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专题10.4 随机事件、频率与概率【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 随机事件与样本空间】..............................................................................................................................3
【题型2 随机事件的关系与运算】..........................................................................................................................4
【题型3 互斥事件与对立事件的概率】..................................................................................................................6
【题型4 频率与概率】..............................................................................................................................................8
【题型5 生活中的概率】..........................................................................................................................................9
【题型6 频率估计概率在统计中的应用】............................................................................................................11
1、随机事件、频率与概率
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解随机事件发生的不
确定性和频率的稳定性，
了解概率的意义以及频率
与概率的区别
(2)理解事件间的关系与运
算
2023 年上海卷：第5 题，4 分
从近几年的高考情况来看，随机事
件、频率与概率的考查相对较少，主要
考查以频率估计概率、互斥事件与对立
事件等内容，往往以选择题或填空题的
形式考查，难度较易；有时以频率估计
概率也会在解答题中出现，与统计等知
识结合.
【知识点1 频率与概率】
1．频率与概率的区别
频率
本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次
数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同.
概率
本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变.
举例
辨析
例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000 次，出现正面向上
的次数是521，则正面向上的频率
（正面向上）
，而正
1
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面向上的概率P（正面向上）
，它是一个客观常数，
2．频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有随机性.一般地，随着
试验次数n 的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率
(A)会逐渐稳定于事件A 发生的
概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率
(A)估计概率P(A).
【知识点2 随机事件】
1．事件
(1)随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们
将样本空间
的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般
用大写字母A，B，C，
表示.在每次试验中，当且仅当A 中某个样本点出现时，称为事件A 发生.
(2)必然事件
A 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以
总会发生，我
们称
为必然事件.
(3)不可能事件
空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件.
2．事件的关系和运算
(1)两个事件的关系和运算
事件的关系
或运算
含义
符号表示
图形表示
包含
A 发生导致B 发生
并事件
（和事件）
A 与B 至少一个发生
或
交事件
（积事件）
A 与B 同时发生
或
互斥
（互不相
容）
A 与B 不能同时发生
互为对立
A 与B 有且仅有一个发生
，
(2)多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，
，A∪B∪C∪
(或
A+B+C+
)发生当且仅当A，B，C，
中至少一个发生，A∩B∩C∩
(或ABC
)发生当且仅当A，B，C，
同时发生.
2
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【知识点3 随机事件的关系与概率】
1．互斥事件、对立事件的判断
判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有
且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
2．互斥事件的概率求法
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公
式计算；
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1—P(A)求出所求概率，特别是“至
多”“至少”型题目，用间接求法比较简便.
【方法技巧与总结】
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A 的对立事件
所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集.
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
.
【题型1 随机事件与样本空间】
【例1】（23-24 高二·上海·课堂例题）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三
个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b 都不为0，但a
2+b
2=0；④某地区明年7 月的降
雨量高于今年7 月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④
B．①②③
C．②③④
D．②④
【解题思路】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.
【解答过程】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件；
三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件；
实数a，b 都不为0，则a
2+b
2≠0，③是不可能事件；
某地区明年7 月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7 月的降雨量高还是低，④是随机事件，
所以在给定的4 个事件中，①④是随机事件.
故选：A.
【变式1-1】（23-24 高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从A，B，C，D，E 这五名班干部中选两人代
表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
3
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【解题思路】根据题意结合列举法运算求解.
【解答过程】从A，B，C，D，E 五人中选两人，
不同的选法有：( A ,B),( A ,C),( A , D),( A , E),(B ,C),(B , D),(B , E),(C , D),(C , E),(D , E)，
所以样本空间中样本点的个数为10．
故选：B.
【变式1-2】（24-25 高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x 为某一实数时，可使x
2<0”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从100 个灯泡中取出5 个，5 个都是次品”是随机事件．
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断
【解答过程】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3 个分成两部分，其中一部分1 个球，另一部分
2 个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确，
对于②，“当x 为某一实数时，可使x
2<0”是不可能事件，所以②正确，
对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误，
对于④，“从100 个灯泡中取出5 个，5 个都是次品”是随机事件，所以④正确，
故选：C.
