第03 讲 平面向量的数量积及其应用
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 求平面向量的数量积......................................................................................................4
考点二 辨析数量积的运算律......................................................................................................9
考点三 模长综合计算................................................................................................................10
考点四 夹角综合计算................................................................................................................14
考点五 垂直综合计算................................................................................................................17
考点六 求投影向量....................................................................................................................19
考点七 求参数值或范围的综合计算........................................................................................20
考点八 数量积范围的综合问题................................................................................................24
三阶突破训练...............................................................................................................29
基础过关......................................................................................................................................29
能力提升......................................................................................................................................34
真题感知......................................................................................................................................42
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国二卷，第12 题,5 分
向量垂直的坐标表示
坐标计算向量的模
平面向量线性运算的坐标表示
2024 年新I 卷，第3 题,5 分
向量垂直的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
2024 年新Ⅱ卷，第3 题,5 分
数量积的运算律
已知数量积求模
垂直关系的向量表示
模长的相关计算
2023 年新I 卷，第3 题,5 分
向量垂直的坐标表示
利用向量垂直求参数
平面向量线性运算的坐标表示
2023 年新Ⅱ卷，第13 题,5 分
数量积的运算律
向量的模长运算
2022 年新Ⅱ卷，第4 题,5 分
数量积及向量夹角的坐标表
示
平面向量线性运算的坐标表示
2021 年新I 卷，第10 题,5 分
数量积的坐标表示
坐标计算向量的模
逆用和、差角的余弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
2021 年新Ⅱ卷，第15 题,5 分
数量积的运算律
无
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5 分
【备考策略】1 通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积
2 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3 能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角
4 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学
和实际问题中的作用
5 会用数量积解决向量中的最值及范围问题
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理
解，易得分，需重点复习。
知识点1 平面向量的数量积的定义及性质
（1）数量积的定义
一般地，当⃗a与⃗b都是非零向量时，称 |⃗a)|⃗b)cos<⃗a,⃗b> 为向量⃗a与⃗b的数量积（也称内积），
记作⃗a⋅⃗b，即⃗a⋅⃗b= |⃗a)|⃗b)cos<⃗a,⃗b> ．
（2）数量积的性质
①|⃗a⋅⃗b|≤|⃗a||⃗b|
②⃗a⋅⃗a= |⃗a|
2 ，即|⃗a|= ❑√⃗a⋅⃗a
③⃗a⊥⃗b⇔ ⃗a⋅⃗b=0 ．
知识点2 平面向量的夹角及其公式
定义：已知两个非零向量⃗a,⃗b，O 是平面上的任意一点，作⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，则∠AOB =θ (0≤θ≤π)叫
做向量⃗a与⃗b的夹角．
注意：①当θ =0时，向量⃗a与⃗b 同向 ；
②当θ =π
2 时，向量⃗a与⃗b 垂直 ，记作⃗a⊥⃗b；
③当θ =π时，向量⃗a与⃗b 反向 ．
注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量⃗CA与⃗AB
的夹角．作⃗AD =⃗CA，则∠BAD才是向量⃗CA与⃗AB的夹角．
向量的夹角公式： cos〈⃗a,⃗b 〉=⃗
a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
.
知识点3 平面向量数量积的运算律
已知向量⃗a,⃗b,⃗c和实数λ，则
（1）交换律： ⃗a⋅⃗b=⃗b⋅⃗a ；
（2）数乘结合律： (λ⃗a)⋅⃗b= λ(⃗a⋅⃗b)=⃗a⋅(λ⃗b) ；
（3）分配律： (⃗a+⃗b)⋅⃗c =⃗a⋅⃗c +⃗b⋅⃗c ．
注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若⃗a,⃗b,⃗c均为非零向量，且⃗a⋅⃗c =⃗b⋅⃗c，但得不到⃗a=⃗b．
（2）(⃗a⋅⃗b)⋅⃗c≠⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)，因为⃗a⋅⃗b，⃗b⋅⃗c是数量积，是实数，不是向量，所以(⃗a⋅⃗b)⋅⃗c与向量⃗c共
线，⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)与向量⃗a共线，因此，(⃗a⋅⃗b)⋅⃗c =⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)在一般情况下不成立．
（3）推论：(⃗a±⃗b)
2=⃗a
2±2⃗a⋅⃗b+⃗b
2．
知识点4 平面向量数量积中的坐标运算
若⃗a=(x1, y1)，⃗b=(x2, y2)，⃗a与⃗b的夹角为θ.则：
（1）⃗a⋅⃗b= x1 x2+ y1 y2 ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ；
（2）|⃗a|
2= x1
2+ y1
2 ，或|⃗a|= ❑√x1
2+ y1
2 ；
（3）⃗a⊥⃗b⇔ x1 x2+ y1 y2 =0；
（4）若⃗a，⃗b为非零向量，则cosθ = ⃗
a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
=
x1 x2+ y1 y2
❑√x1
2+ y1
2⋅
❑√x2
2+ y2
2 .
