专项04解析几何8大题型（大题专练）（全国通用）（学生版）_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_62027年高考数学大题突破+限时集训（多地区使用）

专项 04 解析几何
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，圆、椭圆、双曲线及抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的位置关系是必考主
干，分值约20-32分．
命题趋势：
解答题：稳定考查圆锥曲线（常为第16至19题），核心是设而不求、利用韦达定理解决直线与圆锥曲
线的位置关系的综合问题．
2026年预测：解答题极可能仍为圆锥曲线常规题，热门考向为定点、定值、最值或范围问题．
备考核心：熟记圆锥曲线定义性质，熟练运用韦达定理,专攻定点定值、范围最值等高频题型，规范答
题步骤，强化计算训练，减少运算失误，真题限时演练提升速度．
题型01 解析几何中的面积问题
析典例 · 建模型
1．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线 ，点 为 的焦点， 是 上任意不重合的
两点，当直线 过点 且垂直 轴时， .
(1)求 的方程；(2)若直线 过点 且 的面积为 ，求 的方程.
研考点 · 通技法
圆锥曲线周长与面积问题核心是几何条件代数化，结合定义与公式求解.
面积：优先用坐标法，设点坐标，以底高、行列式或割补法计算；焦点三角形常用椭圆、双曲线定义结
合余弦定理求解.
周长：曲线周长多转化为焦半径之和，利用定义简化；多边形周长则求各边长度和，结合韦达定理处理
弦长.
关键步骤：设点、联立方程、用定义转化、韦达定理、参数范围检验，避免计算失误.
破类题 · 提能力
1．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线 ，过点 作直线 与抛物线 相交于 两点，
为坐标原点.
(1)证明： ；
(2)若存在异于点 的定点 ，使得 恒成立，请求出点 的坐标，并求出
面积的最小值.2．（25-26高三上·天津·期末）已知椭圆 x2 y2 的长轴长为4，焦距为2.
C: + =1（a>b>0）
a2 b2
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设A为椭圆C的右顶点，若直线l与椭圆C有唯一的公共点M(M在第一象限)，直线l与y轴的正半轴
3
交于点N，直线NA与直线OM交于点P(O为原点)，且S = S ，求直线l的方程.
△POA 5 △NOA
题型02 解析几何中定值定点问题
析典例 · 建模型
1．（2026·福建龙岩·一模）已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，长轴长为4，且
以短轴为直径的圆与直线 相切.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 交 于 两点，直线 分别交 轴于 两点，证明：
（ⅰ） 的横坐标成等差数列；
（ⅱ） 与 的面积之比为定值.2．（2026·广西河池·二模）已知抛物线 ，过 上一动点 作斜率为2的直线 与 交
于另一点 ，当点 与原点 重合时， ．
(1)求 ．
(2)当 不经过点 时，直线 与 交于另一点 ，直线 与 交于另一点 ．
（i）证明： ；
（ii）试判断直线 与 是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由．
研考点 · 通技法
解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 ， ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 或 的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 ， 形式；
（5）代入韦达定理求解.
过程步骤：圆锥曲线中直线过定点问题，设动直线与圆锥曲线的交点坐标为 ，直线方
程代入曲线方程后应用韦达定理得 ，利用这两个交点的坐标写出要求过定点的
直线的方程，可根据直线的变化确定定点的位置，然后代入韦达定理的结论及利用定点所在的直线方程
（得交点的横纵坐标关系）求出定点坐标．
破类题 · 提能力
1．（2026·山东滨州·一模）设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合，
交圆 于 两点，过 作 的平行线交 于点 ，动点 的轨迹为曲线 ．(1)证明 为定值，并求曲线 的方程；
(2)若直线 与曲线 相交于 两点．
①求 面积的最大值；
②已知点 ，直线 与曲线 的另一个交点为 ，直线 与曲线 的另一个交点为 ．证
明：直线 过定点．
O C:(x3)2 y2 6 M N
2.（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）过坐标原点 作圆 的两条切线，切点为 ， ，
MN T:y2 2px(p0)
直线 恰为抛物线 的准线.
(1)求T的方程；
T   y A B E Q
(2)将抛物线 向左移4个单位长度得到新抛物线 ，抛物线 交 轴于 ， 两点， ， 为抛物线
AE BQ Z EQ ABZ

上不重合的两点， 交 于点 .若直线 经过坐标原点，求证： 的面积恒为定值.
