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专项04 三角函数与解三角形重难点
分析维度 具体内容
核心考点 1. 三角函数的概念与诱导公式：任意角的三角函数定义、同角三角函数基本关系
（平方关系、商数关系）、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）；. 三角函数
的图像与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征、定义域、值域、单
调性、奇偶性、周期性、对称性；>3. 三角恒等变换：两角和与差的正弦、余
弦、正切公式、二倍角公式、降幂公式、辅助角公式（合一变形）；4. 解三角
形：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、解三角形的实际应用（距离、高
度、角度问题）；5. 三角函数的综合应用：与函数性质结合、与向量结合、与不
等式结合、三角函数模型的实际应用。
考查形式 1. 客观题（单选题 + 多选题）：5-10 分，多为第 4-9 题，考查单一考点（如
诱导公式、单调区间、简单恒等变换）或简单综合（如图像识别、解三角形基础
题），难度低 - 中档；2. 解答题：12 分，多为第 17 题（基础解答题），考查
三角恒等变换 + 解三角形（必考），或三角函数图像与性质综合，难度中档；.
新高考特点：多选题增加性质辨析（如单调区间、对称性判断），解答题稳定在
基础解答题位置，偶尔与向量、数列简单结合，强调基础应用。
命题特点 1. 基础题（送分）：诱导公式化简、同角三角函数求值、简单三角函数图像识
别、正弦定理 / 余弦定理直接应用，难度低，侧重公式记忆与基本运算； 中档
题（核心得分）：三角恒等变换综合（如两角和差 + 二倍角 + 辅助角公式）、
三角函数性质综合（单调性 + 周期性 + 对称性）、解三角形综合（边角互化 +
面积公式），需掌握方法技巧；. 难题（低频）：三角函数与向量、不等式、函
数最值的综合应用，或解三角形的复杂实际应用，难度中等偏上，但占比低；4.
趋势：命题稳定，侧重 “基础过关 + 公式灵活应用”，减少偏怪题，强调逻辑严
谨和数形结合，解三角形为解答题必考模块。
重难点突破 1. 重点：三角恒等变换：辅助角公式（将 a sin x + b cos x 化为 A sin (x + φ)
形式）、二倍角公式与降幂公式的灵活运用；② 三角函数的图像与性质：单调
区间求解、周期与对称性判断；③ 解三角形：正弦定理、余弦定理的边角互
化，已知两边及一角、三边、两边及夹角等常见条件下的三角形求解；2. 难点：
三角恒等变换的技巧性（公式选择、角的拆分与组合）；② 三角函数图像的平
移与伸缩变换（左右平移、上下伸缩对解析式的影响）；③ 解三角形中的多解
问题（已知两边及一对角时的取舍）；>④ 三角函数与其他模块的综合应用（如
与向量数量积结合、与函数最值结合）。
关联模块 1. 直接关联：函数性质（单调性、周期性、奇偶性）、向量（数量积、夹角问
题）、解三角形（几何图形中的边角关系）；2. 间接关联：不等式（三角函数值
域、最值问题）、解析几何（直线倾斜角、斜率）、数列（三角函数与数列的周
期性结合）、立体几何（空间角的求解基础）。
备考策略 1. 基础过关：① 牢记核心公式：诱导公式（重点是 π±α、2π±α、π/2±α 相
关）、同角三角函数基本关系、两角和差与二倍角公式、正弦定理、余弦定理；
>② 熟练图像特征：正弦、余弦、正切函数的图像形状、对称轴、对称中心、单
调区间，结合图像记忆性质； 方法强化：>① 三角恒等变换：总结 “角的变
换”（如将未知角拆分为已知角的和差）、“名的变换”（切化弦、弦化切）、“次
数变换”（降幂、升幂）技巧； 图像变换：明确 “左加右减、上加下减” 的平移
规则，伸缩变换对系数的影响（横坐标伸缩影响 ω，纵坐标伸缩影响 A）；解三角形：先判断三角形类型，再选择定理（已知两角及一边、两边及一对角用正
弦定理；已知两边及夹角、三边用余弦定理），注意多解问题的取舍（利用大边
对大角、三角形内角和）； 难点突破：>① 多解问题：通过画图辅助判断，或
利用正弦值的范围（sin θ≤1）取舍； 综合应用：先拆分模块（如三角函数 + 向
量，先处理向量部分转化为三角条件），再逐步求解；4. 实战训练：多练三角恒
等变换与解三角形的综合题，规范解题步骤（如恒等变换分步书写、解三角形注
明定理应用），避免计算错误。
易错点提醒 1. 公式应用错误：诱导公式符号判断错误（忽略 “符号看象限” 的前提是将角视
为锐角）、二倍角公式漏写系数（如 sin 2x 误写为 sin x cos x，正确为 2 sin x
cos x）； 图像变换误区：左右平移时混淆 “x 的系数”（如 y=sin (2x + π/3) 是
y=sin 2x 向左平移 π/6，而非 π/3）；>3. 解三角形误区：已知两边及一对角时
忽略多解情况，或未验证三角形内角和为 180°； 三角函数性质错误：单调区间
求解未考虑定义域（如正切函数的定义域排除 π/2 + kπ）、周期性判断错误
一、基础核心考点（送分题，必拿分）
（一）三角函数的概念与诱导公式（客观题高频，5 分稳拿）
• 任意角的三角函数定义
