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三角恒等变换专项训练-高三数学上学期一轮复习检测卷
一、单选题
1．在
中，角
的对边分别是
，若
，则
的形状为
（ ）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
2．已知角
的始边为
轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，
，则函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在
中，已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，
，
，若
的最小值为
，且
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．若函数
，则（ ）
A．
是周期为
的周期函数
B．
的最大值为
C．
在
上单调递增
D．
在
上单调递减
10．下列命题中是真命题的有（ ）
A．存在
，
，使
B．在
中，若
，则
是等腰三角形
C．在
中，“
”是“
”的充要条件
D．在
中，若
，
则
的值为
或
11．若函数f(x)的定义域为D，对于
，且
，都有
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，则称函数f(x)为“凸函数”下列函数是“凸函数”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．若
为锐角三角形，当
取最小值时，记其最小值为
，对
应的
，则
.
13．已知函数
且
在区间
上单调递减，则函数
在
上的最大值与最小值的和为 .
14．记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，则
．
四、解答题
15．在
中，内角
的对边分别为a,b,c，且
．
(1)求
的值；
(2)若
，点
是线段
上的一点，
，
，求
的值．
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16．在
中，内角
的对边分别为
，
，且
，
(1)求
；
(2)线段
上一点
，满足
，求边的长.
17．已知在锐角
中，
，
为
边上一点，且
．
(1)证明：
平分
；
(2)已知
，求
．
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18．
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求∠A；
(2)若
，满足
，
，四边形
是凸四边形，求四边形
面积的最大值．
19．如果存在实数对
使函数
，那么我们就称函数
为实数对
的“
型正余弦生成函数”，实数对
为函数
的“
型正余
弦生成数对”.
(1)已知函数
的“4 型正余弦生成数对”为
，求方程
在区间
上所有实根之和；
(2)若实数对
的“2 型正余弦生成函数”
在
处取最大值，其中
，
求
的取值范围.
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参考答案：
1．C
【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得
，
所以
，
即
，所以
，
又因为B∈(0,π)，所以
，则
，
又因为
，所以
.
故选：C.
2．C
【分析】
借助三角函数定义与二倍角公式计算即可得.
【详解】由角
的经过点
，故
，
则
.
故选：C.
3．B
【分析】利用辅助角公式、同角三角函数的平方关系、二倍角公式、正弦的差角公式计算
即可.
【详解】由题意可知
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
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而
，
所以
，
而
.
故选：B
4．B
【分析】利用三角恒等变换可得
，以
为整体，结合正弦函数的有
界性分析求解.
【详解】由题意可知：
，
当
时，则
，所以
故选：B.
5．C
【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可.
【详解】
，
，
，
因为
在
上单调递增，
所以
，故
.
故选：C.
6．A
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【分析】利用和角的正切公式求出
，再代入计算即得.
【详解】在
中，
，否则
，
，
，矛盾，并且有
，
，
因此
，而
，则
，
，
所以
.
故选：A
7．D
【分析】由和差角公式可得
，从而得解.
【详解】
，
所以
，
则
.
故选：D
8．B
【分析】由两角和的正弦公式得到
，再根据函数的性质求出
、
，即可
得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为
，
又
，
，且
的最小值为
，
所以
，即
，又
，所以
，
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所以
，又
，所以
，即
，
因为
，所以
，
所以
，令
，
，
解得
，
，
所以函数
的单调递增区间为
.
故选：B
9．AB
【分析】根据题意得
，进而根据周期函数的定义判断A；将问题转化为
，再结合三角函数的有界性得函数最值判断B；结合导数判断函数
的单调性可判断CD.
【详解】解：函数
的定义域为
，且
．
对于A，
，所以函数
是周期为
的周期
函数，故A 正确；
对于B，
，令
，
则
，其中
，
故
，解得
，
当
时，有
，此时
，即
，
，故
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，故B 正确，
对于C，
，
当
时，存在
，使得
，即当
时，
不恒成
立，故
在
上不是单调递增的，故C 错误；
当x∈(−π,0)时，存在
，使得
，即当
时，
不
恒成立，故
在
上不是单调递减的，故D 错误．
故选：AB．
10．AC
【分析】赋值法可以判断A 选项；在
中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可
判断B 选项；根据正弦定理可判断选项C；先由
，求得
，再由
，结合大角对大边求得
，最后根据
求值即可判断选
项D.
【详解】对于A，当
时，正确；
对于B，由
可得
或
，即
或
，所以
是等腰三角形或直角三角形，错误；
对于C，
(其中
是
外接圆的半径)，
正确；
对于D，因为
，
，所以
.
因为
，所以由正弦定理得
，从而
.
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又因为
，所以
，
从而
，错误；
故选：AC.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后
利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常
见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C 的范围对三角函数值
的影响．
11．BCD
【分析】根据“凸函数”的定义判断．
【详解】下列函数f(x)的定义域为D，
，且
，
若
，则
，A
不是凸函数；
若
，则
，B 是凸函数；
若
，要证
，只要证
，
令
，
，即要证
，只要证
，即证
，这显然成立．即
成
立，C 是凸函数，
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若
，
则
，
不妨设
，则
，
，
所以
，
，D 是凸函数，
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是用新定
义去判断，证明相应的不等式成立即可．证明不等式的方法有：基本不等式、分析法、作
差法．
12．160
【分析】令
，则
，
，代入
中，通过构造，利用基本不等式和二次函数的性质求最小值和最小
值成立的条件.
【详解】
为锐角三角形，
，
，
令
，则
，
，
令
，
则
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.
前两个“
”取“=”的条件是
，在
时，所有“
”全部取“=”，
所以当且仅当
时，
取最小值40，
即
，所以
.
故答案为：160.
【点睛】关键点点睛：令
，构造成
是关键，可利用基本不等式和二次函数性
质求最小值，而且等号成立的条件相同.
13．3
【分析】根据单调性与周期的关系可得
，进而可由
得
或
.代入验
证是否满足单调性可得
，即可利用三角恒等变换求解
，进而
利用三角函数的性质求解最值.
【详解】设
的最小正周期为
，由题意，得
.
且
在
上单调递减，
.
又
或
.
①当
时，
，则函数
的单调递减区间为
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.
，符合题意；
②当
时，
.
由正切函数性质知
；
，则
，
由
，
.
故答案为：3.
14．
【分析】依题意可得
，同除
，再由余弦定理、正弦定理将边化角得到
，再由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】因为
，所以
，所以
，
即
，由正弦定理可得
，
所以
，所以
，
所以
，
即
，
因为
，所以
，所以
.
故答案为：
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15．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换即可求解；
（2）由
的面积比值得
（角平分线定理），设
，
则
，
，
，再通过余弦定理列式即可求解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
所以
.
即
,
由正弦定理得
，
又
、
，则
或
（舍去）．
所以
.
（2）因为
，设
中
边上的高为
，
所以
，所以
，
设
，
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由
，
，
,
所以
，则
，
，
,
在
中，由余弦定理得
，
设
的中点为
，连接
，
如图所示，由
,则
，
在
中，
，
所以
，
解得
或
（舍去），
所以
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得
.方法1：利用三角恒等变换可得
，即可得结果；方法2：利用倍角公式可得
，即可得结果；
（2）方法1：利用向量可得
，再根据数量积整理可得
，
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结合余弦定理运算求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换可得
，
结合
解得
，即可得结果.
【详解】（1）因为
，可化为
，
方法1：因为
，则
，整理可得
，
又因为
，则
，可得
，解得
；
方法2：因为
，
，则
，
，可得
，
则
，即
，
又由
，得
，则
，即
.
（2）方法1：因为线段
上一点
，
，
，则
，
即
，可得
，
两边平方得
，
又因为
，则
，可得
①，
在
中，由余弦定理得
，可得
②，
由①②消去常数项得，
，代入②得
；
方法2：在
中，因为
，则
，可得
，
，
在
和
中，由正弦定理得
，
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则
，整理可得
，
代入
，解得
(舍去)或
，
所以
.
17．(1)证明见解析.
(2)
.
【分析】（1）由三角恒等变换及正弦定理
，在
中，由正弦定理得
，在
中，由正弦定理得
，两式结合即
可证明.
（2）在
中，由平面向量的基本定理得
，两边同时平方得
，再由余弦定理得
，然后计算即可.
【详解】（1）由题意，
，且
,
所以
，
即
，
所以
，
又因为
为锐角三角形，所以
，
所以
，
由正弦定理得
.
在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
因为
,
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所以
，
所以
,
又因为
，即
，且
，
所以
，
所以
平分
.
（2）由（1）知，
，
因为
，且
为锐角三角形，
所以
,
即
,
则
，故
.
在
中，由余弦定理得
，
解得
，
所以
.
18．(1)
(2)
答案第15页，共2页
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【分析】（1）由正弦定理及题意结合两角和的正弦公式得到
即可得角A.
（2）法一：设
，
边长为
，在
中根据余弦定理建立
与
的关系，
进而求得面积
，再结合换元法和三角函数值的有
界性即可求解；法二：将
设为变量，用于表示面积得
，结合三角恒等变换公式将面积公式化为一
角一函数，再利用三角函数的有界性即可求解.
【详解】（1）由正弦定理和
得：
，
即
，
又
，故
，
所以
，即
，又
，
所以
.
（2）法一：若
，
则由（1）可知
为正三角形，设其边长为
，
则有
，即
，
且由正三角形面积公式得
，
对于
，设
，则由余弦定理有
，
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故
，
所以四边形
的面积为
，
令
（
），则
，
故
，
再令
，
则
，
又
，所以
，
所以
，
所以当
时，四边形
的面积取得最大值为：
.
法二：若
，则由（1）可知
为正三角形，
设
，由题意
，
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由余弦定理
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，
所以当
时，四边形
的面积取得最大值为：
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）得到
，由
，得到
，设
，
即
，结合正弦函数的图像与性质，即可求解；
（2）由
，根据题意，得到
，求
得
，得到
，结合双曲函数的性质，即可求解.
答案第18页，共2页
【详解】（1）解：由函数
的“4 型正余弦生成数对”为
，
可得
，
又由方程
，即
，即
，
因为
，可得
，
设
，即
，
结合正弦函数
的图象，可得方程
在区间
有2 个解，
设其两根为
，且
，
由对称性可知
，解得
，则实根之和为
.
（2）解：由题意得
，其中
，
因为
在
处取最大值，可得
，
所以
，
即
，
可得
，
又因为
，且
在
上单调递增，
可得
，所以
，即
的取值范围为
.