知识点5 投影向量
向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，⃗AB = a，⃗CD = b，作如下的变换：过⃗AB的起点A和终点B，
分别作⃗CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到⃗A1B1，则称上述变换为向量a向向量b投影，⃗
A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
考点一 求平面向量的数量积
典例1．（2025·四川绵阳·三模）已知平面向量
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量平行的坐标表示求出
，再根据数量积的坐标表示求解即可.
【详解】由
，
，
则
，即
，
此时
，则
.
故选：A.
典例2．（2025·云南昭通·模拟预测）在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．36
B．18
C．
D．
【答案】D
【分析】由余弦定理求出
，然后由向量数量积的定义求解即可.
【详解】在
中，已知
，
，
，
由余弦定理得
.
故选：D．
典例3．（2025·江苏·一模）已知平面向量
是两个单位向量，
在
上的投影向量
，则
（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解.
【详解】由
在
上的投影向量
，得
，则
，而
是单位向量，
因此
，又
是单位向量，所以
.
故选：B
典例4．（2025·河北·模拟预测）若
，
，
，则
（ ）
A．6
B．8
C．9
D．12
【答案】B
【分析】令
，
，得
，由平面向量数量积运算律即可即可.
【详解】令
，
，则
，
.
故选：B.
典例5．（2025·河北保定·三模）如图，在四边形
中，
，
，
，
为线
段
的中点，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】在
中，由余弦定理可得
，在
中易得
，
，即可
利用数量积的定义求解.
【详解】在
中，由余弦定理可得
，
则
，
由
，可得
，
又
为线段
中点，则
，
又
，则
，
，且
，
所以
.
故选：D.
跟踪训练1．（2025·河北邯郸·二模）已知平面向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出
与
的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计
算它们的数量积，最后通过化简得到
与
的关系式．
【详解】
，即
．
故选：A.
跟踪训练2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知
为
的高，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】
，根据垂直
计算即可.
【详解】
因为
为
的高，所以
,
故选：A.
跟踪训练3．（2025·山西·三模）已知向量
，
，均为单位向量，且
，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】由数量积的运算律变形
为
和
，再分别平方后可得.
【详解】由
，
，
，有
，
又由
，
，
，有
，
故
.
故选：D
跟踪训练4．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形
的边长满足
，以
为圆心的圆与
相切于
，则
（ ）
A．
B．
C．8
D．
【答案】A
【分析】由
，根据等面积可得
，由
及向量数量积几何意义求解即可.
【详解】由已知条件可知，
，因此
．
故
．
故选：A
跟踪训练5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在
中，
，
，
，
则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】C
【分析】根据
得出
，再利用向量的线性运算得出
，即
可求出
.
【详解】因为
，所以
，
即
，
所以
，即
，
因为
，则
，
则
，
所以
.
故选：C.
考点二 辨析数量积的运算律
典例1．设
、
是任意两个非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合向量垂直关系与数量和意义判断.
【详解】由
，得
；反之当
，也可推出
，
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
典例2．设
为非零向量，
，则“
夹角为钝角”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将模的关系平方得到
，进而判断即可.
【详解】由
，
平方得，
，
即
，
又因为
，即
，
所以
，所以
夹角为钝角或平角，
所以“
夹角为钝角”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
跟踪训练1．设
，
是两个非零向量，则“
”是“
与
的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为
时，数量积
也成立，即可得出结论.
