文档文本内容
第04 讲 正弦定理和余弦定理
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................7
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形（三角形个数问题）...............................................................7
高频考点二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形）............................................9
高频考点三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理综合应用）......................................................11
高频考点四：判断三角形的形状..............................................................................................................14
高频考点五：三角形面积相关问题（求三角形面积）............................................................................16
高频考点六：三角形面积相关问题（三角形面积的最值（范围））......................................................20
高频考点七：三角形周长（边）相关问题（求三角形周长（边长））..................................................25
高频考点八：三角形周长（边）相关问题（三角形周长（边长）的最值）..........................................29
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................37
备注：锐角三角形周长取值范围问题，注意考查角的取值范围.............................................................37
第五部分：新定义题........................................................................................................................................39
第一部分：基础知识
1、正弦定理
1.1 正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在
中， 若角
、
及
所对边的边长分别为
，
及
，则有
1.2 正弦定理的推广及常用变形公式
在
中， 若角
、
及
所对边的边长分别为
，
及
，其外接圆半径为
，则
①
②
；
；
；
③
④
⑤
，
，
（可实现边到角的转化）
⑥
，
，
（可实现角到边的转化）
2、余弦定理
2.1 余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两
倍.
②符号语言：在
中，内角
，所对的边分别是
,则：
；
2.2 余弦定理的推论
；
；
3、三角形常用面积公式
①
；
②
；
③
（其中，
是三角形
的各边长，
是三角形
的内切圆半径）；
④
(其中，
是三角形
的各边长，
是三角形
的外接圆半径).
4、常用结论
在三角形中的三角函数关系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若
或
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·全国二卷·高考真题）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由余弦定理
直接计算求解即可.
【详解】由题意得
，
又
，所以
.
故选：A
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理得
，再利用余弦定理有
，由正弦定理得到
的值，最后代入计算即可.
【详解】因为
，则由正弦定理得
.
由余弦定理可得:
，
即:
，根据正弦定理得
，
所以
，
因为
为三角形内角，则
，则
.
故选：C.
3．（2024·北京·高考真题）在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1)
；
(2)选择①无解；选择②和③△ABC 面积均为
.
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得
，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出
，再代
入式子得
，再利用两角和的正弦公式即可求出
，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先
得到
，再利用正弦定理得到
，再利用两角和的正弦公式即可求出
，最后利用三角形
面积公式即可；
【详解】（1）由题意得
，因为
为钝角，
则
，则
，则
，解得
，
因为
为钝角，则
.
（2）选择①
，则
，因为
，则
为锐角，则
，
此时
，不合题意，舍弃；
选择②
，因为
为三角形内角，则
，
则代入
得
，解得
，
,
则
.
选择③
，则有
，解得
，
则由正弦定理得
，即
，解得
，
因为
为三角形内角，则
，
则
，
则
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件
进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出
，然后根据正弦定理算出
即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由
可得
，即
，
由于
，故
，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由
，又
，消去
得到：
，解得
，
又
，故
方法三：利用极值点求解
设
，则
，
显然
时，
，注意到
，
，在开区间
上取到最大值，于是
必定是极值点，
即
，即
，
又
，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设
，由题意，
，
根据向量的数量积公式，
，
则
，此时
，即
同向共线，
根据向量共线条件，
，
又
，故
方法五：利用万能公式求解
设
，根据万能公式，
，
整理可得，
，
解得
，根据二倍角公式，
，
又
，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理可得，
，即
，
解得
，
故
的周长为
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形（三角形个数问题）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·河南·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，符合下列条件的三角
形有且只有一个的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】A 利用三角形全等的判定方法可判断；B 利用大边对大角可判断；C 利用
可判断；D 由
正弦定理得
，结合
可判断.
【详解】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，又
为钝角，所以
不存在，
所以满足条件的三角形不存在，故B 错误；
对于C，因为
，所以三角形不存在，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，
因为
且
，所以
有两解且这两个解互补，故D 错误.
故选：A
例题2．（24-25 高一下·河南南阳·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，若三角形有两解，则边
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理列出关系式，将
的值代入表示出
，求得角
的范围，要使得三角形有
两解确定出
的范围，利用正弦函数的值域，即可求解.
【详解】因为在
中，
，
由正弦定理，可得
，
因为
，所以
，
要使得三角形有两解，可得
且
，即
，
即
，解得
.
