文档文本内容
专项 07 解答题 多模块综合考查 12 大题型
（三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、导数、概率统计）
内容导航
【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，多模块综合解答题是高考常考题型，多为压轴题，总分值约为15-17分．
命题趋势：
解答题：主要是从三角函数、立体几何、数列、圆锥曲线、导数、概率统计这六大知识板块中,选取若
干个知识板块综合在一起命题,打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合.
2026年预测：解答题极可能会以导数或数列为载体，与其他知识板块交汇考查，应该予以重视.
备考核心：抓模块衔接点，以函数导数为工具，解析几何、数列、三角、立体几何为载体，熟练联立方
程、构造函数、递推转化。规范步骤，强化计算与分类讨论，注重条件翻译与模型识别，限时训练提升熟
练度.题型01 导数与三角函数综合
析典例 · 建模型
1．（25-26高三下·北京·月考）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数a的值.
(2)当 ， 时，
①记 的零点个数为m，极小值点个数为n，证明： ：
②记①中的极小值点为 ，零点为 ，证明： ．
研考点 · 通技法
1. 先化简三角函数，利用恒等变形统一函数名与角，再求导.
2．求导后结合三角公式整理，转化为二次函数或基本三角函数型.
3．利用导数符号判断单调性、求极值与最值，注意定义域限制.
4．涉及零点、不等式时，构造函数，结合单调性与放缩证明.
5．牢记三角函数有界性与周期性，合理确定讨论区间.
破类题 · 提能力1．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知函数 .
(1)求 的图象在 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值；
(3)若 ， 有三个极值点，求实数 的范围.
2．（25-26高三上·四川眉山·期末）已知函数 .（
(1)当 时， 最小正周期为 ，求函数 在 处的切线方程.
(2)当 在 上恰好有1351个解，求 的取值范围.
(3)已知 时，满足 ，若 时， ，且 是 的极
大值点，求 的取值范围.题型02 导数与解三角形的综合
析典例 · 建模型
1．（2026·四川成都·模拟）记斜 的内角 的对边分别为 ，已知
，且 .
(1)求角 ；
(2) 为边 的中点，若 ，求 的面积；
(3)如图所示， 是 外一点，若 ，且 ，记 的周长为 ，
求 的取值范围.研考点 · 通技法
先利用解三角形知识（正余弦定理、面积公式）建立边长与角的函数关系.再对函数求导，通过导
数符号判断单调性，确定极值与最值.处理范围问题时，结合三角形内角范围、边长约束限定自变量区
间.涉及边角最值时，将问题转化为导数研究函数值域问题，注意隐含的三角不等式与定义域限制，最
后验证端点与极值点取值.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·河北衡水·期末）在 中， .
(1)求 ；
(2)点 记为 的延长线上存在一列点 ，记
，且 .
（i）证明： ；
（ii）证明： .
题型03 导数与数列的综合析典例 · 建模型
1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）已知函数 .
(1)若 在定义域上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若关于 的方程 的根为 ，
①求证: ；
②判断数列 中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断.
研考点 · 通技法
先构造函数，将数列通项视为函数离散取值，用导数研究单调性以判断数列增减.借助函数最值、
不等式放缩，解决数列通项、求和及范围问题.利用导数求切线、零点，推导递推关系或通项公式.结合
函数凹凸性比较项的大小，证明数列不等式.注意离散与连续的区别，验证端点与整数点取值，综合单
调性与放缩法完成求解.破类题 · 提能力
1．（2026·辽宁鞍山·二模）已知函数 ．
(1)证明：当 时， ；
(2)设 在 上的零点从小到大构成有穷数列 ．
（i）求数列 的项数 ；
（ii）求证： ．
2．（25-26高三下·山东济南·模拟）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明：
题型04 解三角形与数列综合
析典例 · 建模型1．（25-26高三下·重庆·月考）点 是直线 外一点，点 在直线 上(点 与点 任一点不重
合 ). 若 点 在 线 段 上 ， 记 ; 若 点 在 线 段 外 ， 记
. 记 . 记 的 内 角 的 对 边 分 别 为
为 中点， 为射线 上的点， 为 的平分线.