【变式1-3】（2024 高一下·全国·专题练习）下列事件为随机事件的是（ ）
A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7
B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7
C．下周日下雨
D．没有水和空气，人也可以生存下去
【解题思路】根据随机事件的定义即可结合选项逐一求解.
【解答过程】A 中事件为必然事件；B，D 中事件为不可能事件；C 中事件为随机事件．
故选：C.
【题型2 随机事件的关系与运算】
【例2】（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件A，“点
数之和为4 的倍数”是事件B，则（ ）
A．A + B为不可能事件
B．A与B为互斥事件
C．AB为必然事件
D．A与B为对立事件
4
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【解题思路】利用事件的基本关系判断即可.
【解答过程】同时抛掷两颗骰子，有36 个结果，
“点数之和为5”是事件A有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共有4 种情况；
“点数之和为4 的倍数”是事件B有(1,3),(3,1),(2,2),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(6,6),共有9 种情况；
对于选项A: A + B表示“点数之和为5 或是4 的倍数”， 不是不可能事件.故A 错误；
对于选项B：A 与B 不可能同时发生．故B 正确；
对于选项C：AB表示“点数之和为5 且是4 的倍数”，是不可能事件，故C 错误；
对于选项D：A与B不能包含全部基本事件，故D 错误.
故选:B．
【变式2-1】（2024·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1 表示“骰子向上的点数为奇
数”，事件2 表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3 表示“骰子向上的点数大于3”，事件4 表示“骰子
向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1 与事件3 互斥
B．事件1 与事件2 互为对立事件
C．事件2 与事件3 互斥
D．事件3 与事件4 互为对立事件
【解题思路】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.
【解答过程】由题可知，事件1 可表示为：A = {1,3,5},事件2 可表示为：B = {2,4,6},
事件3 可表示为：C = {4,5,6},事件4 可表示为：D = {1,2},
因为A ∩C = {5}，所以事件1 与事件3 不互斥，A 错误；
因为A ∩B为不可能事件，A ∪B为必然事件，
所以事件1 与事件2 互为对立事件，B 正确；
因为B∩C = {4,6}，所以事件2 与事件3 不互斥，C 错误；
因为C ∩D为不可能事件，C ∪D不为必然事件，
所以事件3 与事件4 不互为对立事件，D 错误；
故选：B.
【变式2-2】（2024·四川内江·三模）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
【解题思路】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案.
【解答过程】一个人连续射击2次，其可能结果为击中0次，击中1次，击中2次，
5
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其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次，
事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A 错误；
事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，
事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B 错误；
事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C 错误；
事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D 正确；
故选：D.
【变式2-3】（2024·广西柳州·模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那
么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一本政治与都是数学
B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学
D．恰有1 本政治与恰有2 本政治
【解题思路】总的可能的结果为“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，然后写出各个事
件包含的事件，结合互斥事件与对立事件的概念，即可得出答案.
【解答过程】从装有2 本数学和2 本政治的四本书内任取2 本书，
可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，
“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.
对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A 错误；
对于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B 错
误；
对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包
含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C 错误；
对于D，“恰有1 本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2 本政治”是互斥事件，但是
不对立，故D 正确.
故选:D.
【题型3 互斥事件与对立事件的概率】
【例3】（23-24 高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B 满足P( A )= 1
3，P(B)= 3
4 ，P( A ∪B)= 5
6 ，
则P( A ∩B)=（ ）
A．1
16
B．1
8
C．3
16
D．1
4
【解题思路】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得.
6
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【解答过程】依题意，P( A ∩B)= P( A)+ P(B)−P( A ∪B)= 1
3 + 3
4 −5
6 = 1
4 .
故选：D.
【变式3-1】（23-24 高一下·江苏常州·期末）已知事件A ,B互斥，它们都不发生的概率为1
3，且
P( A)=2 P(B)，则P( A )=（ ）
A．1
3
B．4
9
C．5
9
D．2
3
【解题思路】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解.