故选：C.
精练高频考点
1．（多选）（24-25 高一下·甘肃白银·期末）在
中，
，
．若
有两个解，则
的取值可能为（ ）
A．9
B．8
C．10
D．11
【答案】ACD
【分析】根据
有两个解，可得
，解不等式即可得解.
【详解】在
中，
，
，
因为
有两个解，所以
，
即
，故
，结合选项可知ACD 符合题意．
故选：ACD
2．（多选）（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）记
的内角
的对边分别为
.已知
，若角
有两解，则
的值可以是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】CD
【分析】由正弦定理先计算出
，而角
有两解，则需要满足
且是最大边进而求出
的范围.
【详解】角
有两解，即角
有两解，由正弦定理可知：
，
角
要有两解，则需满足
且
，解得：
.
故选：CD
3．（多选）（24-25 高一下·陕西渭南·阶段练习）在
中，
，若该三角形有且只有一
解，则AC 的值可能为（ ）
A．6
B．2
C．4
D．8
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用正弦定理表示出
，再按
的取值情况分段求解.
【详解】在
中，
，
，
由正弦定理，得
，即
当
时，
，
有且只有一个解，
；
当
，且
时，
，
有两解，
；
当
时，
，
有且只有一个解，
，
所以AC 的值可能为2 或4，AD 错误，BC 正确.
故选：BC
高频考点二：利用正、余弦定理解三角形（利用正，余弦定理解三角形）
典型例题
例题1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则角C 的大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】根据正弦定理求得
，然后根据角的范围求解即可.
【详解】由题设及
，则
，
又
，故C 为锐角，且
，所以
.
故选：B．
例题2．（24-25 高一下·北京房山·期末）设
的内角
的对边分别为
，且
，
，
，则
.
【答案】
【分析】由余弦定理可得
，由
，可得
为锐角，又由
，可得
为锐角，再由正
弦定理求解即可.
【详解】解：由余弦定理可得
，
所以
，
所以
，
所以
，
又因为
，
所以
为锐角，
为锐角，且
，
由正弦定理可得
，
所以
.
故答案为：
精练高频考点
1．（2025 高一·全国·专题练习）在
中，已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角求解即得.
【详解】在
中，由
，得
，
由正弦定理得
.
故选：D
2．（24-25 高一下·重庆·期末）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】C
【分析】由正弦定理得到
，又
，所以
，故
.
【详解】由正弦定理得
，即
，
所以
，
又
，所以
，故
.
故选：C
3．（24-25 高二下·内蒙古·期末）在锐角
中，角
的对边分别是
．若
，则
．
【答案】8
【分析】先利用同角三角函数的关系求出
，再利用余弦定理列方程可求得结果.
【详解】因为
为锐角三角形，
，所以
，
所以由余弦定理得
，
化简整理得
解得
或
（舍去）．
故答案为：8
高频考点三：利用正、余弦定理解三角形（正余弦定理综合应用）
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）若
的内角
满足
，则当角
取最大值时，
角
的大小为 ．
【答案】
【分析】首先得
，然后由基本不等式得角
取最大值时，角
、角
的值即
可.
【详解】由条件得
，因此
，
所以
，由此可知
，
，
，
从而
，当且仅当
，即
时，
，
的最大值为
，
所以角
的大小为
．
故答案为：
.
例题2．（24-25 高一下·北京房山·期末）设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，给出下列四
个结论：
①若
，则
； ②若
，则
；
③若
，则
； ④若
，则
.
其中正确结论的序号 .
【答案】②③
【分析】利用余弦定理与基本不等式判断①②；利用反证法结合不等式的基本性质判断③；利用特殊值法
判断④即可.
【详解】对于①，由余弦定理得
，而
，则
，故①
错误；
对于②，
，由余弦定理得
，
而
，则
，故②正确；
对于③，假设
，则
，即
，而
，
则
，与
矛盾，假设不成立，因此
，故③正确；
对于④，取
，
，满足
，且
，此时
为锐角，故④错误.
故答案为：②③
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在
中，已知
，
，
边上的中线
，
则
．
【答案】
/
【分析】将
补成平行四边形，然后根据余弦定理求出
，利用正弦定理求出
.
