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专题 01 五大类解三角形题型-2026 年高考数学大题秒杀技巧
及专项训练
【题型1 三角形周长定值及最值】
【题型2 三角形涉及长度最值问题】
【题型3 三角形涉及中线长问题】
【题型4 三角形涉及角平分线问题】
【题型5 三角形面积定值最值问题】
【题型1：三角形周长定值及最值】
一、题型判断
已知三角形一边a，对角A，求三角形周长取值范围、周长最大值
高考解三角形第二问必考压轴，两种通用解法
二、周长定值问题
1. 已知三边长度：周长=a+b+c，直接相加即可
2. 已知两边+两边夹角：先用余弦定理求出第三边，再求和
3. 已知面积+一边一角：先求出bc定值，再配方
特点：边长全部确定，周长唯一固定不变
三、周长最值·方法一：余弦定理+基本不等式（最快秒杀）
1. 余弦定理：a²=b²+c²-2bc cosA
2. 配方变形：a²=(b+c)²-2bc(1+cosA)
3. 均值不等式：b²+c²≥2bc
4. 推出bc最大值，进而得到b+c最大值
5. 周长L=a+b+c，算出周长最大值
核心规律：
当b=c，三角形为等腰三角形时，周长取得最大值
四、周长最值·方法二：正弦定理+三角函数值域（大题标准满分写法）
1. 外接圆直径：2R=a/sinA
2. 边化角：b=2RsinB，c=2RsinC
3. 内角关系：C=π-A-B
4. b+c=2R[sinB+sin(A+B)]
5. 和差公式化简，辅助角公式整理
6. 根据角B范围，求正弦函数值域
7. 直接得出b+c范围，进而得到周长范围
五、周长取值范围万能结论已知a，角A
1. b+c＞a（三角形两边之和大于第三边）
2. b+c≤最大值（b=c时取等）
3. 周长范围：a+a ＜ L ≤ a+b+c最大值
即：2a ＜ 周长 ≤ 最大值
六、高频特殊角度秒杀结论
1. A=60°，a固定
b+c≤2a，周长最大值=3a，等边三角形取最大
2. A=90°，直角三角形
b+c≤√2 a，等腰直角周长最大
3. A为任意锐角
定边定角，永远等腰时周长最大
七、必考规律总结
1. 定边定角，面积最大 ↔ 周长最大，同一个等腰三角形
2. 一次式边角关系→正弦定理
3. 平方、最值、乘积bc→余弦+基本不等式
4. 范围题优先三角函数，填空选择优先不等式秒杀
八、大题标准答题模板（直接抄写不扣分）
由余弦定理可得
a²=b²+c²-2bccosA
即a²=(b+c)²-2bc(1+cosA)
又b²+c²≥2bc
代入化简可得b+c最大值
因此三角形周长L=a+b+c最大值为……
已知在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 的周长为6，内切圆半径为 ，求 的值．
【答案】(1) (2)4
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及同角公式求出 ；
（2）利用三角形面积公式、正弦定理、余弦定理即可求解．
【详解】（1）在 中，由 及正弦定理得：，
则 ，
整理得： ，
即 ，
由 ，得 ，则 ，
两边平方得 ，
即
由 ，得 ，
解得 ，故 ；
（2）由 的周长为6，内切圆半径为 ，
得 ，
解得 ，
由余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，
解得 ， ，又 ，解得 ，
因此 ．
在 中，角A，B，C所对的边为a，b，c， ， ．
(1)求c的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 为钝角三角形，求 边上的
高．
条件①： ；条件②： ；条件③： 的周长为18．
【答案】(1)5(2)选择条件①或③时， 边上的高为 ；选择条件②时，不满足题意.
【详解】（1）因为 ，且 ，所以 ，
设 外接圆半径为 ，
由正弦定理得所以 ，即： ，所以 .
（2）选择条件①：
由余弦定理，得 ，代入 ， ， ，得 ，则 ，
此时 ，所以 ， 为钝角三角形，
设 边上的高为 ，则 ，即 ， .
选择条件②：
若 ，则 ，所以 ，
由余弦定理得： ，
因为 ， ， ，所以 ，则 是直角三角形，不满足题意.
选择条件③：
若 周长为18，则 ，
由余弦定理得： ，
联立解得： ， ，
所以 ，所以 ， 为钝角三角形，
设 边上的高为 ，则 ，即 ， .
已知 的内角 所对的边分别是 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 的周长为 ， 外接圆的周长为 ， ， ，求 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理、余弦定理及三角形内角关系计算求解；
（2）根据已知条件，结合正弦定理及三角形内角关系、和角公式求出 及 ，再利用坐标法求 ．
【详解】（1）已知 ， ，
则 ①，
由正弦定理 ，代入①化简得 ，
由余弦定理知 ，
，
．
（2）已知 外接圆的周长为 ，则 ，解得 ，
由正弦定理得 ，
周长为 ，即 ，
，
又 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
展开得 ，即
，
，
，则A为锐角， ，
， ，
，
，
而 ，故 在 的延长线上，
以 为原点建立如图所示的坐标系，则 ，
角 ，故 ， ，
， ，
，
，
，
．
1．在 中，内角 的对边分别为 ，且
(1)求角 ；
(2)若 ，且 边上的中线 ，求 的周长．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得；
（2）借助平面向量线性运算及模长与数量积关系计算可得 ，利用余弦定理计算可得
，即可得 、 ，从而可计算出 ，即可得其周长.
