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专题 01 三角函数与解三角形(基础+中档)
题型1：三角函数相关的问题
题型2：求边长、角度问题
题型3：求面积、周长问题
题型4：几何图形的问题
题型5：求取值范围与最值问题
题型6：证明类问题
题型1：三角函数相关的问题
1．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知 .
(1)求 的最小正周期及单调增区间；
(2)已知 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足 ，点D为线段BC上一
点，且 ，求AD的长．
【答案】(1)最小正周期为 ，增区间为
(2)
【分析】（1）整理得 ，可求得其最小正周期及单调递增区间；（2）由题意可求得 ，结合已知可得 ，利用 ，可求得AD的长．
【详解】（1）由
，
则 的最小正周期 ，
令 时，解得 ，
故函数 的增区间为 ；
（2）因为 ，则 ，
由于 ，则 ，所以 ，解得 ，
又 ，则 ，
又由于 ，得 ，
，解得 ．
2．（2026·陕西榆林·三模）已知函数 ．
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不
变），得到函数 的图象，求函数 在区间 上的值域．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用辅助角公式化简 ，得到 ，结合角的范围求出 ，利用两角差
的正弦公式代入求解即可.
（2）根据图像平移变换得到 ，结合余弦型函数性质求值域即可.
【详解】（1）由题意知 ，
令 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标
不变），得到 ，
当 时， ，
所以 ， ，
即 的值域为 ．
3．（2026·山东泰安·模拟预测）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的
图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
00 2 0
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平行移动 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，
纵坐标不变，得到 的图象．若 图象的一个对称中心为 ，求 在 上的值域．
【答案】(1)
0
0 2 0 0
(2)
【分析】（1）结合题意建立方程求解出关键数据，最后得到解析式即可；
（2）按照题意对函数进行变换并结合对称中心得到 ，最后利用正弦函数的性质求解值域即可.
【详解】（1）根据表中已知数据，解得 ，
因为 ，所以解得 ， ，
数据补全如下表：
0
0 2 0 0
函数表达式为 ；（2）由（1）知 ，
将函数 的图象向左平移 个单位后得到
，
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，
得到 ，
若 图象的一个对称中心为 ，
，
解得 ， ，
由 可知，当 时， ，
因此 ；
因为 ，所以 ，
故 在 上的值域为 .
4．（2026·陕西榆林·三模）已知函数 的图象与函数 的图象的一
个交点为 ，且函数 的最小正周期是函数 最小正周期的2倍．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若在等比数列 中， ，数列 的前 项和为 ，求满足 的 的最小值．【答案】(1)
(2)7.
【分析】（1）先求出 的最小正周期，根据 的最小正周期是 的2倍且 ，求出 的值；再根据
点 是两个函数的交点，分别代入 和 ，再结合 ，求出 的值，进而确定 的解析式；利
用正弦函数的单调递增区间的求解方法，结合 的解析式，列出关于 的不等式，解不等式得到单调递增区间；
（2）先根据等比数列的通项公式，由 和 求出公比 ，得到数列 的通项公式，从而得到 的表达式，
利用局部等比数列求和公式求出 ，最后解不等式 ，求出 的最小值.
【详解】（1） ， 的最小正周期为 ；
函数 的最小正周期是函数 最小正周期的2倍， 的最小正周期为 ；
， ；
函数 的图象与函数 的图象的一个交点为 ， .
，即 ，解得 或 ；
， ；
.
令 ，得 ；
的单调递增区间为 ．
（2）设等比数列 的公比为 .， ， 由 ，得 ，解得 ；
．
， ；
；
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
.
， ，即 ；
；
， 的最小值为7.
5．（2026·上海黄浦·二模）已知 ．
(1)求函数 的最小正周期与单调增区间；
(2)将函数 的图象上的所有点沿向量 平移，得到 的图象．若 同时满足：
①图象关于点 对称；②有且仅有 个极大值点在区间 上．求 的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为 ，单调增区间为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数的单调性可
求得答案；（2）利用三角函数图象变换可得出函数 的解析式，根据函数 满足条件①以及 的范围可得出 的值，
再根据函数 满足条件②可得出关于 的不等式，解之即可.