【详解】将已知图形补形为平行四边形，如图，
在
中，根据余弦定理则有
，解得
，
再在
中，由正弦定理
，
.
化简得
，即
.
又
，
解得
．
故答案为：
.
2．（2025 高一·全国·专题练习）在
中，内角
的对边分别为
，且
，
，
，则边长
．
【答案】3
【分析】先应用正弦定理结合两角和正弦公式计算得出
，再结合向量关系计算求出边长，最后应用
余弦定理求解.
【详解】因为
，
所以
，
即
．
因为
，所以
，
即
，由
，所以
．
而
，
即
．
因为
，所以
，
，
由余弦定理可得
．
故答案为：3.
3．（2025 高一·全国·专题练习）已知
的内角
的对边分别为
，若
，
，
，则
．
【答案】
【分析】法一：正弦定理得到
，从而得到
；
法二：由余弦定理得到
，再由余弦定理得到
，从而得到
.
【详解】法一：因为
，所以
．又因为
，且
，所以
．
法二：由
，得
，解得
或
（舍去）．所以
，又因为
，所以
．
故答案为：
.
高频考点四：判断三角形的形状
典型例题
例题1．（24-25 高一下·江苏南通·期中）在
中，已知
，则
的形状为
【答案】等腰或直角三角形
【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可.
【详解】在
中，由
及余弦定理，得
，
整理得
，即
，
而
，因此
或
，
所以
或
，即
为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，若
，则
一定是 三角
形．
【答案】等边
【分析】二倍角公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
．故
为等边三角形．
故答案为：等边.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·天津·阶段练习）在
中，已知
，且
，则该三角形
的形状是 ．
【答案】等边三角形
【分析】先利用余弦定理求角
，再结合三角形内角和定理和两角和与差的三角函数公式探讨角
的关
系即可.
【详解】因为
，
由余弦定理可得：
，
又角
为三角形内角，所以
.
再由
.
即
，又
为三角形内角，所以
即
.
所以
为等边三角形.
故答案为：等边三角形
2．（23-24 高一下·贵州贵阳·阶段练习）
中，角
的对边分别是a、b、c，若
，则
的形状是 .
【答案】等腰三角形或直角三角形
【分析】利用正弦定理将条件转化为角的关系，化简判断三角形形状.
【详解】因为
，
为
的外接圆半径，
所以
，
又
，
所以
，
所以
，
所以
，又
，
所以
或
所以
或
，
所以
的形状是等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
3．（2010 高一·全国·竞赛）
的三边
满足
且
，则
的形状是 .
【答案】等边三角形
【分析】根据题意，由对数函数的单调性可得左式
，且右式
，从而判断三角形形状.
【详解】∵
，
∴
，
∴
左式
，
而右式
，
且
时取等号.
所以
的形状是等边三角形.
故答案为：等边三角形
高频考点五：三角形面积相关问题（求三角形面积）
典型例题
例题1．（25-26 高三上·湖北武汉·开学考试）在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，且
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化，代入化简可得结果；
（2）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可求得结果.
【详解】（1）由
，
根据正弦定理可得
，
即
，
即
，
，
所以
，又
，则
.
（2）由
，可得
，
，
因为
，所以
①，
因为
，所以
②，
联立①②可得
，解得
.
故
的面积为
.
例题2．（24-25 高一下·北京房山·期末）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，
.
(1)求
；
(2)求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理可以得到
，得到
即可.
（2）根据三角形的面积公式得出
的面积即可.
【详解】（1）
，
，
，且由余弦定理可得
，
则
，
，
又
，
（2）根据三角形的面积公式可得
，
的面积为
.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·福建福州·期末）已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
(1)求
；
(2)若
，
为
的角平分线，且
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合正弦和角公式化解可解；
（2）利用等面积法
，可得
，结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
又因为
，所以
．
（2）因为
为
的平分线，则
，
因为
，
则
，
即
，化简得
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，整理可得
，解得
，
所以
的面积
．
2．（24-25 高二下·河北·期末）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
．
(1)求c；
(2)设D 为
边上一点，且
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先应用正弦定理结合二倍角余弦公式化简求解结合角的范围即可求值；
（2）先应用正弦定理得出
，再结合余弦定理计算，最后应用面积公式即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以由正弦定理得
．
因为
，所以
，即
．
因为
，所以
．
因为
，所以
．
（2）
，
因为
，所以
．
在
中，由正弦定理得
，
即
，解得
．
由余弦定理得
，
即
，解得
（
舍去）．
故
的面积为
．
3．（24-25 高一下·海南·阶段练习）在
中，设A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
(1)求A 的值；
(2)若点D 在AC 上，
且
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和定理，结合正弦定理边化角，即可求角A；
（2）利用同角公式求正弦值，再结合正弦定理求出
，然后再根据正弦的和差角公式求解
，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由三角形内角和定理可知：
，
再由
，利用正弦定理边化角得：
，
因为
，所以有
，则
；
（2）
由
，在
中，可得
，
再由正弦定理得：
，
，
所以
的面积
.