【解答过程】由事件A ,B互斥，且A ,B都不发生为1
3，则P( A ∪B)= P( A )+ P(B)=1−1
3 = 2
3，
又P( A)=2 P(B)，所以2 P(B)+ P(B)= 2
3，解得P(B)= 2
9，P( A)= 4
9 ，
所以P( A)=1−P( A )= 5
9.
故选：C.
【变式3-2】（23-24 高一下·广东肇庆·期末）已知样本空间Ω= {1,2,3,4}，事件A = {1,2}，B = {2,3}，则
P( A ∪B)=（ ）
A．3
4
B．1
2
C．1
4
D．1
6
【解题思路】根据题意，由概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为Ω= {1,2,3,4}，且事件A = {1,2}，B = {2,3}，则A ∪B = {1,2,3}，
所以P( A ∪B)= 3
4 .
故选：A.
【变式3-3】（23-24 高一下·北京·期末）已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8, P(B)=0.3，
则P( A ∪B)=（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
【解题思路】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可.
【解答过程】由A和C对立，P(C)=0.8，可得P( A)+ P(C)=1，解得P( A)=0.2，
又由随机事件A和B互斥可知P( AB)=0，
由P( A ∪B)= P( A)+ P(B)−P( AB)，
将P( A)=0.2, P(B)=0.3代入计算可得P( A ∪B)=0.5.
7
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故选：D.
【题型4 频率与概率】
【例4】（23-24 高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性
C．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率
D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
【解题思路】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断.
【解答过程】频率与概率不是同一个概念，故A 错误；
在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B 错误；
随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故C 正确；
在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D 错误．
故选：C．
【变式4-1】（23-24 高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，
对随机抽出的200 名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问
题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50 个
白球和50 个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1 个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球
的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个
小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56 个，则该地区中学生吸烟人数的比例
约为（ ）
A．2%
B．3%
C．6%
D．8%
【解题思路】由概率得出这100 个回答第一个问题的学生中，约有50 人回答了“是”，结合题设条件，估
计第二个问题有6人回答了“是”，从而得出所占比例.
【解答过程】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50 个白球和50 个红球的袋子中，
随机摸出1 个球，摸到白球和红球的概率都为1
2，
因此，这200 人中，回答了第一个问题的有100 人，
而一年12 个月中，奇数的占一半，
所以对第一个问题回答“是”的概率为1
2
所以这100 个回答第一个问题的学生中，约有50 人回答了“是”，
8
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从而可以估计，在回答第二个问题的100 人中，约有56−50=6人回答了“是”，
所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为6 %．
故选：C.
【变式4-2】（23-24 高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为3
4 ，则比赛4 场，甲一定胜3 场
B．概率是随机的，在试验前不能确定
C．事件A，B满足A ⊆B，则P( A)< P(B)
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
【解题思路】根据概率的定义及性质判断即可.
【解答过程】对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为3
4 ，是指每场比赛，甲胜的可能性为3
4 ，
则比赛4场，甲可能胜4场、3 场、2 场、1 场、0 场，故A 错误；
对于B，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B 错误；
对于C：事件A，B满足A ⊆B，则P( A)≤P(B)，故C 错误；
对于D，天气预报中，预报明天降水概率为90 %，是指降水的可能性是90 %，故D 正确.
故选：D.
【变式4-3】（2024 高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．一个人打靶，打了10 发子弹，有7 发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是7
10
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6 次，一定有3 次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100 元钱买彩票，一定会有47 元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
【解题思路】利用概率的定义和估计方法逐个选项分析求解即可.
【解答过程】对于A，可得中靶的结果是频率，不是概率；故错误，
对于B，C，太过绝对，故错误，
对于D，符合概率的估算方法，故正确．
故选：D.
【题型5 生活中的概率】
【例5】（23-24 高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188 元就送一次抽
奖机会，中奖的概率为15 %，则下列说法正确的是（ ）
A．某人抽奖100 次，一定能中奖15 次
B．某人抽奖200 次，至少能中奖3 次
9
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C．某人抽奖1 次，一定不能中奖
D．某人抽奖20 次，可能1 次也没中奖
【解题思路】中奖的概率为15 %，只能说有15 %中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判
断即可.
