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函数的图象及其应用
考点1
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专题02 函数概念与基本初等函数
6 大考点概览
考点01 函数的图象及其应用
考点02 函数单调性及其应用
考点03 函数奇偶性、周期性等性质的综合应用
考点04 指数运算及对数运算问题
考点05 抽象函数问题
考点06 分段函数问题
1．（2026·河北邢台·一模）函数
图象的对称中心的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用分离常数项化简函数解析式，根据函数图像变换，结合奇函数的对称性，可得答案.
【详解】
，
易知函数
的图像可由函数
向左平移个单位，再向下平移
个单位得到，
由奇函数
的图像关于
成中心对称，则函数
的图像关于
成中心对称.
故选：D.
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.
【详解】
，
，则
，即定义域为
，设
，
1
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则
，故
为偶函数，图象关于
轴对称，排除BC，
当
时，
，
，
，
，排除A，所以选项D 正确.
3．（2026·甘肃·一模）根据如图所示的函数图象，当
时，以下不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据图像，当
时，函数
的图像在函数
的上方，而
在
图像的
上方，所以
.
4．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线
与函数
的图象的交点个
数为（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．无法确定
【答案】C
【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断.
【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个
，只有唯一的
与之对应，若
在函数定义
域内，则直线
与函数
的图象的交点个数为1，若不在函数定义域内，则直线
与函数
的图象的交点个数为0，所以函数
的图象与直线
的交点个数为0 或1.
2
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5．（2026·辽宁辽阳·一模）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
的奇偶性及其在
时
的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的
，
，故函数
的定义域为
，
因为
，故函数
为偶函数，排除AC 选项，
当
时，
，则
，此时
，排除B 选项.
6．（2026·河北沧州·一模）将函数
的图象向右平移2 个单位长度得到函数
的图象，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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【答案】B
【分析】由题求得
的解析式，判断奇偶性可排除AC；当
时，由对勾函数的性质可判断
的单调性，可排除D，得解.
【详解】因为
，所以
，其定义域为
，且
，所以
为偶函数，故排除A，C；又
时，
，由对勾函数的性质可知，
在
上单调递增，在
上单调递
减，故排除D.故选：B.
7．（2026·北京密云·一模）为了得到
的图象，只需把函数
的图象上所有点的
（ ）
A．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
【答案】B
【详解】对于A，把函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得
4
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，A 错误；对于B，把函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标
不变），得
，B 正确；对于C，把函数
的图象上所有点的纵坐标变为原来的2
倍（横坐标不变），得
，C 错误；对于D，把函数
的图象上所有点的纵坐标变
为原来的
倍（横坐标不变），得
，D 错误.
8．（2026·河北承德·一模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析各选项中函数的奇偶性、函数值符号、单调性，结合图象分析可得答案.
【详解】对于A 选项，当
时，
，与题中函数图象不符，故A 错误；
对于B 选项，
，
所以函数
为
上的增函数，与题中函数图象不符，故B 错误；
对于C 选项，设
，该函数的定义域为
，
，故函数
5
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为偶函数，与题干中函数图象不符，故C 错误；
对于D 选项，设
，该函数的定义域为
，
，所以
函数
为奇函数，当
时，
，
，
由
，可得
；由
，可得
或
，所以函数
的单调递减区间为
、
，单调递增区间为
，与题中函数图象相符，故D 正确.
9．（2026·福建泉州·一模）已知函数
的部分图象如图，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到函数
为奇函数，且当
时，
且
，结合选项，
逐项分析判断，即可求解.
【详解】由函数
的图像，可得函数
的定义域为
，且其图像关于原点对称，
即函数
为奇函数，且当
时，
且
，
对于A，函数
的定义域为
，且
，
所以函数
为奇函数，且当
时，
且
，所以A 符合题意；
6
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对于B，函数
的定义域为
，且
，
所以函数
为偶函数，所以B 不符合题意；
对于C，函数
为最小周期为
的周期函数，所以C 不符合题意；
对于D，函数
的定义域为
，且满足
，
所以函数
为奇函数，当
时，
且
，所以D 不符合题意.