(1)若 ，求 ；
(2)射线 上的点 满足 ，
(i)求 的最小值;
(ii)若 ，记 ，求证:数列 的前 项和 .
研考点 · 通技法
1．先用正弦定理、余弦定理将三角形边角关系转化为边或角的等式.
2．结合数列定义（等差、等比），把边角条件转化为数列递推或通项关系.
3．利用数列性质（等差中项、等比中项、通项公式）建立方程求解.
4．求范围或最值时，结合三角形内角范围、边长约束与数列单调性分析.5．规范书写边角与数列的联系，注意三角形存在性条件与数列整数项限制.
破类题 · 提能力
1．（25-26 高三上·江苏宿迁·月考）记 的内角 的对边分别为 .
， ， .已知 ，且 .
(1)证明： 均为无穷数列；
(2)若 ，求 的通项公式；
(3)当 时，对于任意 ， 的周长均小于 ，求 的最小值.
题型05 立体几何与解三角形综合
析典例 · 建模型
1．（2026·福建福州·模拟预测）如图 1，圆内接四边形 中， 为等腰直角三角形，且
， ， .(1)求 的长；
(2)如图2，将 沿 翻折，形成四面体 ，当 时，
（i）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（ii）找出一组依次排列的四个相互平行的平面 ， ， ， 使得 ， ， ，
，且其中每相邻两个平面间的距离都相等，并求出相邻两个平面间的距离.
研考点 · 通技法
1． 先在立体图形中锁定目标三角形，找准线面角、二面角等空间角.
2． 利用线面垂直、面面垂直关系，构造直角三角形.
3． 对目标三角形应用正弦定理、余弦定理，计算边长或角度.
4． 结合空间距离、投影关系，确定三角形的边长与高.
5． 注意检验空间位置关系，保证三角形边长与角度符合几何约束.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·安徽安庆·月考）.如图，正方形 的边长为 分别为边 上的点.
(1)若 是等边三角形，求 的面积
(2) 的周长为 ，（i）求 的大小：
（ii）若 是 的中点，设 为 的面积，将 沿 折成直二面角 ，
求当 取最小值时，直线 与平面 所成角的正弦值.
题型06 立体几何与数列综合
析典例 · 建模型
1．（2026·湖南·一模）在空间中，从原点 引出三条射线 ， ， ，其两两之间的夹角均为 ．
设空间点列 ： 在 上，且 ． 在 上，且满足 ， 在 上，且满足
， 在 上，满足 ，以此类推，即 在 上，则 在 上，且满足 ，其
中射线 满足 与 重合．
(1)证明： 为等比数列，并求 的前 项和 ；
(2)是否存在实数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
(3)求 的通项公式，并证明：当 时，点 始终在以 为球心，1为半径的球内．研考点 · 通技法
1．依据空间几何体的相似、分割或递推特征，提炼边长、面积、体积的递推关系.
2．将空间几何量转化为数列项，判断等差或等比类型，求出通项公式.
3．借助线面位置关系确定几何约束，完善数列递推式与定义域.
4．利用数列求和、单调性求解空间最值与范围问题.
5．结合空间直观图检验结果，排除不符合几何实际的解.
破类题 · 提能力
1．（2026·四川成都·二模）如图，在四棱锥 中，底面 为长方形， 底面 ，
，E为线段 的中点，F为线段 上的动点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)当F为 中点时，平面 与平面 所成二面角夹角的余弦值为 ．
（i）求 的长度；
（ii）有系列“二分球族”其中 为 中点， 为 中点，……， 为 中点，平面 截三棱锥 的外接球 的图形为 ， 的面积为 ，其中 ，2，……，n，请问数列 中
是否存在3项成等差数列，请说明理由．
题型07 立体几何与圆锥曲线的综合
析典例 · 建模型
1．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）如图，已知圆锥 的高 与母线所成的角为 ，过
的平面与圆锥的高所成的角为 ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆C，椭圆C的长轴为 ，短
轴为 ，长轴长为2a，C的中心为N，再以 为弦且垂直于 的圆截面，记该圆与直线 交于
，与直线 交于 ，(1)用 分别表示
(2)若 ，
（ⅰ）求椭圆C的焦距；
（ⅱ）椭圆C左右焦点分别为 ，C上不同两点D，E在长轴同侧，且 ，设直线
交于点Q，记 ，设 ，请写出 的解析式（不要求求出定义域）．
研考点 · 通技法
1．建立空间直角坐标系，将立体几何中的点、线、面坐标化.
