设直线
：
，
联立方程
得
，
所以
，由题意得
，
所以
，解得
，所以
；
②
当
时，由
可得
，求导可得
，
当
时，
，所以切线的斜率为，所以直线
：
，
设直线
：
，联立抛物线方程得
，
23
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，
，
可得
，所以
，
中垂线：
，
同理，
中垂线：
，
联立可得
，
，
，即直线
与圆
相切.
21．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图所示，已知动圆与直线
相切，并与定圆
相内切．
(1)求动圆圆心
的轨迹
的方程；
(2)过原点作斜率为1 的直线交曲线
于
（
为第一象限点），又过
作斜率为2 的直线交曲线
于
，
再过
作斜率为4 的直线交曲线
于
，…，如此继续，过
作斜率为
的直线交曲线
于
，设
．
①令
，求证：数列
是等比数列；
②数列
的前
项和为
，试比较
与
的大小．
【解析】（1）方法1：由题意知，
点到原点的距离等于
点到直线
的距离，
24
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由抛物线定义知，
点轨迹是以原点为焦点，直线
为准线的抛物线，
其轨迹方程为
．
方法2：设
，动圆的半径为，
由题意知：
，
所以
，
由题意知
，∴
，即
所以动圆圆心
的轨迹
的方程为
.
（2）①设
，则
，
又因为直线
的斜率为
，有
，
所以
，即
，
所以
，
所以数列
是以
为公比的等比数列；
②由①知
，
，
所以
，下面只要比较
与
的大小；
当
时，
，有
；
当
时，
，有
；
当
时，
，有
；
猜测当
时，
时，
．
利用二项式定理，得
25
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，
所以
时，
，即：
，
所以
．
综上：当
时，
；
当
时，
；
当
且
时，
.
二项式定理与排列组合
22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）在
的展开式中，
的系数为 ．
【答案】
【解析】因为
，
其中
展开式的通项为
（
），
所以
的展开式中
的系数为
.
故答案为：
23．（2025·黑龙江·一模）现将1 个红球、1 个黄球、1 个绿球及3 个白球（白球之间没有区别）放入3 个
不同的盒子中，每个盒子放入2 个球，则不同的放法种数为 ．（用数字作答）
【答案】24
【解析】把6 个小球按2 个球一组分成3 组，有两类分法：每个盒子放入一个白球，有1 种方法；
有2 个白球放入一个盒子，有
种方法，再将分成的3 组放入3 个盒子有
种方法，
26
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所以不同的放法种数为
.
故答案为：24
24．（2025·黑龙江·一模）在
的展开式中，常数项为 .
【答案】
【解析】二项式
的展开式的第
项为
，则
的展开式的第
项为
，
，
令
，得
，所以常数项为
.
故答案为：
.
25．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）2024 年4 月26 日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，
激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6 名宇航员分别是“70 后”蔡旭哲、“80 后”
叶光富、李聪、李广苏，“90 后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假
设6 人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80 后”彼此不相邻，两位“90 后”
彼此不相邻，则不同的站法共有（ ）
A．16 种
B．32 种
C．48 种
D．64 种
【答案】B
【解析】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有
种排法，
剩下的四名宇航员共有
种排法，其中两位“80 后”彼此相邻，两位“90 后”彼此相邻且分别在左侧或
右侧的排法共有
种，
所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80 后”彼此不相邻，两位“90 后”彼此不相邻，
则不同的站法共有
种.
故选：
.
26．（2025·黑龙江·一模）
的展开式中
的系数为（ ）
27
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
展开式的通项公式为
，
当
时，
，当
时，
，
所以展开式中含
的项为
，
故展开式中
的系数
.
故选：D
概率的计算
27．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知
，
，
，则
（ ）
A．0.2
B．0.375
C．0.75
D．0.8
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，
解得
.
故选：A.
统计小题
28．（2025·黑龙江·一模）某初中为了了解本校学生的体重情况，该校医务室从学生中随机抽取200 名学
生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按
分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
6
07
28
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A．
B．估计这200 名学生的平均体重为56.45 千克（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
C．估计该校中学生体重的第65 百分位数是56.25
D．从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60 千克的概率为0.4
【答案】C
【解析】A 选项，
，解得
，A 错误；
B 选项，
，
估计这200 名学生的平均体重为54.75 千克，B 错误；
C 选项，前3 组数据的频率和为
，
前4 组数据的频率和为
，
故该校中学生体重的第65 百分位数落在第4 组中，设为
，
则
，解得
，C 正确；
D 选项，从频率分布直方图可知，体重不低于60 千克的频率为
，
故从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60 千克的概率为0.2，D 错误.