题型03 解析几何中证明类问题
析典例 · 建模型
1．（2026·广东·一模）设双曲线 的离心率为2，其左、右焦点分别是 ，过 的直线 与双曲线 的右支交于点 ．当 与 轴垂直时， ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)求 的最小值；
(3)记 的内切圆 与双曲线 的一个公共点为 ，双曲线 的左顶点为 ，证明：
．
研考点 · 通技法
圆锥曲线证明问题求解策略：
1. 1.几何条件代数化：将垂直、平行、共线、角度、长度比例等关系，转化为向量数量积、斜率关系、距
离公式或坐标等式。
2. 2.规范设线联立：合理设直线方程，与圆锥曲线联立，借助韦达定理得到x+x、xx，设而不求整体代
1 2 1 2
换，其中涉及中点、对称问题时，采用点差法快速建立斜率与坐标关系，简化运算.
3. 3.化简恒等变形：将待证式转化为含韦达定理表达式的结构，通过通分、因式分解、配方等恒等变形，
推导出所证式子成立.
破类题 · 提能力
1．（2026·湖南怀化·一模）在抛物线 中，直线 与 交于 两点， 为 的焦点.当直
线 为 时， .
(1)求抛物线 的标准方程；(2)若线段 中点的纵坐标始终为1，求 的取值范围；
(3)已知直线 与 相交于 两点，直线 与 相交于 两点（点 在 轴的上方），若
，四边形 的外接圆圆心坐标为 ，求证： .
2．（2026·广东深圳·一模）已知 ， 为椭圆 的左，右顶点， 为 上的一点，
为双曲线 上的一点（ ， 两点不同于 ， 两点），设直线 ， ， ，
的斜率分别为 ， ， ， ，且 .
(1)设 为坐标原点，证明： ， ， 三点共线；
(2)设 、 的右焦点分别为 、 ， 、 均在第一象限，直线 与直线 相交于点 ，
.
（i）证明： ；
（ii）证明： .题型04 解析几何中非对称韦达问题
析典例 · 建模型
1.（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知椭圆C： 的长轴长是短轴长的2倍，焦距为
，点A，B分别为C的左、右顶点，点P，Q为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧，
和 的面积分别为 ， ，记
(1)求椭圆C的方程；
(2)若 ，求证直线PQ过定点，并求出该点的坐标；
(3)若 ，设直线AP和直线BQ的斜率分别为 ， ，求 的取值范围．
研考点 · 通技法
1 在一元二次方程 中，若 ，设它的两个根分别为 ，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理 之类的结
构。
2、但在有些问题时，我们会遇到涉及 的不同系数的代数式的应算，比如求 或
之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们
联立直线和圆锥曲线方程，消去 或 ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们
把这种形如 或 之类中 的系数不对等的情况，这些式子是
非对称结构，称为“非对称韦达”．
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知椭圆E： 的左焦点为 ，过点F且与
x轴不重合的直线l交E于A，B，当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若在x轴上存在异于F 的定点Q，使得直线 QA 与直线QB的斜率比值为定值，
①求定点 Q 的坐标；
②求△ABQ 面积的最大值.
2 .（2026·河北保定·一模）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，点
为 上的动点， 的周长为6.
(1)求 的标准方程.
(2)延长线段 分别交 于 两点，连接 ，并延长线段 交 于另一点 ，若直线和 的斜率均存在，且分别为 ，试判断 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.
题型05 解析几何中范围类问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）已知椭圆 ，双曲线 的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭
圆焦点，O为坐标原点，过点 作斜率为k的直线l，与双曲线左､右两支分别交于A，B两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点A，B两点分别作双曲线 的切线 ，设 交于点Q，直线OQ与直线l交于点R，求线段
OR长度的取值范围.
研考点 · 通技法
圆锥曲线中的范围问题的求解常用的三种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解．(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）已知椭圆 ，双曲线 的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭
圆焦点，O为坐标原点，过点 作斜率为k的直线l，与双曲线左､右两支分别交于A，B两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点A，B两点分别作双曲线 的切线 ，设 交于点Q，直线OQ与直线l交于点R，求线段
OR长度的取值范围.