【详解】（1）因为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，
由 ，可得 ，
所以函数 的单调增区间为 ．
（2）由（1）知 ，
将函数 的图象上的所有点沿向量 平移，得到 的图象，
所以 ，
由 的图象关于点 对称，可得 ，
所以 ，解得 ，
又 ，可知 ，故 ，
当 时， ，
由②知 ，解得 ，
故 的取值范围是 ．
6．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量 ， ， .
(1)求函数 图象的对称轴方程；
(2)在 中，角 为锐角且 ， ，求 面积的最大值.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得 ，从而可求对称轴方程；
（2）先由 求得 ，由余弦定理求出 的关系，再根据均值不等式求 的最大值，进而求出 面
积的最大值.
【详解】（1）由题意
，
所以 的对称轴为 ，即 .
（2）由 得 ，
解得 或 ，若 ，
则 ，与角 为锐角矛盾，
若 ，则 ，取 ，得 ，
由余弦定理得
即 ，由基本不等式得 ，
，化简得： ，等号当且仅当 时取得，
，即 .
面积的最大值 ，等号当且仅当 时取得.题型2：求边长、角度问题
7．（2026·河北保定·二模）在 中， 分别为内角 所对的边，若 成等差数列，
．
(1)求 的面积；
(2)若 是 的中点，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为三角形中角A,B,C成等差数列， ，
所以 ，由余弦定理知， ，
得 ，又因为 ，可得 ，
则 ，
整理得 ，根据三角形的面积公式可得 ；
（2）在 中，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
此时 取得最小值为 .
8．（2026·江苏扬州·模拟预测）在 中，已知角 所对的边分别为 ，且满足
．
(1)求 ；
(2)若 边上的两条中线 相交于点 ，求 的余弦值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由余弦定理化简可得；
（2）由题意可知， 为向量 与 的夹角，即 与 的夹角，分别计算 ， ， ，代
入向量夹角的计算公式可得.
【详解】（1）由余弦定理知 ，
化简得， ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
（2）由题意可知， 为向量 与 的夹角，即 与 的夹角.
是 的中点，得 ，
由 是 中点，得 .
所以 .
由 ，得 .
所以 ，
，
.
故 ．
9．（2026·河南·模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 .(1)求角 的大小；
(2)若点 是 上一点，且 平分
①用 ， 表示 的长；
②求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)① ②
【分析】（ ）由已知条件 ，利用正弦定理边角互化及两角和的正弦公式化简即可；
（2）①利用 化简即可求得；② 由①可得 ，根据角平分线的性质求得 ，
利用三角恒等变换将 转化为正切型函数，结合正切函数单调性即可求得.
【详解】（1）由 和正弦定理，可得 ，
又 ，所以 ，
代入 式得 ，因为 ，所以 ，
可得 ，即 ，又 ，所以 ；
（2）如下图：①因为 平分 ，则 ，
由 ，可得
化简得 ，则 ；
②因为 平分 ，所以 ，即 ，解得 ，
则由正弦定理，，
因 ，则 ， ，则 ，即 ，
故 的取值范围是 .
10．（2026·天津滨海新区·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ．满足
(1)求角 的大小；
(2)设 ，求 的值；
(3)设 ，已知 是边 的中点，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换可得 ，结合角的范围即可求解；
（2）根据余弦定理可得 ，利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得 ， ，然后利用和差角公
式结合条件即得.
（3）根据题意，结合余弦定理得 ，进而结合基本不等式得 ，再根据中线公式，结合余弦定理
求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，故 ，则 ，
又 ，所以 .
（2）由（1）知， ，且 ， ，
因为 ，即 ，
化简 ，解得 （舍）， ，所以 .
由 ，
则 ，
则 ， ，
所以 .
（3）由（1）知 ， ，
所以，由余弦定理 得： ，
因为 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
因为 是边 的中点，所以 ，
所以
，
所以 ，即 的最大值为 .