【详解】若
，则
与
的夹角可能为
，不一定是钝角，因此充分性不成立；
若
与
的夹角为钝角，则可得
，因此可得
，所以充分性成立，
即“
”是“
与
的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B
跟踪训练2．在△
中，“
”是“△
为钝角三角形” 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关
系，即可知答案.
【详解】由
，即
，又
，
所以
，不能推出△
为钝角三角形，充分性不成立；
△
为钝角三角形时，若
，则
，不能推出
，必要性不成立.
所以“
”是“△
为钝角三角形” 的既不充分也不必要条件.
故选：D
考点三 模长综合计算
典例1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积坐标公式计算得出
，最后应用模长公式计算求解.
【详解】因为
，所以
，所以
.
故选：C.
典例2．（2025·湖北·模拟预测）已知向量
，
满足
，且
在
上的投影向量为单位向量，则
（ ）
A．1
B．
C．3
D．2
【答案】D
【分析】由题意可得
，进而可得
，设设
，
，计算可求
.
【详解】因为
在
上的投影向量为单位向量，所以
，
所以
，所以
，
设
，
，可得
，
两边平方得
，所以
，
令
，则
，解得
或
，
当
时，这时
，此时
，此时
，不符合题意，
当
时，即
，
此时
.
故选：D.
典例3．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量
满足
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
两边平方，可得
，继而根据
，即可求得答案.
【详解】由于
，
，
故
，即
，则
，
故
，
故选：D
典例4．（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从A 港口到B 港口的航行任务，B 港口在A 港口的正北方
向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路
程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．2m/s
B．
m/s
C．4m/s
D．
m/s
【答案】B
【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模长即可求解.
【详解】设船在静水中的速度为
，水流速度为
，船实际航行速度为
，则
，
则
，设
，
由船需要准确到达正北方向的B 点，得
，
则
，解得
，
而
，于是
，
，
所以该船完成此段航行的实际速度为
m/s.
故选：B.
跟踪训练1．（2025·山东济宁·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．6
C．9
D．
【答案】B
【分析】利用向量共线求得
，进而由向量的坐标运算求得
的坐标，可求模.
【详解】因为
，所以
，解得
，
，所以
，所以
.
故选：B.
跟踪训练2．（2025·河南·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】利用数量积可求
.
【详解】
，
故
.
故选: D.
跟踪训练3．（2025·山东烟台·三模）已知向量
，
满足
，
，且
，则
（ ）．
A．
B．2
C．
D．6
【答案】C
【分析】先根据数量积的运算律求出
，再根据
结合数量积的运算律即可得解.
【详解】由
，
得
，所以
，
所以
.
故选：C.
跟踪训练4．一条东西方向的河流两岸平行，河宽
，河水的速度为向正东
．一艘小货船准备
从河南岸码头P 处出发，航行到河对岸Q（
与河的方向垂直）的正西方向并且与Q 相距
的码头M
处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为
，则当小货船的航程最短时，小货船
航行速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货
船航行速度的大小．
【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段
，设小货船航行速度为，水流的速
度为
，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为
，作出示意图如下：
，
，在
中，有
，
所以
，
，
，
所以
，
所以
，
所以小货船航行速度的大小为
，
故选：C.
考点四 夹角综合计算
典例1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知向量
、
满足
，
，
，则
、
的夹角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出
的值，即可得出
、
的夹角.
【详解】因为
，
，
，所以
，
故
，所以
，即
、
的夹角为
.
故选：A.
典例2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知非零向量
与
不共线，且满足
，
与
的夹角为
，则向量
与向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设向量
与向量
的夹角为
，设
，进而利用向量的夹角公式列出等式，解方程即可
求得答案.
【详解】设向量
与向量
的夹角为
，
,
设
，则
，
则
，
与
的夹角为
，所以
，
则
，即
，
可得
,解得
（舍）或
，
则
．
故选：A．
典例3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
，
在
上的投影向量为
，则向量
与
夹角余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设向量
与
夹角为
，利用投影向量的定义求得
，进而求出
，再利用两向量
的夹角公式即可求得.
【详解】设向量
与
夹角为
，因为
在
上的投影向量为
，
即
，解得
，则
，
设向量
与
夹角为
，
则
.
