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专项05 平面向量重难点
分析维度 具体内容
核心考点 1. 平面向量的概念与线性运算：向量的定义、表示方法（几何表示、坐标表
示）、相等向量、相反向量、零向量；加法（三角形法则、平行四边形法
则）、减法（三角形法则）、数乘运算（定义、几何意义）；2. 平面向量的
基本定理与坐标运算：平面向量基本定理、向量的坐标表示、坐标运算（加
减、数乘、数量积）；>3. 平面向量的数量积：数量积的定义、几何意义、运
算性质、坐标公式；向量的模、夹角、垂直与平行的充要条件；. 平面向量的
应用：与三角函数结合、与解三角形结合、与解析几何结合（直线斜率、距
离、位置关系）、与不等式结合（最值问题）。
考查形式 1. 客观题（单选题 + 多选题）：5-10 分，多为第 3-8 题，考查单一考点
（如线性运算、数量积计算、模与夹角）或简单综合（如坐标运算 + 垂直 /
平行判断），难度低 - 中档；2. 解答题：极少单独命制解答题，多作为工具
融入其他模块（如三角函数、解三角形、解析几何解答题第一问），分值隐含
在 12-14 分的综合题中；. 新高考特点：多选题增加性质辨析（如向量共
线、垂直的条件判断），强调向量的工具性应用，与解析几何、三角函数的结
合更紧密。
命题特点 1. 基础题（送分）：向量线性运算、坐标运算、数量积直接计算、模与夹角
的简单求解，难度低，侧重概念理解与公式应用；2. 中档题（核心得分）：
平面向量基本定理的应用（基底分解）、数量积的综合性质（如最值、范
围）、与三角函数 / 解三角形的结合，需掌握方法技巧；>3. 难题（低频）：
向量与解析几何、不等式的综合应用（如最值问题）、向量的几何意义深度挖
掘，难度中等偏上，但占比低；>4. 趋势：命题稳定，侧重 “基础过关 + 工
具应用”，减少纯记忆性考点，强调数形结合和转化与化归，向量作为 “桥梁”
连接几何与代数的作用凸显。
重难点突破 1. 重点：① 线性运算与坐标运算：熟练掌握加减、数乘的几何意义与坐标公
式，灵活进行转化；>② 数量积：定义、坐标公式的应用，模、夹角、垂直 /
平行条件的求解（高频考点）；>③ 平面向量基本定理：基底分解的方法（待
定系数法）；2. 难点： 向量的几何意义应用（如利用数量积几何意义求最
值）；② 平面向量基本定理的灵活应用（选择合适基底）；③ 向量与其他模
块的综合转化（如将向量条件转化为代数方程或几何关系）；数量积的最值与
范围问题（结合函数或不等式求解）。
关联模块 1. 直接关联：三角函数（数量积与夹角、向量条件转化为三角关系）、解三
角形（向量作为条件给出边角关系）、解析几何（向量平行 / 垂直转化为直
线斜率关系、距离计算）； 间接关联：不等式（向量模的不等式、数量积最
值）、函数（向量表达式转化为函数求最值）、立体几何（空间向量的基础铺
垫）。
备考策略 1. 基础过关：>① 牢记核心概念：向量的定义、相等向量、相反向量、零向
量的特征，避免概念混淆； 熟练公式应用：线性运算、坐标运算、数量积公
式，模与夹角的计算公式，垂直（数量积为 0）、平行（向量叉乘为 0 或坐
标成比例）的充要条件；>2. 方法强化：数形结合法：画向量图形辅助理解线
性运算、数量积的几何意义，简化问题；② 基底分解法：选择合适的基底
（如垂直、长度已知的向量），将未知向量分解为基底表示，简化计算；坐标
法：建立平面直角坐标系，将向量转化为坐标形式，利用代数运算求解（优先选择，降低难度）；3. 难点突破：① 最值问题：将向量表达式转化为函数
（如关于夹角的三角函数、关于坐标的二次函数），利用函数最值求解；②
综合应用：先拆分模块（如向量 + 三角函数，先将向量条件转化为三角关
系），再逐步求解；>4. 实战训练：多练向量与三角函数、解析几何的结合
题，规范解题步骤（如坐标法需明确坐标系建立、向量坐标表示），避免计算
错误。
易错点提醒 1. 概念错误：混淆向量与数量（向量有方向，数量无方向）、零向量的方向
任意性（与任意向量平行）、相等向量的条件（大小相等且方向相同）；2.
