专项04数列6大题型（大题专练）（学生版）_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_62027年高考数学大题突破+限时集训（多地区使用）

专项 04 数列
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年天津卷考情，数列是解答题必考主干，分值固定15分。
命题趋势：
解答题：稳定考查数列综合（常为第19/18题），核心是利用等差、等比数列通项与求和公式，结合递
推关系、裂项相消、错位相减、不等式证明等进行综合运算。
2026年预测：极可能仍为数列常规综合题，延续两问结构，第一问求通项，第二问求和与不等式证明。
备考核心：熟记等差等比基本公式，解答题强化“递推求通项、分类求和、放缩证明”训练，提升运
算变形与逻辑推理能力。
题型01 裂项相消法求数列前 n项和
析典例 · 建模型
1．（24-25高三上·天津河东·月考）已知等比数列 的各项均为正数， 、 、 成等差数列，且满
足 ，等差数列数列 的前 项和 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ， ， 的前 项和 ，求 ．研考点 · 通技法
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相
消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
1 1 1 1 1 1 1 1
 (  )  (  )
（1） n(nk) k n nk （2）4n2 1 2 2n1 2n1
1 1 1 1  2n1 1 1
     
（3）
n(n1)(n2) 2n(n1) (n1)(n2)
（4）
n2(n1)2 n2 (n1)2
n1 1 1 1  1 1
     ( nk  n)
（5） n2(n2)2 4n2 (n2)2  （6） nk  n k
2n (2n11)(2n 1) 1 1
  