【解答过程】中奖的概率为15 %，与抽的次数无关，只是有15 %中奖的可能性，
故选：D．
【变式5-1】（23-24 高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为
1
1000，买1000 张这种彩票一定能中奖
C．连续100 次掷一枚硬币，结果出现了49 次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为49
100
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降
水，30%认为明天不会降水
【解题思路】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解.
【解答过程】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，
概率是频率的稳定值，故A 正确，
对于B, 某种福利彩票的中奖概率为
1
1000，买1000 张这种彩票不一定中奖，故B 错误，
对于C, 连续100 次掷一枚硬币，结果出现了49 次反面，则在100 此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面
的频率为49
100，而掷一枚硬币出现反面的概率为1
2，故C 错误，
对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D 错误，
故选：A.
【变式5-2】（24-25 高二·全国·课后作业）张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是( )
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6 或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A．①②B．②
C．②③④
D．①②③④
【解题思路】根据题意，逐项判断即可.
【解答过程】①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为1
2，所以公平；
10
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②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平.
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为1
2，所以公平；
④张明、张华两人各写一个数字6 或8,一共四种情况(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，两人写的数字相同和不同是等可
能的，均为1
2，所以公平；.
故选B.
【变式5-3】（2024·河南·二模）三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预
报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（ ）
A．动力学方程的知识
B．概率与统计的知识
C．气象预报模型的知识
D．迷信求助于神灵
【解题思路】应用丰富的气象观测经验，预报天气，属于经验预报法，可知诸葛亮应用的是概率与统计的
知识.
【解答过程】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，
属于气象业务实践中的经验预报法，利用的是概率与统计的知识.
并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识.
故选：B.
【题型6 频率估计概率在统计中的应用】
【例6】（23-24 高一上·广东梅州·开学考试）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出
现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上的概率；
B．掷一枚正六面体的骰子，出现1 点的概率；
C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率；
D．从装有2 个红球和1 个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率．
【解题思路】先根据频率和概率的关系得到概率为P = 1
3，再对四个选项一一判断得到D 正确.
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【解答过程】根据统计图可知，实验结果在0.33 附近波动，即其概率P= 1
3，
选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为1
2，故此选项不符合题意；
选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1 点的概率为1
6，故此选项不符合题意；
选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为2
3，故此选项不符合题意；
选项D，从装有2 个红球和1 个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为1
3，
故此选项符合题意；
故选：D.
【变式6-1】（2024·四川绵阳·三模）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000 个零件进行一项质量指
标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．a=0.005
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1 个零件，其质量指标在[50,70)的概率约为0.5
【解题思路】利用各组的频率之和为1，求得a的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频
率估计概率值，从而判定D.
【解答过程】(a+0.035+0.030+0.020+0.010)×10=1，解得a=0.005，故A 正确；
频率最大的一组为第二组，中间值为40+50
2
= 45，所以众数为45，故B 正确；
质量指标大于等于60 的有两组，频率之和为(0.020+0.010)×10=0.3<0.5，所以60 不是中位数，故C 错
误；
由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为(0.03+0.02)×10=0.5，可以近似认为从这批产品中随机选取1
个零件，其质量指标在[50,70)的概率约为0.5，故D 正确.
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故选：C.
【变式6-2】（2024·甘肃陇南·一模）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为
A ,B ,C三个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费80 元，50 元，
30 元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为40 元/件，乙分厂加工成本费为35
元/件．该厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100 件这种产品，并统计了这些产
品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
频数
4
5
30
25
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
频数
4
0
10
50
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，该厂家应选哪个分厂承接
加工业务？
【解题思路】（1）用频率来估算概率，然后求解即可；
（2）根据题意计算平均利润即可.
