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专项 05 函数与导数
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年北京卷考情，导数是必考大题的重点跟难点，分值约15-17分．
命题趋势：导数大题稳居压轴位置，重点考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及不等式
证明与零点问题。命题弱化复杂构造技巧，强化分类讨论思想与逻辑推理能力，注重导数作为研究函
数工具的本质。
2026年预测：预计2026年仍以指数函数、对数函数或三角函数为载体，考查含参函数的单调性讨论与
不等式恒成立问题。与实际优化问题结合的情境化试题可能出现，同时导数与数列、概率综合的新题
型值得关注。
备考核心：重点掌握含参函数的分类讨论标准（以导函数零点为核心），熟练运用分离参数法处理恒
成立问题。强化从几何意义理解导数，提升构造函数证明不等式与处理隐零点问题的综合能力。
题型01 导数与极值（点）
析典例 · 建模型
1．（2025·北京昌平·二模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，
若 ，求函数 的最大值；
①若直线 是曲线 的切线，且 经过点 ，证明： ；
②
(2)当 时，若 是函数 的极小值点，求 的取值范围．
研考点 · 通技法
1、用导数求函数极值的方法：
（1）先确定函数f(x)的定义域；
（2）求导数f' (x)，求f'(x)=0的根
（3）检验f' (x)在方程f' (x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那
么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=f(x)
在这个根处取得极小值．
注意：可导函数f(x)在点x 处取得极值的充要条件是：x 是导函数的变号零点，即f' (x )=0，且在x 左
0 0 0 0
侧与右侧，f' (x)的符号导号。
2、根据极值点求参
（1）根据求极值的方法求导数，令f'(x)=0
（2）根据极值点的个数跟情况，对方程进行参数的讨论。
注意需要验证极值的存在，因为f' (x )=0是x 为极值点的不充分条件。
0 0
破类题 · 提能力
1．（2025·北京朝阳·二模）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 在区间 上存在单调递减区间，求 的取值范围；
(3)若 存在极值点 ，且 ，求 的值．
2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知 ， ，
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)设 ，若 在 上有极值点 ：
①求 的取值范围②证明： ．
3．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的单调递减区间；
(3)若函数 在区间 上只有一个极值点，求a的取值范围．
题型02 根据单调性求参
析典例 · 建模型
1．（2025·北京门头沟·一模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 的单调性；
(3)若 在定义域上单调递减，求 的取值范围.
研考点 · 通技法
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）函数在区间(a,b)上单调，实际上就是在该区间上f '(x)≥0（或f '(x)≤0）恒成立．
（2）函数在区间(a,b)上存在单调区间，实际上就是f '(x)>0（或f '(x)<0）在该区间上存在解集．
破类题 · 提能力
1．（2026·北京密云·一模）已知函数 .(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若4是 的极小值点，证明此时 的极大值小于零；
(3)若 在定义域内单调递增，求实数 的取值范围.
2．（2025·北京·三模）设函数 ，且在 处的切线方程为 .
(1) 求k的值；
(2) 求 的单调区间；
(3) 设 为 在点 切线方程，是否存在t使得函数 单调？若存在，求出
所有t的值；如不存在，说明理由.