(2n11)(2n 1) (2n11)(2n 1) 2n 1 2n11
（7）
破类题 · 提能力
1．（2025·天津河西·二模）已知数列 为等差数列或等比数列，前 项和为 ，且满足 ， .
(1)当数列 为等差数列时，求 的通项公式及 ；
(2)当 在 单调递增时，设 ，求 的值；
(3)当数列 为等比数列且为摆动数列时，设 ，求 的最大值和最小值.
2．（2025·天津南开·二模）已知等差数列 的前 项和为 ．(1)求 的通项公式；
(2)记 ，其中 为二项式系数．
（ⅰ）求数列 的前 项和 ；
（ⅱ）求 ．
题型02 错位相减法求数列的前 n项和
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津·期中）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足
， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 与数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
(3)若 ，求数列 的前 项和 .
研考点 · 通技法
1、解题步骤2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S －qS”的表达
n n n n
式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
c =(An+B)⋅qn
3、等差乘等比数列求和，令 n ，可以用错位相减法．
T =(A+B)q+(2A+B)q2 +(3A+B)q3 +...+(An+B)qn
n ①
qT =(A+B)q2 +(2A+B)q3 +(3A+B)q4 +...+(An+B)qn+1
n ②
得： ．
An B A B A
T =( + − )qn+1 −( − )q
整理得：
n q−1 q−1 (q−1) 2 q−1 (q−1) 2
.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津·月考）已知数列 的首项 且满足 .
(1)证明： 是等比数列；
(2)数列 满足 ， ，求数列 的通项公式；
(3)记 ，求数列 的前 项和 .2．（2025·天津河东·二模）设 是公差d为的等差数列， 是公比为q的等比数列， ， ，
， ， .
(1)求数列 与 的通项公式及 ；
(2) 落在区间 之内的项的个数为 ， .
（ⅰ）求 ， 及数列 的通项公式；
（ⅱ）求 .
题型03 分组转化法求数列的前 n项和
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津南开·期中）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，数列 满足
， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
研考点 · 通技法
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，
注意在含有字母的数列中对字母的讨论．2、常见类型：
（1）分组转化法：若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列：
n n n n n
（2）奇偶并项求和：通项公式为a＝的数列，其中数列{b}，{c}是等比数列或等差数列
n n n
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）已知数列 是等差数列，设 为数列 的前n项和，
数列 是等比数列， ，若 ， ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ；
(3)若 ，求数列 的前 项和 ．
2．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ，且
成等差数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
题型04 数列与不等式综合问题析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津·月考）数列 ， ， .
(1)是否存在常数 、 ，使得数列 是等比数列，若存在，求出 、 的值，若不存在，说
明理由；
(2)设 ， ，证明：当 时， .
研考点 · 通技法
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题
来求解；
二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
其中放缩法常根据不等式结构，对通项进行适度放大或缩小，转化为可求和的等差、等比或裂项结构；先
对和式完成求和，再与目标值比较大小；放缩遵循适度原则，既保证可求和又不偏离目标，必要时分段放
缩，确保推导严谨。
破类题 · 提能力
1．（2025·天津·一模）设正项数列 的前 项之和 ，数列 的前 项之积
，且 ．
(1)求证： 为等差数列，并分别求 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意正整数 恒成立，求正实数 的取值范围．
2．（25-26高三上·天津南开·期中）已知数列 的前n项和为 ，且 （ ）.数列 是公比为2的等比数列，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ；
(3)证明： .
题型05 数列中的探究性问题
析典例 · 建模型
1．（24-25高三上·天津·月考）已知 是公比大于0的等比数列，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ；
(3)若 ，在 与 之间插入 个 ，得到一个新数列 . 是否存在正整数 ，使得
数列 的前 项之和 ? 若存在，求出 的值; 若不存在，说明理由.
研考点 · 通技法
探究性问题一般先假设满足条件的正整数存在，依据题意建立等式或不等式关系，化简方程求解未知数；
验证解是否为正整数，是否符合数列定义域与题设限制；若解符合条件则存在，若无合理解则不存在，注
意排除非正整数解与增根。
破类题 · 提能力1．（24-25高三上·天津武清·期中）已知数列 的前n项和为 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ；
(3)证明：对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ， ，使得 .
2．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列 的公差d不等于0， ，设 、 、
是公比为q的等比数列 的前三项.
(1)求数列 的前n项和 ；
(2)将数列 与 中相同的项去掉， 中剩下的项依次构成新的数列 ，设其前n项和为 ，求
的值；
(3)设 ，数列 的前n项和为 ，是否存在正整数m、n且 ，使得 、 、 依次
成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
题型06 数列的新定义问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津·期中）对于 ，若数列 满足 ，则称这个数列为“ 数列”.
(1)已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且满足 ，求数列 的通项公式，并判断是否为“ 数列”；
(2)已知各项均为正整数的等比数列 是“ 数列”，数列 不是“ 数列”，若数列 是“
数列”，
（ⅰ）求 的通项公式；
（ⅱ）记数列 中不超过正整数 的项的个数为 ，设数列 的前 项和为 ，求 （ ）
研考点 · 通技法
先严格读懂题目给出的新定义、新运算或新性质，把文字语言转化为数列的递推关系、项的大小关系或等
式约束；再利用已知等差、等比模型与通项、求和公式，将新定义问题转化为常规数列问题；按题意列式
推导，结合单调性、放缩、方程求解等方法完成证明或计算，全程紧扣定义，不随意添加额外条件。
破类题 · 提能力
1．（2026·天津红桥·一模）在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．
为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法 ，它的作用是在第 轮对密钥片段进行一次变
换，具体变换规则如下：若 为奇数，则 将在第 轮变换中让序列 的奇数项的值增加1，偶数项的
值减少 ；若 为偶数，则 将在第 轮变换中让序列 的奇数项的值增加 ，偶数项的值减少2．若
初始密钥序列 ， ，则加密序列 的所有项之和为 ，已知数
列 的前 项和 ，且满足 ．
(1)写出 ，并求出数列 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式；
(3)证明： ．2．（25-26高三上·天津南开·月考）在数列 中，按照下面方式构成“次生数列”
，其中
表示数列 ，中最小的项．
(1)若数列 中各项均不相等且只有4项， ，请写出 的所有“次生数列”
；
(2)若 满足 ，且 为等比数列， 的“次生数列”为 ．
（i）求 的值；
（ii）设 的前 项和 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的
取值范围．
（建议用时：45分钟）
刷模拟
1．（2026·天津东丽·一模）已知数列 是等比数列，数列 为正项等差数列，其前n项和为
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前4n项和 ．
（i）求 ；
（ii）证明： ．2．（2026·天津·一模）已知 是单调递增的等差数列，其前n项和为 ， 为等比数列， ，
， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ．
（i）求 ；
（ii）求证： ．
3．（2026·天津和平·一模）已知 ，等比数列 的前 项和为 ，正项等差数列 的首
项为5，且 成等比数列．
(1)求数列 与数列 的通项公式：
(2)设 ， ， ．求证：若 ，满足 ，且有序实
数对 ，则 ．
(3)设 ，求集合 的所有元素之和 ．4．（2026·天津·一模）已知 是等差数列， 是等比数列. .
(1)求 和 的通项公式：
(2)若 ，记由 的所有可能取值组成集合 .
（i）求集合 中的最大元素；
（ii）已知 为给定的大于1的自然数，求证：当 时， ，并求集合 中所有大于0的元素
之和.
5．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列 的前 项和为 ， 是公比大于0的等比数
列， ， ， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)设 ，求 ；
(3)设 （ ），求 .
刷真题
1．（2025·天津·高考真题）已知数列 是等差数列， 是等比数列， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2) ， ，有 ，
（i）求证：对任意实数 ，均有 ;（ii）求 所有元素之和．
2．（2024·天津·高考真题）已知 为公比大于0的等比数列，其前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式及 ；
(2)设数列 满足 ，其中 ．
（ⅰ）求证：当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
3．（2023·天津·高考真题）已知 是等差数列， ．
(1)求 的通项公式和 ．
(2)设 是等比数列，且对任意的 ，当 时，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
4．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
5．（2021·天津·高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比
数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明