故选：A.
典例4．（2025·全国·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知向量
，
，利用向量减法求出
和
，再通过点积计算求出
，通过模长计算求出
和
，利用向量夹角的余弦公式
求解.
【详解】
，
.
.
.
.
.
.
故选：C.
跟踪训练1．（2025·重庆·模拟预测）已知
为单位向量，
，若
，则
与
的夹角为
（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出
，再利用夹角公式求解.
【详解】依题意，
，由
，得
，解得
，
则
，而
，解得
，
所以
与
的夹角为
.
故选：B
跟踪训练2．（2025·山东德州·三模）平面向量
满足
，且
，则向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的数量积公式及运算律计算求解.
【详解】平面向量
满足
，且
，
所以
，即得
，
，
设向量
的夹角为
，则
，
则向量
的夹角为
.
故选：B.
跟踪训练3．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先计算出
，利用向量夹角余弦公式得到
，由同角三角函数关系求出
答案.
【详解】由题意得
，
，
，
故
，
由向量夹角性质得
，
则
.
故选：A.
考点五 垂直综合计算
典例1．（2025·北京大兴·三模）已知平面向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．4
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出
的值.
【详解】因为
，
所以
.
因为
，所以
所以
.
解得
.
故选：C.
典例2．（2025·辽宁·三模）若向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量垂直的坐标运算，化简即可得到答案.
【详解】由
，得
，因为
，所以
，所以
.
故选：A.
跟踪训练1．（2025·陕西延安·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算和向量数量积运算的坐标表示，求出参数，再求出结果.
【详解】由
，
可得
，
因为
，所以
，即
，解得
，
则
，则
.
故选：A.
跟踪训练2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知向量
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示，列式求解.
【详解】由向量
，
，得
，
由
，得
，所以
.
故选：B
考点六 求投影向量
典例1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）向量
，
，则向量
在
方向上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解.
【详解】向量
，
，则
，
，
所以向量
在
方向上的投影向量为
.
故选：D
典例2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量
和
满足
，则向量
在向量
上的
投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先计算向量
，再应用投影向量公式计算求解.
【详解】
，则向量
，
则
在
的投影向量为
，
故选:A．
跟踪训练1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点
，则向量
在
上的投
影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出
，求出
即可求出向量
在
上的投影向量.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
，
所以向量
在
上的投影向量为
.
故选：D.
跟踪训练2．（2025·辽宁·模拟预测）已知平面向量
，则向量
在向量
上的投影
向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由向量的坐标运算和投影向量的定义计算即可．
【详解】因为
，
所以
，
，
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
．
故选：D．
考点七 求参数值或范围的综合计算
典例1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知向量
，向量
在向量
上的投影向量是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由投影向量的公式
可求
的值，将
转化为
，则可代入
的值
进行计算求得结果。
【详解】由
得
，
因为
在
上的投影向量为
， 所以
，
，即
，
代入
与
得
，解得
.
故选：B.
典例2．（2025·北京·二模）设圆
的圆心为
，直线
与该圆相交于两点
．若
，则实数
（ ）
A．1
B．3 或1
C．3
D．3 或
【答案】D
【分析】联立直线圆的方程，结合向量数量积的坐标表示，列出等式求解即可.
【详解】将直线
代入圆的方程可得：
，
，
设
，
所以
，
，则
，
所以
，
化简得：
，
解得：
或
，
故选：D
典例3．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量
，若
在上的投影向量相
等，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】由投影向量的定义及向量相等得
，再应用向量数量积的坐标表示得
，最后应用
基本不等式求目标式的最小值.
【详解】由题意
，可得
，故
，即
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为2.
故选：A
典例4．（2025·河南·三模）在
中，向量
，
，若
为锐角，则实数x
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意
且
与
不共线，然后利用数量积的坐标运算及共线的向量坐标运算列不
等式求解即可.