2．利用空间垂直、平行、距离等条件，确定圆锥曲线的基本量.
3．结合椭圆、双曲线、抛物线定义与标准方程，列出轨迹方程.
4．通过坐标运算求解线面角、距离及交点问题.
5．兼顾空间几何约束与曲线范围，验证结果合理性.
破类题 · 提能力1．（2026·四川凉山·二模）如图，在三棱柱 中， ， ，二面角
的平面角为 ，点 在平面 上的射影为点 .
(1)若四边形 是矩形，求 ；
(2)若 ， .
①若 ，求直线 与平面 所成角的最大值；
②当点 在其轨迹上运动时，点 的轨迹是离心率为 的圆锥曲线，记数列 的前 项和为 ，
若 ，求 的最小值.
题型08 圆锥曲线与导数的综合
析典例 · 建模型1．（2025·辽宁·模拟预测）抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 的纵坐标为
，点 在 轴上， 轴，线段 的中点为 ，且 轴．
(1)求 的方程；
(2)已知 为 上三个不同的点，点 在第一象限．
（ⅰ）若点 在原点， ， ，点 的横坐标 满足 ，求 ．
（ⅱ）在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足 ，
， 的重心 在 轴上，求点 的坐标．
研考点 · 通技法
1. 设点坐标，写出圆锥曲线方程，利用几何条件列关系式.
2. 对曲线方程隐函数求导，得到切线斜率与切点关系.
3. 结合导数几何意义，求切线、法线方程及切点坐标.
4．用导数研究距离、面积等函数的单调性与最值.
5. 联立方程判别式判断位置关系，结合范围约束求解.
破类题 · 提能力
1．（25-26 高三上·重庆·期中）已知关于坐标旋转的结论：在平面直角坐标系 中，将任意向量
绕原点 ，沿逆时针方向旋转 角，会得到向量 .
(1)将 绕着原点 沿逆时针方向旋转 后得到 ，且 ，求 的坐标；(2)若 为曲线 上任意一点，将 绕着原点 沿逆时针方向旋转 后得到 ，记 点的轨迹曲
线为 .
（i）求 的方程；
（ii）若等腰直角 的三个顶点均在曲线 上，求 面积的最小值.
题型09 圆锥曲线与数列的综合
析典例 · 建模型
1．（2026·广东佛山·二模）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光
线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 （ ）的左顶点为 ，点 在E上，且在
x轴的上方，从E的左焦点 发出的光线 ，经过E反射后，交E于点 .按照如下方式依次
构造点 和 （ ）：光线 经过E反射后，交E于点 ；光线 经过E反射后，交
E于点 .
(1)求E的方程；
(2)设直线 的斜率为 ，求证：数列 是等比数列，并求出其公比；
(3)求证：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.研考点 · 通技法
1.利用圆锥曲线定义与几何性质，确定点坐标或弦长的递推关系.
2.将焦半径、弦长、面积等量转化为数列项，构造等差或等比数列.
3. 联立曲线与直线方程，结合韦达定理建立数列通项公式.
4. 借助数列求和、单调性求解最值或范围问题.
5. 结合曲线范围约束，检验数列解的几何合理性.
破类题 · 提能力
1．（2026·四川广安·二模）已知双曲线 的离心率为 ，点 为双曲
线 上的点，按如下方式依次构造点 （ 且 ），过点 作斜率为 的直线与双曲线 的
另一支交于点 ，点 关于 轴的对称点为 ，记 的坐标为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)证明 为等比数列；
(3)记 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 取何值时 最小．题型10 圆锥曲线与解三角形的综合
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为 上
一点，且 时， 的面积为 ．
(1)求 的方程；
(2)设 为 的左顶点，直线 过点 ，且与 交于B，C两点，直线AB，AC与 轴分别交于
点M，N，证明： 为定值．
研考点 · 通技法
1. 依托圆锥曲线定义与几何性质，确定三角形顶点与边长关系.
2. 联立曲线与直线方程，用韦达定理表示三角形边长.