高频考点六：三角形面积相关问题（三角形面积的最值（范围））
典型例题
例题1．（24-25 高三上·天津·期中）已知
的内角
所对应的边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积．
(3)若
，
的面积为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开
，利用正弦定理边化角，再结合三角形中
即可求解；
（2）根据题意，利用余弦定理求解，将已知条件代入三角形面积公式即可；
（3）根据余弦定理得到边的关系，利用基本不等式求出
的最大值，进而求出的最大值．
【详解】（1）
，
因此，根据题意，
，
由正弦定理可得
，即
，
在
中，
，
所以
，
即
，
，
，故
.
（2）依题意，
，
，根据余弦定理可得：
，
即
，
，
，
解得
，
根据三角形面积公式得
.
（3）依题意，
，
，根据余弦定理可得：
，
即
，
，
由基本不等式可知
，当且仅当
时取等，
即
，解得
，当且仅当
时取等，
综上，
，
即当
时，取最大值
.
例题2．（24-25 高一下·河南驻马店·开学考试）在
中，角
所对的边分别为
，已知
(1)化简上述等式，求出角B 的大小；
(2)若
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理以及辅助角公式，根据三角形性质与三角函数，可得答案；
（2）由余弦定理以及基本不等式，根据三角形面积公式，可得答案.
【详解】（1）由
，根据正弦定理，可得
，
由
，则
，可得
，
即
，由
，则
，解得
.
（2）由余弦定理可得
，则
，
由
，则
，解得
，当且仅当
时等号成立，
所以
的面积
，故
面积最大值为
.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·黑龙江绥化·期末）已知
分别为
三个内角
的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
；
（i）求
周长的取值范围；
（ii）求
面积的最大值．
【答案】(1)
；
(2)（i）
；（ii）
.
【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简得
，利用同角三角函
数的关系式求解.
（2）（i）（ii）由（1）的结论，利用余弦定理，借助基本不等式求解.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理得
，
即
，
整理得
，而
，则
，
于是
，整理得
，
即
，而
，解得
，
所以
.
（2）（i）由余弦定理得
，
当且仅当
时取等号，因此
，而
，
则
，所以
，
所以
周长的取值范围是
.
（ii）由（i）知
，当且仅当
时取等号，
所以
，
因此
，
所以
面积的最大值为
.
2．（24-25 高一下·四川眉山·期末）已知
分别为
三个内角
的对边，且
．
(1)求
；
(2)若
是
边的中点，
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理或余弦定理进行边角互化即可得出结果；
（2）用向量法利用中线定理，结合基本不等式即可得解．
【详解】（1）方法1：由正弦定理
可化为
，
∴
，∴
．
∵
，∴
，
∵
，∴
．
方法2：∵
，由余弦定理得
，
化简可得
，∴
，
∵
，∴
．
（2）∵
为
边中点，∴
，
∴
，
∵
，∴
，
∵
（当且仅当
时等号成立），
∵
，
∴
，∴
面积的最大值为
．
3．（24-25 高一下·山东聊城·期末）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角C；
(2)若
的边c 上的高等于
.
（i）当
时，求
的值；
（ii）求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）根据正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再结合余弦定理可得
，结合
为三
角形内角，可得
.
（2）（i）先根据条件，结合三角形的面积公式，可求
，再结合
，可求
的值.
（ii）利用余弦定理，结合基本不等式，求出
的最小值，再结合三角形的面积公式，可求三角形面积的
最小值.
【详解】（1）由
得
在
中，由正弦定理得
，
即
，所以
因为
，所以
.