【解答过程】（1）解：（1）由表可知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为45
100 =0.45，
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为40
100 =0.4．
（2）甲分厂加工100 件产品的总利润为45×(80−40)+30×(50−40)+25×(30−40)=1850元，
所以甲分厂加工100 件产品的平均利润为18.5 元，
乙分厂加工100 件产品的总利润为40×(80−35)+10×(50−35)+50×(30−35)=1700元，
所以乙分厂加工100 件产品的平均利润为17 元．
故该厂家应选甲分厂承接加工业务．
【变式6-3】（23-24 高一上·福建宁德·期末）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如下该
种产品日需求量的频率分布直方图．
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(1)求图中a 的值，并估计日需求量的众数；
(2)某日，经销商购进130 件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1 件能获利30 元，未售出的部分，
每件亏损20 元．设当天需求量为x件（100≤x ≤150），纯利润为S 元．
（ⅰ）将S 表示为x的函数；
（ⅱ）据频率分布直方图估计当天纯利润S 不少于3400 元的概率．
【解题思路】（1）利用频率分布直方图中所有的小长方形的面积之和为一求出a的值，利用直方图中最高
的小长方形底边的中点的横坐标求出众数；
（2）（ⅰ）设当天的需求量为x件，讨论x ≥130、100≤x<130，写出函数分段形式；
（ⅱ）由（ⅰ）中所得函数解出纯利润S不少于3400元时x的范围，再利用直方图中频率估计相应的概率
值.
【解答过程】（1）由直方图可知：(0.013+0.017+0.03+a+0.015)×10=1，可得a=0.025.
由图知：频率最高出现在[120,130)，则众数为120+130
2
=125件.
（2）（ⅰ）当100≤x<130时，S =30 x−20(130−x)=50 x−2600,
当130≤x ≤150时，S =30×130=3900,
∴S =¿.
（ⅱ）若50 x−2600 ≥3400得：x ≥120，又100≤x ≤150，所以120≤x ≤150.
由直方图知：120≤x ≤150对应频率是(0.030+0.025+0.015)×10=0.7，
所以估计当天纯利润S 不少于3400 元的概率是0.7.
一、单选题
1．（24-25 高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为Ω= {0,1,2}，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件P = {1,2}是随机事件
B．事件Q = {0,1,2}是必然事件
C．事件M = {−1,−2}是不可能事件
D．事件{−1,0}是随机事件
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【解题思路】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.
【解答过程】随机试验的样本空间为Ω= {0,1,2}，
则事件P = {1,2}是随机事件，故A 正确；
事件Q = {0,1,2}是必然事件，故B 正确；
事件M = {−1,−2}是不可能事件，故C 正确；
事件{−1,0}是不可能事件，故D 错误.
故选：D.
2．（24-25 高二上·四川成都·阶段练习）下列说法一定正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．随机事件发生的概率与试验次数无关
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．一个骰子掷一次得到2 的概率是1
6，则掷6 次一定会出现一次2
【解题思路】根据频率与概率的关系得到ACD 错误，B 正确.
【解答过程】A 选项，一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，也可能出现三投都不中的情况，
A 错误；
B 选项，随机事件发生的概率是一个固定的值，与试验次数无关，B 正确；
C 选项，若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票不一定会中奖一元，C 错误；
D 选项，一个骰子掷一次得到2 的概率是1
6，掷6 次出现2 的次数不确定，可能是1 次，也可能是2 次或者
其他次数，D 错误.
故选：B.
3．（23-24 高二上·四川巴中·期末）如图，由A，B 两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列
事件为必然事件的是（ ）
A．A 灯亮，B 灯不亮
B．A 灯不亮，B 灯亮
C．A，B 两盏灯均亮
D．A，B 两盏灯均不亮
【解题思路】根据并联电路的特点及必然事件的概念判断即可.
【解答过程】由A，B 两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B 两盏灯均亮.
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故选：C.
4．（24-25 高三上·重庆·开学考试）某池塘中饲养了A､B 两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均
匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20 尾鱼，
则品种A 约有（ ）
采样
点
品种A
品种B
东
20
9
南
7
3
西
17
8
A．6 尾
B．10 尾
C．13 尾
D．17 尾
【解题思路】根据鱼群在池塘里是均匀分布的，利用频率求解.