11．（2026·河北沧州·模拟预测）在 中，点 在线段 上， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的余弦值；
(3)求 的最大值.【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）利用余弦定理以及 即可求解；
（3）设 ，利用正弦定理和直角三角形的边角关系可得 ，再根据三角函数的最大值即可求
解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 .
在 中，利用余弦定理可得 ，
即 ，解得 （负数舍去）.
（2）设 ，可得 ，
利用余弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
又 ，所以 的余弦值为 .
（3）设 ，可得 .
在 中，利用正弦定理可得 ，即 ，
整理可得 ，当 时， 取最大值 .
12．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知 分别为 的内角 所对的边， .(1)求 ；
(2)三角形的布洛卡点是法国数学家布洛卡于1816年首次发现：当 内一点 满足条件
时，则称点 为 的布洛卡点，角 为布洛卡角.若 ， ， 为 的布
洛卡角，求 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换得 ，方法1：利用辅助角公式得 ，
进而求解；方法2：利用二倍角公式化简得 ，进而求解；方法3：利用平方关系，解方程组，进而求解；
（2）利用正弦定理解出 ，进而得 ,方法1：在 中，利用正弦定理得
，在 中，由正弦定理得 ，进而求解；方法2：在 中，利用正弦定理得
，在 中，由正弦定理得 ，进而求解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得： ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
方法1：所以 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ；
方法2： ， ，
因为 ，所以 ， ， ；
方法3：因为 ， ，
所以 ；
（2）在 中， ， ， ，由余弦定理 ，可得 ，
由正弦定理得 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，而 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
方法1：在 中，由正弦定理有 ，所以 ，
在 中，由正弦定理有 ，
所以 ，
所以 .所以 ；
方法2：在 中，由正弦定理有 ，所以 ，在 中，由正弦定理有 ，所以 ，
所以 ，故 .
题型3：求面积、周长问题
13．（2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角 中，角 的对边分别为 ， .
(1)求角 ；
(2)已知 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦边角关系和余弦定理计算即可求得 ；
（2）利用正弦定理将边 替换成角的表达式，再由锐角 以及三角函数值域即可求出周长的取值范围.
【详解】（1）由题设及正弦边角关系知 ，得 ，
整理得 ，故 ，又 ，所以 ；
（2）由（1）知 ， ，
由于 是锐角三角形，则 ，则 ，
由正弦定理得 ，即 ， .
又 ，故 的周长为
.而 在 上单调递减，
所以 的周长的取值范围为 .
14．（2026·安徽淮北·二模）已知 的三个顶点在半径为2的圆上， .
(1)求 ；
(2)若 为锐角，求 周长的取值范围.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）由正弦定理可求得 ，可求 ；
（2）由正弦定理可得 ，结合三角恒等变换，以及 的范围可求得 周长的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 或 .
（2）若 为锐角，由（1）可知 ，
由正弦定理可得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 周长的取值范围为 .
15．（2026·北京门头沟·一模）在 中， ， ．(1)求 ，
(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的周长．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 的面积为
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)选条件②或③， 存在，周长为 .
【分析】（1）根据所给的边结合正弦定理，二倍角公式可得；
（2）选条件①直接由余弦定理判断三角形不存在；选条件②先同角三角函数关系式可得A，B的正弦值，再由正
弦定理和余弦定理求解可得；选条件③：先由面积公式可得 ，再结合余弦定理可得三角形的周长.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
由正弦定理得 ，而三角形中有 ，
所以 ，再由二倍角公式得 ，且 ，
所以 .
（2）若选条件①： .
因为 ，由（1）可知 ，所以由余弦定理可得： ，
即 ，得 ， ，
方程无解，所以a边不存在，故 不存在.
若选条件②： .
因为 ，由（1）可知 ，所以 .
同理 ，得 ，所以在 中由正弦定理 ，得 ，
再由余弦定理 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去）.
所以三角形的周长 .
若选条件③： 的面积为 .
因为 ，由（1）可知 ，所以 ,
由三角形面积公式 ，得 .
再由余弦定理 ，得 ，即 .
所以 ，所以 .
所以三角形的周长 .