10．（2026·北京平谷·一模）已知函数
（
且
），将函数
的图象上的每个
点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3 倍，得到函数
的图象，再将
的图象向右平移1
个单位长度，所得图象恰好与函数
的图象重合，则
的值是（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可得
，则再将
的图象向右平移1 个单位长度后所得图象为函
数
的图象，由题可知函数
图象恰好与函数
的图象重合，所以
，即
，又
且
，所以
.
11．（2026·广东深圳·一模）若实数
，
，
满足
，则
，
，
的大小关系不
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
7
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【详解】由
可得
，
与
互为反函数，故其交
点
在直线
上，且交点横坐标小于1，而
与
交点的横坐标等于1，
从而
，
，
在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：
与
的图像
交点为
,
与
的图像交点为
,且
当直线
位于点
的上方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
当直线
位于点
的上方，
的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
当直线
位于
点的上方，
的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
当直线
位于
点的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
12．（2026·广东江门·一模）已知函数
，若
，则
的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意令
，即
，得
，又
，即
，
得
或
，令
，则
，
可化为
，则
是函数
的图像与直线
的交点横坐标，如图所示，
8
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当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
综上，
的大小关系不可能是
，
13．（2026·山东济南·一模）已知函数
的图象上存在不同的两点关于
轴对
称，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象上存在不同的两点关于
轴对称，得到关于
的表达式，然后通过函数的单
调性和最大值，进而确定
的取值范围.
【详解】设函数
图象上关于
轴对称的两点分别为
，
因为这两点都在函数
的图象上，所以有
，
两式相减得：
，
整理并化简得：
，即
，因为
，所以
，即
，
9
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令
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，又因为
，所以
，所以
，故选：D
14．（2026·安徽淮北·一模）函数
在AI 神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的
非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为
大致图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
排除选项BD，利用导数法求出
的单调性得到结论.
【详解】
，
，排除选项BD，
，
，
设
，
，
当
时，即
，
，则
在
范围内是单调递增函数；
当
时，即
，
，则
在
范围内是单调递减函数；
当
时，
，
，
在
范围内是单调递增函数；
当
时，
在
范围内是单调递增函数，
，
，
，使得
，
当
时，
，
，则
在
是单调递减函数；
10
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当
时，
，
，则
在
是单调递增函数；则选项A 符合.
故选：A.
15．（2026·重庆九龙坡·一模）函数
部分图象如图，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据（1）定义域：
处无定义，函数在该点断开；（2）奇偶性：图象关于原点对称，
函数为奇函数；（3）零点：
、
处函数值为0；（4）极限趋势：
时，函数值趋向
于无穷大；逐个分析判断正误即可.
【详解】选项A：奇偶性：
，是偶函数，与图象的奇函数特征矛
盾.A 错误.选项B：奇偶性：
，是奇函数，符合；
零点：
，对应
、
，与图象零点一致；
极限趋势：
时
，
时
，与图象趋势一致；定义域：
，
符合图象特征. 综上B 正确.选项C：零点：
，
时，
，与图象
中
为零点矛盾. C 错误.选项D：定义域：
（
处有定义，
），与图象
处无定义矛盾. D 错误.故选：B.
11
函数单调性及其应用
考点2
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1．（2026·辽宁抚顺·一模）设函数
，若
，则
与0 的大
小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【详解】因为
，且
，所以
，由对数函数性质得
在
上单调递减，
而
，则
，故A 正确.
2．（多选）（2026·江苏南通·一模）已知正数
满足
，则
的大小关系可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】设
，将
用
表示后分情况讨论比较大小.
【详解】设
，则
，
当
时，指数函数
单调递增，因为
，所以
，即
；
当
时，指数函数
单调递减，因为
，所以
，即
；
故选：BD.
3．（多选）（2026·河北·一模）设
且
，若
，则下列大小关系可能成立
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
12
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【答案】ACD
【分析】先降次，将
降为
后再构造函数即可判断.
【详解】因为
且
，
，所以
.又
，
所以
.构造函数
，则
的定义域为
，
，所以
在
上单调递减，又
，所以当
时，
，即
，所以
，所以
，故CD 正确；
当
时，
，即
，所以
，所以
，故AD 正确，B 错误.
故选:ACD.
