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专题 圆锥曲线的轨迹问题
近三年：
1、圆锥曲线的轨迹问题是近3 年高考解析几何部分的核心考查内容，考查频率高，题型综合，难度中档
及以上，本质是运用代数手段刻画几何图形。
2、从近几年高考命题来看，轨迹问题可分为两类：一是直接求已知圆锥曲线的方程（如通过几何性质求
椭圆、双曲线方程）；二是求满足特定条件的动点轨迹方程。
预测2026 年：
轨迹问题将继续作为高考解析几何解答题的命题重点。其考查将更加注重数学思想的渗透和问题情境的构
建，复习中必须熟练掌握求轨迹方程的基本方法（直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等），并
强化运算求解能力的训练，同时提升运用数学思想（方程思想、数形结合思想、分类讨论思想）分析问题
的能力。
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题型01 求圆的轨迹方程
解｜题｜策｜略
1、定义法：根据圆的定义（通常有到定点距离等于定长、过定点的两垂直直线的交点等），
来判断我们的轨迹是圆，然后根据圆心半径等确定我们的轨迹方程。
2、直接法：设我们要求的点坐标为( x , y),根据题目条件列出方程，化简整理可得我们的轨迹
方程。
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段
的端点
的坐标是
，端点
在圆
上运动，则
线段
的中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案.
【详解】设
，
，由
为
的中点，则
，即
，
由点
在圆
上，则
，即
，
化简可得
.
故选：D.
2．（2025·安徽·模拟预测）已知A，B 为椭圆
上两点，
为坐标原点且
，过点
作
直线
的垂线，垂足为H，则点H 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】若直线
的斜率不存在时，则
在
轴上，设
的坐标为
，求得
；同理可得，
若直线
的斜率为零时，
；若直线
的斜率存在时，设直线
，联立方程组，求
得
，由
，列出方程，得到
，再由直线
的方程为
，联立方程组，求得
，进而得到
，即
，结合圆的定义，
即可求解.
【详解】若直线
的斜率不存在时，则点
在
轴上，
设
的坐标为
，不妨设
，
因为
两点在椭圆
上，可得
，解得
，此时
；
同理可得，若直线
的斜率为零时，
；
若直线
的斜率存在且不为零时，设直线
的方程为
，
联立方程组
，整理得，
，
设
，则
且
，
因为
，可得
，
则
，
所以
，整理得
，
又由
，可得过原点的直线
的方程为
，
联立方程组
，解得
，即
,
则
，
综上可得，点
的轨迹是以原点为圆心，半径为
的一个圆，
且该圆的方程为
.
故选：D.
3．（2025·湖北·模拟预测）如图，半径为1 的
与半径为2 的
内切于点A，
沿
的圆弧无滑
动的滚动一周.若
上一定点P 从A 点出发随着
的滚动而运动，设点P 的轨迹为C，则（ ）
A．C 是半径为
的圆
B．C 是半径为1 的圆
C．C 是长度为2 的线段
D．C 是长度为4 的线段
【答案】D
【分析】作圆
运动后的某圆
，设此时与圆
相切于
点，点
从
运动到
，通过题设运动中的等
量关系结合弧长公式得到
即可得到
的轨迹求解.
【详解】圆
运动到
，设此时与圆
相切于
点，点
从
运动到
，
易知
，所以
，
所以
，
所以
的轨迹为圆
中过
，
的直径，长度为4．
故选：D
4．（2025·浙江·三模）若坐标原点O 关于动直线l：
的对称点为A，则点A 的轨迹
为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】A
【分析】先求出直线过的定点
，再利用对称性得
，最后根据圆的定义即可判断.
【详解】由
得
，所以直线l 过定点
，
又由对称性可知，
，所以点A 到点B 的距离为
，所以点A 的轨迹为圆.
故选：A．
5．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线
的方程为
，直线与
交于
，
两点，
，
两点分别
位于
轴的上下两侧，且
，其中
为坐标原点.过抛物线
的焦点
向作垂线交于点
，动点
的轨迹为
，则
所在曲线的方程为 ，直线
斜率的最大值为 .
【答案】
（除去点
）
/
【分析】根据
即可求出直线过定点
，再数形结合可知点
的轨迹为圆
即可写出轨迹方程；最后根据图形可判断过原点的直线和点
的轨迹在第一象限内相切时，斜率最大，即
可求出.