16．（2026·陕西咸阳·三模）已知 三内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理统一为角的三角函数等式，再通过三角形内角和关系替换角 并消去公因式，由辅助
角公式解得角 ；
（2）先用余弦定理建立边 的等量关系，再结合基本不等式求出 的最大值，最后代入面积公式
求得面积最大值.
【详解】（1）根据正弦定理得：中 ，因此 ，
代入上式消去 得：
因为 ， ，两边同除以 整理得：
，
由 得 ，因此 ，即 ，
（2）由余弦定理，代入 、 得：
由基本不等式 ，得：
即 ，当且仅当 时取等号，
的面积 ，
代入 的最大值得：
因此 面积的最大值为 .
17．（2026·湖南浙江·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求 的大小；
(2)若 为锐角三角形且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简原式，利用和角公式和三角形内角范围计算即可；
（2）先求出A范围，再利用正弦定理化边为角，根据三角形面积公式，结合三角函数值域计算即可
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ， ，
整理得 ，在 中， ，所以 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
又 ，故 .
（2）由正弦定理得 ，
所以 ， .
因为 ，所以 .
三角形为锐角三角形，故 ，
解得 .
三角形面积 ，
又 ，
所以
，
因为 ，所以 ，则 .
因此 .
18．（2026·河南周口·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)证明： .(2)若 ， ，D，E是边 上的两个点，且 ，求 的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由余弦二倍角公式可得 ，根据正弦定理及两角和差正弦公式化简即可得证；
（2）设 ，由正弦定理可得 ， ，由三角形面积公式可得
，令 ，化简可得最大值为 ，进而可计算 面积
最小值.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 ，化简可得 ，
则 ，即 ，
所以 或 （舍去）
故 成立；
（2）若 ，则 ， ，
因为 ，所以 ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，由正弦定理可得：，即 ，
在 中， ，由正弦定理可得：
，即 ，
所以 的面积为 ，
令 ，
则
因为 ，所以 ，
由余弦函数性质可知，
当 ，即 时， 有最大值为 ，
此时 的面积有最小值为 .题型4：几何图形的问题
19．（2026·河南郑州·二模）如图，在 中， 为 边上的一点，满足 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理可得 、 ，由 可得
，再结合 即可得 的值；
（2）设 ，利用余弦定理可表示出 、 ，再利用（1）中所得即可得解.
【详解】（1）在 中，由正弦定理可得 ，则 ，
在 中，由正弦定理可得 ，则 ，
故 ，
由 ，则 ，
则 ，故 ；
（2）设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理可得
，
在 中，由余弦定理可得
，
由（1）知 ，则 ，故 ，
解得 .
20．（2026·天津河北·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ，
．
(1)求a的值；
(2)求 的值；
(3)过点A作 ，D在边 上，记 与 的面积分别为 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）利用余弦定理直接求解.
（2）利用正弦定理、二倍角公式及和角的正弦公式求解.
（3）利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求解.
【详解】（1）因为 ， ， ，
由余弦定理，得 ，
解得 ．
（2）由正弦定理，得 ，即 ，
因为B为锐角，所以 ，
则 ， ，所以 ．
（3）因为 ，即 ，所以 ，
则 ．
设点A到直线 的距离为d，
因为 ， ，所以 ．
21．（2026·陕西·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ， ， 为 的角平分
线，且 ．
(1)若 ，求 的大小；
(2)设 为 中点，连接 ， 面积取得最小值时，求线段 的长度.
【答案】(1) ；
(2)2
【分析】（1）由正弦定理得到 ，根据 ，结合三角形面积公式建立关于 的方程，再结
合余弦定理求解 ；
（2）同（1）建立关于 的方程，再结合基本不等式求解 最值，进而根据等腰三角形性质求解即可.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理得 .
因为 的角平分线交 于点 ，所以 ，
由 ，得 ，
则 ，
即 ，所以 .
在 中，由余弦定理得 ，即 ；
（2）由 ，得 ，
得 ，
化简得 ，即 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时等号成立， 取得最小值， 面积取得最小值，
此时 为等腰三角形， 为 中点，则 既是中线也是角平分线.