【详解】（1）由正弦定理将角化为边可得 ，
即 ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
故 ，即 ，又 ，故 ；（2） ，则
，即 ，
由余弦定理可得 ，
故 ， ，
则 ，
故 的周长为 .
2．已知函数 ．
(1)写出函数 的极大值点构成的集合，以及 内所有的严格增区间；
(2)在 中角 所对的边分别是 若 ，且 ，求 的周长．
【答案】(1)极大值点集合 ；严格增区间为 和 (2)
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的性质求出极大值点的集合与
内所有的严格增区间；
（2）根据题目条件利用余弦定理求出 后即可得到 的周长.
【详解】（1）已知函数 ，
由 ， 可得：
由辅助角公式可得： ，
极大值点满足 ，解得 ，
故极大值点构成的集合为 ，
严格增区间由 得 ，在 内，
取 得 ，取 得 ，故严格增区间为 和 ，
（2）由 得 ，结合 解得 ，
由 得 ，即 ，所以 ，又 ，
即 或 ，由余弦定理 ，得 ，
故三角形周长为 .
3．已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
(1)求角 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式可得 ，根据 的范围求解即可；
（2）由面积公式可求得 ，由余弦定理可求得 ，即可得答案.
【详解】（1）由 ，
得 ，
， ，
， ，
，即 ，
， ，
， ．
（2） ，
，
由余弦定理
得 ，
，
，
的周长为 .
4．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 ， ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长.【答案】(1) (2)
【分析】（1）由向量平行的坐标表示和正弦定理边化角得到 ，再结合
，化简求解即可；
（2）由三角形面积公式求得 ，再由余弦定理求得 ，即可求解.
【详解】（1）由 得： ，
边化角得： ，
在 中， ，
故 ，
代入上式得： ，
展开化简得： ，
因为 ， ，
两边同除以 得： ，
又 ，
因此： ；
（2）由三角形面积公式 ，
代入 ，
得：
由 ，代入 ， ，
得 ，
即 ，
因为 ，故 ，
故 的周长为 .
5．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1) (2)【分析】（1）由正弦定理可得 ，结合 ，即可求出 ；
（2）由数量积的定义可求出 ，再由余弦定理求出 ，即可求出 的周长.
【详解】（1）由正弦定理可得： ，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
（2）由 ，
所以 ，又因为 ，
由余弦定理可得： ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的周长为： .
6．在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的周长.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理对给定式子合理变形，再结合同角三角函数的基本关系求解即可.
（2）结合题意得到 ，再利用同角三角函数的基本关系得到 ，最后结合余弦定理与三
角形的周长公式求解即可.
【详解】（1）在 中，因为 ，
所以由正弦定理得 ，
而 ，则 ，得到 ，
结合同角三角函数的基本关系可得 .
（2）因为 ，所以 ，
联立方程组 ，解得 （负根舍去），由题意得 ， ，由余弦定理得 ，解得 （负根舍去），
则 的周长为 .
7．在 中内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)若 的平分线 交 于点 的面积为 ，求 长；
(2)若 ，求当 周长最小时 的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）依题意有 即
又由余弦定理有
又 为 中内角
又 而
因为 的面积为 ，
在 中，
（2）由（1）知 ．
设 周长为 ，则
令 ，
当且仅当 时周长取最小值．
故当 周长最小时 ．
【题型2：三角形涉及长度最值问题】
一、题型总归类
已知一边一角（a，A），求：1. 边长b、c最值与范围2. b+c周长类最值3. bc乘积最值
二、bc乘积最值（所有最值根基）
已知 a，角A 由余弦定理：a² = b² + c² - 2bc cosA 由基本不等式 b²+c² ≥ 2bc代入得：a² ≥ 2bc - 2bc cosA，a² ≥ 2bc(1 - cosA)
推出：bc ≤ a² / [2(1 - cosA)] ，结论：b=c 等腰三角形时，bc取得最大值
三、b+c 周长最值（高频必考）
公式变形：a² = (b+c)² - 2bc(1+cosA)
1、最大值：依旧 b=c 等腰时，b+c最大，周长L=a+b+c最大
2、取值下限;由三角形两边之和：b+c > a 所以：a ＜ b+c ≤ 最大值，2a ＜ 三角形周长 ≤ 周长最大值
四、正弦定理求边长范围（标准大题写法）
2R = a / sinA，b = 2R sinB，c = 2R sinC，C = π - A - B，b+c = 2R[sinB + sin(A+B)]
化简用和差角、辅助角公式，根据 0＜B＜π-A，求出三角函数值域，直接得到边长范围
适用：所有严格大题步骤，不扣分
五、特殊角度秒杀结论
1、A=60°，b+c ≤ 2a，周长最大=3a，等边三角形取最值2、A=90°直角三角形，b+c ≤ √2 a
3、A为任意锐角，永远 b=c 等腰时，所有长度均取最大值
六、中线长度最值
已知a，A，BC边上中线ma，中线公式：4ma²=2b²+2c²-a²，b+c越大，中线越长，同样b=c等腰时，中线
最长。
七、高线长度最值
ha = 2S / a，S最大→高最大，依旧等腰三角形高最大
八、角平分线长度最值
角平分线长度随bc增大而增大，依然 b=c 等腰时，角平分线最长
九、通用解题口诀
1、看到平方、乘积bc → 余弦+基本不等式
2、看到边长范围、角度范围 → 正弦定理+三角函数
3、定边定角所有最值：全部b=c等腰取最大
4、两边之和大于第三边，所有范围下限必写
5、周长、面积、中线、高、角平分线，最值条件完全一致
十、大题万能标准步骤（直接抄写）
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA又b²+c²≥2bc代入整理可得bc最大值进而求出b+c最大值与取值范围
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径 ，且
．
(1)求b；
(2)若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度．【答案】(1) (2)
【分析】（1）由已知等式结合三角形的面积公式和余弦定理化简可求出角 ，再利用正弦定理即可求解；
（2）结合 条件结合余弦定理化简可求出 ， 的值，再利用等面积法得 即可求
解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
又 ，所以 ；又因为外接圆半径 ，
则由正弦定理可得 .