2．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 相交于
两点，且 ，
(1)若 为线段AC的中点，
（i）求直线 的斜率；
（ii）求|AC|；
(2)若点 在抛物线 上，满足 ，求 取值范围．题型05 解析几何中最值类问题
析典例 · 建模型
1．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆 过点 ，两个焦点坐标分别为 ．
(1)求椭圆 的方程．
(2)已知 为椭圆 上异于 的两点，且直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形．
（i）求证：直线 的斜率为定值；
（ii）求 面积的最大值．
研考点 · 通技法
圆锥曲线中的最值问题的求解常用的三种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求得最值．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求最值．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求最值．
破类题 · 提能力x2y10 C:y2 2px(p0) A,B
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
|AB|4 15
．
p
(1)求 ；
 
FMFN 0 △MFN
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
2．（25-26高三上·四川宜宾·期末）已知平面上动点 到定点 的距离与点D到直线 的距
离比为 ．动点D的轨迹为曲线E
(1)求曲线E的方程；
(2)已知点P为直线 上任一点，过点P作曲线E的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，过曲线E
的右顶点Q作垂直于x轴的直线与直线PA，PB分别交于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，
n．求mn的值．并求 的最小值．
题型07 探究性问题析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·重庆·月考）已知圆 的圆心 在抛物线
上，且圆 与抛物线 的准线相切.如图，过抛物线 上的三个不同点 (
在 之间)，作抛物线的三条切线，分别两两相交于点 .
(1)求圆 和抛物线 的方程；
(2)是否存在常数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)当点 的横坐标为4时，以 为直角顶点，作抛物线的两个内接 及 ，求线段
的交点坐标.
研考点 · 通技法
圆锥曲线中探索性问题的常见解法** 错误的表达式 **假设存在法：先假设满足条件的点、直线等存在，设其方程或坐标，代入曲线方程
推导，若有解则存在，无解则不存在.
** 错误的表达式 **特殊值法：取特殊位置（如对称轴、顶点）或特殊参数值，探索可能结论，再验证
一般情况.
** 错误的表达式 **代数推导法：联立方程，用韦达定理、判别式等，结合条件（如垂直、中点）列方
程，分析解的情况判断存在性.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知抛物线 ．
(1)若 ，求过焦点F且倾斜角为 的直线被抛物线C所截得的弦长．
(2)若 ，
（i）是否存在抛物线上的三个点 ， ， ，使得 的内角平分线为 ？若存在，求直线
的斜率，若不存在，请说明理由；
（ii）若抛物线上的三个点 ， ， 构成等腰直角三角形，求 面积的最小值．
2．（2026·陕西咸阳·二模）已知椭圆 的离心率 ，过点 的动直线 与椭圆
相交于两点，当直线 与 轴垂直时，直线 被椭圆 截得的线段长为3.
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 ， 两点， 是椭圆 上一动点（不同于 ， ），记 ， ，
分别为直线 ， ， 的斜率，且满足 ，求点 的坐标（用 表示）；
(3)过左焦点 的直线交椭圆于 ， 两点，是否存在实数 ，使 恒成立？若存在，求此时 的最小值；若不存在，请说明理由.
题型08 解析几何中新定义问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，
变成另一点 ，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点 绕原点逆时针旋转 后得点
，且旋转变换的表达式为 ，曲线的旋转变换也如此．
(1)将点 绕原点逆时针旋转 得到点 ，求点 坐标；
(2)已知曲线 ，绕原点逆时针旋转 得到曲线 ．
（ⅰ）求曲线 的方程；
（ⅱ）P为曲线 上一点，P不在x轴上，过P作 交曲线 于B，D两点，求证：BD与曲线
在P点处的切线垂直．研考点 · 通技法
关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
破类题 · 提能力
x2
E: y2 1,O
1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）椭圆 4 是坐标原点，若VABC的三个顶点都在椭圆E上，
uuur uuur uuur r
OAOBOC 0
且满足 ，则称该三角形为“核心三角形”.
(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点恰好是椭圆E的两个顶点，并说明理由；
(2)已知VABC是“核心三角形”.
（i）证明：VABC的面积是定值；
（ii）若VABC为等腰三角形，这样的三角形有几个？并说明理由.
2．（25-26高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆
可由椭圆 绕原点 逆时针旋转 得到.经过（ ）变换： 可将椭圆 的方程转化为
的方程.
