专项04数列6大题型（大题专练）（教师版）_数学_专项复习_2027年高考数学专项复习更新中_62027年高考数学大题突破+限时集训（多地区使用）

专项 04 数列
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年天津卷考情，数列是解答题必考主干，分值固定15分。
命题趋势：
解答题：稳定考查数列综合（常为第19/18题），核心是利用等差、等比数列通项与求和公式，结合递
推关系、裂项相消、错位相减、不等式证明等进行综合运算。
2026年预测：极可能仍为数列常规综合题，延续两问结构，第一问求通项，第二问求和与不等式证明。
备考核心：熟记等差等比基本公式，解答题强化“递推求通项、分类求和、放缩证明”训练，提升运
算变形与逻辑推理能力。
题型01 裂项相消法求数列前 n项和
析典例 · 建模型
1．（24-25高三上·天津河东·月考）已知等比数列 的各项均为正数， 、 、 成等差数列，且满
足 ，等差数列数列 的前 项和 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ， ， 的前 项和 ，求 ．
【思路分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法求和可求得
．
【规范解答】
（1）由题 ，设数列 的公比为 ， 的公差为 ，
由 ，即 ，
解得 ，所以， ，
又 ，即 ，解得 ，所以， ．
所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ，
所以
.
研考点 · 通技法
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相
消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
1 1 1 1 1 1 1 1
 (  )  (  )
（1） n(nk) k n nk （2）4n2 1 2 2n1 2n11 1 1 1  2n1 1 1
     
（3）
n(n1)(n2) 2n(n1) (n1)(n2)
（4）
n2(n1)2 n2 (n1)2
n1 1 1 1  1 1
     ( nk  n)
（5） n2(n2)2 4n2 (n2)2  （6） nk  n k
2n (2n11)(2n 1) 1 1
  
(2n11)(2n 1) (2n11)(2n 1) 2n 1 2n11
（7）
破类题 · 提能力
1．（2025·天津河西·二模）已知数列 为等差数列或等比数列，前 项和为 ，且满足 ， .
(1)当数列 为等差数列时，求 的通项公式及 ；
(2)当 在 单调递增时，设 ，求 的值；
(3)当数列 为等比数列且为摆动数列时，设 ，求 的最大值和最小值.
【答案】(1) ， ；(2) ；(3)最大值为1，最小值为
【解析】（1）当数列 为等差数列时，设其公差为 ，
由题意得 ，所以 ，
所以 ，
.
（2）若数列 为等差数列，由（1）知 ，显然 在 不单调；
故数列 为等比数列，设公比为 ，则 ，解得 或 ，
当 ， 时， ， ，易知 在 单调递增；
当 ， 时， ， ，易知 在 不单调，
所以 ，
由 ，可得 .
（3）当数列 为等比数列时，由（2）知 或 ，
又 为摆动数列，所以 ， ，
所以 ，
当 为奇数时， 单调递减，故当 时取得最大值1，且 ，
当 为偶数时， 单调递增，当 时取得最小值 ，且 ，
所以 的最大值为1，最小值为 .
2．（2025·天津南开·二模）已知等差数列 的前 项和为 ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，其中 为二项式系数．
（ⅰ）求数列 的前 项和 ；
（ⅱ）求 ．
【答案】(1) ；(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】（1）设首项为 ，公差为 ，
由题意得 解得 ，
所以 ．
（2）（ⅰ）由（1）知 ，
因为 ，
所以，
所以 ．
所以 ，
所以 ．
（ⅱ）因为
，
所以
．
题型02 错位相减法求数列的前 n项和
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津·期中）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足
， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 与数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
(3)若 ，求数列 的前 项和 .
【思路分析】
（1）利用等比数列的定义即可得证，进而求出 ，设等差数列 的公差为 ，求出 ，进而求得 ；
（2）由（1）有 ，利用分组求和即可求解；（3）由（1）有 ，利用错位相减法即可求解.