（2）由（1）知， ， ，且 ，
由余弦定理可得 ，化简得 ，
所以 ， ，
的平分线交AC于D，则 ，
在 中，由等面积法得 ，
即 ，
即
所以 .
在 中， 分别为内角 的对边，且 .(1)求角 的大小；
(2)若在（1）的条件下，有 ，求边 的最小值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算即可得；
（2）借助数量积公式可求出 ，再利用余弦定理结合基本不等式计算即可得.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，
即 ，
又 ，故 ，故 ，则 ；
（2）由 ，故 ，
由余弦定理可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
故边 的最小值为 .
已知 中，内角 所对的边分别为 ，且 （其中 为 的面积）.
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由三角形面积公式与向量数量积的定义化简计算即得角 的大小；
（2）由正弦定理化边为角，结合（1）的结论，利用和角公式与辅助角公式将待求式化成正弦型函数，根
据题设条件与正弦函数的性质即可求得.
【详解】（1）因 ，且 ，
由 ，可得 ，所以 ，
又 ，则 ；
（2）设 的外接圆半径为 ，由正弦定理 ，
，则
.
由 为锐角三角形及 ，则 ，则 ， ，
则 ，则 ，故 ，
即 的取值范围是
1．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）首先根据正弦定理得到 ，再代入 计算，再求得 .
（2）利用余弦定理和基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
由余弦定理得 .
因为 ，所以 .
（2）已知 ，由（1）知 ，
由余弦定理 ，
得 ，，即 ，
当且仅当 时取等号，
.
2．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求角 的值；
(2)若 ，且 的面积 ．
（i）求 ；
（ii）已知 ，点 分别在边 上，且 为等边三角形，求 的最小值．
【答案】(1) (2)（i） ;（ii）
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，利用两角差的余弦公式即可得解.
（2）（i）利用三角形的面积公式 及余弦定理得到 ，计算出 的值，从而得到
的值.（ii）法1：求出 为直角三角形，且 ，设 ，求出 ，设
，在 中，由正弦定理求出 ，计算 ，从而得到 ．法2：
求出 为直角三角形， 求出 ，设 ， ，过点 作 垂直 交 于点 ，
求出 ，由 得到 ，从而得到 ，利用二次函数的
图像和性质得到 的范围．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）（i） ，
，
或 （舍），, .
（ii）法1：
为直角三角形，且 ，设 ，
，
设 ，
在 中，由正弦定理得
．
法2：
为直角三角形，且 ，设
，设 ， ，
过点 作 垂直 交 于点 ， ，
，
，又 的对称轴为 ，
．
3．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知点 为线段 上的一点， 为 的
平分线， .
(1)若 ， ，
（i）求角 的大小：
（ii）求 的面积：
(2)当 时，求 的最小值.
【答案】(1)（i） （ii） (2)
【分析】（1）（i)可利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式化简，进
而求出角 ；
(ii)先利用余弦定理求出b，再结合三角形面积公式计算面积;
（2）可利用角平分线性质和余弦定理建立 、 的关系式，再结合基本不等式，即可求出 的最小值.
【详解】（1）（i）已知 ，由正弦定理得
整理得 即
左边 ，因此
因为 ， ，所以 ，又 ，故
(ii) 设 ，在 中，已知 ， ， ，
由余弦定理得 代入得 ，
整理得 ，解得 （负根舍去）（2）设 ， 是角平分线， ，代入面积公式：
，代入 ， 得
由余弦定理 ， ，且 ，
代入化简得
整理得
令 ， ，得
由基本不等式，
，且 ，代入得 当且仅当
时等号成立，故 的最小值为 .
4．如图，已知 为 三个内角 的对边， 为边 上一点，且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)求 的取值范围.
【答案】(1)2(2) (3)
【分析】（1）根据题意得出角 的大小，然后通过 计算即可；
（2）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系即可求解；
（3）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系构造新函数，利用函数的单调性即可求解.
【详解】（1）如图所示， ，所以 ，（2）设 ，则 ，
所以在 中，有 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以
所以 ，
因为 ，所以 .
（3）设 ，则 ，设外接圆半径为 ，则
因为 ，所以 ，因此 .所以 ，所以
所以设 ，则由已知可知 ，所以 ，
所以
任取 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以
又因为 ，所以
所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 的取值范围是 .
5．已知 的周长为 ，面积为 ，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且 .
(1)求角 ；
(2)若边长 ，求 的最小值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解.
（2）由余弦定理可得 结合基本不等式求出 ，即可求解.
【详解】（1） ，
由正弦定理得
，
在 中，（2）由余弦定理可得： ，
即
，
，
，当且仅当 时取等号
又
∴当 时， 取到最小值为
6．在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，且满足：
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合 为锐角三角形证明即可.