1. 核心要点：终边定义法（角 α 的终边与单位圆交点坐标为 (cos α, sin α)）；三角函数值与终边位置的关系
（符号由象限决定）。
2. 考法：判断三角函数值的正负（单选题）、已知终边位置求三角函数值（填空题）。
• 同角三角函数基本关系
3. 核心要点：
平方关系：sin²α + cos²α = 1；
商数关系：tan α = sin α /cos α（cos α ≠ 0）；
应用技巧：“知一求二”（结合角的象限确定符号）。
4. 考法：已知一个三角函数值，求另外两个（单选题 / 填空题）、化简三角函数表达式（解答题第一步）。
• 诱导公式
5. 核心要点：记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”（“奇”“偶” 指 kπ/2 中 k 的奇偶性；“符号” 指将 α 视为锐角
时，原函数值的符号）；
常用公式：π±α、2π±α、π/2±α、3π/2±α 对应的正弦、余弦、正切变换。
6. 考法：利用诱导公式化简求值（客观题 / 解答题第一步）、判断三角函数奇偶性（辅助考点）。
（二）三角函数的图像与性质（基础应用，必考）
• 三大基本函数图像特征7. 核心要点：
正弦函数 y=sin x：图像为正弦曲线，定义域 R，值域 [-1,1]，周期 2π，奇函数，对称轴 x=π/2 + kπ，对称中心
(kπ, 0)；
余弦函数 y=cos x：图像为余弦曲线，定义域 R，值域 [-1,1]，周期 2π，偶函数，对称轴 x=kπ，对称中心 (π/2
+ kπ, 0)；
正切函数 y=tan x：图像为正切曲线，定义域 x≠π/2 + kπ，值域 R，周期 π，奇函数，无对称轴，对称中心
(kπ/2, 0)。
8. 考法：图像识别（单选题）、根据图像求解析式（填空题）。
• 简单性质应用
9. 核心要点：
周期性：基本函数周期（sin x、cos x 为 2π，tan x 为 π）；
奇偶性：判断方法（先看定义域关于原点对称，再验证 f (-x) 与 f (x) 的关系）。
10. 考法：求函数周期（单选题）、判断奇偶性（单选题）、利用奇偶性求值（填空题）。
二、核心应用考点（中档题，核心得分区）
（一）三角恒等变换（解答题核心，8-10 分）
• 两角和与差公式
11. 核心要点：sin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β；cos (α±β)=cos α cos β ∓ sin α sin β；tan (α±β)=(tan α ± tan
β)/(1 ∓ tan α tan β)；
应用技巧：角的拆分（如将 β 拆分为 (α+β)-α）、凑角变换。
12. 考法：直接求值（客观题）、恒等变换中间步骤（解答题）。
• 二倍角公式与降幂公式
13. 核心要点：
二倍角公式：sin 2α=2 sin α cos α；cos 2α=cos²α - sin²α=2 cos²α - 1=1 - 2 sin²α；tan 2α=2 tan α/(1 - tan²α)；
降幂公式：cos²α=(1 + cos 2α)/2；sin²α=(1 - cos 2α)/2（用于次数统一）。
14. 考法：化简表达式（解答题第一步）、求值（客观题 / 解答题）。
• 辅助角公式（合一变形）
15. 核心要点：将 a sin x + b cos x 化为 A sin (x + φ) 形式，其中 A=√(a² + b²)，φ 满足 tan φ=b/a（φ 的象限
由 a、b 符号决定）；
应用场景：求值域、单调区间、最值。
16. 考法：三角函数化简与求值（解答题核心步骤）、求最值（客观题 / 解答题）。
（二）三角函数的图像与性质综合（客观题 + 解答题，必考）• 单调区间求解
17. 核心要点：
基本函数单调区间（sin x 在 [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] 递增，[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] 递减；cos x 在 [-π + 2kπ,
2kπ] 递增，[2kπ, π + 2kπ] 递减）；
复合函数单调区间（如 y=sin (ωx + φ)，先求整体定义域，再结合基本函数单调区间求解）。
18. 考法：求单调递增 / 递减区间（单选题 / 多选题）、已知单调性求参数（填空题）。
• 周期与对称性综合
19. 核心要点：
周期拓展（y=A sin (ωx + φ)、y=A cos (ωx + φ) 周期为 2π/|ω|；y=A tan (ωx + φ) 周期为 π/|ω|）；
对称性判断（对称轴、对称中心的求解，结合诱导公式或图像）。
20. 考法：多选题中性质辨析（如 “该函数的周期为 π，且关于 x=π/4 对称” 判断正误）、解答题中性质证明。
• 图像变换
21. 核心要点：
平移变换：“左加右减、上加下减”（左右平移针对 x 本身，上下平移针对函数整体）；
伸缩变换：横坐标伸缩为原来的 1/ω 倍（ω>0），解析式变为 y=A sin (ωx + φ)；纵坐标伸缩为原来的 A 倍，
解析式变为 y=A sin (ωx + φ)。
22. 考法：已知变换过程求解析式（填空题）、判断变换后的图像（单选题）。
（三）解三角形（解答题必考，12 分）
• 正弦定理