【规范解答】
（1）由题意有： ，
所以数列 是公比 的等比数列，
所以 ，
即 ，
设等差数列 的公差为 ，
由 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1）有 ，
所以
；
（3）由（1）知 ，
所以 ，①
②
①-②得，
所以 .
研考点 · 通技法
1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S －qS”的表达
n n n n
式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
c =(An+B)⋅qn
3、等差乘等比数列求和，令 n ，可以用错位相减法．
T =(A+B)q+(2A+B)q2 +(3A+B)q3 +...+(An+B)qn
n ①
qT =(A+B)q2 +(2A+B)q3 +(3A+B)q4 +...+(An+B)qn+1
n ②
得： ．
An B A B A
T =( + − )qn+1 −( − )q
整理得：
n q−1 q−1 (q−1) 2 q−1 (q−1) 2
.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津·月考）已知数列 的首项 且满足 .(1)证明： 是等比数列；
(2)数列 满足 ， ，求数列 的通项公式；
(3)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)
【解析】（1）由 得： ， ，
， ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2） ， ，
当 时， ；
当 时， 满足 ；
综上所述： .
（3）由（1）得： ， ，又 ，
；
，
，
，
.
2．（2025·天津河东·二模）设 是公差d为的等差数列， 是公比为q的等比数列， ， ，
， ， .(1)求数列 与 的通项公式及 ；
(2) 落在区间 之内的项的个数为 ， .
（ⅰ）求 ， 及数列 的通项公式；
（ⅱ）求 .
【答案】(1) ， ， ；(2)（i） ， ， ；（ii）
【解析】（1）设 ， ， ， ，
由已知 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ；
（2）（ⅰ）由已知 ， 在此区间内，∴ ，
因为 ，
所以 即为 ，
∴ .
，
所以 即为 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 的通项公式为 .
（ⅱ）记 ，
①，
②，①-②为 ，
，
.
题型03 分组转化法求数列的前 n项和
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津南开·期中）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，数列 满足
， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【思路分析】
（1）根据等差数列的通项公式和求和公式可求等差数列的公差，进而得到数列 的通项公式；构造数
列 ，判断其为等比数列，利用等比数列的通项公式可求数列 的通项公式.
（2）利用裂项求和法可求数列 奇数项的 项和，利用等比数列的求和公式可求数列 偶数项的 项
和，再相加即可.
【规范解答】
（1）对数列 ，因为数列 为等差数列，可设公差为 ，
由题意： ，所以 ，
所以 ；
对数列 ，因为 ，
且 ，
所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 .（2）因为 .
，
所以
.
研考点 · 通技法
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，
注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
2、常见类型：
（1）分组转化法：若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列：
n n n n n
（2）奇偶并项求和：通项公式为a＝的数列，其中数列{b}，{c}是等比数列或等差数列
n n n
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）已知数列 是等差数列，设 为数列 的前n项和，
数列 是等比数列， ，若 ， ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ；
(3)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ；(2) ；(3)
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，则由 ，即 ，得 ，
解得 或 ，又 ，所以舍去 ，
所以 ， .
（2）由（1）得 ， ，所以 ，
所以 ，
即 ，
，
两式相减得 ，
则
整理得 .
（3）由 ， ，得 ，
所以 ，
设 ，
则
设 ，
则
所以 ．
2．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ，且
成等差数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）设公比为 ， ，
即 ，故 ，
故 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ；
（2） ，
当 时， ，
故
，
设 ①，则 ②，
式子①-②得
，
故 ，
所以
题型04 数列与不等式综合问题
析典例 · 建模型1．（25-26高三上·天津·月考）数列 ， ， .
(1)是否存在常数 、 ，使得数列 是等比数列，若存在，求出 、 的值，若不存在，说
明理由；
(2)设 ， ，证明：当 时， .
【思路分析】
（1）假设 存在，采用待定系数法求解出 的值，由此可完成求解；
（2）由（1）的结果先求解出 的通项公式，然后可求 ，采用放缩法和裂项相消法可完成证明.