【解答过程】解：因为鱼群在池塘里是均匀分布的，
所以品种A 约所占比为：
20+7+17
20+7+17+9+3+8 = 11
16 ，
所以在采样点北捕捞到20 尾鱼，则品种A 约有11
16 ×20≈13尾，
故选：C.
5．（2024·浙江温州·三模）设A ,B为同一试验中的两个随机事件，则“P( A)+ P(B)=1”是“事件A ,B
互为对立事件”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据对立事件概率的性质可以说明条件是必要的，容易给出反例说明条件不是充分的.
【解答过程】若A ,B互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到P( A)+ P(B)=1，故条件是必要的；
若试验基本事件含3 种及以上，其中A ,B表示概率为1
2的两个不同事件，
则A ,B不互为对立事件，此时P( A)+ P(B)= 1
2 + 1
2 =1，故条件不是充分的.
故选：B.
6．（2024·湖南岳阳·模拟预测）从1，2，3，4，5 中任取2 个数，设事件A =“2 个数都为偶数”，B =“2
个数都为奇数”，C =“至少1 个数为奇数”，D =“至多1 个数为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与B是互斥事件
B．A与C是互斥但不对立事件
C．B与D是互斥但不对立事件
D．C与D是对立事件
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【解题思路】根据互斥事件和对立事件的定义判断.
【解答过程】根据题意
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),}
A ={(2,4)},B ={(1,3),(1,5),(3,5)},
C ={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),}，
D ={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(2,5),(4,5),(2,4)},
则A ∩B =∅，所以A与B是互斥事件，A 正确；
A ∩C =∅, A ∪C = Ω，所以A与C是互斥且对立事件，B 错误；
B∩D =∅,B∪D = Ω，所以B与D是互斥且对立事件，C 错误；
C ∩D ={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(2,5),(4,5)},所以C与D不是对立事件，D 错误.
故选：A.
7．（23-24 高二上·湖北荆州·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6．我们通过
设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1~5之间的随机数：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5 表示下雨，用2，4 表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ）
A．9
20
B．1
2
C．11
20
D．13
20
【解题思路】由样本数据，利用频率近似估计概率.
【解答过程】设事件A =“三天中至少有两天下雨”，20 个随机数中，
至少有两天下雨有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354，
即事件A发生了13 次，用频率估计事件A的概率近似为13
20．
故选：D．
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100 天
每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得
出了下列结论，其中正确的是（ ）
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A．估计该学生每日完成作业的时间在2 小时至2.5 小时的有50 天
B．估计该学生每日完成作业时间超过3 小时的概率为0.3
C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625 小时
D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3 小时
【解题思路】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解.
【解答过程】对于A，该学生每日完成作业的时间在2 小时至2.5 小时的天数为：0.5×0.5×100=25天，
故A 错误；
对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3 小时的概率为(0.3+0.2+0.1+0.1)×0.5=0.35，故B 错误；
对于C，[1,2.5)的频率为(0.1+0.3+0.5)×0.5=0.45，[1,3)的频率为0.45+0.4×0.5=0.65，
则该学生每日完成作业时间的中位数为2.5+ 0.5−0.45
0.2
×0.5=2.625，故C 正确；
对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为2+2.5
2
=2.25，故D 错误；
故选：C.
二、多选题
9．（23-24 高一下·内蒙古通辽·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天北京市不下雨
B．在标准大气压下，水在4℃时结冰
C．早晨太阳从东方升起
D．x∈R，则|x|的值不小于0
【解题思路】运用必然事件的概念判断即可.
【解答过程】A 为随机事件，B 为不可能事件，C，D 为必然事件．
故选:CD.
10．（2024·全国·模拟预测）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班
学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120 分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示：
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班级
（1）
（2）
（3）
优秀率
80%
85%
75%
则下列说法一定正确的是（ ）
A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高
B．（3）班的学生人数不一定最少
C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80%
D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）
班人数
【解题思路】由题目表格中的数据，逐一判断选项，可得答案.