题型03 恒成立问题求参
析典例 · 建模型
1．（2026·北京平谷·一模）已知函数 ．
(1)当 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求函数 极值点的个数；
(3)若对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围．
研考点 · 通技法
1、恒成立问题（任意）
f(x)>a 恒成立，只需f (x) >a（大于最大的最小值）。
min
f(x)<a 恒成立 ,只需f (x) <a（小于最小的大值）。
max
技巧：优先考虑参变分离，若分离后函数复杂，再直接求导讨论。
注意问题：
1、端点取舍（是否取等）
若题中是 > 或 <（不带等号），检查端点值时，若恰好相等，需验证能否取到（开区间取不到则恒成立
不成立；闭区间能取到则不等式不成立）。
2、分离参数后的定义域分离为a>h(x)时，要注意x 的取值范围（特别是分母不能为零）。若区间是开的，h(x)的最大值可能
取不到，此时a 只能取该极限值（但需结合等号验证）。
3、混淆“恒成立”与“能成立”
求出的参数范围正好相反。记反会导致答案全错。
4、忽略参数在函数中的位置
若参数不能彻底分离，需根据函数类型分类讨论（如二次函数开口、判别式、对称轴）。此时画草图辅助
最稳妥。
破类题 · 提能力
1．（2026·北京延庆·一模）已知函数 ， ， ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)是否存在a，使得不等式 恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由．
2．（2025·北京海淀·三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线；
(2)当 时，讨论函数 的单调性；
(3)当 时，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围．
题型04 能成立问题求参
析典例 · 建模型
1．（2025·北京海淀·三模）已知 ．
(1)当 时，求函数 的极值点和极值；
(2) 时，求函数 在 上的最小值；(3)若不等式 的解集非空，求a取值范围．
研考点 · 通技法
能成立/存在性问题（存在 ）
存在x 使 f(x)>a成立 →→ 只需f (x) >a（存在大于，找最大的）。
max
存在 x 使 f(x)<a成立 →→ 只需 f (x) <a（存在小于，找最小的）。
min
口诀：恒成立是“所有都满足”，能成立是“有一个就行”。
核心：分清任意与存在，对应的是“最值对最值”。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 .
(1)若 时，求曲线 在 处切线的斜率；
(2)求 的单调区间；
(3)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围.
2．（2025·安徽·二模）已知函数 ， ，其中函数 的导函
数为 .
(1)当 时，求函数 在 上的单调性；
(2)证明：当 时， 在 上存在极大值点 ，且 ；
(3)证明： ，使得 恒成立.
题型05 零点问题
析典例 · 建模型1．（2025·北京海淀·一模）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线为 ，求 的值；
(2)若 为 上的单调函数，求 的取值范围；
(3)若函数 ，求证： 可以取无数个值，使得每一个 的取值 都恰有三个不同的零
点．
研考点 · 通技法
利用导数研究函数零点（或方程根）问题，核心是 “看单调性，算端点值，数形结合找交点”
1、单调性分割：求导确定函数的单调区间。函数在每一个单调区间内至多存在一个零点。
2、找端点符号：
计算每个单调区间两端的函数值（或极限值，如 x→+∞）。
异号（一正一负）⟹该区间内有且仅有 1个 零点。
同号（同正或同负）⟹该区间内 无 零点。
有一端为0 ⟹该端点即为零点，需注意区间开闭。
3、含参讨论（难点）
若函数含参数，参数的取值会改变图象的高低或单调性。
临界状态：找到“恰好相切”的情况（即极值点刚好在 x 轴上，此时零点个数变化）。通常令极值 =0
解出参数临界值。
按参数分类：以临界值为分界，分别讨论不同区间内零点个数。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京朝阳·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求证：当 时， ；
(3)若函数 有 个不同的零点，求 的取值范围．增 极大值 减 极小值 增
2．（2025·北京·模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 的极值点在 内，求m的取值范围；
(2)若 有两个零点，求m取值的范围.
题型06 证明不等式
析典例 · 建模型
1．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线的倾斜角；
(2)若 是函数 的极值点，
（i）求实数 的值；
（ii）设函数 ．证明： ．
研考点 · 通技法
一、利用导数证明不等式恒成立，核心是 “构造函数，找最值”。
1、移项构造：将所有项移到一边，化为F(x)>0（或<0）的形式。目标是证明F(x) 的最值满足条件。
2、求导定单调：对F(x) 求导，分析导数正负，判断函数在给定区间上的单调性。
3、比较端点或极限
若F(x) 单调递增，则最小值在左端点，证明左端点值 ≥0（注意端点是否能取等）。
若 F(x)单调递减，则最大值在左端点，证明左端点值 ≤0。
若先减后增（有极小值），求出极小值点，证明极小值 ≥0。
二、当直接构造复杂时
1、放缩法：将复杂函数替换为更简单的中间函数（如 ex≥x+1，lnx≤x-1），但需注意放缩方向要一
致。2、拆分法：将不等式拆成两个函数，分别求最值，证明一个的最小值大于另一个的最大值。
3、分段讨论：当导数符号复杂时，可分割区间分别证明。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京顺义·一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，求证： 是 上的单调递减函数；
(3)求证：当 时， .