4．（多选）（2026·湖北襄阳·一模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
的形式构造函数
，利用导数求解函数的单调性即可得解.
【详解】由于
，故构造函数
，
则
，令
，
故
，因此
在
上单调递增，
故
，故
在
恒成立，故
在
上单调递增，
因此
，即
.
5．（多选）（2026·湖北荆州·一模）下列函数中，是奇函数且在
上单调递增的是（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】判断函数的单调性，即可判断ABC 的正误；结合分段函数的单调性以及奇偶性的判断，
可判断D.
【详解】对于A，由于
在R 上单调递减，故
在R 上单调递减，A 错误；
对于B，
，由于
在
上单调递
增，故
在
上单调递增，则
在
上单调递增，故
在
上单调递减，B 错误；
对于C，由
可得
，当
时，
，此时
在
上单调递减，C 错误；
对于D，令
，当
时，
，在
上单调递增，
再判断函数的奇偶性：当
时，令
，当
时，
，则
时，
，则
；
时，
，
则
；即可知
为奇函数，D 正确.
6．（2026·安徽黄山·一模）已知
是
上的奇函数，且
，若
在
上单调递
14
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减，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，画出函数
的图像，结合图像，即可求得不等式的解集.
【详解】由函数
是
上的奇函数，且
，
在
上单调递减，可得函数的图
像关于原点对称，
，且
在
上单调递减，函数
的图像如图所示，结合图
像可得，不等式
的解集为
.故选：A.
7．（2026·山东临沂·一模）函数
，若对任意
，都有
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先推得
的单调性和
，进而将目标转化为
在
上
恒成立，求一元二次函数的最大值即得.
【详解】因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
又因
，
15
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所以
等价于
，
则
在
上恒成立，也即
在
上恒成立，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，所以
，则
，故a 的取值范围是
.
8．（2026·山西大同·一模）已知函数
的定义域为
，若对于定义域内给定的任意
，
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据题目条件化简可知函数
在
上单调递增，再利用单调性求解不等式即
可.
【详解】因为函数
满足对任意的
，
，
，都有
，
设
，则
，所以
，即
，所以
，令
，因为当
时，都有
，所以函数
在
上单调递增.又不等式
两边同乘以
，得
，
16
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即
，即
，所以
，故
，
解得
，即
.
9．（2026·天津滨海新区·一模）已知
是定义在R 上的偶函数，且
在
上单调递增，
设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到
在
为单调递减函数，且
，利用对数函数的单调
性，求得
，结合
的单调性，即可求解.
【详解】由题意知，函数
是定义在R 上的偶函数，且
在
上单调递增，
可得函数
在
上为单调递减函数，且
，所以
，
，因为
，所以
，
，
，可得
，所以
，
即
，所以
.
10．（2026·河北保定·一模）已知正数a，b 满足
则 ab=（ ）
A．20
B．21
C．22
D．23
【答案】A
【分析】通过对已知条件变形，构造单调函数
，利用函数唯一性得到
与
的对数关系，
进而代换消元求出
.
【详解】由
得
，即
，
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令
，则
定义域
，且
，
当
时，
，
在
单调递增，
由
可得
，且
，
所以
，即
，所以
，得
.
【点睛】利用指数与对数的同构构造单调函数，通过函数单调性建立变量关系，实现消元求值.
11．（2026·江苏·一模）已知正数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
为正数可得
，根据
为正数及
为
上的增函
数可得
，从而可得正确的选项.
【详解】因为
为正数，故
.由题设有
，
而
，故
，故
，故
，且
，
故
设
，因为
均为
上的增函数，
故
为
上的增函数，而
，故
，故A 正确，BCD 错误.
12．（2026·重庆·一模）已知函数
，若关于
的不等式
成
立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可.
【详解】
，即
，
18
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，令
，解得：
，
当
时，
，
，则
在区间
单调递增；
当
时，
，
在区间
单调递减；
，
，
即
，
关于
对称，
，
，即
，
两边平方得
，解得
，
则实数
的取值范围是
.
13．（2026·广东茂名·一模）已知函数
，则不等式
的解
集为_______．
【答案】
【分析】判断函数
的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性脱“
”即可求解.
