文档文本内容
第03 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：公式的基本应用...................................................................................................................3
高频考点二：公式的逆用及变形................................................................................................................6
高频考点三：辅助角公式的运用................................................................................................................7
高频考点四：二倍角..................................................................................................................................9
高频考点五：拼凑角.................................................................................................................................12
高频考点六：降幂公式.............................................................................................................................15
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................17
第一部分：基础知识
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
②
；
；
③
3、降幂公式
4、辅助角公式：
(其中
)
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得
，则
，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】
，
因为
，则
，则
，
则
.
故选：D.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，则
.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得
，再缩小
的范围，最后结合同角的
平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得
，
因为
，
，
则
，
，
又因为
，
则
，
，则
，
则
，联立
，解得
.
法二： 因为
为第一象限角，
为第三象限角，则
,
，
，
则
故答案为：
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：公式的基本应用
典型例题
例题1．（24-25 高一下·四川绵阳·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用差角的正切求解即得.
【详解】由
，
，
所以
.
故选：D
例题2．（2025·四川巴中·二模）已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由条件结合同角关系可求
，再由两角差余弦公式求结论.
【详解】因为
，
，所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
故选：B.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·北京海淀·期中）在
中，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解可得结果.
【详解】在
中，
，
，
，
所以
，
，
所以
.
故选：C.
2．（24-25 高一下·云南昭通·期末）已知
，且
，则
．
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系得出
，再应用两角和正切公式计算求解.
【详解】因为
，
所以
，
，
所以
，
所以
．
故答案为：
.
3．（24-25 高一下·江西宜春·期末）已知
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系得到
，
，利用余弦和角公式得到答
案；
（2）先求出
，利用正切和角公式得到方程，求出
.
【详解】（1）因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
.
（2）由（1）可知
，
因为
，所以
，
即
，解得
.
高频考点二：公式的逆用及变形
典型例题
例题1．（24-25 高一下·四川·期中）计算
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意利用诱导公式以及正弦差角公式运算求解.
【详解】由题意可得：
.
故选：A.
例题2．（24-25 高一下·福建泉州·期中）
的值为 .
【答案】
【分析】根据两角差的正切公式化简，然后利用特殊角的正切值得解.
【详解】由题意得
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高一下·甘肃张掖·期中）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即可求解．
【详解】
，
故选：D．
2．（24-25 高一下·四川凉山·期中）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由两角和的正弦公式即可求解.
【详解】
,
故选：C
3．（24-25 高一下·福建泉州·期中）计算
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式和差角公式化简计算即可．
【详解】
.
故选：B.
高频考点三：辅助角公式的运用
典型例题
例题1．（24-25 高二下·浙江宁波·期末）已知
对于
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
，其中
，
，
.
故选：B.
例题2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数
为奇函数，则
．
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数
，再利用正弦函数的性质列式求解.
【详解】依题意，
，其中锐角
由
确定，
由
为奇函数，得
，即
，
所以
.
故答案为：
例题3．（2025 高三·全国·专题练习）求函数
的最小正周期．
【答案】
【分析】化简得到
，得到其最小正周期，进而得到答案.
【详解】化简函数
，
由公式得：
的最小正周期
，
的图象为
的图象位于
轴下方部分向上进行翻折，故周期减半，
∴
的最小正周期为
．
精练高频考点
1．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）设函数
，
，若
是奇函
数，则
．
【答案】
/
【分析】利用辅助式化简函数解析式，再由正弦函数性质求解.
【详解】函数
，
由
是奇函数，得
，则
，
所以
.
故答案为：
.
2．（2025·上海·模拟预测）
，
恒成立，则
．
【答案】
【分析】首先利用辅助角公式，化简函数
，再根据函数的性质求
，最后代入求
的值.
【详解】
，令
，得
，
，
由
恒成立，可知，
，
，
则
.
故答案为：
3．（24-25 高一下·浙江杭州·期末）已知函数
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的最小正周期；
(3)求使
取得最小值的
的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代值计算可得
的值；
（2）利用辅助角公式化简函数
的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得函数
的最小正周
期；
（3）令
，求出
的表达式，即可得出使
取得最小值的
的集合.
【详解】（1）因为
，故
.
（2）因为
，
故函数
的最小正周期为
.
（3）当
时，即当
时，函数
取最小值
，
故使
取得最小值的
的集合为
.
高频考点四：二倍角
典型例题
例题1．（24-25 高一下·广东肇庆·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的商数关系可得
的值，结合二倍角公式与弦化切即可求解.