运算错误：线性运算时方向判断错误（如减法 “指向被减向量”）、数量积运算
忽略夹角（或夹角判断错误）、坐标运算时符号失误； 条件混淆：平行与垂
直的充要条件记混（平行是坐标成比例，垂直是数量积为 0）；>4. 几何意义
误解：数量积的几何意义是 “一个向量的模乘以另一个向量在该向量方向上的
投影”，而非向量模的乘积；. 综合应用错误：将向量条件转化为代数或几何关
系时出错（如向量共线转化为直线平行时忽略重合情况）。
一、基础核心考点（送分题，必拿分）
（一）平面向量的概念与线性运算（客观题高频，5 分稳拿）
• 向量的基本概念
1. 核心要点：向量的定义（既有大小又有方向的量）；表示方法（几何表示：有向线段；坐标表示：(x, y)）；特
殊向量（零向量：长度为 0，方向任意；单位向量：长度为 1；相等向量：大小相等且方向相同；相反向量：
大小相等且方向相反）。
2. 考法：判断向量相关概念的正误（单选题）、识别相等向量 / 相反向量（填空题）。
• 线性运算（加法、减法、数乘）
3. 核心要点：
加法：三角形法则（首尾相接，指向末段）、平行四边形法则（共起点，对角线）；
减法：三角形法则（共起点，指向被减向量）；
数乘：实数 λ 与向量 a 的乘积 λa（长度为 |λ||a|，方向：λ>0 与 a 相同，λ<0 与 a 相反，λ=0 为零向量）；
运算性质：加法交换律、结合律；数乘分配律、结合律。
4. 考法：利用运算法则化简向量表达式（单选题 / 填空题）、求向量的线性表示（客观题）。
（二）平面向量的坐标运算（基础应用，必考）
• 坐标表示与坐标运算
5. 核心要点：
向量的坐标表示：若向量起点为原点，终点坐标为 (x, y)，则向量坐标为 (x, y)；
加减运算：若 a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则 a+b=(x1+x2, y1+y2)，a-b=(x1-x2, y1-y2)；数乘运算：λa=(λx1, λy1)（λ 为实数）。
6. 考法：直接进行坐标运算（客观题 / 解答题辅助步骤）、已知向量坐标求线性组合（填空题）。
• 平行与垂直的坐标条件
7. 核心要点：
平行（共线）：a∥b ⇔ x1y2 - x2y1 = 0（坐标成比例，注意零向量特殊情况）；
垂直：a⊥b ⇔ x1x2 + y1y2 = 0（数量积为 0）。
8. 考法：判断向量平行 / 垂直（单选题）、已知平行 / 垂直求参数（填空题）。
二、核心应用考点（中档题，核心得分区）
（一）平面向量的基本定理与基底分解（客观题 + 解答题辅助，高频）
• 平面向量基本定理
9. 核心要点：如果 e1、e2 是同一平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内任意向量 a，有且只有一对实数
λ1、λ2，使得 a=λ1e1 + λ2e2（e1、e2 为基底）。
10. 应用技巧：选择合适基底（如垂直、长度已知的向量），利用待定系数法求解 λ1、λ2。
11. 考法：基底分解（单选题 / 填空题）、结合坐标运算求基底系数（中档题）。
（二）平面向量的数量积（核心考点，5-10 分）
• 数量积的定义与几何意义
12. 核心要点：
定义：a・b=|a||b|cosθ（θ 为 a 与 b 的夹角，范围 [0, π]）；
几何意义：a・b 等于 | a | 与 b 在 a 方向上的投影（|b|cosθ）的乘积（或反之）。
13. 考法：利用定义求数量积（客观题）、理解几何意义判断数量积正负（单选题）。
• 数量积的运算性质与坐标公式
14. 核心要点：
运算性质：a・a=|a|²（求模的关键）；a・b=b・a；(λa)・b=λ(a・b)；a・(b+c)=a・b+a・c；
坐标公式：若 a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则 a・b=x1x2 + y1y2。
15. 考法：利用坐标公式计算数量积（客观题 / 解答题）、利用性质化简表达式（中档题）。
• 向量的模与夹角求解
16. 核心要点：
模的计算：|a|=√(a・a)=√(x1² + y1²)；|a±b|=√[(a±b)・(a±b)]=√(|a|²±2a・b + |b|²)；
夹角公式：cosθ=(a・b)/(|a||b|)（θ∈[0, π]，需结合三角函数值求角）。