【详解】函数
，令
，解得
，
故函数
的定义域为
，
，故函数
是奇函数.
而函数
在
上单调递减，函数
在
上单调递增，
因此函数
在
上单调递减. 不等式
19
函数奇偶性、周期性等性质的综合应用
考点3
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，所以所求不等式的解集为
．
14．（2026·河北张家口·一模）已知函数
满足
，当
时，
，则不等式
的解集为______．
【答案】
【分析】根据函数的对称性与单调性的关系列不等式组求解即可.
【详解】根据题意，因为函数
满足
，所以函数
的对称轴为直线
，
因为函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递减，
由
得
，
等价于
或
，
解得
或
，所以不等式
的解集为
.
1．（2026·山西朔州·一模）函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
是偶函数，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
，因为
，所以
20
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，解得
.
2．（2026·江西赣州·一模）若函数
且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法得出
，求出
的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可.
【详解】函数
且
为偶函数，且该函数的定义域为
，所以
，
因为
，
，所以
，可得
，又因为
且
，解得
，
此时
，因为
，故当
时，
函数
为偶函数，故
.
3．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据已知条件求出
的周期，结合函数周期性求值即可.
【详解】因为
，所以
，所以
，
即
.所以
是周期为4 的周期函数.所以
.
21
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在
中，令
，则
，所以
.因此
.
3．（2026·广东深圳·一模）设
是定义在
上的奇函数，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】由奇偶性对称性得到函数的周期，再利用周期性对称性即可求解.
【详解】由于
，
，则
.故选：
A
4．（2026·广东江门·一模）设
是定义在
上且周期为2 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】因为
是定义在R 上的奇函数，所以
，所以
，
又
周期为2，故
，所以
，又
，
所以
，所以
，所以
.
5．（2026·河北张家口·一模）设
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
22
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【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和周期性可得答案.
【详解】由
是定义在
上的偶函数，得
；由
是定义在
上周期为
2 的函数，所以
，又因为
，
所以
，故
.
6．（2026·河北邯郸·一模）若定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
是偶函数，所以
，由
，
得
，所以
，得
，所以
是以4
为周期的函数，所以
．
7．（2026·江西南昌·一模）已知函数
，若函数
为偶函数，
则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】令
，因为函数
为偶函数，且
为三次函数，所
以
为奇函数，即
，所以
23
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，
即
，即
，
所以
，解得
.
8．（2026·山东青岛·一模）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函
数，
，则
（ ）
A．1
B．0
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知条件，可求得函数
关于
轴对称，关于
中心对称，周期为4，再根
据函数的对称性和周期性，即可求解.
【详解】因为
为偶函数，
为奇函数，所以
，
，所以函数
关于
轴对称，关于
中心对称，
所以
，
，
所以
，令
，则
，即
，
所以
，令
，则
，所以
的周期为4，
又
，
，所以
，所以
，
又函数
关于
轴对称，关于
中心对称，所以
，
，
又
的周期为4，所以
，
，
，
所以函数
一个周期内的函数值为
，
，
，
，
24
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所以
，
所以
，所以
.
9．（2026·山东青岛·一模）已知定义在
上的函数
满足
，
，当
时，
，则方程
所有根之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数交点问题.
【详解】由
，得函数
关于点
对称，
又
，得函数
关于直线
对称，从而函数
是周期为4 的周期函数.
又当
时，
，则
，
即
是
的单调递增函数，
，
，可画出
的部分图象，
又方程
的根即
与
的交点横坐标，如图
两函数共有17 个交点，并且关于点
对称，故所有根之和为17.
10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
是定义在
上的偶函数，
关于
中心
对称，则下列说法正确的是（ ）
A．
的一个周期为6
B．
25
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C．
D．
【答案】B
【分析】解题的关键在于根据已知条件推导出函数
的周期，结合函数的性质逐一分析选项求
解.
【详解】选项A，
的图像向左平移个单位得到
，又
关于
中心
对称，
关于
中心对称，
，将
式子中的
用
代替，得到
，
是定义在
上的偶函数，
，
，将此式子中的
用
代替，得到
，则
是一
个以
为周期的周期函数，故选项A 错误；
选项B，
关于
中心对称，
的定义域为
，
，
是定义在
上的偶
函数，
，故选项B 正确；
选项C，
，
，但是
根据题中已知条件无法得到，故选项C 错误；
选项D，
是一个以
为周期的周期函数，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出
，故选项D 错误.