【规范解答】
（1）设 可化为 ，
即 ，
故 ，解得 ，
可化为 ，
又 ，
故存在 ， 使得数列 是等比数列.
（2）证明：由（1）可知 是首项为 公比为 的等比数列，
， ，
故 ，
，
时， .
研考点 · 通技法
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题
来求解；
二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。其中放缩法常根据不等式结构，对通项进行适度放大或缩小，转化为可求和的等差、等比或裂项结构；先
对和式完成求和，再与目标值比较大小；放缩遵循适度原则，既保证可求和又不偏离目标，必要时分段放
缩，确保推导严谨。
破类题 · 提能力
1．（2025·天津·一模）设正项数列 的前 项之和 ，数列 的前 项之积
，且 ．
(1)求证： 为等差数列，并分别求 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意正整数 恒成立，求正实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析， ；(2) .
【解析】（1）由题意知 ，且当 时， ，
所以由 得 ，
所以 ，由 得 ，即 ，
所以 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，即 ，所以 ；
当 时， ，
当 时， 也符合上式，所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以
，
所以，
所以数列 是单调递增数列，所以 ，
因为不等式 对任意正整数 恒成立，
所以 ，即 ，又 ，
所以解得 ，所以 的取值范围为 .
2．（25-26高三上·天津南开·期中）已知数列 的前n项和为 ，且 （ ）.数列 是公比
为2的等比数列，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ；
(3)证明： .
【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析.
【解析】（1）当 时， ；
当 时， ；
又 ，
所以
（2）因为 ， ，所以 .
所以 .
所以 ①，
所以 ②，
所以① ②得，
所以
（3）因为 ，所以 ，
又当 时， ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，得证.
题型05 数列中的探究性问题
析典例 · 建模型
1．（24-25高三上·天津·月考）已知 是公比大于0的等比数列，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ；
(3)若 ，在 与 之间插入 个 ，得到一个新数列 . 是否存在正整数 ，使得
数列 的前 项之和 ? 若存在，求出 的值; 若不存在，说明理由.
【思路分析】
（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，根据题意可得出关于 的方程，解出 的值，即可求得数列
的通项公式；
（2）求得 ，利用裂项相消法可求得 ；
（3）对 在新数列中的位置分析，求得 在新数列中为第 项，然后对 分组求和，得
, 赋值即可求得 的值.
【规范解答】（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，所以， ，
整理可得 ，因为 ，解得 ，故 .
（2）因为 ，
所以，
.
（3）由题意可知，设 在数列 中的项为 ，
则由题意可知， ，
所以当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
因为 且 ，
所以当 时， .
研考点 · 通技法
探究性问题一般先假设满足条件的正整数存在，依据题意建立等式或不等式关系，化简方程求解未知数；
验证解是否为正整数，是否符合数列定义域与题设限制；若解符合条件则存在，若无合理解则不存在，注
意排除非正整数解与增根。
破类题 · 提能力
1．（24-25高三上·天津武清·期中）已知数列 的前n项和为 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ；
(3)证明：对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ， ，使得 .【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析
【解析】（1）当 时， ，解得 .
当 时， ，
所以 ，即 ，
而 ，故 ，故 ， ，
∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以
所以 .
（3）∵ ， ， ， ，
则 ，
所以结论成立.
2．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列 的公差d不等于0， ，设 、 、
是公比为q的等比数列 的前三项.
(1)求数列 的前n项和 ；
(2)将数列 与 中相同的项去掉， 中剩下的项依次构成新的数列 ，设其前n项和为 ，求
的值；
(3)设 ，数列 的前n项和为 ，是否存在正整数m、n且 ，使得 、 、 依次
成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)1；(3)存在，
【解析】（1）由已知 、 、 成等比数列，则 ，即 ，
整理可得 ，∵ ，∴ ，
所以， ，∴ ， ，∴ ，
所以， ，
，
，
上述两个等式作差得 ，
所以， .
（2）因为新的数列 的前 项和为数列 的前 项的和减去数列 前n项的和，
所以 ，
所以 .