17. 考法：求向量的模（单选题 / 填空题）、求向量的夹角（客观题 / 解答题辅助步骤）。三、高阶综合考点（难题，低频拉分）
（一）数量积的最值与范围问题（中档 - 难题，低频）
• 核心要点：
18. 转化方法：将数量积表达式转化为关于夹角 θ 的三角函数（如 a・b=|a||b|cosθ，利用 cosθ∈[-1,1] 求范
围）；
19. 坐标法转化：建立坐标系，将向量坐标表示为变量，转化为二次函数求最值（注意变量范围限制）。
20. 考法：求数量积的最大值 / 最小值（单选题压轴题 / 多选题）、求参数范围（填空题低频）。
（二）平面向量与其他模块综合（解答题工具，必考）
• 与三角函数结合
21. 核心要点：将向量数量积、夹角条件转化为三角关系（如 a・b=|a||b|cosθ，结合三角函数公式化简求值）；
22. 解题步骤：先处理向量条件（如数量积、平行 / 垂直），转化为三角方程或三角函数表达式，再利用三角恒
等变换求解。
23. 考法：解答题第一问（如三角函数化简、求值的条件）、客观题中档题。
• 与解三角形结合
24. 核心要点：向量作为条件给出边角关系（如向量共线转化为边的比例，向量垂直转化为角的关系）；
25. 应用场景：已知向量条件，利用正弦定理、余弦定理求解三角形的边长、角度或面积。
26. 考法：解三角形解答题第一问（给出向量条件）、客观题中档题。
• 与解析几何结合
27. 核心要点：向量平行 / 垂直转化为直线的斜率关系（如 a∥b 对应直线斜率相等或均垂直 x 轴，a⊥b 对应斜
率乘积为 - 1）；向量的模转化为两点间距离。
28. 考法：解析几何解答题第一问（利用向量条件求直线方程、曲线方程）、客观题中档题。
• 与不等式结合
29. 核心要点：利用向量模的不等式（| |a| - |b| | ≤ |a±b| ≤ |a| + |b|）求最值；结合基本不等式求数量积的范围。
30. 考法：单选题压轴题（低频）、多选题（偶尔考查）。
四、高考考法总结
• 客观题（5-10 分）：聚焦基础考点（概念、线性运算、坐标运算、数量积计算、模与夹角）和简单综合（平
行 / 垂直判断、基底分解），难度低 - 中档；
• 解答题（隐含分值）：极少单独命题，多作为工具融入三角函数、解三角形、解析几何解答题，提供条件转化
（如向量数量积转化为三角关系、平行条件转化为斜率关系），难度随综合模块而定；
• 新高考趋势：多选题增加向量性质辨析（如平行 / 垂直条件、模与夹角的范围判断），强调向量的工具性，减
少纯运算题，侧重数形结合和转化与化归能力。一、单选题
1．（2026·河北沧州·三模）已知平面向量 ， ，且 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知 的外接圆圆心为 ，角 所对的边分别为 ，且 ，
，若 ，则 （ ）
A．8 B．13 C．16 D．32
3．（2026·河南周口·三模）某社区使用无人机配送生活物资，配送站 的位置为 （单位：千米），小区
的位置为 、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为 ，即无人机
每主动飞行1千米，会额外叠加 的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对
应的向量之和.若无人机要从 沿直线匀速精准到达 ，则其主动飞行对应的向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知 为直线 上的一个动点，则 的最小值是
（ ）
A． B．0 C． D．
5．（2026·河北雄安·三模）如图，在矩形 中， ， 为 的中点， 为等边三角形， 为
的中心，则 （ ）A． B． C． D．
6．（2025·湖南·模拟预测）如图，在 中，点 是线段 上靠近点 的三等分点，过点 的直线分别交直线
、 于点 、 . 设 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形， 为 的中点．若 ，则 （ ）
A．-2 B．2 C． D．
8．（2026·辽宁沈阳·三模）在 中， ， 是 上一点，若 ，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知 、 是夹角为 的两个单位向量， ， ，则 在