（2）（i）由（1）知
，因为
的边c 上的高等于
，且
，
所以
的面积
，所以
，
因为在
中，
，即
所以
，
又
中，
所以
.
（ii）由（1）及（i）知
，
，
在
中，由余弦定理得
所以
·
因为
，所以
，解得
，当且仅当
时，等号成立.
所
即
面积的最小值为
.
高频考点七：三角形周长（边）相关问题（求三角形周长（边长））
典型例题
例题1．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）在
中，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
的面积为
且
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将
变形化简，再结合角的
范围即可求出角B；
（2）由三角形的面积公式求出
，再由余弦定理求出
，即可求出
的周长.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
．
即
，
因为
，所以
．
所以
．
因为
，
，所以
，
因为
，所以
．
（2）因为
，所以
，
由余弦定理得
，
由
，可得
，
所以
，所以
的周长为
．
例题2．（2025·江西萍乡·三模）已知
中，
，且
.
(1)若
，求
的外接圆面积；
(2)若
，
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由已知及三角恒等变换得
，进而得
、
，再由正弦定理
求外接圆半径，即可求圆的面积；
（2）由题设及（1）有
，进而得
，再应用三角形面积公式求得
，
，
，应用余弦定理求
，即可得.
【详解】（1）依题意，
，则
，故
，
因为
，且
，故
，则
，
故
的外接圆半径
，故
的外接圆面积
.
（2）由
，由（1）知，
，又
，则
，
所以
，则
，故
.
由
的面积为
，则
，代入
，可得
，
，
又
，则
，解得
，
由余弦定理
，故
的周长为
.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·海南·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)若
的面积为
，且
，求
的周长
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理，将边换成角，再根据两角和与差公式化简合并，即可求解；
（2）根据同三角函数关系可求出
，再根据正弦定理求出
，根据二倍角公式求出
；
（3）根据三角形面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
则
，
因为
，则
，
故
．
（2）∵
，且
,
∴
，
∵
，
，
∴
，解得
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
.
（3）∵
，∴
，
由余弦定理得
，
∴
，
又
，∴
，则
，
∴
，
于是
的周长
．
2．（24-25 高一下·河北承德·期末）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式、两角和的余弦公式变形，用正弦定理化角为边，再由余弦定理求得角；
（2）由面积公式和余弦定理（1）中结论列方程组求得
后得周长.
【详解】（1）因为
，
所以
，
由正弦定理得
，
所以
，又
，
所以
；
（2）因为
，
的面积为
，
则
，解得
，所以
的周长为
.
3．（2025·河南·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得出答案；
（2）设
，在
和
中由余弦定理可求出
，
，再代入三角形的面积
公式即可求出
，进而求出
的周长.
【详解】（1）由正弦定理得:
，
整理得
，
即
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）设
，则
，
在
中，由
，
，得
，
由余弦定理得
，
所以
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，则
，
所以
的周长为
.
高频考点八：三角形周长（边）相关问题（三角形周长（边长）的最值）
典型例题
例题1．（2025·上海·三模）在
中，角
，
，
所对边的边长分别为
，
，，且满足
(1)求角
的值；
(2)若
，求
周长的最大值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）通过正弦定理将已知等式中的角的正弦转化为边的关系，再利用余弦定理求出角
的值.
（2）根据余弦定理得到关于
、
的等式，然后结合基本不等式求出
的取值范围，进而得出三角形
周长的最大值.
【详解】（1）因
，
利用正弦定理：
整理得
由于
故
（2）由于
利用余弦定理：
，
所以
利用基本不等式：
整理得：
，(当且仅当
时，等号成立）
所以
故三角形的周长的最大值为
例题2．（2025·江西新余·模拟预测）已知
、
、分别为斜
中角
、
、
的对边，
．
(1)求
；
(2)已知
的面积为
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知
，由已知条件及正弦定理化简得出
，再利用正弦定理可求
得
的值；
（2）由三角形的面积公式结合同角三角函数的基本关系可求出
、
的值，利用余弦定理可得出
，然后利用基本不等式可求得
的最小值.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得，
，
即
，
因为
为斜三角形，所以
，故
，
由正弦定理可得
．
（2）由（1）知，
，所以
，
所以
，
即
，
因为
，则
，故
，所以
，
所以
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时，
取最小值
．
例题3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
(1)求证：
；
(2)若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理得到
，再结合
，
得到
，进而可求证；
（2）先确定
，再结合正弦定理得到
，
，进而可求解.