【解答过程】选项A：显然（2）班学生的数学成绩的优秀率最高，故A 正确；
选项B：只根据优秀率的大小，无法比较每个班人数的多少，故B 正确；
选项C：该年级全体学生数学成绩的优秀率为全年级数学成绩优秀的学生人数与全年级学生总人数之比，
由于各班的学生人数不知道，所以不能计算该年级全体学生数学成绩的优秀率，故C 错误；
选项D：设（1）班、（2）班数学成绩优秀的人数分别为x，y，（1）班、（2）班人数分别为a，b，
则x
a =80 %，y
b =85 %，得x =80 % a，y =85 % b，又（1）班和（2）班放在一起统计的优秀率为83%，
即x + y
a+b =83 %，即80 % a+85 %b
a+b
=83%，即80a+85b=83a+83b，得2b=3a，则a<b，故D 错误．
故选:AB.
11．（2024·河北沧州·一模）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展
览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；
事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下
列说法正确的是（ ）
A．A与D是互斥事件
B．B与E是对立事件
C．E =C ∪D
D．A =C ∩E
【解题思路】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB 的真假，根据事件的交、并的概念判断CD 的真假.
【解答过程】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件A：只参加科技游艺活动，
与事件D：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A 正确；
对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件B和事件E满足两个特点，故B 正确；
对C：C ∪D表示：至多参加一种科普活动，即为事件E，故C 正确；
对D：C ∩E表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D 错误.
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故选：ABC.
三、填空题
12．（23-24 高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用ai表示“第i枚硬币正面朝上”，bi表示
“第i枚硬币反面朝上”(i=1,2)，则该试验的样本空间Ω= {(a1a2),(a1b2),(b1a2),(b1b2)} ．
【解题思路】按照a1表示“第1枚硬币正面朝上”， a2表示“第2枚硬币正面朝上”，b1表示“第1枚硬币
反面朝上” ，b2表示“第2枚硬币反面朝上”写出即可．
【解答过程】事件空间： {(a1a2),(a1b2),(b1a2),(b1b2)}.
故答案为：{(a1a2),(a1b2),(b1a2),(b1b2)}.
13．（2024·全国·模拟预测）设A ,B是随机事件，且P( A)= 3
8 , P(B)= 3
4 , P( A ∪B)= 1
2，则P( A ∩B)=
1
8 ．
【解题思路】求出P(B)= 1
4 ，从而根据事件的运算关系求出概率.
【解答过程】因为P(B)= 3
4 ，所以P(B)=1−P(B)= 1
4 ，
故P( A ∩B)= P( A)+ P(B)−P( A ∪B)= 3
8 + 1
4 −1
2 = 1
8．
故答案为：1
8.
14．（2024·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方
法调查了10000人，已知非吸烟者占比75 %，吸烟者中患肺癌的有63人，根据统计结果表明，吸烟者患肺
癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的4.2倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是 45 ．
【解题思路】设非吸烟者患肺癌的概率为x，根据题意列出方程，求出x，即可得到答案
【解答过程】本次研究调查中，非吸烟者有7500 人，吸烟者样本量有2500 人，
设非吸烟者患肺癌的人数是x人，则63
2500 = 4.2×
x
7500，x = 45，
因此，本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数为45 人．
故答案为：45.
四、解答题
20
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15．（23-24 高二·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确
定性现象与随机现象的例子．
（1）明天太阳升起；
（2）明天上海局部地区下雨；
（3）明年小明又大一岁；
（4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯．
【解题思路】利用随机现象、确定性现象的意义直接判断即可.
【解答过程】（1）明天太阳升起是确定性现象；
（2）明天上海局部地区下雨是随机现象；
（3）明年小明又大一岁是确定性现象.
（4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯是随机现象.
如：导体通电时发热、抛一块石头下落都是确定性现象；
掷一枚硬币出现正面、某人射击一次中靶、一个电影院某天的上座率超过50%都是随机现象.
16．（24-25 高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件A：“出现奇数点”，事件B：
“出现偶数点”，事件C：“点数小于3”，事件D：“点数大于2”，事件E：“点数是3的倍数”.求：
(1)A ∩B，B∩C；
(2)A ∪B，B∪C；
(3)D，A ∩C，B∪C，D∪E.