故选：C
29．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）由样本数据
，求得回归直线方程为
，且
，若去除偏离点
后，得到新的回归直线方程为
，则去除偏离点后，相应于样本点
的残差值为 .
29
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【答案】
【解析】由于回归直线过样本中心点，当
时，
，
去除偏离点
后，剩余数据的中心点为
，
则
，
，
将点
的坐标代入回归直线方程
，可得
，解得
，
所以，新的回归直线方程为
，
当
时，
，
所以，去除偏离点后，相应于样本点
的残差值为
.
故答案为：
.
30．（2025·黑龙江·一模）如图是某高中学校2000 名男生的身高样本的频率分布直方图，估计该样本数据
的53%分位数为（ ）
A．177
B．178
C．179
D．180
【答案】C
【解析】由题设
，
所以53%分位数在区间
内，设为
，则
，
所以
.
故选：C
30
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31．（多选题）（2025·黑龙江·一模）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学
体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，
我国于2002 年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知
某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩
（单位：cm）服从正态分布
，
且
，现从该地区高三女生中随机抽取3 人，记
在区间
的人数为
，则正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】对于A，由
，得
，
则
，A 正确；
对于B，由A 知，
在区间
的概率为
，
，
，
因此
，B 正确；
对于C，由B 知，
，因此
，C 错误；
对于D，
，D 错误.
故选：AB
32．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知一组样本数据分别为：31，6，12，19，17，16，11，则该组样
本数据的（ ）
A．极差为27
B．上四分位数为19
C．平均数为15.5
D．方差为
【答案】BD
【解析】将样本数据按照从小到大的顺序排列为：6，11，12，16，17，19，31.
对于A，根据极差定义可知，该组数据的极差为
，故A 错误；
对于B，因为
，所以该组数据的上四分位数为19，故B 正确；
31
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对于C，该组数据的平均数为
，故C 错误；
对于D，该组数据的方差为
，
故D 正确.
故选：BD.
新定义问题
33．（2025·黑龙江·一模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比
为定值
的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆.已知在平面直角坐标系
中，点
，若点
是满足
的阿氏圆上的任意一点，点
为
上一动点，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】设
，则
，
，
因为
，
所以
，
所以
，即
，
所以点
的轨迹为以
为圆心，
为半径的圆，
圆
的圆心为
，半径为，
又点
为
上一动点，
题型08
32
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所以
，
当且仅当点
为线段
与圆
的交点，点
为线段
与圆
的交点时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
34．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知曲线
为
上一点，则以下说法正确的
有（ ）
A．存在点
，使得
B．
的取值范围为
C．若
的值与
无关，且
，则
取值范围为
D．若
的值与
无关，则其最小值为
．
【答案】BCD
【解析】我们首先对曲线
的方程化简，得到
，
对于A，若点
在曲线
上时，
有
，此时
，不可能有
；
33
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当点
在曲线
上时，曲线
的渐近线方程
，
当点
在
上时，曲线
的渐近线方程
，
如图，因为直线
与渐近线方程
平行，
则不存在点
，使得
，故A 错误；
对于B，因为
可看作
到
直线
的距离的
倍，
因为直线
与
平行，
且之间的距离为1，故
，
由图可知，当点
在曲线
上时，
点
到直线
的距离有最大值，
设
，
34
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点
到直线
的距离为
，
结合余弦函数有界性可得
，
当且仅当
等号成立，即
，
则
的取值范围为
，故B 正确．
对于C，设
由
得
表示点
到直线和
的距离之和的
倍，
的值与
无关，则该曲线在两平行线和
之间，
当
与曲线椭圆部分相切时，
联立得
，且
，解得
或
，
所以
的范围为
，故C 正确；
对于D，当为渐近线
为
与曲线椭圆部分相切的直线
时，
的值最小，
由平行线间距离公式得
与
的距离
，
35
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则
，
且
，故D 正确．
故选：BCD
35．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相
依，而是相互瞭望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅．已知点
，直线
，动点
到点
的距离是点
到直线的距离的2 倍，若某直线上存在这样的点
，
则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点
的轨迹方程是
B．直线
是“最远距离直线”
C．圆
的方程为：
，其上一动点
，则
的最小值为
D．点
的轨迹与圆
是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
【答案】AC
【解析】对于A，设
，则有
，整理可得
，
故点
的轨迹方程是
，故A 正确；
对于B，由点
的轨迹方程是
知，双曲线
的渐近线为
，
可得直线
为其一条渐近线，故直线
与点
的轨迹方程没有交点，
则直线
不是“最远距离直线”，故B 错误；
对于C，圆
的方程为：
，其圆心
，半径为
，
由点与圆的位置关系可知，
，又
即
，
36
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根据点与双曲线的位置关系可得
，
故
，故C 正确；
对于D，联立圆
与点
的轨迹方程，有
，可得
，
，故点
的轨迹与圆
有交点，故D 错误.