（3）∵ ，
∴ ，
其中 ， ， ，
假设存在正整数m、n且 ，使得 、 、 依次成等差数列，
则有 ，即 ，所以 ，解得 ，
又因为 ， ，所以 ，此时 ，
所以存在满足题设条件的m、n， .
题型06 数列的新定义问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津·期中）对于 ，若数列 满足 ，则称这个数列为“ 数列”.
(1)已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且满足 ，求数列 的通项公式，并判断
是否为“ 数列”；(2)已知各项均为正整数的等比数列 是“ 数列”，数列 不是“ 数列”，若数列 是“
数列”，
（ⅰ）求 的通项公式；
（ⅱ）记数列 中不超过正整数 的项的个数为 ，设数列 的前 项和为 ，求 （ ）
【思路分析】
（1）利用 与 的关系求出 的通项公式，再根据定义判断是否为“ 数列”；
（2）（i）首先设数列的公比为 ，则 ，根据题意得到 ，从而
得到 为最小项，再利用“ 数列”的定义得到 或 再分类讨论去验证即可得
到答案；
（ii）发现规律当 时， ， ，因此 ，再用错位
相减法求和即可.
【规范解答】
（1）由 ，得 ①，则 ②，
②－①得 ，整理得 ，
由 ，得 ，
又 时， ，解得 ，
所以数列 是首项为1公差为2的等差数列，则 ，
由于 ，所以 是“ 数列”
（2）（ⅰ）设数列 的公比为 ，则 .
因为 的每一项均为正整数，且 ，
所以在 中， 为最小项.
同理， 中， 为最小项.
由 为“ 数列”，只需 ，即 .
又因为 不是“ 数列”，且 为最小项，
所以 ，即 .
由数列 的每一项均为正整数，可得 ，所以 ， 或 ， .
当 ， 时， ，设 .
，
又 ，
所以 为递增数列，因为 ，
所以对于任意的 ，都有 ，即数列 为“ 数列”.
当 ， 时， ，则 .
因为 ，所以数列 不是“ 数列”.
综上，
（ⅱ） ， ， ， ，…， ， ，
当 时， ， ，
所以
，
记 ，
，
两式相减得 ，
化简得 ，所以 .
研考点 · 通技法
先严格读懂题目给出的新定义、新运算或新性质，把文字语言转化为数列的递推关系、项的大小关系或等
式约束；再利用已知等差、等比模型与通项、求和公式，将新定义问题转化为常规数列问题；按题意列式
推导，结合单调性、放缩、方程求解等方法完成证明或计算，全程紧扣定义，不随意添加额外条件。
破类题 · 提能力1．（2026·天津红桥·一模）在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．
为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法 ，它的作用是在第 轮对密钥片段进行一次变
换，具体变换规则如下：若 为奇数，则 将在第 轮变换中让序列 的奇数项的值增加1，偶数项的
值减少 ；若 为偶数，则 将在第 轮变换中让序列 的奇数项的值增加 ，偶数项的值减少2．若
初始密钥序列 ， ，则加密序列 的所有项之和为 ，已知数
列 的前 项和 ，且满足 ．
(1)写出 ，并求出数列 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式；
(3)证明： ．
【答案】(1) ， ；(2) ；
(3)证明过程见解析.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
，
，
；
因为 ，所以 ， ；
时， ，
，
， ，
所以数列 是首项为1，公比为4的等比数列，
.
（2）经过 变换后，奇数项的每一项都增加1，偶数项的每一项都减少 ，各项之和增加
；
经过 变换后，奇数项的每一项都增加 ，偶数项的每一项都减少2，各项之和增加 ；
所以经过 和 两轮变换后，各项之和增加 ，，
所以 ，
即 为偶数时， ；
为奇数时， 为偶数，令 ，则 ，
，
；
综上， .