【详解】（1）由
得
，
从而
，
得
，
由余弦定理得
，即
，
由正弦定理得
，
又在三角形中，
，
所以
．
所以
，即
．
所以
或
，
即
或
．
因为
，
，所以
．
（2）由
得，
所以
，
即
，解得
，
因为
，由正弦定理得
，所以
，
由正弦定理得
，
故
的周长
．
令
，由（1）知
，所以
．
因为函数
在
上单调递增，
所以
周长的取值范围为
．
例题4．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）先由诱导公式和两角和的正弦公式转化条件等式，再结合正弦定理角化边和余弦定理即可
求解角B；
（2）由正弦定理进行边化角得到
，再利用
结合两角差的正弦公式和
余弦函数性质即可求解.
【详解】（1）在
中，有
，
所以
，
由正弦定理得
，
由余弦定理得
，所以
，
因为
，所以
．
（2）由正弦定理得
，
所以
，
因为
，所以
，故
的取值范围为
．
精练高频考点
1．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，整理成余弦定理的推论，求出
的值即可求解；
（2）利用正弦定理表示出
，再利用辅助角公式结合正弦型三角函数的性质求范围即可．
【详解】（1）在锐角三角形
中，因为
，
所以由正弦定理得
，
故
，即
，即
，即
，
所以
，即
，
由余弦定理得
，因为
，所以
．
（2）因为
，由正弦定理
，
所以
，
，
设
的周长为，
则
，
因为在锐角三角形
中，所以
，
，
所以
，解得
，
所以
，所以
，
故
，则
，即
，
故
周长的取值范围为
．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
为锐角三角形，角
所对的边分别为
，
．
(1)求证：
；
(2)若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合和角差角公式变形计算即可；
（2）运用正弦定理边角互化，再结合余弦函数性质，结合换元法和二次函数性质计算.
【详解】（1）由
，得
，
由余弦定理得
，即
，
由正弦定理得
，所以
．
所以
，即
．
所以
或
，
即
或
．
因为
，
，所以
．
（2）因为
为锐角三角形，所以
即
解得
．
因为
，由正弦定理得
，所以
，
由正弦定理得
，
故
的周长
．
令
，由（1）知
，所以
．
因为函数
在
上单调递增，
所以
周长的取值范围为
．
3．（2025·辽宁·二模）已知锐角
，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
．
(1)求
；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的
值；
（2）由
为锐角三角形求出角
的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出
的取值范
围，令
，结合导数可求出
的取值范围，即为所求.
【详解】（1）因为
，
，则
，
由正弦定理得
，
，所以，
，
因为
、
，则
，
所以，
，即
．
（2）在锐角
中，由
，可得
，
则
，
又
，则
，
所以，
的取值范围为
，
又
，设
，设
，其中
，
，
由
可得
，由
可得
，
所以，
在
上递减，在
上递增，
所以，
，
又因为
，
，故
的取值范围为
，
即
的取值范围为
.
4．（2025·新疆喀什·二模）记
的内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】(1)利用
将已知中的切化弦，再利用正弦定理将边化角，即可得证；
(2)利用(1)中的结论可求出
，再利用正弦定理将
化成角，即可求出范围.
【详解】（1）
，
，
两边同时乘以
得，
，
由正弦定理得，
；
在
中，
，
，
，
，
又
，
，
，
或
，
若
，且
，则
，
，不合题意，舍去.
.
（2）由(1)可知
，又
，
，
，
，
又由已知可得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的取值范围是
.
第四部分：典型易错题型
备注：锐角三角形周长取值范围问题，注意考查角的取值范围
1．（24-25 高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形
中，角
、
、
对应的边分别为
、
、，已知
.
(1)求
；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简得出
的值，结合
为锐角三角形可得出角
的值；
（2）求出角
的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出
，结合正切函数的基
本性质可求得
的取值范围.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
因为
为锐角三角形，则
，
，
所以，
，即
，所以，
.
（2）因为
为锐角三角形，可得
，解得
，
则
，
因为
，则
,所以
，可得
，
即
，所以
的取值范围为
.