3. 在焦点三角形中，结合余弦定理与曲线定义列式计算.
4. 利用正弦定理、面积公式求解角度与面积.
5. 结合曲线范围约束，检验解的有效性.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在直角坐标系 中， ，动点
与 两 点 构 成 中 角 的 对 边 分 别 为 ， 且 满 足.
(1)当 点运动时，探究 是否为定值，并求出动点 的轨迹方程.
(2)点 在点 的轨迹上且满足 ，求坐标原点 到直线 的距离.
2．（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）记椭圆 的左、右焦点分别为 为 上一
点， ，点 满足 ，且 不与 重合．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的外接圆半径；
(3)若 ，求 ．题型11 概率统计与数列的综合
析典例 · 建模型
1．（2026·陕西西安·模拟预测）某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时有2个节点在
线（假设在线的不再宕机），3个为宕机（停摆，不能正常工作），每个月系统随机等概率地巡查 1
个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功
的概率均为 ；若该节点已在线，则仅进行维护，用 表示第n个月后在线节点数，
表示其数学期望，
(1)当 时，求 ；
(2)证明： ．
研考点 · 通技法
1. 由概率模型建立事件递推关系，转化为数列递推式.
2. 利用概率性质确定首项，构造等差、等比或累乘型数列.
3. 求通项后计算对应概率、期望与方差.
4. 结合数列求和、极限分析概率趋势与稳定性.
5. 注意概率取值范围约束，验证结果合理性.
破类题 · 提能力
1．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种
词元 ， ，且生成词元总数不超过 .若生成 ，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到 .每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为 ， 的概率均为0.5，且各次预测相互
独立.审核规则如下：
①若预测中第一次出现词元 ，则审核后生成 ， 的概率均为0.5；
②若预测中第二次出现词元 ，则审核后必生成 ；
③若预测中出现词元 ，则审核后必生成 .
设 表示过程结束时生成词元的总个数.
(1)求 ， ；
(2)求 的分布列；
(3)求 .
2．（2026·辽宁丹东·一模）Base16 Encoding是网络数据传输中常用的编码技术，它将二进制数转换为十六
进制数，从而将冗长的二进制序列转换为更短、更规整的十六进制字符串，便于传输与解码．
(1)写出二进制数111001011101转换后的十六进制字符串（参考附2）；
(2)十六进制字符串由数字与字母组成，传输时，数字保持不变，字母替换为两个连续的“*”，得到加
密字符串（如5A6F3加密为 ）.设 位十六进制字符串加密后，其加密字符串的第 位为“ ”
的概率为 ．
（i）求 ， ，并证明数列 为常数列；
（ii）若 ，求数列 的通项公式．
附1：十进制与十六进制的对应关系
十进制 0 1 2 … 9 10 11 12 13 14 15
十六进制 0 1 2 … 9 A B C D E F
附2：二进制数转换为十六进制数规则
将二进制数按4位一组映射为1位十六进制字符：从二进制数的最右侧开始，向左每4位分为一组；若最左侧一组不足4位，则在其左侧补0凑齐4位.
例如：二进制数11010，先补0分组为00011010.由 ，得 ，映
射为十六进制数字1；由 ，得 ，映射为十六进制字母A．
因此二进制数11010映射为十六进制字符串1A．
题型12 概率统计与导数的综合
析典例 · 建模型
1．（2026·青海西宁·一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规
则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得 元基础券的概率为 ，获得 元基础券的概率
为 ）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券 元，且这两种优惠
券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为 ，闯过第二关的概率为 ．某生产商
将商品定价 元，成本 元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的 ，进阶券面额的 ．
(1)若 ， ，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为 （单位：元），求 的分布列
和数学期望 ；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为 ，
记生产商销售一件该商品的期望利润为 （单位：元）．（期望利润 购买概率 （支付金额的期望 商品成本） 优惠券成本的期望）
（i）求 关于 的函数表达式；
（ii）证明： 在 内存在唯一极大值点，并求当 为何值时，商家期望利润 最大？最大期
望利润是多少?（结果保留 位小数）
研考点 · 通技法
1. 建立概率、频率相关的函数模型，确定自变量范围.
2. 对函数求导，判断单调性与极值点，求解最值.