上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．10．（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面向量 ， 非零向量，满足 ， ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2026·河南新乡·三模）在四边形ABCD中， ，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2026·吉林延边·三模）设 满足： ， ， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
13．（25-26高一下·吉林四平·阶段检测）在 中，已知 ， ， ， ， 边上的两条
中线 ， 相交于点P，则 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2026·安徽·模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2026·北京石景山·二模）在 中， ， ，D为BC边上的中点， ，则 的面
积为（ ）
A． B． C． D．
16．（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形ABC中， ，点 是靠近 的三等分点，过 的直线分别
交射线AB，AC于不同的两点M，N， ，则下列选项中不正确的是（ ）A． B．
C． D． 的最小值是
17．（2026·河南·模拟预测）已知点 是圆 上一点，点 ， 为坐标原点，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2026·江苏镇江·二模）若非零向量 与 满足 ，且 ，则三角形ABC为
（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
二、多选题
19．（2026·山东聊城·模拟预测）已知点 是圆 上的动点，点 ， 为坐标原点，则下
列结论正确的有（ ）
A．过点 的直线被圆 截得的最短弦长为4
B． 的最大值为7
C．
D．对任意实数 的最小值为2
20．（2026·重庆·三模）已知向量 ，则（ ）
A．当 时，B．存在 ，使
C．当 时， 在 方向上的投影向量为
D．当 与 的夹角为锐角时，
21．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知平面向量 ，若 ，则（ ）
A．
B．向量 与 平行
C．向量 与 的夹角的余弦值为
D．当 时，
三、填空题
22．（2026·山东聊城·模拟预测）已知向量 ，且 ，则向量 在
向量 上的投影向量的坐标为___________．
23．（2026·天津红桥·二模）已知O是 内的一点， ， ， ， ,
则 ______；若 ，则 ______．
24．（2026·天津东丽·二模）在 中， ， ， ， ，P为线段CD上一点，若
，则 ___；则 的最小值为______．
25．（2026·天津南开·二模）在平行四边形 中， 和 分别是 和 的中点，则
_____；若 是 的三等分点，点 在线段 上， ，则 的取值范围是_____．四、解答题
26．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ．
(1)求B；
(2)若D是边AC的中点， ， ，求 的面积；
27．（2026·江西九江·二模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长．
28．（2026·福建三明·二模）已知锐角 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ．
(1)求A；
(2)若点H在 所在平面内，且满足 ，求 面积的取值范围．
29．（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线 的实轴长为 ，且经过点 .
(1)求 的渐近线方程；
(2)设曲线 ，点 ， 分别是 ， 上的动点，且满足 ，若原点 到直线
的距离为定值，求 的值.
30．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角 ；
(2)若 ， 的面积为 ，D为线段 中点，求中线 的长度．