23. 核心要点：a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R（R 为三角形外接圆半径）；
应用场景：已知两角及一边、已知两边及一对角（注意多解）、边角互化。
24. 考法：求边长、求角度（解答题第一问）、判断三角形形状（客观题）。
• 余弦定理
25. 核心要点：a² = b² + c² - 2bc cos A；b² = a² + c² - 2ac cos B；c² = a² + b² - 2ab cos C；
应用场景：已知两边及夹角、已知三边、已知一边及两角（辅助正弦定理）。
26. 考法：求边长、求角度、求最值（解答题核心步骤）。
• 三角形面积公式
27. 核心要点：S=1/2 ab sin C=1/2 bc sin A=1/2 ac sin B；S=√[p (p-a)(p-b)(p-c)]（海伦公式，p 为半周长）；
应用场景：解三角形中求面积、已知面积求边长 / 角度。
28. 考法：解答题中求面积（必考点）、客观题中面积比较。
• 解三角形的实际应用29. 核心要点：
常见场景：距离问题（两点间不可直达）、高度问题（测量建筑物高度）、角度问题（航行方向）；
解题步骤：审题→ 画示意图→ 确定三角形类型→ 选择定理求解→ 验证实际意义。
30. 考法：解答题第二问（偶尔考查）、客观题（低频）。
三、高阶综合考点（难题，低频拉分）
（一）三角函数与其他模块综合
• 与向量结合
31. 核心要点：向量数量积转化为三角函数（如 a・b=|a||b|cos θ，θ 为向量夹角）；向量平行 / 垂直条件转化
为三角方程。
32. 考法：客观题中档题、解答题第一问（结合向量给出条件）。
• 与函数最值结合
33. 核心要点：利用辅助角公式将三角函数化为 A sin (x + φ) + B 形式，求值域或最值；结合基本不等式求最值
（注意定义域限制）。
34. 考法：客观题压轴题（低频）、解答题第二问（偶尔考查）。
• 与不等式结合
35. 核心要点：利用三角函数值域（如 sin x、cos x∈[-1,1]）求解不等式；结合单调性比较三角函数值大小。
36. 考法：多选题（低频）、填空题（偶尔考查）。
（二）解三角形多解与复杂应用
• 多解问题
37. 核心要点：已知两边及一对角（如 a、b、A）时，根据 “大边对大角”“sin θ≤1” 判断解的个数（0 个、1
个、2 个）；
解题步骤：先求 sin B，再根据 sin B 的值域和边角关系取舍。
38. 考法：解答题中判断解的个数（低频）、客观题中多解问题求值（偶尔考查）。
• 复杂几何图形问题
39. 核心要点：将多边形（如四边形）分割为多个三角形，利用正弦定理、余弦定理逐步求解；
应用场景：航海、测量等复杂实际问题。
40. 考法：解答题压轴题（低频）。
四、高考考法总结
• 客观题（5-10 分）：聚焦基础考点（概念、诱导公式、简单性质、图像识别）和简单综合（单调区间、对称
性质辨析），难度低 - 中档；• 解答题（12 分）：固定为第 17 题左右，考查 “三角恒等变换 + 解三角形”（必考）或 “三角函数图像与性质
综合”，分 2 问，第一问基础化简 / 求值，第二问求面积 / 边长 / 角度，难度中档；
• 新高考趋势：多选题增加性质辨析力度，解答题命题稳定，强调公式灵活应用和逻辑严谨，减少纯记忆性考
点，侧重 “基础过关 + 方法技巧”。
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2026·河南·模拟预测）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知 的外接圆圆心为 ，角 所对的边分别为 ，且 ，
，若 ，则 （ ）
A．8 B．13 C．16 D．32
4．（2026·河北沧州·三模）已知角 的顶点为原点 ，始边为 轴的非负半轴，其终边绕着坐标原点按逆时针方
向旋转 后经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2026·四川成都·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2026·安徽阜阳·二模）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．7．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数 ，设甲： 是偶函数，乙：
是奇函数，则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
8．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，点P在C上，设
为 的内切圆圆心，若 的面积为 ，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2026·河北邯郸·三模）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 不是锐角三角形
B．若 ，则 是锐角三角形
C．若 ，则
D．若 ，则
10．（2026·河南周口·三模）已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 在 上单调递减