11．（2025·湖南郴州·一模）函数
对
，且
为奇函数，则下
列说法正确的是（ ）
26
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A．若
时
，则
B．
的周期为6
C．
的图象关于
中心对称
D．
【答案】C
【分析】对于A 选项，首先通过奇偶性得：
，然后根据已知条件通过赋值进
行求解；
对于B 选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可；
对于C 选项，通过奇偶性可得函数关于
中心对称，再根据函数周期性即可判断正误；
对于D 选项，利用函数周期性可得：
，再根据
通过赋值可得：
，进而可以判断选项正误.
【详解】对于A 选项，已知
为奇函数，则有
，
令
，得：
，又
，令
，得：
，
因此可得：
，故A 选项错误.
对于B 选项，已知
为奇函数，则有
，又
，
则有
，由此可得：
，即有
。
因此可得：
的周期为
，故B 选项错误.
对于C 选项：已知
为奇函数，则有
，因此可得：函数
关于
中心对称，又函数
的周期为
，所以
关于
中心对称，故C 选项正确；
27
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对于D 选项：已知函数
的周期为
，则有
，
又
，令
，得
，因此可得：
，即
，故D 选项错误.
故选：C
12．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为
的偶函数
满足
，且
在
上是单调递增函数，若函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
在
上是单调递增函数
C．
D．
【答案】C
【分析】先通过题干求出
的周期；根据偶函数定义判断A 选项；通过
，
结合
的单调性与单调性运算性质可判断B 选项；利用作差法，结合函数
的符号进行比较
大小即可判断C 选项；结合函数
的周期性和对称性判断D 选项是否具有周期性.
【详解】已知
（①），将
替换为
得
（②），
由①+②得
，则
，即函数
周期为
，
且
恒成立，又
是定义域
的偶函数，故
，且
在
单调递增，
因此
，结合
得
.
选项A：
（③），
28
指数运算与对数运算问题
考点4
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由
得
，代入③式得
，
而
，显然
，故A 错误；
选项B：
时，
，
，
递增，
故
在
递减； 同时
，
在
上单调递增，
因此
，根据单调性运算性质可知
递减函数，故B 错误；
选项C：
因此
，已知
，故
，故C 正确；
选项D：
，故D 错
误.
1．（2026·山西大同·一模）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先应用指数和对数转化，再应用对数运算律计算判断各个选项.
【详解】因为
，
，所以
，
，所以
，A 选项错误；
，B 选项错误；
，C 选项错误；
，D 选项正确.
2．（2026·天津河东·一模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，所以
.
29
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3．（2026·福建龙岩·一模）某云计算平台处理文件量
（单位：GB）的所需时间
（单
位：
），其中
为常数.已知处理文件量从9GB 增加到729GB 时，处理时间增加12min；当处理
文件量从729GB 增加到6561GB 时，处理时间增加（ ）
A．3min
B．6min
C．9min
D．24min
【答案】B
【分析】由条件列方程求
，再求对应条件下的时间增加量即可.
【详解】由题意可得
，解得
，所以当处理文件
量从729GB 增加到6561GB 时，处理时间增加
.
4．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含
量
（单位：
）与时间（单位：h）间的关系为
，其中
是正的常数．如果在
前7h 消除了
的污染物，那么14h 后所剩污染物为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出函数关系式，再代入求值.
【详解】由题意得
，
是正的常数，故
，两边取对数得
，故
，所以14h 后所剩污染物为
.
5．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层
的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量
与时间（单位：年）的关系为
，其中
是臭
氧的初始含量，
为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过
年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过
年，臭氧含量只剩下初始含量的
，
约为（）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
30
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【答案】D
【分析】根据题意，
年臭氧剩一半可得衰减常数
，代入臭氧剩
的条件
，
再利用参考数据计算出
.