【详解】由题意得
，所以
.
故选：A.
例题2．（24-25 高二下·陕西汉中·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平方关系结合题设可得
，再根据二倍角公式求解即可.
【详解】由
，结合
，解得
，
则
.
故选：B.
例题3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用同角三角函数关系结合已知条件计算得出
，再结合两角和余弦公式计算求解.
【详解】因为
，且
，
所以
，
，
则
.
故选：A.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·福建宁德·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】又条件根据同角关系求
，再结合二倍角公式求结论.
【详解】因为
，
，
所以
，即
，
所以
，又
，
所以
，
所以
，
故选：A.
2．（24-25 高一下·河南南阳·期末）已知
是第四象限角，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用差角的正切公式求得
，结合角的象限求出角
的正余弦，利用二倍角公式代入计
算即得.
【详解】由
可得
，解得
，
因为
是第四象限角，所以
，
，
由
解得
所以
.
故选：D.
3．（24-25 高一下·河南·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由二倍角的余弦公式及弦切互化可得结果.
【详解】
.
故选：D．
高频考点五：拼凑角
典型例题
例题1．（24-25 高一下·江苏镇江·期末）已知
，
为锐角，
，
，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，
为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解．
【详解】因为
，
为锐角，
，
，
所以
，
，
所以
，
则
，
所以
，
故选：A．
例题2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
为锐角，
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由同角三角函数的基本关系结合角的范围求出
，再由角的变换及两角和的正余弦
公式求解即可.
【详解】已知
为锐角，
，
根据
，可算出
，
因为
为锐角，且
，
又
，
，
，
所以
．
故选：C．
例题3．（24-25 高三上·江苏镇江·阶段练习）已知
，
为锐角，
，且
．
(1)求
的值；
(2)求角
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由同角的三角函数关系得到
，再利用差角的正切展开式结合同角的三角函
数关系解方程组可得；
（2）方法一：由差角的正切公式结合特殊角的正切值可得；方法二：由同角的三角函数关系结合两角和
的余弦展开式可得.
【详解】（1）由
，
为锐角，则
，
又
，则
，
所以
，
即
，
所以
……① 又
……②
由
为锐角，由①②解得：
．
（2）由（1）知
，又
，
即
．
由
，且
，则
，所以
，
又
，则
，所以
．
法二：因为
，
为锐角，
，
，解得：
，
，
由
，又
，
所以
，
则
，
由
，且
，则
，所以
，
又
，则
，所以
．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·浙江·阶段练习）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用两角差的正切公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为
，
，
可得
.
故选：B．
2．（24-25 高一下·湖北·期中）已知
，
都是锐角，
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数间的关系求得
，利用二倍角的正切公式求得
，进而利用两角和的正
切公式可求
的值.
【详解】因为
，
是锐角，所以
，
所以
，从而
，
所以
.
故选：A.
3．（24-25 高一下·甘肃兰州·期中）已知
，其中
，求
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意及同角三角函数的关系可得
，利用两角和的正弦公式
，展开可得结果.
【详解】由
，可得
，所以
，
.
故选：A.
高频考点六：降幂公式
典型例题
例题1．（23-24 高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用诱导公式及特殊值的三角函数，结合三角函数
的性质即可求解.
【详解】
，
，
，
又
在
上单调递增，所以
，即
，
所以
.
故选：A.
例题2．（23-24 高三上·四川成都·阶段练习）若
，则
.
【答案】
【分析】根据题意利用降幂公式结合诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（23-24 高一下·云南保山·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用降幂公式和诱导公式即可.
【详解】
，
故选：A．
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用半角公式和诱导公式进行求解.
【详解】∵
，∴
．
故选：B．
3．（23-24 高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数
的周期为
，则
.
【答案】
【分析】利用降幂扩角公式以及诱导公式化简函数，根据周期求得参数.
【详解】因为
.
因为其周期为
，故可得
，解得
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，以及由函数周期求参数，属综合基础题.
第四部分：典型易错题型
易错点一：忽略了辅助角
(其中
)公式中的
先化为正数再化简
1．（23-24 高一·上海·课堂例题）把下列各式化为
的形式：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据三角函数的恒等变换即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
2．（2024 高三·全国·专题练习）化简：
【答案】
或
【分析】利用辅助角公式，将其化为
或
的形式即可.
【详解】解法一：
解法二：
3．（23-24 高一上·黑龙江鸡西·期末）化简
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】三角换元之后，逆用和差角公式即可化简
【详解】（1）
（2）