(1)若 上的点 经过（*）变换后得到 上的对应点的坐标为 ，求 的值；
(2)设椭圆 的焦点为 （其中 在第一象限）.
（i）求 的坐标；
（ii）过 在第一象限内的顶点 作切线 ，过 作 轴的垂线 ，在 上且在 外的一点 作 的两
条切线，切点分别为 ，直线 和 分别交直线 于 两点.证明：直线 和 的交点在
定直线上.
（建议用时：100分钟）
刷模拟
1．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，直线 与 ， 的
交点分别为 ， ，且 .
(1)求 ；
(2)若过点 的直线 交 于 ， 两点，且 ，求 的值.2．（25-26高三下·北京西城·月考）已知椭圆 的短轴长和焦距均为 .直线 与椭
圆W相切于第一象限内一点M.直线 （不过原点）交椭圆W于A，B两点，C为AB的中点.
(1)求椭圆W的方程；
(2)若C在直线OM上，证明： .
3．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，其离心率为 ，焦点
到渐近线的距离为 ，点 是直线 上一点，直线 的斜率分别是
， 是坐标原点.
(1)求双曲线 的标准方程.
(2)是否存在实数 ，使得 为定值？若存在，求出 及该定值.若不存在说明理由.
(3)若直线 与双曲线相交于 、 两点，求出点 的坐标使得 .4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ､ ，直线 ：
交椭圆 于 ､ 两点，其中 在 轴上方．
(1)当 时，若 ，求 的值；
(2)过点 ､ 分别作直线 ： 的垂线，垂足分别为 ､ ，设直线 、直线 的斜率分别为
､ ：
（i）证明： ；
（ii）若存在 使得 成立，求实数 的取值范围．
5．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线 的焦点 到一条渐近线的距离为 ，且点
在双曲线 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)斜率为 的直线与双曲线 的右支交于 、 两点（异于点 ）．
①求直线 、 的斜率之和；
②若 的外接圆圆心为 ，试问在 轴上是否存在定点 使 为定值，若存在，求出
点坐标，若不存在，请说明理由．6．（25-26高三下·山东·月考）已知动圆 过点 ，且与 相切，记该动圆的圆心轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)若 ，直线 与 交于 两点（点 在点 的右侧），直线
与 交于 两点， 在第一象限，记直线 与 的交点为 ，直线 与 的交点为 ，
线段 的中点为 ．
（ⅰ）证明： 三点共线；
（ⅱ）若 ，过点 作 的平行线，分别交线段 于点 ，记 与
的面积分别为 和 ，求 的最大值．
7．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知圆 ，椭圆 点 为圆 上任意
一点，过点 作圆 的切线与椭圆 交于 ， 两点.
(1)当 时，
(i)证明：切线方程为 ；
(ii)求 面积的取值范围.
(2)直线 关于原点 的对称直线与椭圆 交于 ， 两点，是否存在 ，使四边形 为菱形.
8．（2025·江苏·模拟预测）如图所示， 分别是“曲圆”与 轴、 轴的交点，已知
，扇形 的面积为 ．（注：题目中把半椭圆 与圆弧 合成的曲线称作“曲圆”，其
中 为半椭圆的右焦点）
(1)求 的值；
(2)过点 且倾斜角为 的直线交“曲圆”于 两点，试将 的周长 表示为 的函数；
(3)在（2）的条件下，当 的周长 取得最大值时，探究 的面积是否为定值？若是，请
求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．
刷真题
1．（2026·上海·春季高考真题）已知双曲线 ，过点 作不垂直于 轴的直线 交双曲线
于 、 两点.
(1)求双曲线离心率；
(2)若点 ，点 在双曲线的右支上，且 是 的中点，求直线 的斜率；(3)若 ， ， 分别是双曲线 的左右焦点， 是 关于 轴的对称点，若存在直线 使得
，求 的取值范围.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点 的直线l交C于 两点， 为坐标原点.若 的面积为 ，求 ．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，下顶点为A，右顶点
为B， ．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足 ．
（i）设 ，求 的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点， 是C上的动点，直线OR的斜率为直线 的斜率的3倍，求 的最大
值．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，
令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
6．（2023·全国I卷·高考真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动
点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，
直线 与 交于点P．证明:点 在定直线上.
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中
点为定点．