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第03 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
1．（四川省成都市2024-2025 学年高一下学期期末调研考试数学试题）已知
，
，
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式与和差角的正切公式化简计算
，再根据正弦函数的单调性比
较大小即可.
【详解】因
，
，
，
又因函数
在第一象限是增函数，故
，即
.
故选：C.
2．（24-25 高一下·四川成都·期末）计算：
=（ ）
A．-1
B．0
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦两角和差的逆应用即可求解.
【详解】由
，
故C 正确.
故选：C.
3．（24-25 高一下·重庆·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正弦公式，化简已知条件，再根据余弦的二倍角公式，求出结果.
【详解】
，
．
故选：A.
4．（24-25 高一下·四川雅安·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知条件，利用两角和与差的余弦公式展开，解方程可得
，
，进而求得答案.
【详解】由
，得
，
解得
，
，
所以
.
故选：D.
5．（24-25 高一下·湖北黄冈·期末）已知
为锐角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用同角的正余弦的平方关系求得
，
，利用
可求值.
【详解】因为
，
，所以
，
又因为
，所以
，又
，
所以
，所以
，
所以
.
故选：A.
6．（24-25 高一下·山东淄博·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式化简可得结果.
【详解】
.
故选：A.
7．（24-25 高一下·河南南阳·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦的二倍角公式、弦化切可得答案.
【详解】
.
故选：C.
8．（24-25 高一下·广西钦州·期末）函数
的最大
值为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】C
【分析】由题可将
化为
，其中
，然后可得答案.
【详解】
，其中
，
则当
时，取最大值
.
故选：C
9．（多选）（24-25 高一下·四川绵阳·期末）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用二倍角公式及和差角公式逐项计算判断.
【详解】对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 错误；
对于D，
，D 正确.
故选：AD
10．（多选）（24-25 高三上·山东临沂·阶段练习）下列式子结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】逆用两角和的正切公式和二倍角的余弦公式即可得出答案.
【详解】对于A，逆用两角和的正切公式可得
，故
A 正确；
对于B，逆用由两角和的正切公式可得
，故B
错误；
对于C，逆用由两角和的正切公式
，故C 正确；
对于D，逆用二倍角的余弦公式
，故D 错误.
故选：AC.
11．（24-25 高一下·甘肃白银·期末）
．
【答案】
【分析】由
，利用两角和的正切公式变形即可得解.
【详解】
，
，
．
故答案为：
.
12．（24-25 高二下·云南昆明·期末）已知
，则
.
【答案】
【分析】先用辅助角公式化简等式，再利用二倍角公式进行求解.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
，
.
故答案为：
13．（24-25 高一下·辽宁朝阳·期中）已知
，
，且
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用平方关系及差角的正弦、差角的余弦公式求解.
【详解】（1）由
，得
，又
，则
，
所以
.
（2）由
，得
，又
，
则
，又
，
所以
.
14．（24-25 高一下·四川成都·期末）已知角
的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重
合，终边经过点
，且
.
(1)求
的值；
(2)将
的终边按顺时针方向旋转
，此时终边所对应的角为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数定义列方程求出点P 的坐标，然后再求出
、
，最后
利用诱导公式化简求值；
（2）由题意知
，根据两角差的正弦、余弦公式求出
，再利用两角和
的正弦公式求
.
【详解】（1）由三角函数定义可得
，得
，
则
，
，
，
（2）因为
，
，
所以
，
，
所以
.
B 相遇高考
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求
的关系，结合
的值可求前
者，故可求
的值.
【详解】因为
，所以
，
而
，所以
，
故
即
，
从而
，故
，
故选：A.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出
，再利用二倍角的余弦
公式计算作答.
【详解】因为
，而
，因此
，
则
，
所以
.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊
角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三
角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在
于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角
的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
C 素养提升
1．（24-25 高二下·浙江丽水·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们
的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别
信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离
进行测试.二维空间有两个点
，
，定义
之间的余弦距离为
，其中
.
(1)若
，
，求
之间的余弦距离；
(2)已知
，
，
，
，若
，
，
①求
之间的余弦距离；
②求
的值．
【答案】(1)
；
(2)①
；②5
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）①由新定义及所给点的坐标得出
，
，再求出
，即可得
出
之间的余弦距离；
②由
，
，展开化简可得解.
【详解】（1）由题意得
，
∴
之间余弦距离为
；
（2）①由题意得
∵
，∴
，∴
，
∵
，
∴
，∵
，∴
∴
，
之间的余弦距离为
.
②由①可得
，
，
∴
，∴
∴
2．（24-25 高三上·上海松江·阶段练习）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着
人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效
的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距
离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点
，则A，B 之间的曼哈顿距离为：
．A，B 之间
的余弦距离为
，其中
为
A，B 之间的余弦相似度．
(1)若
，求A，B 之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知
，且
．
①求N，P 之间的余弦距离；
②求N，P 之间的曼哈顿距离．
【答案】(1)曼哈顿距离为2，余弦距离为
(2)①
；②
【分析】（1）根据题意代入题目中的公式可得答案；
（2）①根据条件和两角和的余弦公式可求答案；②先求解
，结合和角公式可
得答案.
【详解】（1）由题意
；
因为
，
所以余弦距离为
.
（2）①由题意
，
由
，可得
，故
；
因
，故
，
则
，
又
，
所以N，P 之间的余弦距离为
.
②由①可知
，
，
，
因
，则
，
所以N，P 之间的曼哈顿距离为：
.
3．（24-25 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知
，且
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由
的范围求出
的范围，再利用平方关系及两角和的余弦公式即求.
（2）利用同角公式及两角差的正弦公式求解.
【详解】（1）由
，得
，而
，
，
则
，
，
所以
.
（2）由（1）知，
，
，
由
，得
，
因此
，
所以
.
4．（24-25 高一下·江苏常州·期中）中国数学家华罗庚倡导的“0.618 优选法”在各个领域
应用广泛，0.618 就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把
形如
等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天
文等学科.
(1)已知
，试证明此三倍角公式；
(2)若角
满足
，求
的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论；
（2）由（1）得
，再通过三角恒等变换化简
，并结合同角关系求结论；
（3）根据
，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求
得
，由此可得结论.
【详解】（1）由
，得证；
（2）由（1）知
，可得
，
又
，
故
（3）由
，则
，
所以
，则
，
所以
，可得
（负值舍），
所以
.