【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为
，已知经过
年臭氧含量剩下一半，
即
，两边同时取对数得：
，所以
，要求臭氧含量剩初始含量的
，
即
，所以
，即
，由
，
，
得
，代入得：
年，
因此，经过约
年臭氧含量只剩下初始含量的
.
6．（2026·贵州安顺·一模）设方程
的两个根为
，则
（ ）
A．0
B．1
C．e
D．
【答案】A
【分析】先将题设等式利用指对互化和
换元，可得方程
，该方程的两根为
，
利用韦达定理、指数幂运算以及立方和公式化简计算即得.
【详解】由
可得
，设
，则
，方程可化为
，
设该方程的两根为
，则
，由韦达定理，
，则有
，
于是
.故选：A.
7．（2026·四川宜宾·一模）已知
，且
，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，通过对数和幂函数将
用
表示，再比较大小.
【详解】设
，因为
，所以
.所以
，
，
31
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.
因为
，所以
，
，故
；而
，所以
，
，
因为函数
在
时单调递减，且
，所以
，即
.综上，
.
8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
在
上单调递增，所以
，可得
，
根据
，且
在
上单调递增，可得
，即
，
由
在
上单调递增，可得
，结合
，可得
.
9．（2026·宁夏银川·一模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数的换底公式，对数的运算法则以及指数函数的单调性，通过构造函数，利用导数
法求出单调性比较出
的大小.
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，
，
，
设
，
，
，
，
32
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在
上是单调递增函数，
，
，
，
在
上是单调递减函数，
，
，
，
为
上的单调递减函数，
，
，
，
，即
.
10．（2026·广东深圳·一模）若实数
，
，
满足
，则
，
，
的大小关系不
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
可得
，
与
互为反函数，故其交
点
在直线
上，且交点横坐标小于1，而
与
交点的横坐标等于1，
从而
，
，
在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：
与
的图像
交点为
,
与
的图像交点为
,且
当直线
位于点
的上方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
当直线
位于点
的上方，
的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
当直线
位于
点的上方，
的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
33
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当直线
位于
点的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
11．（2026·贵州毕节·一模）函数
的定义域为__________.
【答案】
【分析】根据对数的真数大于0 即可得解.
【详解】令
，解得
或
，即
，
因此函数
的定义域为
.
12．（2026·四川遂宁·一模）
________.
【答案】4
【分析】根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得．
【详解】
.
13．（2026·湖北十堰·一模）已知
，
，用
，
表示
______.
【答案】
【分析】对给定的等式两边取常用对数，再利用对数运算法则，结合方程的思想求解.
【详解】由
，得
，则
；由
，得
，则
，
因此
，所以
.
14．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知
，则
的取值范围为______
【答案】
【分析】利用换底公式
换为
，结合对勾函数求解即可.
【详解】因为
，所以令
，则
，所以
，由
的图象可知，所以
，
，所以
34
抽象函数
考点5
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.
15．（2026·山西朔州·一模）若
，且
，
，
则
__________.
【答案】
【分析】先利用对数的运算法则对已知条件进行化简，然后通过换元法将对数方程转化为关于新变
量的方程，最后求解方程得到
的值.
【详解】根据题意，由
，可得
，又
，
所以
，令
，
，则
，
，
所以可得
①，
②，将②式通分，可得
，即
③，
将③式代入①式，可得
，解得
，即
.
1．（2026·黑龙江吉林·一模）若定义在
上的函数
满足
，
是奇函数，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
35
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【答案】A
【分析】由
是奇函数可得
关于
中心对称，结合
，利用
赋值法计算可得
，即可得该函数周期，再利用
，则可计算出
为到
时的
的值，即可得解.
【详解】由
是奇函数，则
，故
关于
中心对称，
由
，令
，则
，即
，
由
，令
，则
，
故
，则
，
故
，即有
，故
以
为周期，
由
，则
，
，
，
，
，
则
.
2．（2026·四川宜宾·一模）已知定义在
上的函数
满足
，若函数
与函数
的图象的交点为
，
，
，
，则
36
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（ ）
A．8
B．
C．12
D．
【答案】A
【分析】判断出函数
与
的对称中心，根据两函数图象交点的对称性计算即可.
【详解】由
可得，
，所以函数
关于点
对称.
函数
的定义域为
.