2．（24-25 高三下·全国·开学考试）在锐角三角形
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
的周长l 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由降幂公式结合特殊角的三角函数值可得；
（2）由正弦定理边化角得到周长的表达式，再两角差的正弦展开式和辅助角公式结合正弦函数的取值范
围求解即可；
【详解】（1）因为
，所以
，
解得
或
（舍去），
又
，所以
.
（2）由正弦定理得
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
的周长
，
即
，
又
，所以
，解得
，所以
，
所以
，
所以
，即
的周长l 的取值范围为
.
第五部分：新定义题
1．（24-25 高一下·重庆江北·期中）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马
点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当
的三个内角均小于120°时，满足
的点O 为费马点；
②当
有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点M 为
的费
马点，且
．
(1)判断
的形状；
(2)若
的周长为
，求
的最小值；
(3)若
，求实数t 的最小值．
【答案】(1)
为直角三角形
(2)
(3)
【分析】（1）根据倍角公式得到
，由正弦定理得到
，从而
；
（2）根据点
为
的费马点，所以
，再由面积关系得
，利用均值不等式可得
，利用向量的数量积可求得最小
值；
（3）设
，
，由
得
，在三个小三
角形中分别用余弦定理表示出
，再结合
，得到
，从而由
均值不等式得可求得的最小值.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，由正弦定理得
.
所以
，所以
为直角三角形；.
（2）
由（1）知
，所以
的三个角都小于
，
因为点
为
的费马点，所以
.
由
，得：
，
整理得
，
所以
.
又
的周长为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
当且仅当
时，取等号，所以
，
又因为
，
所以
的最小值为
；
（3）由（2）知
.
设
，
，
由
得
.
由余弦定理得：
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，
因为
，所以
，
整理得
.
因为
，当且仅
当时等号成立，
所以
，整理得
，解得
或者
（舍去），
所以实数的最小值为
.
2．（2024·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，对任意两个向量
.作：
，
当
不共线时，记以OM，ON 为邻边的平行四边形的面积
为
当
共线时，规定
．
(1)分别根据下列已知条件求
；
①
；
②
；
(2)若向量
，求证：
；
(3)记
，且满足
，求
的最大值.
【答案】(1)5；0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意，根据新定义
即可求解；
（2）由新定义可证得
，
，即可证明；
（3）设
，并表示出
，由新定义和三角恒等变换化简计算可得
，结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为
，
，且
，
所以
；
又
，
，所以
；
（2）因为向量
，且向量
，
则
，
所以
，
同理
，
所以
；
（3）设
为锐角时，由
，得
或
，
当
为锐角，
为锐角时，
当
时，
取到最大值
；
当
为钝角时，由
，得
，
当
为钝角，
，
，
当
，即
时，
取得最大值
，
所以
取得最大值
.
【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，
通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地
证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示.
3．（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）如图，设
、
是平面内相交成
的两条射线，
、
分别为
、
同向的单位向量，定义平面坐标系
为
仿射坐标系，在
仿射坐标系中，若
，则记
.
(1)在
仿射坐标系中，若
，求
；
(2)在
仿射坐标系中，若
，
，且
与
的夹角为
，求
；
(3)如图所示，在
仿射坐标系中，
、
分别在
轴、
轴正半轴上，
，
，
、
分
别为
、
中点，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可知，
，利用平面向量数量积的运算性质可求得
的值；
（2）计算出
、
、
，利用平面向量的夹角公式可得出关于
的方程，解之即可；
（3）设
、
，利用平面向量的线性运算得出
、
关于
、
的关系式，利
用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出
，设
，利
用正弦定理可得出
，
，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得
的最大值.
【详解】（1）由题意可知，
、
的夹角为
，
由平面向量数量积的定义可得
，
因为
，则
，.
则
，所以
.
（2）由
，
，得
，
，
且
，
所以，
，
，则
，
，
因为
与
的夹角为
，则
，解得
.
（3）依题意设
、
，
且
，
，
，
因为
为
的中点，则
，
因为
为
中点，同理可得
，
所以，
，
由题意可知，
，
，
则
，
在
中依据余弦定理得
，所以
，
代入上式得，
.
在
中，由正弦定理
，
设
，则
，且
，
所以，
，
，
，
为锐角，且
，
因为
，则
，
故当
时，
取最大值
，
则
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