（2）根据 为锐角三角形及（1）求出 的范围，结合正弦定理对 进行化简，进而求范围即可.
【详解】（1）在 中，因为 ，由正弦定理可得， .
由余弦定理知， ，则 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 或 .
若 ，因为 ，所以 ，与已知条件矛盾，不满足.
故 .
（2）当 为锐角三角形时， ，
即： ，所以 ..
令 ， ，则 .
令 ，由对勾函数性质可知 在 上单调增，
所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以
7．在 中，角 所对的边分别为 ．满足
(1)求角 的大小；
(2)设 ，求 的值；
(3)设 ，已知 是边 的中点，求 的最大值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）利用三角恒等变换可得 ，结合角的范围即可求解；
（2）根据余弦定理可得 ，利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得 ， ，然后利用和
差角公式结合条件即得.
（3）根据题意，结合余弦定理得 ，进而结合基本不等式得 ，再根据中线公式，结合
余弦定理求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，故 ，则 ，又 ，所以 .
（2）由（1）知， ，且 ， ，
因为 ，即 ，
化简 ，解得 （舍）， ，所以 .
由 ，
则 ，
则 ， ，
所以 .
（3）由（1）知 ， ，
所以，由余弦定理 得： ，
因为 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
因为 是边 的中点，所以 ，
所以
，
所以 ，即 的最大值为 .
【题型3：三角形涉及中线长问题】
一、中线长万能公式（必考核心）
三角形ABC中，BC边上中线为AD，4AD² = 2AB² + 2AC² - BC²即：4ma² = 2b² + 2c² - a²
二、公式用法
1. 已知三角形三边，直接求中线长度2. 已知两边+中线，求第三边3. 结合余弦定理，求中线对应角度
4. 结合最值，求中线取值范围、最大值最小值
三、中线与余弦定理关系
中线分割三角形，分成两个小三角形，左右两个三角形共用中线，互补角余弦互为相反数cos∠ADB =
-cos∠ADC四、中线+边长最值问题（高考高频压轴）
已知一边a，对角A，求BC边上中线ma最值
1. 由中线公式：4ma²=2b²+2c²-a²2. 只需要求b²+c²最值，即可求中线最值3. 由余弦定理：
a²=b²+c²-2bccosA
4. 由基本不等式：b²+c²≥2bc可得b²+c²有最小值，无上限最大值
重要结论
1. b=c（三角形等腰）时，b²+c²最小→ 中线ma取得最小值2. 三角形越扁，b+c越大，中线越长，无
最大值3. 定边定角：中线只有最小值，没有最大值
五、中线与周长、面积关系
1. 三角形面积固定时，中线越短，三角形越规整2. bc越大，面积越大，中线越长3. 周长越大，中线
整体越长
六、正弦定理处理中线范围
1. 2R=a/sinA，b=2RsinB，c=2RsinC 2. b²+c²=4R²(sin²B+sin²C) 3. 降幂扩角化简，利用角范围求
值域
4. 代入中线公式，得到中线完整取值范围
七、中线秒杀规律总结
1. 任意三角形，两边平方和越大，中线越长2. 底边固定，顶角固定中线最小值在等腰三角形取得
3. 底边固定，顶角变化顶角越小，中线越长；顶角越大，中线越短4. 直角三角形斜边中线=斜边一半，
定值不变
八、大题标准解题步骤（直接抄写）
设BC边上中线为AD，由三角形中线长公式可得4AD²=2b²+2c²-a²由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA结合
基本不等式b²+c²≥2bc求出b²+c²范围，代入即可得到中线AD的取值与最值
九、易混易错点
1. 面积最值、周长最值：等腰取最大2. 中线长度最值：等腰取最小，不要记反3. 互补角余弦互为相
反数，不要符号出错4. 中线公式不要系数写错，是4倍平方，不是2倍
在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足 .
(1)求角C的大小；
(2)若 ， 边上的中线 的长为 ，求 的面积；
(3)若内角C的角平分线交 于D点，且 ，求 的面积的最小值.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）解法一：根据余弦定理结合 可求得 ，进而根据三角形的面积公式求解即可；解法二：根据 结合平面向量的数量积的运算律可得 ，再根据余弦
定理求得 ，进而根据三角形的面积公式求解即可；
（3）利用等面积法 可得 ，再根据基本不等式可得 ，进而根据三角形
的面积公式求解即可.
【详解】（1）由
根据正弦定理，得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 .
（2）解法一：因为 ，N为 的中点，则 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
在 中， ，
在 中， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
故 的面积为 ；
解法二：因为N为 的中点，则 ，
所以 ，
即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，所以 ，
故 的面积为 .
（3）因为 ，角C的角平分线交 于D点，所以 ，又 ，
则由 ，得 ，
所以 ，由基本不等式可得 ，则 ，得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
故 面积的最小值为 .
在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且 .
(1)求角C的大小；
(2)求b的取值范围；
(3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的
正弦余弦公式进行求解即可；
（2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可；
（3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值
性质进行求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
整理可得 ，即 ，
所以 ，
所以 .
（2）由正弦定理得 ，
因为锐角 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
（3）由余弦定理可得 ，
又 ，
则
，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以
由（2）知 ，则 ，
所以 ，
则 ，
则 ，故中线 的长度的取值范围为 .
设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ， ．
(1)求A；
(2)若 ，求中线 的长；
(3)若 的内切圆半径 ，求 的面积S.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由正弦边角关系及三角恒等变换化简条件得 ，即可得；
（2）由余弦定理得 ，结合 列方程求 ；
（3）应用等面积法、余弦定理得到 ，从而求出 ，即可求.