3. 结合分布列、期望、方差公式，转化为导数问题.
4. 利用导数分析概率密度、样本数据的变化趋势.
5. 验证区间端点与极值，结合实际意义确定最优解.
破类题 · 提能力
1．（2026·贵州遵义·模拟预测）某AI模型的商用部署需依次完成任务执行与性能测试两个核心环节，规
则
如下：
环节一（任务执行）：按任意顺序执行3项独立的任务 ，每项任务最多执行一次，每项任务执
行成功后可获得对应分数，失败则不得分，当总分达到40分时立即进入环节二，任务参数如下：
任务
单次执行成功
0.9 0.5 0.8
率
任务成功后得
10 25 15
分/分
环节二（性能测试）：由测试员对模型的性能进行测试后得到性能指标，已知性能指标 服从正态分布 ，企业自主设定指标阈值 ，当 时，模型成功商用，收益为 万元：
当 时，模型不可商用，收益为 万元：若未进入性能测试，则收益为 万元.
(1)求模型进入环节二的概率最大值，并写出此时任务的最优执行顺序；
(2)记 ，两个环节结束后模型总收益的数学期望为 .
（i）在第（1）问的执行顺序下，请用 和 表示 ；
（ii）求当 为何值时， 取得最大值.
参考数据：当 时， .
2．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的
喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对
应如下六组质量指标值： ， ， ， ， ， ．根据大量
检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布 ，并把质量指标值不小于 的产品称为A
等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频
率分布直方图.
(1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差 s的近似值为 ，用样本平均数 作为 的近似值，用样本标准差s作为 的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布
的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；
①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则
， ， ．）
(2)（ⅰ）从样本的质量指标值在 和 的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在
的部件件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品
部件的利润是 元，一件B等品部件的利润是 元，根据（1）的计算结果，试求
x的值，使得每箱产品的利润最大.
（建议用时：120分钟）
刷模拟
1．（2026·广东广州·二模）已知点 为抛物线 的焦点，点 在 上.
(1)求 的方程与点F坐标：
(2)过点 的直线，与抛物线 相交于 两点，一条垂直于 轴的直线，分别与线段 和直线
相交于 两点.（i）若 为线段 的中点，求证：直线 为抛物线 的切线；
（ii）若直线 为抛物线 的切线，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，求 的最大值.
2．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总
面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、
亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、
樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为
了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、
南门，若每位游客选择东门入园的概率是 ，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；
(2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始
值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人
气值显示屏上曾经出现数值n的概率为 （不考虑人流量有限的限制）．
①求 ， ；
②求 ．
3．（25-26高三上·云南昭通·期末）泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量 的所有可能取值为0，1，2，…，且 ，
，其中 ，则称 服从泊松分布，记作 .
(1)当 时，泊松分布近似于正态分布，且满足 ，若 ，求
的近似值；
(2)已知当 ， 时，可以用泊松分布 近似二项分布 ，即对于
， ，当 不太大时，有 .已知某快递公司共有20000个包
裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保
留两位有效数字）
(3)若 ，且 ，求 的取值范围.
参考数据：若 ， ， ，则有 ，
， .
4．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）已知函数 .
(1)若 在定义域上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若关于 的方程 的根为 ，①求证: ；
②判断数列 中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断.
5．（2026·重庆万州·模拟预测）已知函数 .
(1)判断函数 在 上的单调性并说明理由；
(2)当 时，证明： ， ；
(3)当 为正整数时，证明： .
6．（2026·福建泉州·一模）科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体.其构造过程是：从一个正四
面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小三角形，并以此小三角形为底面，
向外构建小正四面体.如图，持续重复对新生成的几何体执行上述操作，最终得到科赫四面体.现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为 的正四面体经过持续重复上述
操作得到的.记第 次操作后生成的几何体为 ，设 的表面积为 ，体积为 .
(1)求 ；
(2)在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越强.根据比表面积
随 的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因.
(3)是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；若不存在，请说明
理由.
刷真题
1．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数 在区间 的最大值；（2）给定 和 ，证明：存在 使得 ；
（3）设 ，若存在 使得 对 恒成立，求b的最小值．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，
．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，
令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
3．（2024·新高考Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删
去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证
明： ．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续
投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投
篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则
．记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