【详解】因为
为锐角，则
且
与
不共线．
由
得
，
，
则
，解得
．
若
与
共线，则
，即
，
解得
或
，所以
且
，即x 的取值范围是
．
故选：A
跟踪训练1．（2025·山东临沂·二模）已知
，若向量
与向量
互相垂直，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．
【答案】C
【分析】依题意可得
、
、
、
均不为
，将两式相除得到
，再由
及两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为
，
，显然
、
、
、
均不为
，
所以
，即
，所以
，
所以
，
因为向量
与向量
互相垂直，
所以
则
，又
，解得
.
故选：C
跟踪训练2．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆
上有两点
，
，设向量
，
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】由题意
，
，由
得
，进而可得.
【详解】由题可得，
，
，
因为
，
，且
，
所以
，
，解得
.
故选：B
跟踪训练3．（2025·安徽·一模）已知两个非零向量
的夹角为
，且
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先应用平面向量的数量积公式及运算律化简，再设
，再分类讨论计算求解.
【详解】
.
由
，得
，
即
.
设
，则关于
的方程
有正实根.
当
时，
不符合条件；
当
时，
符合条件；
当
时，
或
，解得
.
综上可得
.
故选：C
考点八 数量积范围的综合问题
典例1．（2025·北京海淀·三模）已知
中，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由正弦定理求
外接圆半径，在其外接圆
中连接
，由
，讨论
的位置情况确定范围.
【详解】由题设，
外接圆半径为
，
如下图，外接圆
中连接
，可得，
，
所以
，
当
反向共线时最小，最小值为
；当
同向共线时最大，最大值为20，
所以
.
故选：D
典例2．（2025·四川巴中·二模）已知点
在圆
上，点
的坐标为
为原点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，且
，
，再应用向量数量积的坐标表示
及三角恒等变换化简，最后应用正弦型函数的性质求范围.
【详解】由题设
，
设
，则
.
利用辅助角公式：
因为
，所以
.
综上，
的取值范围是
.
故选：A
典例3．（2025·四川宜宾·三模）如图，在等边
中，
，以
为直径分别作半圆，
是两
段半圆弧上的动点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】建立两个不同的平面直角坐标系，对
点位置分类讨论，结合圆的参数方程设出其坐标，利用平
面向量积的坐标表示将
表示为三角函数，再利用辅助角公式结合三角函数的有界性求解值域，最后
两种情况再取并集即可.
【详解】首先，作
的中点
，我们对
的位置分类讨论，
当
在以
为圆心的半圆弧上运动时，
如图，以
中点
为原点建立平面直角坐标系，
因为在等边
中，
，所以
，
，
则半圆
的方程为
，
的参数方程为
是参数，且
，
得到
，故
，
，
则
，
因为
，所以
，得到
，
即
，故
，
即此时
，
其次，作
的中点
， 当
在以
为圆心的半圆弧上运动时，
如图，以
中点
为原点建立平面直角坐标系，
因为在等边
中，
，所以
，
，
则半圆
的方程为
，
的参数方程为
是参数，且
，
得到
，故
，
，
则
，
因为
，所以
，得到
，
即
，故
，即此时
，
综上，可得
，故D 正确.
故选：D
跟踪训练1．（2025·安徽滁州·二模）已知
三点在单位圆上运动，且
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
的中点为
，得
，
，将
化为
，根据
可得结果.
【详解】设
的中点为
，因为
，
，所以
，
，
，
因为
，所以
.
故选：A
跟踪训练2．（2025·山东·一模）设
为单位向量，且
，若向量
满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】假设
点坐标，由此可得
对应点的轨迹，采用三角换元法，根据向量坐标运算可将
表
示为关于
的函数，结合正弦函数值域可求得结果.
【详解】由题意可设：
，
，
，
，
，
，即
，
可令
，
，
，
.
故选：C.
跟踪训练3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量
，若
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量夹角的公式变形后再讨论
夹角范围可得.
【详解】设向量
的夹角为
，则
，
设
的起点在原点，
与
轴正方向的夹角为
由
可得
与
轴正方向的夹角为
，
由
可得
的终点在第四象限，当两向量反向共线时，夹角最大，
当
的终点趋于
正方向时，夹角趋近于
，
所以
，则
，所以
．
故选：A.
跟踪训练4．（2025·江苏泰州·二模）在等边
中，
，P 为
所在平面内的一个动点，若
，则
的最大值为（）
A．4
B．
C．
D．6
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，假设点
的坐标，进而
可表示成关于角
的三角函数，结合辅助角
公式及正弦函数的图象可求其最大值.