即 重合，故 .
22．（2026·四川成都·二模）如图，正方形 的边长为1，P，Q分别为边 ， 上的点．
(1)若 ， ，求 ；
(2)当 的周长为2时，求 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出 的值，进而得到 的值，再利用勾股定理即可求出 ；
（2）设 ， ， ， ，利用 的周长为2求出 的值，再结合的范围求出 的值，即可得解.
【详解】（1）由题意知 ，则 ，
所以 ；
（2）
设 ， ， ， ，则 ， ．
由 的周长为2可得 ，即 ，
两边同时平方可得 ，化简得 ．
所以
．
又因为 ，所以 ．
所以 ．
23．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形 中， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，且 的面积是 面积的4倍，求 的长．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中，结合 以及 ，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用
同角三角函数的基本关系，即可得解；
（2）根据（1）中结论，结合 ，运用正弦定理可求得 ，再根据二倍角公式求出
，最后利用三角形面积公式列出方程 ，即可解得 .
【详解】（1）设 ，则 ，
由正弦定理可知， ，即 ，
整理得 ，又因为 ， ，
可解得 ，即 .
（2）由（1）可知， ， .
由正弦定理可知， ，解得 ，
又 ， .
， .
，
， ，
，
解得 .24．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形 中，已知 交于点 ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)证明：当 时， 位于 外接圆的内部．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解；
（2）利用正弦定理结合已知条件求出 ，再利用四点共圆的性质求出 ，比较 的大小判断
的位置．
【详解】（1） ， ，
在 中，由余弦定理得
，
，
同理 ，
，
．
（2）在 中，由正弦定理得 ，，
，
设 为射线 上一点，且 四点共圆，则 ，
，解得 ，
， 位于 外接圆的内部．
题型5：求取值范围与最值问题
25．（2026·甘肃金昌·三模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，
．
(1)求 ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，结合三角恒等变换得 ，进而求得答案；
（2）根据正弦定理得 ， ，再结合三角恒等变换得 ，最后结合
求解值域即可得答案.
【详解】（1）在 中， ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，
由 ，得 ．
（2）由正弦定理有 ，
所以 ， ，
，
由 ，有 ，可得 ，
所以 ，即 的取值范围为 ．
26．（2026·安徽安庆·二模）在 中，角 的对边分别为 ， ，
点 为边 上一点.
(1)求角 的大小；
(2)若 是边 上靠近点 的一个三等分点， ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由三角恒等变换可得 ，结合正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）结合向量的线性运算、正弦定理和三角形的内角和定理可得 ，根据 ，求解即可.
【详解】（1）因为 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，由余弦定理可得 ，
又因为 ，所以 ；
（2）由题意可得 ，
所以 ,
所以 ,
即 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即
，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
27．（2026·贵州遵义·模拟预测）在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，且满足：
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合 为锐角三角形证明即可.
（2）根据 为锐角三角形及（1）求出 的范围，结合正弦定理对 进行化简，进而求范围即可.
【详解】（1）在 中，因为 ，由正弦定理可得， .
由余弦定理知， ，则 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 或 .
若 ，因为 ，所以 ，与已知条件矛盾，不满足.
故 .
（2）当 为锐角三角形时， ，
即： ，所以 ..
令 ， ，则 .
令 ，由对勾函数性质可知 在 上单调增，
所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以
28．（2026·河南信阳·模拟预测）已知锐角 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一、由正弦定理结合三角恒等变形化简可得 ，进而得到 ；法二、利用余弦定理
代入，整理得 ，再求 即可求解；（2）先根据锐角三角形得到 ，再利用余弦定理求 的范围，再结合 进行求解．
【详解】（1）解：方法一、因为 ，则 .
由正弦定理得：
则 ，因为 ，则 .
所以 ，所以 .
法二、由余弦定理： ，
代入 ，得 ，又 ，
故 ，
整理得 ，故 ，
又 ，故 ；
（2）在锐角 中，由 ，可得 .
又 ，
又 ，则 ，故 .