【解题思路】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可；
（2）根据并事件（和事件）的概念求解即可；
（3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可.
【解答过程】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子，样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}，
事件包含的样本点为A ={1,3,5},B ={2,4,6},C ={1,2}, D ={3,4,5,6}, E ={3,6}.
故A ∩B =∅,B∩C ={2}.
（2）由（1）知，A ∪B ={1,2,3,4,5,6},B∪C ={1,2,4,6}.
（3）由（1）知，D ={1,2}, A ={2,4,6},B ={1,3,5}, E ={1,2,4,5},
故A ∩C ={2},B∪C ={1,2,3,5}, D∪E ={1,2,4,5}.
17．（24-25 高二上·山东青岛·阶段练习）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100 位从
A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间（分
钟）
[10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
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选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试用频率估计概率，估计40 分钟内不能赶到火车站的概率：
(2)现甲、乙两人分别有40 分钟和50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车
站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
【解题思路】（1）根据频数计算频率即可；
（2）分别计算两个时间段的概率，比较概率的大小可得结论.
【解答过程】（1）调查的100 人，其中40 分钟内不能赶到火车站有：12+12+16+ 4 = 44（人），
因此40 分钟内不能赶到火车站的频率为0.44，
用频率估计概率，所以40 分钟内不能赶到火车站的概率为0.44.
（2）设A1, A2分别表示甲选择L1和L2时，在40 分钟内赶到火车站；
B1,B2分别表示乙选择L1和L2时，在50 分钟内赶到火车站，
依题意，P( A1)= 6
60 + 12
60 + 18
60 =0.6，P( A2)= 4
40 + 16
40 =0.5，
由P( A1)> P( A2)，得甲应选择路径L1；
P(B1)= 6
60 + 12
60 + 18
60 + 12
60 =0.8，P(B2)= 4
40 + 16
40 + 16
40 =0.9，
由P(B1)< P(B2)，得乙应选择路径L2，
所以甲应选择路径L1，乙应选择路径L2.
18．（2024 高三下·全国·专题练习）某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事
件B 为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报
纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A 与C；
(2)B 与C；
(3)B 与D；
(4)B 与E；
(5)A 与E．
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【解题思路】根据是否可能同时发生→判断是否互斥→是否必有一个发生→判断是否对立，即可逐一求解.
【解答过程】（1）由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，
即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．
（2）事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．
事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．
也就是说事件B 与事件C 可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．
（3）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，
也就是说事件B 和事件D 有可能同时发生，故B 与D 不是互斥事件．
（4）由于事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，
故B 与E 是互斥事件；由于事件B 与事件E 必有一个发生，故B 与E 是对立事件．
（5）事件A“只订甲报”与事件E“一种报纸也不订”不可能同时发生，
故A 与E 是互斥事件，但A 与E 不是必有一个发生，比如“只订乙报”，故A 与E 不是对立事件．
19．（23-24 高二上·黑龙江·期中）某校 1 200 名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为 100 分），
为了分析这次数学测验的成绩， 从这1200 人的数学成绩中随机抽取200 人的成绩绘制成如下的统计表，
请根据表中提供的信息解决下列问题：
成绩分
组
频数
频率
平均分
[0,20)
3
0.015
16
[20,40)
a
b
32.1
[40,60)
25
0.125
55
[60,80)
c
0.5
74
[80,100)
62
0.31
88
(1)求 a，b，c 的值；
(2)如果从这1200 名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60 分及 60
分以上为及格）.
【解题思路】（1）根据统计图中数据分析得到a，b，c 的值；
（2）计算出抽取的200 人的成绩中，数学测验及格的频率，从而估计出这名学生该次数学测验及格的概率.
【解答过程】（1）c
200 =0.5，解得c =100，
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故a=200−3−25−100−62=10，b= 10
200 =0.05，
（2）抽取的200 人的成绩中，数学测验及格的频率为0.5+0.31=0.81，
故估计这名学生该次数学测验及格的概率P =0.81.
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