【详解】以
为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，
点
在以
为圆心，1 为半径的圆上，设
为等边三角形，
，
，
，
，
当
，
即
时，
，
故选：B.
一、单选题
1．（2025·全国·模拟预测）已知向量
满足
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】利用向量数量积的定义，列出等式即可求出
的值．
【详解】因为
，所以
，解得
，
故选：B
2．（2025·四川广安·模拟预测）已知向量
，
，若向量满足
且
，则向量
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设向量的坐标为
，运用向量坐标运算，联立即可求解.
【详解】设
，根据题意有：
， 解方程组得：
，
因此
.
故选：A.
3．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量
，
满足
，
，
与
的夹角为
，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】C
【分析】法一：对
，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得
答案.
【详解】法一：
，
即
；
法二
由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，
若
，
，
，
，
，
则
，
，故
.
故选：C.
4．（2025·四川达州·模拟预测）已知向量
，
的夹角为120°，
，
，则
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】由
计算即可.
【详解】因为
，
所以
，
故选：C.
5．（2025·全国·模拟预测）已知向量
．则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】A
【分析】由投影向量计算公式可得答案.
【详解】向量
在向量
上的投影向量是
.
故选：A．
6．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知
是边长为的等边三角形，点
，
分别是边
，
的中点，
连接
并延长到点
，使得
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量
的坐标，利用数量积的坐标运算求
的值
即可.
【详解】如图，以
所在直线为
轴，
为坐标原点，
所在直线为
轴，建立直角坐标系，
由题意可得
，
，
，
，
则
，
设
，由
得，
，
所以
所以
，所以
，
所以
.
故选：A.
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，
为CD 的中点，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质，将
与
用
和
表示出来，然后根据向量数量积的运算律进行展
开，最后结合已知条件求解AB 的长度.
【详解】用
和
表示
与
，在平行四边形
中，
.
因为
为
的中点，所以
，又因为在平行四边形中
，则
.
那么
，
，
，所以
.
已知
，
，则
.
可得：
.
已知
，
，设
，
则
，
即
，
.
所以
.
因为
，即
，得
，则
或
.
因为AB 为平行四边形的边，长度不为
，所以舍去
，故
.
故选：A.
二、多选题
8．（2025·河北·模拟预测）已知
，且向量
的夹角为
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．向量
和
的夹角为
D．若
，则
【答案】BD
【分析】通过向量的数量积公式
以及向量模长公式
等进行计算和判断.
【详解】因为
，且向量
的夹角为
，
对于选项A：
，则A 错误；
对于选项B：
要使得
，则它们的数量积为0.
即
，则B 正确；
对于选项C：
因为
，则
，则C 错误；
对于选项D：因为
，
所以
，解得
，则D 正确．
故选：
．
9．（2025·河北保定·三模）已知平面向量
．
与
的夹角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上的投影向量为
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断.
【详解】对于A，因为
，即不存在实数
使
，所以
与
不共线，故A 不正确；
对于B，
，所以
，故B 正确；
对于C，因为
，
，所以
故C 正确；
对于D，
在
上的投影向量为
.故D 不正确.
故选：BC.
10．（2025·安徽·模拟预测）已知平面直角坐标系中，坐标原点为
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
不可能为单位向量
D．若
，则
【答案】AD
【分析】利用向量共线的坐标形式判断A，利用向量垂直的坐标形式判断B，由特例判断C，由向量模的坐
标公式计算后判断D.
【详解】若
，则
，解得
，A 正确；
若
，则
，解得
，B 错误；
由题设
，当
时，
是单位向量，C 错误；
若
，则
，D 正确，
故选：AD.
一、单选题
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量
满足
，
，则下列结论正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将已知条件平方，化简可得
，利用该结论依次判断各个选项.
【详解】由于
，则
，
又由
可得
，
即
，即
，
对于选项
，
，故
错误；
对于选项
，由于
，则
，即
，
所以
，故
正确；
对于选项
，
，故
错误；
对于选项
，
，故
错误．
故选：
．
12．（2025·湖南长沙·模拟预测）对于非零向量
，
，“
”是“
与
方向相反”的
（ ）条件.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】应用向量数量积的运算律及
得
，结合充分、必要性定义判断即可.