C． 的值域为 D． 的最小正周期为
11．（2026·江西九江·二模）如图，在长方体 中， ，点 是棱 上的动点
（不含端点），过点 作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为 ，则（ ）A．截面是平行四边形 B．若 ，则
C．存在点 ，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值
12．（2026·河南濮阳·模拟预测）若将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到 的图像，
则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在 上单调递增
C． D． 是奇函数
13．（2026·云南·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的最大值为2
C．函数 关于 对称 D．函数 在区间 上单调递增
14．（2026·山东济南·三模）已知函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，则
（ ）
A．
B． 为奇函数
C． 在 上单调递减D． 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度得到
15．（2026·河北·三模）已知函数 ，其中 .则下列说法正确的有（ ）
A． 的最小正周期为
B．若 的图象关于点 中心对称，则 或
C．若将 的图象向左平移 个单位后，所得图象关于y轴对称，则
D．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
三、填空题
16．（2026·江西·三模）已知 ，且 ，则 ______， ______．
17．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知 ， ，则 ________．
18．（2026·云南·模拟预测）若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 ，则
________．
19．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数 在区间 上有且仅有两个
零点，则实数 的取值范围为___________．
四、解答题
20．（2026·河南周口·三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
(1)求 的内角中最大的角的大小；
(2)延长 至点 ，使得 ，连接 ，若 ， ，求 的面积.
21．（2026·江西宜春·模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，且．
(1)求 ；
(2)若点 为 的中点，且 ，求 ．
22．（2026·河南·模拟预测）设函数 ，将函数 的正零点按照从小到大的顺序排
列，得到数列 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求函数 图象的对称中心；
(3)求数列 的前2n项和 ．
23．（2026·宁夏吴忠·三模）如图，在多面体 中，四边形 为正方形，且 平面 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得多面体 唯一确定，求平
面 与平面 夹角的余弦值．
条件①：直线 与平面 所成角为 ；
条件②： 的面积为 ;
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．24．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且满足
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 的面积为24，求 的值.
25．（2026·重庆渝中·三模）在锐角 中，角 所对边分别为 且满足
.
(1)求 ；
(2)若 的角平分线交 于点 ，求 的最小值.
26．（2026·云南·模拟预测）已知在 中，角 所对的边分别为 为 的角平分线，
， ，且 ．
(1)求角A；
(2)求 的面积．
27．（2026·江苏·二模）记 的内角 的对边分别为 .已知 是锐角， .
(1)若 ，求 的值：
(2)若 平分 ，求 的面积.
28．（2026·山东威海·二模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．(1)求 ；
(2)如图，已知 为 外一点， ， ， ，求平面四边形 面积的最大值．
29．（2026·青海西宁·二模）在 中，角 对应边分别是 ．已知 成等差数列，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
30．（2026·山东聊城·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ．已知 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的值．