（3） ， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
所以 ，
两式相减得 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ， ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 .2．（25-26高三上·天津南开·月考）在数列 中，按照下面方式构成“次生数列”
，其中
表示数列 ，中最小的项．
(1)若数列 中各项均不相等且只有4项， ，请写出 的所有“次生数列”
；
(2)若 满足 ，且 为等比数列， 的“次生数列”为 ．
（i）求 的值；
（ii）设 的前 项和 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的
取值范围．
【答案】(1)2，1，1，1或3，1，1，1或4，1，1，1；(2)（i） ；（ii） ．
【解析】（1）因为 ， 中各项均不相等，
所以 ，
若 ，此时“次生数列” 为2，1，1，1，
若 ，此时“次生数列” 为3，1，1，1，
若 ，此时“次生数列” 为4，1，1，1，
所以“次生数列” 的定义可知 有3个，
分别为2，1，1，1或3，1，1，1或4，1，1，1．
（2）（i）设数列 的公比为 ，
因为 为等比数列，且 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，则 ．
由“次生数列” 的定义，可知
，故 ．
（ii）由（i）
，，①
，②
由① ②得
所以 ．
∵
∴
令 ，则
当 时， ；当 时， ，即 ．
∴ ，故 的取值范围为 ．
（建议用时：45分钟）
刷模拟
1．（2026·天津东丽·一模）已知数列 是等比数列，数列 为正项等差数列，其前n项和为
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前4n项和 ．
（i）求 ；（ii）证明： ．
【答案】(1) ；(2)（i） ；（ii）证明见解析
【解析】（1）设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
由题意可得 ，也即 ，解得 ，
所以 ．
（2）（i）由题意得 ， ，
，
显然数列 是等差数列， ．
（ⅱ）证明： ，记 ，
， ，
两式相减，得 ，
，
，
，得证．
2．（2026·天津·一模）已知 是单调递增的等差数列，其前n项和为 ， 为等比数列， ，
， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ．（i）求 ；
（ii）求证： ．
【答案】(1) ， ；(2)（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】（1）因为数列 是单调递增的等差数列，故设 的公差为 .
设数列 的公比为 .
由 ， ， ，
得 ，
又 ，解得 ，
所以 .
（2）（i）由（1）知 ，
所以 ，
，
同理 .
,
所以 ；
（ii） ，
.
设 ，①
则 ，②①-②得 ，
所以
，
则 ，所以 .
3．（2026·天津和平·一模）已知 ，等比数列 的前 项和为 ，正项等差数列 的首
项为5，且 成等比数列．
(1)求数列 与数列 的通项公式：
(2)设 ， ， ．求证：若 ，满足 ，且有序实
数对 ，则 ．
(3)设 ，求集合 的所有元素之和 ．
【答案】(1) ， ；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1）设等比数列公比为 ，故 ．
设等差数列公差为 ，
由已知有 ，
解得 ，即 ，
则 或 （舍），
则 .
（2）不妨先设 ，，
可知 时也成立，
假设 ，即 成立，
若 ，不妨设 ，
则 等价于 ，
因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾，
所以假设不成立，此时 ．同理 时， ；
若 ，则 ，不妨设 ，
因为 ，
故
．同理 时， ．
综上当 时， ．
（3）先证取不同的 的值各不相同，不妨设 ，
所以 ，
而 ，
所以 ，
由（2）可知，对不同的 取值， 均不相同．
故 ．
考虑 中含有 个 个 个 ，
因此 ．
法（一）
，
两式相减得：
，
所以， ．
法（二），
设 ，
，
两式作差，
，
所以， ，又 ，
所以， .
4．（2026·天津·一模）已知 是等差数列， 是等比数列. .
(1)求 和 的通项公式：
(2)若 ，记由 的所有可能取值组成集合 .
（i）求集合 中的最大元素；
（ii）已知 为给定的大于1的自然数，求证：当 时， ，并求集合 中所有大于0的元素
之和.