【详解】由
，得
，
所以
，于是
与
方向相反，充分性成立；
反之，若
与
方向相反，则
，必要性成立.
故选：C
13．（2025·河南新乡·模拟预测）在
中，记
、
，向量
、
满足
，
，
，则此三角形AOB 的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用向量夹角公式计算求出余弦值，再结合同角三角函数关系得出是
，最后结合
面积公式计算求解.
【详解】
在
中，
、
，
，
又
，
，解得
，
进而由向量夹角公式得
，
于是
，
，
故选：A.
14．（2025·湖北·模拟预测）已知
是边长为1 的正三角形，点
在
上且
，
是
上
一点且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性定理将
求出来，然后利用向量的数量积公式求出
的值.
【详解】∵
，∴
，∴
三点共线，
∴
，
∴
，∴
．∴
，
∴
，
故选：C．
15．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知直线
与
：
交于
两点，若
在
上的投影向量的模为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件，将问题转化成圆心到直线的距离为，利用点到线的距离公式，即可求解.
【详解】因为
的标准方程为
，圆心为
，半径为
，
又易知直线
过定点
，
如图，过
作
于
，因为
在
上的投影向量的模为
，
则
，所以
，则
，解得
，
故选：D.
16．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
，
是单位向量，且
，若向量
满足
，
则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】设
，
，
，利用
得到
，转
化为圆心到原点的距离加上圆的半径可得答案.
【详解】因为
，
是单位向量，且
，所以
，
又因为
，所以
，
设
，
，
，
则
，
所以
，
因为
，所以
，
可得
，
化简得
，配方得
，
表示以
为圆心，
为半径的圆，
圆心
到原点的距为
，
则
的最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，即为
.
故选：B.
17．（2025·山东·三模）如图是八卦图以及根据八卦图抽象得到的正八边形
，若
，则正八边形的边长为（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】D
【分析】以点
为坐标原点，
分别为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正八边形边长为
，
表示出各个点的坐标，进一步表示出
，从而列方程求解
.
【详解】以点
为坐标原点，
分别为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正八边形的边长为
，
因为正八边形的外角为
，所以
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
因为
，
而
，
故
，解得
.
故选：D.
二、多选题
18．（2025·安徽·三模）在
中，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积为
D．
【答案】ACD
【分析】作出
的重心，结合重心向量的表示及垂直关系的向量表示求出
，再结合余弦定理及三
角形面积公式求解判断各选项.
【详解】对于A，设AC，BC 的中点分别为E，F，
的重心为G，
由
，
，得
，
，由
，得
，
则
，
，A 正确；
对于B，由
，
，得
，
，
在
中，由余弦定理得
，解得
，
则
，因此
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，设AB 的中点为M，则
，
而
，则
，D 正确.
故选：ACD
19．（2025·江西新余·模拟预测）已知矩形
中，
，
，
，
，其中
，
，
，则（ ）
A．
是定值
B．若
，则
C．
D．
【答案】BCD
【分析】举例可说明
不是定值，当
时，由
可确定
的值，再利用向量的线性运算可求
，设线段
的中点
，则
，再利用基本不等式可确定C，由
即可确定D.
【详解】当
时，
与
重合，
，当
时，，
与
重合，
，故A 错误；
当
时，
，而
，故
，
则
，故
正确；
取线段
的中点
，因为
，故点
在以
为圆心、
为半径的圆上,与
分别交于
，且在矩形
内（含边上位置），
，
，
当点
在
处时，
取得最大值
，
，故
正确；
，故
正确.
故选：
.
20．已知
，
与
夹角为
，若
且
，则下列说法
正确的是（ ）
A．当
时，
在
上的投影向量为
B．当
时，
C．当
时，
D．
的最大值为0
【答案】BCD
【分析】根据已知得
是边长为2 的等边三角形，且
，由投影向量的定义及向量的线性
关系判断A；由题设
在
中边
的中线上，进而有
判断B；应用向量数量积的运算律及
模长列方程求参数值判断C；化
，进而得到
，结合
有
，即可得
判断D.