故选：AC.
36．（2025·黑龙江·一模）著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率
等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面内，椭圆
经过平移和旋转后，
能得到以
为一个焦点，且过点
的椭圆
，则椭圆
面积的最大值为 .
【答案】
【解析】由椭圆
可知
，结合题意知椭圆的面积为
，
设椭圆
另外一个焦点为
，则
，
，即
，
所以
在以
为圆心，1 为半径的圆上，故
，即
，
当
三点共线时等号成立（F 在
之间），
37
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所以
，所以椭圆
面积的最大值为
.
故答案为：
.
37．（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系
中，若圆
与抛物线
有公共点
，且圆
与抛物线
在点
处有相同的切线，则称
为抛物线
的和谐数，圆
为
的和谐圆.
(1)试判断3 是否为抛物线
的和谐数.若是，求出3 的和谐圆；否则，请说明理由.
(2)设
，
，…，
均为抛物线
的和谐数，且
，记
，
，…，
的和谐圆分别
为圆
，
，…，
，设圆
，
，…，
与抛物线
的公共点分别为
，
，…，
，已知
，
且
，圆
与
外切.
（ⅰ）求数列
的通项公式；
（ⅱ）设点
，记
的面积为
，证明：
.
【解析】（1）假设3 是抛物线
的和谐数，则3 的和谐圆为
，
由对称性，不妨设圆
与抛物线
有公共点
，
显然抛物线
在点
处的切线，即曲线
在点
处的切线，
易知该切线的斜率为
，
∵圆
与抛物线
在点
处有相同的切线，
∴
，解得
，
∴圆
与抛物线
有公共点
，
38
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∴和谐圆的半径为
∴3 是抛物线
的和谐数，且3 的和谐圆为
.
（2）由对称性，只需考虑
，
，…，
均在
轴上方的情形，不妨设
，
（ⅰ）∵
为抛物线
的和谐数，
∴
的和谐圆为
，
∴由（1）可知，
，解得
，
∴
，
∵
在圆
上，∴
，
∵
，圆
与
外切，且
，
∴
，即
，
∴
，
∴数列
是等差数列，其公差为2，首项为
，
∴
，即
，
∴数列
的通项公式为
.
39
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（ⅱ）证明：显然点
为抛物线
的焦点，∴
，
易知
，且
，∴
为等腰三角形，
易知
的面积
，
当
时，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴不等式
得证.
38．（2025·黑龙江·一模）如果随机变量
全部可能取到的值是有限的或者可列无限多对的，那么我
们就称
是二维离散型的随机变量.甲、乙两人参加一次知识竞赛，竞赛过程有一轮抢答环节，共有三
题供甲、乙二人抢答.已知甲、乙抢到每题的概率相等，且抢到每题与否相互独立.在抢到任意一题后，甲、
乙答对的概率分别为
和
.对于每一个题，抢到题并回答正确的得1 分，没抢到题的得0 分，抢到题但回
答错误的扣1 分（即得
分），三题抢答结束后，得分高者获胜（每题都有人抢答）.记这次比赛中，甲、
乙得分数分别为
，
，
是二维离散型随机变量.把
所有可能的取值，和取这些值的概率画在
一张表中，这张表为二维离散型随机变量
的分布列.