2．（25-26高三上·北京石景山·期末）设函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程：
(2)若 有两个极值点，求 的取值范围：
(3)当 时，求证： ．
题型07 双变量问题
析典例 · 建模型
1．（2026·北京·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的极值；
(3)已知 ，函数 有两个不同的零点 ， 和一个极值点 ，记 ，
， ，试判断 与 的大小关系，并说明理由．研考点 · 通技法
将双变量问题转化为单变量问题：通过两变量之间的等量关系（如极值点、零点、对称轴）或不等关系
（如区间端点），将问题转化为关于一个变量的函数进行研究。
常见类型与处理方法
1、极值点偏移：常用构造对称函数或比值代换法，将双变量问题转化为单变量函数的单调性问题。
2、双变量不等关系：常用方法是将不等式变形后构造函数F(t)=f(x )-f(x )-k(x -x )，利用单调性
1 2 1 2
证明；或固定一个变量，研究另一个变量。
3、用参数统一变量：若两变量均与参数有关，可先消去参数，找到两变量的直接关系（如 x +x 为定
1 2
值），再代入原式转化为单变量函数。
f(x )-f (x ) x
4、比值代换：对于形如 1 2 的结构，可设t= 1 或t=x -x ，将双变量转化为关于 t 的单变量
x -x x 1 2
1 2 2
函数求解。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京海淀·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的极值点个数；
(3)若 且 时，都有 成立，直接写出 的取值范围．
2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若 时， ，求a的取值范围；
(3)若函数 有两个极大值点 ，求 的范围.
（建议用时：60分钟）刷模拟
1．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ， .
(1)求 斜率为1的切线方程；
(2)若对于任意 ，任意 ，总有 ，求 的最大值；
(3)若 有4个极值点，求 的取值范围.
2．（2025·北京大兴·三模）已知函数 ，其中 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 恒成立．
①求实数 的值；
②判断方程 的根的个数，并说明理由．
3．（2025·北京·三模）已知函数 ， ， ．
(1)若 在点 处的切线平行于直线 ： ，求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)当 时，求证：对任意 ，恒有 成立．
4．（2025·北京海淀·三模）已知函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为
．
(1)求 的值．
(2)求 在 上的零点个数．(3)证明： 在 上存在两个零点 ，且 ．
5．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为
.
(1)求a，b的值；
(2) 求证： 只有一个零点；
①
②记 的零点为 ，曲线 在 处的切线l与x轴的交点横坐标为 ，若 ，求u的
取值范围.
6．（2025·北京通州·一模）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)曲线 在点 处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为 ，求 的最大值；
(3)若 有两个根 ， ，写出a的范围并证明 .
7．（2025·北京东城·一模）设函数 ，曲线 在 处的切线方程为
.
(1)求 的值；
(2)求不等式 的解集；
(3)已知 ，其中 ，直线 的方程为 .若 ，且 ，求证：
.
8．（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数 ， .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若存在 ，使 ，求 的取值范围；
(3)若 ，求证：对任意 ， ，当 时，不等式 恒成立.
9．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， .
10．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数， 为函数
的导函数.
(1)当 时，求 在 处的切线方程;
(2)若 在区间 上不是单调函数，求 的取值范围；
(3)若当 时， 恒成立，求 的取值范围.
刷真题
1．（2025·北京·高考真题）已知函数 的定义域是 ，导函数 ，设 是
曲线 在点 处的切线．
(1)求 的最大值；
(2)当 时，证明：除切点A外，曲线 在直线 的上方；
(3)设过点A的直线 与直线 垂直， ， 与x轴交点的横坐标分别是 ， ，若 ，求 的
取值范围．
2．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
3．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
4．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ，其中 ．
(1)证明： 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设 分别为 在区间 的极值点和零点.
（i）设函数 .证明： 在区间 单调递减；
（ii）比较 与 的大小，并证明你的结论．6．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数 在区间 的最大值；
（2）给定 和 ，证明：存在 使得 ；
（3）设 ，若存在 使得 对 恒成立，求b的最小值．