又 ，设 ，设 ，
又 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
又因为 ，所以 ，故 的取值范围为 ．
29．（2026·吉林·三模）在平面四边形 中， ， .
(1)若 .
（i）若A，B，C，D四点共圆M，求 ；（ii）求四边形 面积S的最大值.
(2)若 ， ， 与 交于点 .记 ，求当 为何值时， .
【答案】(1)（i） ；（ii）
(2)
【分析】（1）设 ， ，利用余弦定理可得 .（i）由题意可得 ，进而
可得 和 ；（ii）根据面积公式可得 ，整理可得
，进而分析最值；
（2）利用余弦定理可得 ，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径 ，根据正弦定理已经圆
的性质可得 ，运算求解即可.
【详解】（1）设 ， ，其中 ，
在 中，由余弦定理可得 ；
在 中，由余弦定理可得 ；
即 ，可得 .
（i）若A，B，C，D四点共圆M，则 ，
可得 ， ，
由 可得 ，即 ，
则 ，即 ；
（ii）因为四边形 面积 ，
即 ，且 ，又因为 ，
当且仅当 时，等号成立
即 ，解得 ，
所以四边形 面积S的最大值为 .
（2）在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
则 ，即 ，
因为 ，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径 ，
则 ，
且 ，可知 ，
若 ，则 ，
即 ，可得 ，
又因为 ，则 ，可得 ，解得 ，
所以当 时， .
30．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)求C的值.
(2)设 的外接圆半径为R，内切圆半径为r.（i）若 ， ，求 的周长；
（ii）求 的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）30（ii）
【分析】（1）切化弦整理可得 ，结合 分析判断可得 ，即可得结果；
（2）（i）根据等面积法可得 ，即 ，再利用正、余弦定理可得 ，即可得周
长；（ii）整理可得 ，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得 ，进而分
析最值.
【详解】（1）因为 ，即 ，
整理可得 ，即 ，
因为 ，则 ， ，
则 或 或 ，
即 或 （舍去）或 （舍去），
且 ，解得 .
（2）（ⅰ）由题意可知： ，
则 ，可得 ，
又因为 ，则 ，
由余弦定理可知 ，
整理可得 ，可得 ，解得 或 （舍去），
所以 的周长 ；
（ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即 ，
则 ，
可得
，
且 ，则 ，可得 ，
则 ，所以 的最大值为 .
31．（2026·安徽·三模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用三角形内角和，将 转化为 ，整理得 ，再代入余弦定理，
化简得到边的关系式 ，最后结合正弦定理，将边的关系转化为角的正弦关系，完成证明.
（2）先用（1）的边的关系，把 用 表示出来，再用基本不等式求出它的最小值，并验证等号能取到，然
后根据三角形内角的性质，确定它小于1，最后综合得到 的取值范围即可.
【详解】（1）因为 ，
则代入得 ，所以 ，即 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，
因为正弦定理 （ 为外接圆半径），
则 ， ， ，代入上式：
所以 ．
（2）由（1）知 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号），
得： ，
又因为当 时，代入 ，得 ，解得 ，
则满足三角形三边关系 ，故等号成立，
由 ，可知 为最大边，且 ，故 为钝角，
因此 ，即 ，故 ，
又由基本不等式得 ，
所以 的取值范围为 ．
32．（2026·河北保定·二模）在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
△
(1)求 的值;
(2)证明: .【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知等式，结合正弦型函数的性质进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合二倍角的正余弦公式，利用换元法、构造函数法、导数的性质进行求解证明即可.
【详解】（1）
，
因为 ，所以 ，
所以由 ，或 ，
由 ，
由 ，显然不成立，
所以 ；
（2）由（1）可知： ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
，由 ，设 ， ，
设 ，
则 ，令 ，
因为 ，所以解得 ，
当 时，函数 ，所以函数 在 上单调递增，
当 时，函数 ，所以函数 在 上单调递减，
因为 ，所以函数 在 时，值域为 ，
即当 时， ，
于是当 时， .
题型6：证明类问题
33．（2026·广东广州·模拟预测）记 内角 的对边分别为 ．
(1)若 的面积为6，求 ；
(2)求 ；
(3)证明： 是钝角三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由三角形内角和可求出 ，再利用面积公式计算即可得解；
（2）借助正弦定理将边化为角后，结合 的大小与三角恒等变换公式计算即可得；（3）若 ，计算可得与 矛盾，故 ，不妨设 ，则由（2）中所得可得 ，即
可得 ，即可得证.
【详解】（1）由 ，可得则 ，
，解得 ；
（2） ，由正弦定理得 ，由 ，
则
，
故 ；
（3）若 ，则有 ，此时 ， ，
这与 矛盾，故 ，
不妨设 ，则 ，于是 ，
由 得 ，故 ，于是 ，
故 是钝角三角形．
34．（2026·河北张家口·二模）在 中， 分别为内角 的对边， 分别为边 ， 上的
动点，记 为 与 的夹角．
(1)证明： ；
(2)证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1) 方法一：由余弦定理化简得 ，两边同乘 ，结合正弦定理化简即可证明结
论；方法二：结合正弦定理将问题转化为证明 ，利用和差化积和二倍角公
式，即可证明结论；
（2）方法一：特殊情况先验证：当点D，E都位于点A时， ，一般情况： 由 ，利用
向量数量积的几何定义即可证明；
方法二：展开右侧的和差角余弦，结合三角形中的射影定理与正弦定理，消去含 的项，化简为左侧形式即可
【详解】（1）方法一：由余弦定理得 ， ，
所以 ，
即 ，
两边同乘 ，得 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ．
方法二：由正弦定理可知，要证 ，
只需证 ，
又因为
，
所以 ，得证．
（2）方法一：当点 都位于点 时， ，等式显然成立．
当点 不同时位于点 时，
，
，
，
，所以 ，又 ，
即 ．
方法二：展开等式右边，
，
易知 ，又由正弦定理可知， ，
所以 ，
即 ．
35．（2026·湖南长沙·模拟预测） 中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)证明：
(2)求 的内切圆半径r的取值范围；
(3)若 的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先求出 和 的值，再用 表示 ，进而得到 的表达式，整理证明即可；
（2）先利用 和 得到 关于 的表达式，通过函数关系确定 的取值范围；
（3）先求出 的值，再建立坐标系，将内切圆方程表示出来，设出点 的坐标，利用两点间距离公式表示出，结合圆的方程求其最大值
【详解】（1）由 ， 得 ， ，结合已知 ，
由余弦定理得 ，化简得 ，
所以
要证 ，即证 ，
因为 ，等价于 ，即 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以 ，故 成立，得证；
（2）三角形面积 ，内切圆半径 ，
代入 化简得 ， ，
是开口向下的二次函数，对称轴 ，最大值为 ，且 ，
故 的取值范围是 ；
（3）当 时，得 ， ，三边长满足 ，
则 为直角三角形， 为直角，内切圆半径 ，
建立坐标系，如图所示则 ， ， ，内心 ，
内切圆方程： ，
设 ，则 ，即 ，
平方和 ，
展开化简得 ，
由内切圆 的范围 ，当 时最大，最大值为 .
36．（2026·广东深圳·模拟预测）记锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，
（i）求 周长的最大值；
（ii）求 面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）6（ii）
【分析】（1）由余弦定理和正弦定理得到 ，由三角恒等变换得到 ，取
倒数可得 ；
（2）（i）由基本不等式得 ， ，所以 ，得到答案；
（ii）由 为锐角和余弦定理得 ，即 ，由三角形面积公式得 ，因为，令 ， ，由单调性求出 ，即 ，所以
，所以 ，得到答案.
【详解】（1）由余弦定理得 ，
又 ，所以 ，即
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
由 为锐角三角形，
得 ，
两边取倒数得 .
（2）（i） 因为 ，所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，满足 为锐角三角形，
所以 周长的最大值为 .
（ii） 成立，即 为锐角，且 ，
由 为锐角得 及 ，
解得 ，即
的面积为 ，
因为 ，
令 ， ，则二次函数 开口向下，对称轴为 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，又 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 面积的取值范围为 .