【详解】由题可设
，
，则
，
解得
或者
（不符合题意，舍），
设直线的方程为
，与抛物线方程联立得
，
所以
，
，故
，故直线的方程为
，
所以直线过定点
，
又因为
，由圆的定义可知动点
的轨迹是以
为直径的圆，
因为
，
，
中点坐标为
，
所以
点的轨迹方程为
（除去点
），
过原点的直线和
在第一象限内相切时，斜率最大，
所以直线
斜率的最大值为
.
故答案为：
（除去点
）；
.
题型02 定义法求轨迹方程
解｜题｜策｜略
根据圆锥曲线的三大定义来判断轨迹是椭圆、双曲线还说抛物线。
1、圆锥曲线定义
椭圆定义：平面内与两个定点F1, F2的距离之和等于常数2a（2a>| F1 F2|）的点的轨迹叫做椭圆，记
| P F1|+| P F2|=2a(2a>| F1 F2|=2c>0)
双曲线定义：平面内与两个定点F1, F2的距离之差的绝对值等于常数2a（0 < 2a <| F1 F2|）的点
的轨迹叫做双曲线。|| PF ₁| - | PF ₂|| = 2a（ 0 < 2a < | F1 F2|）
抛物线定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线（准线l）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
2、圆锥曲线第二定义
平面内到一个定点（焦点F）的距离与到一条定直线（准线l）的距离之比为一个常数 e （离心率）的
点的轨迹，当0<e<1时，轨迹为椭圆，当e > 1时，轨迹为双曲线，当e=1 时，轨迹为抛物线
3、圆锥曲线第三定义（椭圆与双曲线）
平面内动点P与两个定点 A(-a, 0), B(a, 0) 的连线的斜率之积为一个定值，表示为
k AP∙K BP=e
2-1，根据离心率e 的范围确定是椭圆还是双曲线。
1．（2025·山西临汾·三模）已知动点
满足
，则动点M 的轨迹方
程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得
的值，可得答案.
【详解】由题意可得动点
到
与
两点的距离之和为
，
且
，则动点
的轨迹为椭圆，
易知
，
，
，即方程为
.
故选：C.
2．（2025·北京海淀·二模）已知
．若动点
满足
，则
的轨迹的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义即可得出答案.
【详解】∵
，动点
满足
，
∴动点
的轨迹为双曲线且为右支，
，
，
，
∴
的轨迹的方程为
，
故选：D.
3．（多选）（2025·广东汕头·一模）已知复数
，
（x,
），则下列结论正确的是
（ ）
A．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是直线
【答案】AD
【分析】根据复数的几何意义逐个选项判断即可.
【详解】根据复数的几何表示知：
对A，方程表示到定点
的距离等于2 的动点轨迹，即圆，A 正确；
对B，方程表示到定点
与
距离的和为2 的动点轨迹，而
与
的距离也为2，所以z 在复平
面内对应点的轨迹为线段，B 错误；
对C，方程表示到定点
与
的距离的差为1 的动点轨迹，即双曲线的一支，C 错误；
对D，方程表示到定点
与
的距离相等的动点轨迹，即线段的中垂线，D 正确．
故选：AD
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B 两点的坐标分别为
，直线AM，BM 相交于点M，且
它们的斜率之积是
，则点M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简.
【详解】设
，则由已知得
，
化简得
.
故选：C．
5．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆
与
轴交于
、
两点，、
是分别过
、
的圆
的切线，过圆
上任意一点
作圆
的切线，分别交、
于点
、
两点，记直线
与
交于点
，
则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出切线
的方程，然后分别令
求出
两点坐标，利用点斜式求出直线
和直线
的方程，联立解出点
坐标即可求出点
的轨迹方程，要注意挖掉两个不能取到的点.
【详解】设点
，当圆心
与切点
所成直线的斜率不存在时，即当点
时，
易知以
，所以此时点
为矩形
的对角线的交点，即
；
当圆心
与切点
所成直线的斜率存在时，则
，因为
，
所以切线
的斜率为
，又切线
过点
，
所以切线
的方程为
，整理得
，
又点
在圆
上，所以
，故切线
的方程为
.
易知
，在切线
的方程中，令
，则
，
令
，则
，所以
，
所以直线
的斜率
，直线
的方程为
，
直线
的斜率
，直线
的方程为
，
联立直线
和直线
的方程
，解得
，
所以点
，又
，所以点
所满足的方程为
，
因为切线
分别交、
于点
、
两点，所以切线不能为
，即
，
且前述直线
的斜率不存在时即
也满足上述方程，
所以点
的轨迹方程为
.
故选：B.
题型03 几何法求轨迹方程
解｜题｜策｜略
将题目中的几何信息提取、分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件是否满足圆锥曲线的定
义，从而求动点的轨迹方程
1．（2025·四川成都·三模）已知动圆
与圆
外切，同时与圆
内切，则动圆
的圆心轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析出
，确定圆心M 的轨迹为椭圆，求出
，得到轨迹方程.
【详解】设圆
圆心
且与圆
切于点P，圆
圆心
与圆
切于点Q，
由题意得：
，
，其中
，
所以
，
由椭圆定义可知：动圆圆心C 的轨迹为以
为焦点的椭圆，设
，
则
，解得：
，
故动圆圆心C 的轨迹方程为
.
故选：A
2．（多选）（2025·四川攀枝花·三模）圆O 的半径为定长r，A 是圆O 所在平面内一个定点，P 是圆O 上
一个动点．线段AP 的垂直平分线l 与直线OP 相交于点Q，则点Q 的轨迹可能是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】ABC
【分析】由题设条件线段和垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）若
为圆内的一定点，P 是圆O 上一个动点，线段AP 的垂直平分线l 与
直线OP 相交于点Q，可得
，
，
即动点
到两定点
的距离之和为定值，
①当
不重合时，根据椭圆的定义，可知
点的轨迹是：以
为焦点的椭圆；
②当
重合时，点
的轨迹是以
为圆心的圆；
（2）若
为圆外的一定点，
为圆上的一动点，线段
的垂直平分线交直线
于点
，
可得
，
，即动点
到两定点
的距离之差绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点
的轨迹是：
以
为焦点的双曲线；
（3）若
为圆上的一定点，
为圆上的一动点，此时
点的轨迹是圆心
.
综上可得即
点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.
故选：ABC
3．（多选）（2025·辽宁大连·一模）在平面内，存在定圆M 和定点A，点P 是圆M 上的动点，若线段PA
的中垂线交直线PM 于点Q，关于点Q 轨迹叙述正确的是（ ）
A．当点A 与圆心M 重合时，点Q 的轨迹为圆
B．当点A 在圆M 上时，点Q 的轨迹为拋物线
C．当点A 在圆M 内且不与圆心M 重合时，点Q 的轨迹为椭圆
D．当点A 在圆M 外时，点Q 的轨迹为双曲线
【答案】ACD
【分析】根据选项中点A 的位置，分析判断各选项即可.
【详解】当点A 与圆M 的圆心重合时，线段PA 的中垂线与直线PM 的交点Q，
即Q 为PM 的中点，因此点Q 的轨迹为圆，故A 选项正确；
当点A 在圆M 上时，PA 的中垂线恒过圆心M，即点Q 的轨迹为一个点M，故B 选项错误；
当点A 在圆M 内且非圆心时，
，则
（其中r 为圆M 的半径），
因此点Q 的轨迹为以
为焦点的椭圆，故C 选项正确；
当点A 在圆M 外时，
，则
或
（其中r 为圆M 的半径），
因此点Q 的轨迹为以
为焦点的双曲线，故D 正确.
故选：ACD．
4．（2024·福建莆田·三模）已知圆
，
，P 是圆C 上的动点，线段
的垂直平
分线与直线
（点C 是圆C 的圆心）交于点M，则点M 的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义结合垂直平分线的性质判定即可.
【详解】由题意可得圆心
，半径
.
因为M 是线段
的垂直平分线，所以
，
则
.
因为
，所以点M 的轨迹是以A，C 为焦点的双曲线.
故选：C
5．（2025·河南·三模）已知等腰三角形
的顶点为
，底边的一个端点为
，则另一个端
点P 的轨迹方程为 ；又
，线段
的垂直平分线与直线
交于点Q，则动点Q 的轨迹方程
为 .
【答案】
（
且
）
（
且
）
【分析】根据等腰三角形的定义及两点间距离公式可得所以
，由圆的定义可知点P 的轨迹
是以M 为圆心，10 为半径的圆（
且
），即可求解答题空1；根据线段垂直平分线定义可知
.分点Q 在线段
的延长线上和点Q 在线段
的延长线上两类讨论，数形结合分析可得
，结合双曲线的定义即可求解动点Q 的轨迹方程，即可求解答题空2.
【详解】因为等腰三角形
的顶点为
，底边的一个端点为
，另一个端点为P，
所以
，
故点P 的轨迹是以M 为圆心，10 为半径的圆（
且
），
故点P 的轨迹方程为
（
且
）.
因为线段
的垂直平分线与直线
交于点Q，所以
.
又
，
，所以点A 在圆
外，线段
的垂直平分线与直线
的交点Q 在线段
的延长线或反向延长线上.
当点Q 在线段
的延长线上时，如下图所示.
此时，
；
当点Q 在线段
的延长线上时，如下图所示.
此时，
，
综上，
，即动点Q 到两个定点M 与A 的距离之差的绝对值为10.
又
，所以点Q 的轨迹是以点
和
为焦点的双曲线，其中
，
，
所以
，
，
，所以双曲线方程为
.
当点P 为
时，线段
的垂直平分线的方程为
，直线
的方程为
，直线与
直线
的交点为
，
故动点Q 的轨迹方程为
（
且
）.
故答案为：
（
且
）；
（
且
）.
题型04 直接法求轨迹方程
解｜题｜策｜略
直接法：直接法按下面4 个步骤求轨迹方程。
1、建系设点 2、列出条件 3、代入坐标、整理得方程 4、限制条件
直接法求点的轨迹方程,在高考中有以下两个命题角度:一种是明确给出等式,求轨迹方程;另一种是给出已
知条件,寻找题设中的等量关系,求轨迹方程.
1．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：
，
：
，有一动圆M 与交于A，B 两点，
与
交于C，D 两点，且
，
，则圆心M 的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】C
【分析】分别求得圆心到直线，
的距离
，由
可求解.
【详解】设动圆的圆心坐标为
，
圆心到直线：
的距离为
，
圆心到直线
：
的距离为
，
又动圆M 与交于A，B 两点，与
交于C，D 两点，且
，
，
所以
，即
，
化简得
，所以圆心M 的轨迹为双曲线，
故选：
2．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点
，圆心在y 轴上的圆E
经过A，B，C 三点，设点M 的坐标为
，则M 点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件可得
，再利用数量积的坐标表示求出方程.
【详解】由圆心在y 轴上的圆E 经过点
，得线段
为圆
的直径，
而点
在
轴上，则
，又
，
于是
，而
不重合，即
，
所以M 点的轨迹方程为
.
故选：D
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系
中，点
在
轴上运动，点
在
轴上运
动，点
在线段
的延长线上，且
，
，则点
的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得到向量
，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点
的轨迹
方程.
【详解】设
，
由题意
，又
，
所以
，即
，
所以
，所以
，
所以曲线C 的方程为
.
故答案为：
.
4．（2025·广东广州·模拟预测）已知点
是平面内的一个动点，
与直线
垂直，垂足
位于第一
象限，
与直线
垂直，垂足
位于第二象限．若四边形
（其中
为原点）的面积为2，则
动点
的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设点
，利用点到直线距离公式以及四边形的形状和面积即可求得动点
的轨迹方程.
【详解】设点
，
易知
与
互相垂直，又
与直线
垂直，
与直线
垂直，
所以四边形
为矩形，如下图所示：
依题意可知点
在
轴上方，即
，且
；
因此
，
所以四边形
的面积为
，
即可得
;
所以动点
的轨迹方程为
.
故答案为：
5．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，
满足
，
、
分别为
的重心、内心，若
轴，则点
的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行
轴，纵坐标相等，列出坐标的
关系式，求出轨迹方程.
【详解】设
，则重心
，设内切圆半径为，
又
，所以
，
因为
，则
，又
，所以
，
所以点
的轨迹方程为
.
故答案为：
.
题型05 相关点法求轨迹方程
解｜题｜策｜略
相关点法：题目给出了已知的曲线方程C，所求的动点P跟这个已知曲线上的点M成一定的几何关系。
1、求谁设谁，设所求的点P坐标为( x , y)
2、根据题目给出的条件，用点P的坐标( x , y)来表示出曲线上的点M ( x0, y0)
3、将M点坐标代入到曲线C方程中，整理可得P的轨迹方程。
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：
（
），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
【答案】A
【分析】设点
，由题意，根据中点的坐标表示可得
，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点
，则
，
因为
为
的中点，所以
，即
，
又
在圆
上，
所以
，即
，
即点
的轨迹方程为
.
故选：A
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线
，从曲线上任意一点
向
轴作垂线，垂足为
，
且⃗PN = 1
3⃗P P
'，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设出点
的坐标，并表示出点
，再代入已知曲线方程即可.
【详解】设点
，由
轴于点
，且
，得
，则
，
又点
是曲线
上的任意一点，因此
，
所以点
的轨迹方程为
.
故选：A
3．（2025·江苏·三模）已知曲线
，从
上任意一点
向
轴作垂线段
，
为垂足，
则线段
的中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设点
，由题意，根据中点的坐标表示可得
，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点
，则
，
因为
为
的中点，所以
，即
，
又
在圆
上，
所以
，即
，
即点
的轨迹方程为
.
故选：A
4．（2025·新疆·三模）长为3 的线段
的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则点A 关于点B 对称
的点M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用中点求出
的坐标，利用相关点法即可求解.
【详解】设
依题意有
，即
，
所以
，即
，所以
，
故选：D.
5．（2025·甘肃金昌·模拟预测）过直线
上的动点
作
的两条切线，切点分别为
，则
的重心的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，
，
，
的重心为
，通过求导确定
的方程
.
的方程为
，再结合重心坐标公式得到
，即可求解.
【详解】设
，
，
，
的重心为
，
的方程为
，
对
求导可得
.
故
，
的方程为
，
将
，代入
的方程化简得
.
同理
的方程为
，
两方程联立解得
，
.
，则
，
，
故
的重心的轨迹方程为
.
故选：C.
题型06 参数法、交轨法求轨迹方程
解｜题｜策｜略
1、参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数k得到
方程，即为动点的轨迹方程；
2、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用
此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的
一种变种。
1．（2025·辽宁·一模）已知双曲线
，作垂直于x 轴的垂线交双曲线于
两点，作垂直于y 轴的
垂线交双曲线于
两点，且
，两垂线相交于点
，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题目条件建立方程化简即可求解.
【详解】设
，
则
，
则由
得：
，
化简得：
，
即
点的轨迹是
，
故选：C
2．（2025·安徽马鞍山·一模）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，
反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
．
从点
发出的光线经双曲线C 右支上的点
反射，若反射光线垂直于直线
，则点
的横坐标为
；过双曲线
右支上任一点
（异于右顶点）作其切线l，过坐标原点O 作l 的垂线，与直线
交于点
，
则点
的轨迹方程为 ．
【答案】
，
【分析】设
，根据
，可得
，从而可求出
，法1：求出在
处切线
的方程及斜率，进而可求出过原点且垂直的方程，再将
点的坐标用这两条直线的交点坐标表示，代入
双曲线方程即可得解；法2：过
作
平行于
，求出
，其他同方法1.
【详解】设
，因为
，所以
，即
，
又因为
，解得
，
解法1：在
处切线
斜率为
，
设直线n 过原点O 且
，则
的方程：
，
与
交于
，
联立得
，
，
代入
得
，
又
在双曲线右支上（异于顶点），则
，
所以
，
综上点
的轨迹方程为
，
．
解法2：过
作
平行于
，由题易得
，
因为
，且
，
，
所以
，所以
，
所以
在以
为圆心半径为1 的圆上，其他同解法1．
故答案为：
；
，
.
3．（2025·浙江丽水·一模）已知
是椭圆
上的两点．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知
是椭圆
上的两动点，且
的横坐标之和为
，设直线为线段
的中垂线，过点
作直
线
，垂足为
．求垂足
横坐标
的取值范围，并求
的轨迹方程．
【答案】(1)
；
(2)
，
且
.
【分析】（1）根据椭圆上两点代入方程求解
的值即可得椭圆方程；
（2）设
，线段
的中点
，分别讨论直线
的斜率是否存在，当斜率
存在时
确定直线的方程与直线
联立得
横坐标
与
的关系，结合函数得
的取值范围，结合圆的定义从
而得
的轨迹方程.
【详解】（1）由题意
解得
，所以椭圆
的标准方程为
；
（2）设
，线段
的中点
，则
，
，
①当
时，
的中垂线为
轴，过点
向中垂线作垂线，垂足
为点
②当
时，直线
的斜率
，则
，
所以
，将
代入椭圆方程得
，
所以
，从而
或
，
线段
的中垂线方程为
，即
．
故线段
的中垂线过定点
故垂足
轨迹是在以
为圆心，半径为的圆弧，其方程为
过点
与
垂直的直线为
，
联立方程组
消去
得
，因为
，
所以
，综上①，②所得
所以垂足
轨迹方程是
，且
．
（建议用时：30 分钟）
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点
的直线与圆
交于
两点，则弦
的中点
的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设点
，当
不重合时，根据圆的几何性质，利用垂直建立方程求解即可得解，当
重合时，代入检验即可.
【详解】由直线过点
，圆
可知，圆心
为
，
设点
，
由题意可知，当点
与点
不重合时，
，则
，整理得
，即
，
此时点
的轨迹为圆
但不包括点
.
当点
与点
重合时，其坐标满足方程
.
综上，点
的轨迹方程为
.
故答案为：
2．（2025·广东揭阳·三模）已知动点P 到坐标原点O，x 轴，y 轴的距离之和为2，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，设出
点坐标，写出距离代数式，列出方程，根据圆的标准方程，使用三角函数替换
点横纵坐标，根据角的范围，求出结果.
【详解】设点
，由题意可得
，
不妨令
，取
，
，其中
，
，
则
，故
，
由
可知
，故
，
的取值范围是
.
故选：B.
3．（2025·河北保定·一模）已知直线
，点
到
的距离之积为
，记点
的
轨迹为曲线
，若
与曲线
有四个交点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出
，根据题干列出等式，求出轨迹方程，再根据与曲线有4 个交点，求出参数a 的范
围.
【详解】设
，由题意得
，所以
，即
，
所以点
的轨迹
为两个双曲线
.
双曲线
的实半轴长为1，双曲线
1 的实半轴长为3，
由
，得
0），表示以原点为圆心，
为半径的圆的上半圆，
若曲线
与半圆
有四个交点，则
3，即
.
故选：B.
4．（多选）（2025·云南昭通·一模）已知
，
，
，动点
满足MA 与MB 的斜率之
积为
，动点
的轨迹记为
，过点
的直线交
于
，
两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
的轨迹方程为
（
）
B．
的最大值为3
C．
的最小值为
D．过点
的直线垂直AC 交曲线
于
，
，则
的周长为8
【答案】ABD
【分析】设
，根据题意列出方程即可判断A；根据椭圆得范围结合两点间得距离公式即可判断
B；分直线斜率是否存在两种情况讨论，设直线
的方程为
，
，联立方程，利
用韦达定理求出
，再利用弦长公式求出
的表达式即可判断C；易得
为椭圆
的上，下焦点，再根据椭圆的定义即可判断D.
【详解】对于A：设
，
则
，整理得
，
所以
的轨迹方程为
（
），故A 正确；
对于B：
，
故
，
故当
时，
，故B 正确；
对于C：当直线
的斜率不存在时，
，
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
，
联立
，消
得
，
则
，
所以
，
当且仅当
取等号，
综上所述，
的最小值为3，故C 错误；
对于D：在
中，
，则
，
故
为正三角形，则
垂直平分
，则
，
由题意
为椭圆
的上，下焦点，
则
的周长为
，故D 正确.
故选：ABD.
5．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆
上恰有三个点到直线
的
距离为1，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由圆
上恰有三个点到直线
的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为
，求得
，设
，得到
，代入方程，即可得到点
的轨迹方程.
【详解】由圆
，可得标准方程为
，
所以圆心
，半径为
，
若圆
上恰有三个点到直线
的距离为，
则满足圆心到直线的距离恰好为
，即
，即
，
设
，则
，
代入
，可得
，
整理得
，即点
的轨迹方程为
.
故选：A.
6．（24-25 高三上·辽宁·期末）已知
，
，
为坐标原点，点
是圆
上任意一
点，点
是圆
外一点，若
，
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】延长
交直线
于点
，连接
，由条件判断
且
为
中点，利用中位线性质
得
且
，从而利用双曲线的定义得点
在以
，
为焦点的双曲线
上，进而利用双
曲线的标准方程求解轨迹方程即可.
【详解】由题意知，圆
的半径
，延长
交直线
于点
，连接
，
因为
，且
，所以
，且
为
中点，
所以
，且
，
因此，
，
所以点
在以
，
为焦点的双曲线
上，
设
的方程为
，可知
，所以
，
又
，则
，所以
的方程为
，即
，
又点
是圆
外一点，
所以
，即
，故所求轨迹方程为
.
故选：B
7．（24-25 高二上·海南·阶段练习）已知圆
：
，点
，点
.点P 是圆O 上异于
，
的动点.过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q，点
满足
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，
，则
，根据
可得
，代入
即可求解.
【详解】设
，
，则
，
所以
，
，
因为
，所以
，所以
，
因为
在圆
上，所以
，
所以
，即
，
因为点
是圆
上异于
，
的动点，所以
，
所以点
的轨迹方程为
.
故选：
.
8．（多选）（2025·辽宁·一模）已知点Q 在圆
上，
，动点
满足：在
中，
．则（ ）
A．记
的轨迹方程为轨迹：
B．
的最大值为
C．
的最小值是
D．
（点O 为坐标原点）的最小值为7
【答案】ACD
【分析】根据题意作出示意图，设点
坐标，然后表示出
，即可建立方程，求得
的
轨迹方程，判断A 选项；设点
在一象限，化简
，由基本不等式求得
的最值，
从而得到角的范围，判断B 选项；由抛物线的性质化简得
，由
的范围求得结果判
断C 选项；由图可知当
在圆与
轴的左交点处时，此时
同时取最小，即可判断D 选项.
【详解】由题意可知
，设
，过点
作
轴于点
，如图：
则
，
，
∴
，即
，∴
，A 选项正确；
∵由对称性可假设点
在一象限，则
，∵
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
，∴
，B 选项错误；
，∴
，C 选项正确；
当
在圆与
轴的左交点处时，此时
同时取最小，
，∴
的最小
值为：7，D 选项正确.
故选：ACD.
9．（多选）（2025·湖南邵阳·模拟预测）有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是
相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却
在转瞬间无处寻觅.已知点
，直线
，动点
与点
之间的距离是点
到直线的距离的一半.若
某直线上存在这样的点
，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点
的轨迹方程是
B．直线
是“最远距离直线”
C．平面上有一点
，则
的最小值为5
D．点
到直线
的距离的最大值为
【答案】BCD
【分析】选项A：已知点
轨迹是椭圆，由条件求出椭圆方程即可判断；选项B：联立直线
与
椭圆方程，得到交点坐标，判断它是“最远距离直线”；选项C：利用
，当
与
纵坐标相等且
在
右侧时，
取最小值；选项D：根据直线
与椭圆相切及平行关系，通过两平
行切线距离求距离最大值.
【详解】由题意可知点
的轨迹是椭圆，其中
，
，则
.
所以点
的轨迹方程为
，故A 错误.
由
得
，
，则直线
是“最远距离直线”，故B 正确.
由
可知，
，当点
与点
纵坐标相等且点
在点
右侧时，
取得
最小值，为
，C 正确.
由
可知，直线
与椭圆相切，直线
与直线
平行，
由椭圆的对称性易知与直线
平行的另一条椭圆的切线方程为
，
故直线
与直线
之间的距离即所求距离的最大值，为
，故D 正确.
故选：BCD.
10．（2025·福建三明·三模）平面直角坐标系
中，M 是一个动点，直线
与直线
垂直，垂
足
位于第一象限，直线
与直线
垂直，垂足
位于第四象限，且
.
(1)求动点M 的轨迹方程C；
(2)若过点
的直线交曲线C 于B、D 两点，D 关于x 轴的对称点为点A（异于点B），直线AB 与x 轴
交于点G，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件得到
，利用点到直线的距离得到
和
，再根据向量的数量积即可求解；
（2）设直线BD 方程为
，联立直线BD 的方程和曲线C，利用韦达定理得到
和
，写出直线AB 的方程，令
得到
，进而得到
，利用换元法结合二次函数在给定区间的值域求解即可.
【详解】（1）设
，直线
与直线
的夹角为
，即
，
又因为
，所以
，
又因为
，
，
所以
，化简得
，
由于
位于第一象限，
位于第四象限，
所以M 的轨迹方程
；
（2）由题可知直线斜率不为0，故设直线BD 方程为
，
，
，
，
，
联立直线BD 与曲线C，可得
且
，
化简得
，
，
，
，
，所以
，
设直线AB 方程为
，
令
，得
，
所以
，
所以
，
令
，
，
所以
，
，
，
综上，
面积的取值范围为
.