【详解】（1）由 ，可得 .
，
，又 ，则 ，
，又 ，
（2）在 中， ，则 ，
在 中，有 ，即 ，
在 中，有 ，即 ，
又 ，则 ，
得 ，解得 ，得 ；（3）由 ，
，即 ，
由余弦定理得 ，得 ，
，即 ，解得 或 （舍），
所以 .
1．已知 分别为 三个内角 的对边，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 为锐角， 边上的中线 ，求 的面积最大值．
【答案】(1) 或 (2)
【分析】（1）先由正弦定理化简等式，结合两角和的正弦公式和三角形中角的范围计算角的大小；
（2）根据平面向量运算以及基本不等式得 ，再根据三角形面积公式求最值.
【详解】（1）在三角形中，由正弦定理得：
．
中， ， ，
， ，
或 ．
（2） 为锐角， ，
为 的中点， ， ，
，即 ，
根据重要不等式知： ，
，当且仅当 时，等号成立．
因此， 的面积最大值为2．记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角A；
(2)已知 边上的两条中线 相交于点 ，且 ，求 的余弦值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换可得 ，即可得角A的大小；
（2）以 为基底向量，求 ， ，利用向量的夹角公式求 的余弦值.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又因为 ，
即 ，即 ，
且 ，则 ，可得 ，即 ，
且 ，所以 .
（2）因为 ， ，
由题意可知： ，
又因为 ， ，
则 ，即 ；
，即 ；
且 ；
可得 ，所以 的余弦值为 .
3．在平面直角坐标系中，已知 的顶点 ，边 上的中线所在的直线方程为 ，
边 上的高所在的直线方程为 .
(1)求边 所在直线的一般式方程；
(2)求 的面积.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由题可得 中线，与 边所在高线均过A点，据此可得点A坐标，从而可得答案；
（2）设 ，由 中点在 上， 边与其高线垂直，可得C坐标，然后由
（其中 表示 到BC距离）可得答案.
【详解】（1）由题可得 中线，与 边上的高线均过A点，
则A点坐标 满足： ，解得 .
又 ，则 ，从而AB方程为：
（2）设 ，由题可得 中点在 上，
则 . 边与其高线垂直， 斜率为1，
则 .将两方程化简联立： ，则 .
从而 ，其中 ，
表示 到BC距离，又BC 方程斜率为 ，BC方程为： ，
则 ， .
4．在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，
(1)求角 ；
(2)若 ，且 边上的中线 ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用余弦定理把角转化成边，再利用余弦定理可得答案；（2）法一：把向量关系式 平方，联立余弦定理，解方程可得答案；法二：延长中线至点
，使得 ，解 可得答案；法三：利用平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和，
以及余弦定理列方程，解方程可得答案；法四： 以及余弦定理，列方程，解方程可得答
案.
【详解】（1）由余弦定理： ，
得： ，
即： ，
整理得： ，
又由余弦定理：
故： .
（2）法一：（向量法）由余弦定理 ，即 .
而 ，得 ，
即 ，解得 .
故 .
法二：（倍长中线法）延长中线至点 ，使得 .
在 中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，余下同法一.
法三：（平行四边形法则）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
即 ，即 .余下同法一.
法四：（双余弦法）由 ，利用余弦定理得 ，
即 ，即 .余下同法一.5．在 中， ( 为 的面积).
(1)求 ；
(2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得 存在，求 的周长.条件①： ；条件
②： ；条件③： 边上的中线等于 .
【答案】(1) (2)答案见解析
【分析】（1）利用余弦定理和面积公式代入已知即可求解；
（2）选择①②：利用平方关系与和差公式求出 ，然后结合正弦定理求解即可；选择①③：利用
平方关系与和差公式求出 ，根据正弦定理设出三边，再由余弦定理列方程求解可得；选择②③：
此时 边上的高大于 边上的中线，不符合题意.
【详解】（1）由余弦定理， ，又 ，
所以 ，得 ，
（2）选条件①②： ，
，
则 .
由正弦定理得 ，解得： ，
所以 的周长为 .选条件①③： ，
，
由正弦定理可得 ，
不妨设 ，设 中点为 ，
由余弦定理 ，
由 得 ，解得 ，所以 的周长为 .
(注：若选条件②③，此时 边上的高 ， 边上的中线 ，
由于 ，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.)
6．在 中， .
(1)求A;
(2)若 的周长为20，面积为 ，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线
段AD 的长.
条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是 的平分线.
【答案】(1) ；
(2)选择条件，答案见解析.
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及和差角的余弦公式化简，再利用正弦定理角化边，余弦定理求解.
（2）根据给定条件，利用三角形面积公式，结合（1）中信息求出 ，选择条件①，利用向量数量积
运算律求解；选择条件②，利用三角形面积公式列式求解.
【详解】（1）在 中，由 ，
得 ，
整理得 ，由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，而 ，所以 .
（2）令 的内角 所对边长分别为 ，
由 的面积为 ，得 ，则 ，由 的周长为20，得 ，由 ，得 ，
即 ，解得 ，
选择条件①：AD 是BC 边上的中线，则 ，
所以 .
选择条件②：AD 是 的平分线，由 ，
得 ，则 ，
所以 .
7．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b， 已知
(1)求
(2)若 ， ， 的面积为 .
①求 ;
②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求 .