0
1
2
3
40
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0
1
2
3
其中
.
(1)求
，
；
(2)求
；
(3)已知随机事件
发生了，求随机变量
的分布列.
【解析】（1）
，
的情况有，甲抢到2 题并答对2 题，乙未抢到题，不符合题意；
甲抢到2 题并答对2 题，乙抢到2 题并答对1 题答错1 题，不符合题意，所以
，
，
的情况有，甲抢到2 题并答对2 题，乙抢到1 题并答错1 题，
所以
.
（2）
，故
.
（3）
表示：甲抢到2 题并答对1 题答错1 题，或甲抢到0 题，
故
，
已知
，则
的可能取值有
，
，1，3，
，
41
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，
，
，
因此，随机事件
发生了，随机变量
的分布列如下：
1
3
统计与概率统计大题
39．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）“冰雪同梦，亚洲同心”，
年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛
事共有
个大项，
个分项，
个小项，有来自
个国家和地区，
多名运动员参赛，是一场令人回
味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学
们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知
小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等.
(1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为
，
①设
，记小明答完前三道题得分为
，求随机变量
的分布列和数学期望；
②若小明答完前四道题得分的概率为
，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值；
(2)若小明答对每道题的概率均为
，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答
题累计得分为
，记小明答题累计得分为
的概率为
，求数列
的通项公式.
【解析】（1）①由题意可知，随机变量
的可能取值有、
、、
，
题型09
42
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，
，
，
，
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
所以，
；
②因为前四道试题得分即全对的概率为
，所以第四道试题答对的概率为
，
所以，小明答完前四题时至少答对三题的概率为
，
则
，
当
时，
，此时，函数
单调递减，
当
时，
，此时，函数
单调递增，
所以
.
（2）依题意可得
，
，当
时，则
，
所以，
，且
，
所以，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
43
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故
，
且
，
所以数列
是各项均为的常数列，则
，
所以
，解得
.
40．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）北海舰队开放日活动中，随机抽取了200 名学生参加绳子打结计时的
趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
性别
绳子打结速度
合计
快
慢
男生
45
女生
35
90
合计
(1)完成列联表，并根据小概率值
的独立性检验，判断绳子打结速度快慢是否与学生性别有关联，
并说明理由；
(2)现有
根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结
完毕视为结束．
（i）现在有4 根绳子，求恰好能围成两个圈的概率；
（ii）这n 根绳子恰好能围成一个圈的不同的连接方法数为
，求
．
附：
0.05
0.01
0.001
44
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3.841
6.635
10.828
【解析】（1）女生打结慢有
人，男生总计
人，
男生打结快共
，
补充列联表
性别
绳子打结速度
合计
快
慢
男生
65
45
110
女生
35
55
90
合计
100
100
200
零假设
：绳子打结速度快慢与学生性別无关联，
，
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，
即认为绳子打结速度快慢与学生性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）（i）4 根绳子所有的打结方式共有
种，
围成2 圈的情况共有
种，
恰好能围成两个圈的概率
.
（ii）
，
，
，
当
时，也适合上式，
，
45
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，①
②，
①
②整理得
，
，
.
41．（2025·黑龙江·一模）已知一个袋子中装有分别标有数字
的
张卡片，
．
(1)把这个袋子中的
张卡片分别放入2 个不同的盒子中，每个盒子不空，记分配方法总数为
，求
的值；
(2)从这个袋子中依次随机抽取一张卡片．
（i）若取出的卡片不再放回袋子，记
为最后一张标号为偶数的卡片被取出时所需的抽取次数，求
；
（ii）若取出的卡片再放回袋子，最多抽取
次，直到取到标号为偶数的卡片就停止抽取，记抽取的次数为
，证明：
．
【解析】（1）由题意知
，
所以
.
（2）（i）由题意知
的所有可能取值为
，
46
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则
，
所以
，
因为
，
所以
；
（ii）证明：若取出的卡片再放回袋子，则每次抽取到偶数号码卡片的概率为
，
由题意知
的所有可能取值为
，
所以
，
，
则
的分布列为
所以
，
则
，
两式相减可得
47
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，
所以
.
42．（2025·黑龙江·一模）为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村
开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、
敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2 个圈圈
且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品
可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为
，张大爷每次套中奖品的概率为
.
(1)若
，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为
，求随机变量
的分布列和数学期望；
(2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3 的概率的最大值.
【解析】（1）由题意随机变量
的可能值为
，
，
，
．
，
的分布列为：
0
1
2
；
48
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（2）由题意两人总共套中的奖品个数为3 的概率为：
，
设
，
，则
，
时
，
递增，
时，
，
递减，
所以
时，
，
所以所求最大值为
．
43．（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，
奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32 金27 银26 铜，总计85 枚奖牌的傲人成绩，强势登
顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书
写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支
冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负
情况如表：
甲球员是否上
场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
38
45
未上场
3
合计
40
(1)完成
列联表，并判断根据小概率值
的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场
有关联？
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，
后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5．
（ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
附：
．
49
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0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.741
5.024
6.635
10.728
【解析】（1）根据题意，可得
的列联表：
甲球员是否上
场
球队的胜负情
况
合
计
胜
负
上场
38
7
45
未上场
2
3
5
合计
40
10
50
零假设
：球队胜负与甲球员是否上场无关
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此
推断犯错误的概率不大于0.025．
（2）甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为0.7，
0.9，0.5
（ⅰ）设事件
：“甲球员上场打边锋”，事件
：“甲球员上场打中锋”
事件
：“甲球员上场打后卫”，事件
：“球队赢球”
则
所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率
当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率0.78
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
．
当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
50
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44．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）现市场上治疗某种疾病的药品有
两种，其治愈率与患者占比如表
所示，为试验一种新药
，在有关部门批准后，某医院把此药给100 个病人服用．设药
的治愈率为
，且每位病人是否被治愈相互独立．
A
B
C（新药）
治愈率
患者占比
(1)记100 个病人中恰有80 人被治愈的概率为
，求
的最大值点
；
(2)设用新药
的患者占比为
（药品
减少的患者占比，均为新药
增加占比的一半，
，
以（1）问中确定的
作为
的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果
用
表示）
(3)按照市场预测，使用新药
的患者占比
能达到
以上，不足
的概率为
，不低于
且不超
过
的概率为
，超过
的概率为
，某药企计划引入药品
的生产线，但生产线运行的条数受患者
占比的影响，关系如下表：
患者占比
最多投入生产线条
数
1
2
3
若某条生产线运行，年利润为1000 万，若某条生产线未运行，年亏损300 万，欲使该药企生产药品
的年
总利润均值最大，应引入几条生产线？
【解析】（1）100 个病人中恰好有80 人被治愈的概率为
，
则
，
令
，得
，
当
时，
单调递增，
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当
时，
单调递减，
所以
的最大值点为
.
（2）设事件
“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件
“该患者服用药品
治疗”，
事件
“该患者服用药品
治疗”，事件
“该患者服用药品
治疗”，
则
因此：
所以
.
（3）设随机变量
为生产药品
产生的年利润
①若投入1 条生产线，由于服用药品
的患者的占比总大于
，所以一条生产线总能运行，
此时对应的年利润
②若投入2 条生产线，当
，1 条生产线运行，
年利润
，当
时，2 条生产线运行，
年利润
，
此时
的分布列如下：
700
2000
所以
；
③若投入3 条生产线，当
时，1 条生产线运行，
年利润
，
当
时2 条生产线运行，年利润
，
当
时，3 条生产线运行，年利润
，
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此时
的分布列如下：
400
1700
3000
所以
综上所述，欲使该药企生产药品
的年度总利润均值最大，应引入两条生产线.
45．（2025·黑龙江大庆·一模）2024 年7 月12 日，国家疾控局会同教育部､国家卫生健康委和体育总局制
定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中
就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重
和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有
的学生每天饮用含糖饮料不低于
500 毫升，这些学生的肥胖率为
；而每天饮用含糖饮料低于500 毫升的学生的肥胖率为
.
(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；
(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记
表示这三名学生中肥胖的人数，求
的分布列和数学期
望.
【解析】（1）设“学生每天饮用含糖饮料不低于500 毫升”为事件A，则
，
设“学生的肥胖”为事件B，则
，
由全概率公式可得
，
所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为
.
（2）由题意可知：
，且
的可能取值为0，1，2，3，则有：
，
，
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所以
的分布列为
0
1
2
3
的期望
.
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