【详解】由题设，
是边长为2 的等边三角形，且
，
A：当
时，
，又
，即
，故
在
上的投影向量为
，错；
B：当
时，
，即
在
中边
的中线上，
又
为等边三角形，故
，即
，对；
C：当
时，
，则
，
所以
，
所以
，即
，又
，故
（负值舍），对；
D：
,
由
，即
①，
所以
，要使该值最大，只需
最小，
由①得
，则
，所以
，对.
故选：BCD
一、单选题
21．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果
在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中
船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小
的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 所示（线段长
度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图
写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，
得出真风风速的大小，即可由图得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：
，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为
，船行风速对应的向量为
，
∴
，船行风速：
，
∴
，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
22．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
，求出
，进而可以用向量
表示出
，即可解出．
【详解】因为
，
，
由
平方可得，
，所以
．
，
，
所以，
，
又
，即
，
所以
，即
，
故选：D.
23．（2024·北京·高考真题）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知
等价于
，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为
，可得
，即
，
可知
等价于
，
若
或
，可得
，即
，可知必要性成立；
若
，即
，无法得出
或
，
例如
，满足
，但
且
，可知充分性不成立；
综上所述，“
”是“
或
”的必要不充分条件.
故选：B.
24．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
25．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】由
得
，结合
，得
，由此即可得解.
【详解】因为
，所以
，即
，
又因为
，
所以
，
从而
.
故选：B.
26．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求
的值.
【详解】因为
，所以
，
所以
即
，故
，
故选：D.
27．（2023·北京·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量
满足
，
所以
.
故选：B
28．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【分析】方法一：以
为基底向量表示
，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求
，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以
为基底向量，可知
，
则
，
所以
；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，可得
，
所以
；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
.
故选：B.
29．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得
，从而利用平面向量余
弦的运算公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
，
所以
.
故选：B.
30．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为
,所以
,
即
,即
,所以
.
如图,设
,
由题知,
是等腰直角三角形,
AB 边上的高
,
所以
,
,
.
故选:D.
31．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB 与
交于
B，C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得
，或
然后结合三角函数的性质即可确定
的最大
值.
【详解】如图所示，
，则由题意可知:
，
由勾股定理可得
当点
位于直线
异侧时或PB 为直径时，设
，
则：
，则
当
时，
有最大值.
当点
位于直线
同侧时，设
，
则：
，
，则
当
时，
有最大值
.
综上可得，
的最大值为
.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
32．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出
，
，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
二、填空题
33．（2025·天津·高考真题）
中，D 为AB 边中点，
，则
（用
，
表示），若
，
，则
【答案】
；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为
，所以
，所以
．
因为D 为线段
的中点，所以
；
又因为
，所以
，
，所以
所以
，
所以
．
故答案为：
；
.
34．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
35．（2024·天津·高考真题）已知正方形
的边长为1，
若
，其中
为
实数，则
；设
是线段
上的动点，
为线段
的中点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以
为基底向量，根据向量的线性运算求
，即可得
，设
，求
，结合数量积的运算律求
的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求
，即
可得
，设
，求
，结合数量积的坐标运算求
的最小值.
【详解】解法一：因为
，即
，则
，
可得
，所以
；
由题意可知：
，
因为
为线段
上的动点，设
，
则
，
又因为
为
中点，则
，
可得
，
又因为
，可知：当
时，
取到最小值
；
解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则
，
可得
，
因为
，则
，所以
；
因为点
在线段
上，设
，
且
为
中点，则
，
可得
，
则
，
且
，所以当
时，
取到最小值为
；
故答案为：
；
.
36．（2023·上海·高考真题）已知
,
，求
【答案】4
【分析】
由平面向量数量积的坐标运算求解.
【详解】由题意得
故答案为：4
37．（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，
用
表示
；若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合
为
的中点进行求解；空2：用
表示出
，结合上一
空答案，于是
可由
表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
.
故答案为：
；
.
38．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，
满足
，
，则
．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令
，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为
，即
，
则
，整理得
，
又因为
，即
，
则
，所以
.
法二：设
，则
，
由题意可得：
，则
，
整理得：
，即
.
故答案为：
.