【答案】(1) ；(2)（i） ；（ii）证明见解析， .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，由 ，
得： ，即 ，
所以 ，解得： 或 （舍）， ，
从而， ；
（2）（i）当 时， 取最大值，
此时， ①，
②，①-②得：
，
故 ，即集合 中的最大元素为 ；
（ii）首先证明，当 ，即 时， ，
当 时， ，
由（i）可知 ，
所以， ，
反之，若 ，则必有 ，否则若 ，则
，
故当且仅当 时， ，
再证明集合 中有 个大于0的元素，
首先，当 ，即 时，对于任意 ，
都有 和 两种可能，故 有 种不同形式，
下面证明这 种不同形式的结果互不相同，
任取其中的两种不同形式，记为 ，
，
因为 为两种不同形式，则必存在 ，使得 ，
将其中最大的 记为 ，不妨设 ，
若 ，则显然 ，
若 ，则，
故 ，因此集合 中有 个大于0的元素，
将这 个元素记为 ，其中给定 ，
满足 的元素个数为 个，满足 的元素个数也为 ，
因此
，
所以集合 中所有大于0的元素之和为 .
5．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列 的前 项和为 ， 是公比大于0的等比数
列， ， ， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)设 ，求 ；
(3)设 （ ），求 .
【答案】(1) ， ；(2) ；(3)
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，由已知条件得 ， ，
整理得 ，代入 得 ，
即 ，故 ，
设等比数列 的公比为 ， ，故 ，
由 成等差数列得 ， 即 ，
解得 （ 舍去），故 .
（2）由题设有
故.
故 .
（3）由题设可得 ，且 为等差数列，且公差为 ，首项为 ，
故
，
故
.
刷真题
1．（2025·天津·高考真题）已知数列 是等差数列， 是等比数列， ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2) ， ，有 ，
（i）求证：对任意实数 ，均有 ;
（ii）求 所有元素之和．
【答案】(1) ；(2)（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）设数列 的公差为d，数列 公比为 ，
则由题得 ，
所以 ；
（2）（i）证明：由（1） 或 ， ，
当 时，设 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，为 中的最大元素，
此时 恒成立，
所以对 ，均有 .
（ii）法一：由（i）得对任意实数 ，均有 ，
所以 ，
，
所以 取值随着 的取值不同各不相同，
又 为 中的最大元素，
由题意可得 中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
当 均为1时：此时该系列元素只有 即 个；
当 中只有一个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素有 共有 个，
则这 个元素的和为 ；
当 中只有2个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素为 共有 个，
则这 个元素的和为 ；
当 中有 个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为
共有 个，
则这 个元素的和为 ；
…
当 中有 个为0，1个为1时：此时该系列的元素为 共有 个，
则这 个元素的和为 ；
当 均为0时：此时该系列的元素为 即 个，
综上所述， 中的所有元素之和为；
法二：由（i）得 ，为 中的最大元素，
由题意可得
，
所以 的所有的元素的和中各项 出现的次数均为 次，
所以 中的所有元素之和为 .
2．（2024·天津·高考真题）已知 为公比大于0的等比数列，其前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式及 ；
(2)设数列 满足 ，其中 ．
（ⅰ）求证：当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
【答案】(1) ；(2)①证明见解析；②
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ，即 ，
可得 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 .
（2）（i）由（1）可知 ，且 ，
当 时，则 ，即
可知 ，
，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ；（ii）由（1）可知： ，
若 ，则 ；
若 ，则 ，
当 时， ，可知 为等差数列，
可得 ，
所以 ，
且 ，符合上式，综上所述： .
3．（2023·天津·高考真题）已知 是等差数列， ．
(1)求 的通项公式和 ．
(2)设 是等比数列，且对任意的 ，当 时，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
【答案】(1) ， ；(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ，前 项和为 .
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
则数列 的通项公式为 ，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当 时， ，
取 ，则 ，即 ，
当 时， ，
取 ，此时 ，据此可得 ，
综上可得： .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知： ，
则数列 的公比 满足 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列的通项公式为 ，
其前 项和为： .
4．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为，
所以 ，
设
所以 ，
则 ，
作差得 ，
所以 ，
所以 .
5．（2021·天津·高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比
数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .