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专题 03 函数的性质及应用
目 录
题型一：函数的性质
易错点01 复合函数定义域的理解不当致错
易错点02 使用换元法忽略新元的范围
易错点03 研究单调性、奇偶性时忽略定义域
易错点04 对分段函数的理解不到位出错
题型二 函数与方程
易错点05 忽略函数零点存在定理的条件
易错点06 二次函数零点分布问题考虑不全
题型一：函数的性质
易错点01：复合函数定义域理解不当致错
典例 （23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.
【详解】由题可知 的定义域为 ，
则为使 有意义必须且只需 ，解得 ，
所以 的定义域为 .
故选：D
【易错剖析】
在求解过程中，根据函数解析式求出 的定义域为 ，然后由=然后错误的由 分别求
出 的范围进而求出函数的定义域而出错，出错原因在于没有理解复合函数定义域的正确意义.
【避错攻略】
1复合函数的概念：
若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当 时，称函数y=f[g(x)]
为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,t为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层
函数.
2抽象函数或复合函数的定义域：
（1）函数的定义域是自变量 x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指 x的取值范围，函数
y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同
一函数 作用下，括号内整体的取值范围相同.
（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x
的取值范围.
（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求
φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.
易错提醒：已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，
遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于
实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域
为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数 的定义域为 .记 的定义域为集合
的定义域为集合 .则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习） 的定义域为（ ）
A．
B．
C．D．
2．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·山东烟台·期中）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过 落到地面击中目标．炮弹的射高为 ，
且炮弹距地面的高度 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系为 ．该函数定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河南新乡·期中）已知函数 ，则函数 的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．7．（2024·山东·一模）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知 的定义域为 ，则函数 的定义域
为
9．（23-24高三上·福建莆田·开学考试）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为 .
10．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）函数 的定义域为
易错点02：使用换元法忽略新元的范围
典例 （24-25高一上·吉林·阶段练习）已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【易错剖析】
本题求解时设 ，换元后要注意 这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.
【避错攻略】
1.换元法
换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解
题方法,叫做换元法,又称变量代换法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、
根式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.
2. 常见的换元方法
（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；
（2）整体代换：将所求表达式整体换元；
（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化
的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一
元二次方程的问题。
易错提醒：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量
的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
1．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足 的是（ ）
A． B．
C． D．1．（24-25高三上·全国·随堂练习）函数 的值域是（ ）
A．[0,1) B． C． D．(0,1)
2．（2024高三·全国·专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024·四川·模拟预测）已知 为定义在 上的单调函数，且对 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·陕西·模拟预测）函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数 的最大值为 .
8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若 ，则 的解析式为 ．
9．（23-24高三上·广东江门·开学考试）函数 的值域为 .
10．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数 满足 ，则 .
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的值域为 ，则实数 的值为 ．易错点03：研究单调性、奇偶性时忽略定义域
典例 （2024高三·全国·专题练习）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，再根据复合函数单调性的判断方法求解出 的单调递减区间.
【详解】由 可得 ，所以函数 的定义域为 ，
令 ，利用复合函数单调性判断方法来分析 的单调性，如下表：
单调递增 单调递增 单调递增
单调递减 单调递增 单调递减
由表知， 的单调递减区间为 ．
故选：C．
【易错剖析】
本题再求单调区间时容易忽略定义域，而求出单调递减区间为 而致错.
【避错攻略】
函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，
函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入
歧途。
1.函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨
论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
（1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内
层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合
函数是减函数.
2.函数奇偶性与定义域
偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为
偶函数．
奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)
为奇函数．
(1)奇偶函数定义的等价形式．
奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0．
(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．
一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是
偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝ ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性．
易错提醒：利用函数性质解决题目的时候，应该养成先求定义域的习惯，要注意定义域对自变量的限制.
1．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在 上的函数 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·上海·期中）函数 的奇偶性为 .
1．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 的单调增区间为（ ）A． B．
C． 和 D．
2．（2024高三·全国·专题练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若函数 在区间 上单调递增，则a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·陕西汉中·期中）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．定义在 上的函数 满足 ， 且 ，有 ，且
， ，则不等式 的解集为（ ）.
A． B． C． D．
6．已知函数 ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
7．已知 是定义在 上的增函数，且 ，则 的取值范围是 .8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，则不等式 的解集
为 ．
9．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝ ，b＝ ．
易错点04：对分段函数的理解不到位出错
典例 （24-25高三上·河北沧州·期中）若函数 在 上是增函数，则 的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由分段函数在R上递增需满足条件可得答案.
【详解】设 ； .
为使 在R上递增，则 在 上递增， 在 上递增，
且 ，即 .
故选：B
【易错剖析】
本题在求解过程中容易只注意到分段函数递增，则每一段都递增，忽略比较分段点处函数值的大小而
错选A.
【避错攻略】
1．分段函数的定义
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要
注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集．2．分段函数的题型
（1）分段函数图象的画法
①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图
象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分
段函数，然后分段作出函数图象.
（2）分段函数的求值
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
（3）求某条件下自变量的值(或范围)
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是
否在所讨论的区间内．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
（4）根据分段函数的解析式解不等式
①对变量分类讨论代入相应的解析式求解．
②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解．
（5）求分段函数的最值
分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值
（6）根据单调性求参数
从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.
易错提醒：(1)求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出
自变量的值，切记代入检验．
(2) 已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条
件如下：
类型1：函数 ，在 上单调増递，则 满足两个条件：
(1) 在 上单调増递增；
(2) 在 上单调増递增；
(3) .
类型2：函数 ，在 上单调増递减，则 满足两性个条件：
(1) 在 上单调増递减；(2) 在 上单调増递减；
(3)
.
1．（2024·吉林·模拟预测）已知 若 ，则实数 的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
( ).
A． B． C． D．
3．（2024·浙江温州·一模）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数 ，则 （ ）
A．8 B． C． D．
2．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．53．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数 则 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数 在R上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·山东聊城·期中）设 ，若 为 的最小值，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·新疆·模拟预测）已知函数 存在最小值，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知函数 ，若 的值域是 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．8．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）（多选）已知函数 ，则下列关于函数 的
结论正确的是（ ）
A． B．若 ，则x的值是
C． 的解集为 D． 的值域为
9．（24-25高三上·上海·期中）已知函数 ，其中 对任意的 ， ，且
，总满足不等关系 ，则实数 的取值范围是 .
10．（2024高三·全国·专题练习）若函数 在R上是增函数，则实数 的取值范围
为 .
11．（2024·山东·一模）已知 且 ，若函数 在 上具有单调性，
则实数 的取值范围是 ．
题型二：函数与方程
易错点04：忽略函数零点存在定理的条件
典例 （24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若函数 在 上的图象是一条连续不断的曲线，
且函数 在 内仅有一个零点，则 的符号是（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
【答案】D
【分析】利用零点存在定理、特例法判断即可得出结论.【详解】因为函数 在 上的图象是一条连续不断的曲线，
且函数 在 内仅有一个零点，
若函数 在 上单调，则 ；
不妨取 ，则函数 在 只有唯一的零点 ，但 ；
取 ，则函数 在 只有唯一的零点 ，但 .
因此， 的符号不能确定.
故选：D.
【易错剖析】
本题
【避错攻略】
1.函数的零点
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
3.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断__的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)
在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
【解读】零点存在定理的适用条件：①函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；
②f(a)·f(b)<0.此判断方法只能判断出零点的存在性，而不能判断出有多少个零点．该判断零点存在与否的
方法并不是对所有函数零点的判断都适用．只有当函数图象“穿过”x轴时，这种方法才能奏效．
4.求函数y＝f(x)的零点的方法
(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点．
(2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象和零点存在定理求出零点．
(3)交点法：欲求f(x)－g(x)＝0的零点，可以转化为求方程f(x)＝g(x)的解，可在同一坐标系中画出
f(x)，g(x)的图象，其交点的横坐标即为f(x)－g(x)＝0的零点，交点的个数对应零点的个数．
y f(x) [a,b]
易错提醒：对函数零点存在的判断需注意以下三点：(1)函数 在 上连续；（2）满足
f(a)f(b)0 (a,b)
；（3）在 内存在零点.,上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求f(x)
解.另外需注意的是：若函数 的图像在x＝x 处与x轴相切，则零点x 通常称为不变号零点.函数的
0 0
f(x) f(x)0
零点不是点，它是函数 与x轴交点的横坐标，是方程 的根.
1．（24-25山东潍坊期中）已知函数 在区间 上的图象是连续不断的，设 ： ， ：
在区间 中至少有一个零点，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数 ，那么在下列区间中含有函数 零点的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西新余·模拟预测）关于 的方程： 的实根分布在区间（ ）内.
A． B． C． D．
1．（24-25高三上·辽宁·期中）“ ”是“函数 在区间 内存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若函数 在区间 上的图象是一条不间断的曲线，则“
”是“函数 在区间 上有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）若函数 有三个零点 ， ， ，若 ，则
零点 所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数 有两个零点，在区间 上是单调的，且
在该区间中有且只有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数 ，则“ ”是“函数 在区间
上没有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（24-25高三上·上海·期中）已知函数 ，则“ ”是“函数 有零点”的
（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要
7．（2024·浙江杭州·一模）设 ，满足 .若函数 存在零点
，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）若函数 在区间 上存在零点，则实数a的取值范围为
（ ）A． B．
C． D．
9．（24-25高三上·广东·阶段练习）函数 在 上的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列函数在区间 内存在唯一零点的是（ ）
A． B．
C． D．
易错点06：二次函数的零点分布问题讨论不全
典例 3．（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）函数 的两个不同的零点均大于1的一个
充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用零点分布规律求出 的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得.
【详解】由函数 的两个不同的零点均大于1，得 ，解得 ，
因此所求充分不必要条件是 的非空真子集，ABD不满足，C满足.
故选：C
【易错剖析】
本题在根据根的分布列不等式组时，容易因为考虑不全面漏掉条件而出错.
【避错攻略】一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个
数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解，一元二次方程根的分布问题主要有以下类型：
1.一元二次方程根的0分布
方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零
大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.
0分布结合判别式、韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。
2.一元二次方程根的k分布
k
两根都小于 即 两根都大于 即 一根小于 ，一大于 即
分布情况
x <k, x <k x >k, x >k x <k<x
1 2 1 2 1 2
k k
k
大致图象（a>0）
得出的结论 f (k)<0
大致图象（a<0）
得出的结论 f (k)>0
综合结论
a⋅f (k)<0
（不讨论a）
3.一元二次方程根在区间的分布
(m,n)
两根仅有一根在 内 (m,n)
一根在 内，另一根在
分布情况 (m,n)
两根都在 内 （图象有两种情况，只画
(p,q)
内，m<n<p<q
了一种）
大致图象（
a>0
）得出的结论 f (m)⋅f (n)<0
或
大致图象（
a<0
）
得出的结论 f(m)⋅f(n)<0
或
综合结论（不
{f(m)f(n)<0
—————— f (m)⋅f (n)<0
讨论a）
f(p)f(q)<0
易错提醒：研究二次函数零点的分布，一般从以下三个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式；
(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)对应二次函数图象，即抛物线的对称轴x＝－与区间端点的位置关系．
1．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·吉林·模拟预测）若函数 既有极大值也有极小值，则实数 的取值范围为
（ ）A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数 若方程 有6
个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024高三·全国·专题练习）关于x的方程 有两个不相等的实数根 ，且
，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）方程 在区间 和 各有一个根的充要条件
是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数 的两个零点分别在区间 和 上，则 的
取值范围为 （ ）
A． B．C． D．
4．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于 的一元二次方程 有两个实根，且一个实根小
于1，另一个实根大于2，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 .若函数 有
8个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）（多选）已知 在 上有两实根，则
的值可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）若方程 得两根 满足 ，则实数的
取值范围是 .
8．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数 在区间 有零点，则 的取值范围是
.
9．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）若二次函数 在区间 上存在零点，则实数
m的取值范围是 .
10．（2024高三·全国·专题练习）若函数 在 上至少有一个零点.则实数 的取值范围为 .
11．（23-24高三上·河北石家庄·期末）关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是 ．