【答案】(1) (2)① ， ；②
【分析】（1）利用和角公式和正弦定理，以及辅助角公式推理计算即得；
（2）①利用余弦定理和三角形面积公式即可求得；② 先将 分别用 表示，再运用向量数量
积的运算律和向量夹角的计算公式求出 即得答案.
【详解】（1）由 ，可得 ，
由正弦定理得
因为 ，
所以
由于 ，则 ，所以 .
又 ，则 ，故 .
（2）①由题意， 的面积 ，可得 ①，
由余弦定理得， ，且 ，所以 ,则 ，因为 ，所以 ②，
因为 ，联立①和②解得， ，
② 因为D，E分别是BC，AC的中点，O为AD，BE的交点，
所以 ， ，
因为
，
，
所以 ,
由题意， 为锐角，则 .
【题型4：三角形涉及角平分线问题】
一、角平分线定理（必考基础）
在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D则 AB/AC = BD/DC即 c/b = m/n
作用：快速分割边长比例，不用求角度
二、三角形内角平分线长度公式
△ABC，角A平分线长 ta
ta = 2bc·cos(A/2) / (b+c)
三、角平分线与面积法
S = S + S 1/2 bc sinA = 1/2·c·ta·sin(A/2) + 1/2·b·ta·sin(A/2)
△ABC △ABD △ACD，
化简直接推出角平分线长公式，大题标准推导写法
四、角平分线+余弦定理推导法
△ABD与△ADC中，两角互补cos∠ADB = -cos∠ADC联立余弦定理，可求角平分线长度、边长
五、角平分线最值问题（高考高频压轴）
已知一边a，对角A，求角A平分线ta取值、最值
1. ta = 2bc cos(A/2) / (b+c) 2. 由基本不等式：b+c ≥ 2√bc 3. 代入得 bc/(b+c) ≤ √bc / 2
结论：
当b=c，△ABC等腰时角平分线长度取得最大值 底边固定，顶角固定，等腰三角形 → 角平分线最长
三角形越扁 → 角平分线越短，无下限
六、角平分线与周长、面积关系
1. bc越大，面积越大，角平分线越长2. b+c越大，角平分线越小3. 定边定角：面积最大时，角平分
线同时最大七、正弦定理求角平分线范围
1. 2R=a/sinA，b=2RsinB，c=2RsinC 2. 代入角平分线公式 3. 利用B+C=π-A，化简三角函数4. 根据
角度范围求值域，得到角平分线完整范围
八、高频秒杀结论
1. 等腰三角形顶角平分线=中线=高线，三线合一2. 定边定角：角平分线最大值 ↔ 面积最大值3. 角
平分线越长，三角形越对称规整4. 角平分线永远小于夹两边b、c
九、大题标准满分步骤（直接抄写）
∵AD为∠BAC角平分线由三角形面积分割得S =S +S 代入面积公式化简结合余弦定理与基本不
△ABC △ABD △ACD
等式求出bc与b+c范围，进而得到角平分线长度取值及最值
十、易错点总结
1. 不要把角平分线公式系数写错2. 互补角余弦互为相反数，符号不要出错3. 中线最小、角平分线最
大，千万不要记反4. 面积拆分法永远比硬套公式更不容易扣分
记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)证明： .
(2)若 ，A的角平分线交BC于D，且 ，求a.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由正弦定理得 ，
得 ，
得 .
因为 ， ，所以 ，得 .
（2）由正弦定理 ，得 .①
因为A的角平分线交BC于D，所以 ， .
在 中，得 ，得 .
在 中，由正弦定理得 ，
得 .②
由①②得 ，得 （负根舍去）.已知 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 ；
(1)求角 的大小；
(2)设点 为 上一点， 是 的角平分线，且 ， ，求 的长度.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）在 中，由正弦定理及 得：
，化简可得： ，
由余弦定理得 ，又 ，所以 .
（2） 是 的角平分线，则 ，
由 可得
，
因为 ， ，即有 ，故 .
在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 且 ．
(1)求B；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
(3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）由正弦定理可得： ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
由 可得 ，即 ，
由 ，可得 .（2）因为 ，
所以
，
由三角形为锐角三角形可知， ，解得 ，
所以 ， ，
所以 .
（3）如图，
由余弦定理， ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
又 ，
化简可得， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故BD长度的最大值为 .
1．已知 的内角A、B、C的对边分别为 ，满足 ．(1)求A；
(2)设点D为 上一点， 是 的角平分线，且 、 ，求 的长度．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案；
（2）利用三角形的面积关系 解出 即可．
【详解】（1）已知 ，
由正弦定理得 ，
， ，
，即 ，
，又 ，
；
（2） 是 的角平分线，
由（1）知， ，则 ，
因为 ，
则 ，
因为 ， ，即有 ，
故 ．
2．在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 .
(1)求 ；
(2)已知 的角平分线CD交AB于点 ，若 ，求 的面积及CD的长．
【答案】(1) (2) ，
【分析】（1）由三角恒等变换化简求解即可；
（2）利用余弦定理及面积公式解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，可得 ，
又因为 ，所以 .（2）由（1）知 ，又 ，
利用余弦定理得 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 的面积 ，
又因为 的角平分线CD交AB于点 ，
所以 ，
可得 ，
解得 .
3．设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，点 在BC边上．
(1)若AD为 的中线，求 的值；
(2)若AD为 的角平分线，求线段AD长．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由余弦定理求出 ，再由 进行计算；
（2）根据 ，结合三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）因为 ，由余弦定理知 ，
即 ，解得 或 （舍去），
因为AD为 的中线，
则 ；
（2）因为 为 的角平分线，
所以 ，
即 ，解得 .
4．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，内角 的角平分线交边 于 ， ，求 的长.【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式进行化简得到 ，结合同
角的三角函数关系求解即可.
（2）根据三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）由 及正弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，
则有 ，即 ，
所以 ，整理得 ，
又 ，所以 ，
则 ，即 ，
由 ，得 ，解得 ，
又 ，所以 .
（2）
由 ，得 ，又 ，所以 ，
又 ，
因为内角 的角平分线交边 于 ，所以 ，
所以 ，
解得 .
5．记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 的值；
(2) 的角平分线交 于点
①证明： ；
②若 ，求 的最大值．
【答案】(1)2(2)①证明见解析；② ．【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及正弦定理角化边求解.
（2）①由结合角平分线，利用三角形面积公式，结合余弦定理推理得证；②由①的信息，利用基本不等
式求出最大值.
【详解】（1）在 中，由正弦定理及 ，
得
.
（2）① 的角平分线交 于点 ， ，
即 ，由 ，得 ，
由余弦定理得： ，
则 ，所以 .
②由①得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 取得最大值 .
6．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
(1)求B；
(2)若 的角平分线交AC于点D，且 ，求BD．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）已知条件结合余弦定理，求出 ，可得 ；
（2）根据角平分线性质得 ，结合余弦定理解出 的值，由三角形面积的分割关系
列出等式，求解 的长度.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
因为BD平分 ，所以 ，即 ，由（1）知， ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，
整理得 .
7．记 的内角 的对边分别为 ，已知
(1)求
(2) 的角平分线交 于点 ，若 ，求 的周长．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出 ，再结合题意建立方程组求出 即可.
（2）作出符合题意的图形，先利用等角对等边求出 ，结合两角和的正弦公式求出 ，
利用正弦定理求出 ，最后求解周长即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，则 ，由题意得 ，
联立两式，得到 ，解得 .
（2）如图，作出符合题意的图形，
因为 的角平分线交 于点 ，所以 ，
则 ，得到 ，故 ，
而 ，而 ，则在 中，由正弦定理知 ，
解得 ，故 的周长为 .
【题型5：三角形面积定值最值问题】
面积定值问题
1、已知三边 → 直接海伦公式
2、已知两边及夹角 → 直接1/2ab sinC
3、已知一边一角+周长/边长关系 → 算出bc定值，带入面积公式
特点：所有边长角度确定，面积唯一固定不变
面积最值问题
技巧：正规方法：面积公式+基本不等式
{ S= 1 absinC c2
2 ⇒a2 +b2 =2abcosC+c2 ≥2ab⇒ab≤
2(1−cosC)
a2 +b2 −c2 =2abcosC
①
{ S= 1 acsinB b2
2 ⇒a2 +c2 =2accosB+b2 ≥2ac⇒ac≤
2(1−cosB)
a2 +c2 −b2 =2accosB
②
{ S= 1 bcsinA a2
2 ⇒b2 +c2 =2bccosA+a2 ≥2bc⇒bc≤
2(1−cosA)
b2 +c2 −a2 =2bccosA
③
秒杀方法：
在
ΔABC
中，已知
B=θ
,
AC=x
2
(AB+BC) max
S = ⋅sinB
则： ΔABCmax 8
x
其中 (AB+BC) max =2R⋅ √m2 +n2 +2mncosθ m,n分别是 BA、BC 的系数
2R=
sinθ
三角形面积公式
1 1 1
S = absinC,S = acsinB,S = bcsinA
ΔABC 2 ΔABC 2 ΔABC 2
①
1 1
S = r(a+b+c)= rl
ΔABC 2 2 r,l ΔABC ΔABC
② 其中 分别为 内切圆半径及 的周长
ΔABC ΔABC
推导：将 分为三个分别以 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积
法即可得到上述公式
abc
S =2R2sinAsinBsinC=
③ ΔABC 4R （R为 ΔABC 外接圆的半径）1 sinBsinC
S = a2
推导：将
a=2RsinA
代入
ΔABC 2 sinA
可得
S
ΔABC
=2R2sinAsinBsinC
a=2RsinA,b=2RsinB，c=2RsinC S =2R2sinAsinBsinC
将 代入 ΔABC
abc
S =
ΔABC 4R
可得
1 sinBsinC 1 sinAsinC 1 sinAsinB
S = a2 ,S = b2 ,S = c2
ΔABC 2 sinA ΔABC 2 sinB ΔABC 2 sinC
④
1
p= (a+b+c)
S =√p(p−a)(p−b)(p−c) 2
⑤海伦公式 ΔABC （其中 ）
a2 +b2 −c2
cosC=
2ab
推导：根据余弦定理的推论
1 1 1 √ (a2 +b2 −c2 ) 2
∴S = absinC= ab√1−cos2C= ab 1−
ΔABC 2 2 2 2ab
⇒ 1 √ (2ab) 2 −(a2 +b2 −c2) 2 = 1 √(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)
4 4
1
p= (a+b+c)
2 S =√p(p−a)(p−b)(p−c)
令 ，整理得 ΔABC
在 中，角 的对边分别为 ，满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的周长；
(3)若 是锐角三角形，且 ，求 面积 的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，所以解得 .
（2）由余弦定理可得 ，
因为 ，所以解得 ，
因此 的周长为 .（3）由正弦定理可得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
则
，
因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，
解得 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，即 面积 的取值范围是 .
已知 三内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）根据正弦定理得：
中 ，因此 ，
代入上式消去 得：
因为 ， ，两边同除以 整理得：，
由 得 ，因此 ，即 ，
（2）由余弦定理，代入 、 得：
由基本不等式 ，得：
即 ，当且仅当 时取等号，
的面积 ，
代入 的最大值得：
因此 面积的最大值为 .
在 中，角 的对边分别为 ．且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积 ，内切圆的半径为 ，求 ；
(3)若 的平分线交 于 ，且 ，求 的面积 的最小值．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 ，则 ，可得 ，
又因为 ，则 ， ，
可得 ，即 ，
可得 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
则 的面积 ，即 ，又因为内切圆的半径为 ，则 ，
可得 ，即 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，解得 .
（3）因为 的平分线交 于 ，由（1）知 ，
则 ，
又 ，
可得 ，
又 ，
则 ，
则 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的面积最小值为 .
1．在 中，角 的对边分别为 ．且满足 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积 ，内切圆的半径为 ，求 ；
(3)若 的平分线交 于 ，且 ，求 的面积 的最小值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）利用和角公式及诱导公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案；
（2）由三角形面积公式得 ，由等面积法得出 ，结合余弦定理即可求得边 ；
（3）根据等面积法，可得 与 的关系，再利用基本不等式求得 的最小值，继而可得三角形面积最
小值．【详解】（1）由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 .
（2）由题可知 ，化简得 .
由余弦定理知 ，即 ，
所以 ，解得 .
（3）因为 的面积为 ，
所以 .
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 的面积 ，
当且仅当 时， 的面积 取得最小值，最小值为 .
2．在 中，角 的对边分别为 ，满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的最小值；(3)若 是锐角三角形，且 ，求 面积 的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由余弦定理计算即可求解；
（2）由题意可得 ，根据基本不等式计算即可求解；
（3）由正弦定理将 化为关于角 的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，
由基本不等式可知 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ， 即 ，
所以当 时， 周长有最小值为 ；
（3）由正弦定理可得 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
则
，
因为 是锐角三角形，有 ，即 ，
所以 ， ， ，
因为 ，
所以 ，即 面积 的取值范围是 .3．在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 周长.
(3)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1) (2)6(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与三角恒等变换公式，推导出角 的
三角函数值，进而确定角 的大小；
（2）先利用三角形面积公式求出边 的长度，再结合余弦定理求出边 的长度，最后将三边相加得到周长；
（3）利用正弦定理将另外两边用角表示，再结合锐角三角形的条件确定角的取值范围，最后代入三角形
面积公式，利用三角恒等变换与三角函数的性质求出面积的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理 ，得：
，
代入原等式： ，
整理得 ，
因为 ，
所以 ，
由于 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）因为 且 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，解得 ，
所以 ，即 的周长为 ；
（3）
，
因为 是锐角三角形，又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，则 ，
从而 .
4．如图，在平面四边形 中， ．
(1)证明： ；
(2)已知 ， 的外接圆半径为1，求 面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）利用正弦定理和角的关系可证结论；
（2）利用正弦定理、余弦定理以及根与系数关系即可得 ，再利用三角形面积公式得到面
积表达式，再求出的范围即可得到最值.
【详解】（1）证明：设 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得， ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 .
（2）因为 的外接圆半径为1，
由正弦定理 ，得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，①
在 中，同理可得 ，②
由①②可知， 是关于的方程 的两根，
所以 ．的面积为 .
由 ，得到 ，
又因为 ，所以 ，
所以
即 面积的最大值为 .
5．已知 分别是锐角 三个内角 的对边，且 ， ．
(1)求 的值；
(2)求 面积的取值范围．
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出 ，再由已知条件结合正弦定理求得 ；
（2）先根据正弦定理求出 的关系式，然后根据 的范围求出 的范围，最后利用三角形面积公式即可
求得其面积的范围.
【详解】（1）在锐角 中，由正弦定理得 ，
又 ，
∵ ，
所以 ，
则 ，
在锐角 中， ，
，即 .
，（2）由（1）得 ，
由正弦定理： ，得
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故 面积的取值范围为 ．
6．设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
(1)求角A的大小；
(2)若 边 上的中线 的长度为 ，求 面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）依题意可得 ，根据数量积的运算律得到 ，再由均值不等式求出
的最大值，即可得解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
即 ，
，， ，则 ，
， .
（2）因为 是 中点，所以 .
两边平方得 .
所以 ，即 ，
又由均值不等式得 ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，
所以 ，即 面积的最大值为 .
7．已知锐角三角形 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足 ，
.
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围；
(3)若 ，求三角形 面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) .
【详解】（1）由 及正弦定理可得 ，即 ，
因为 ，则 ，所以 ，即 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，由正弦定理可得
，
因为 为锐角三角形，故 ， ，所以 ，又函数 在 上单调递增，且 ，故 ，即 .
（2）
，
因为 为锐角三角形，故 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，故角 的取值范围是 ，
所以 ，故 ，
令 ， ，
任取 、 且 ，
则
，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
所以函数 在 上为增函数，故 ，
故 的取值范围是 .
（3）由正弦定理可得 ，所以 ， ，
所以，
因为 ，所以 ，
令 ，函数 、 在 上均为减函数，
故函数 在 上为减函数，所以 ，即 ，
因此 ，即 面积的取值范围是 .