因为
，
所以函数
关于点
对称.因此函数
与函数
的图象的交点也关于点
对称.
若
是两函数图象的交点，则
一定是两函数图象的交点，
那么
，
.所以
.
3．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
的最小正周期是2
C．
关于点
中心对称
D．
是奇函数
【答案】A
【详解】由
，得
，周期为2，
但最小正周期不能判定，例如函数
满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B 错误；
由于周期为2，所以
，
，
37
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又
，得
，所以
是偶函数，A 正确；
由
只能推出对称轴为
，无中心对称的推导依据，C 错误；
令
，由
是偶函数且
，
得
，又
，
所以
，所以
为偶函数，D 错误.
4．（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数
是定义域为
的奇函数，
，
若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
是周期为
的周期函数
D．
【答案】CD
【分析】先根据题意推导出
是周期为
的周期函数，即可判断选项C，再根据题干关系式和周
期性依次计算选项A，B，D 即可.
【详解】由函数
是定义域为
的奇函数，可知
且
，
因为
，代入
得
，整理得
，
即知
，故
是周期为
的周期函数，C 正确；
选项A，B，
，由
是周期为
的周期函数可知，
，
38
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同理
，故A，B 都错误；
选项D，因为
，
，
，
，所以一个周期内
，所以
，故D 正确.
故选：CD.
5．（多选）（2026·山东临沂·一模）已知函数
满足
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】A：利用赋值法进行运算判断即可；
B：利用反证法进行判断即可；
C：运用对数的运算性质，结合已知不等式进行运算判断即可；
D：利用函数单调性的定义、题中不等式判断函数
的单调性，根据函数值对应自变量的值的
特点构造新函数，结合导数的性质、判断新函数的单调性，再结合已知原函数的单调性进行判断即
可.
【详解】A：在
中，令
，得
，
令
，得
，故本选项说法正确；
B：假设
，由上可知
，所以有
，这与已知当
时，
39
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矛盾，所以假设不成立，故本选项说法不正确；
C：因为
，所以
，
，即
，因为当
时，
，
所以
，所以本选项说法正确；
D：设
，则有
，所以有
，
由上可知
，所以
，所以
，
所以当
时，
单调递增.设
，则有
，
因为
，所以
单调递减，
因为
，所以
，即
，
因为当
时，函数
单调递增，且
，所以
，因此本选项说法正确.
6．（多选）（2026·河南濮阳·一模）已知函数
的定义域为
，且
，
为偶函数，则（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】令
判断B；令
以及
得出
为奇函数判断A；根据
的对称性可
得出周期性，结合对称性和周期性可判断C；利用周期性和对称性求出函数值
判断D.
40
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【详解】令
，则
，故
，则
，故B 正确；
令
，则
，
则
，则
或
，
令
，则
，则
，
若
，则
，也满足
，故
为奇函数，故A 错误；
因为
为偶函数，所以
的对称轴为
，则
，
因为
为奇函数，所以
，则
，
则
，故
，即
是
的一个周期，
则
，故C 正确；
因为
，所以
，
；
因为
，所以
，
，故D 正确.
故选：BCD
7．（多选）（2026·宁夏银川·一模）已知函数
与
及其导函数
与
的定义域均
为
，
的图象关于点
对称，
的图象关于直线
对称，且
，
，若
，则（ ）
A．
B．
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C．4 为
的周期
D．
【答案】ACD
【分析】对A：根据
，积分后结合
，求得
，即可
判断；对B：对
，令
，结合
，即可判断；对C：根据
关
于
对称，以及
关系，求导后可得
；再根据A 中推导可得
，即可求得
，从而求得
的周期；对D：根据
的周期，求
得为
的周期，根据周期性，结合
，即可判断.
【详解】对A：
的图象关于点
对称，故可得
，
对其积分可得
( 为常数)，令
，则
；
由
可得
，故
，也即
，故A 正确；
对B：若
成立，令
，则可得
，也即
；
而根据已知条件可知
，相互矛盾，故B 错误；
对C：已知
，令
为
可得
，
又
关于
对称，则
，故
，也即
，
对其求导可得
，也即
，令
为
，则
；
由A 知：
，故可得
，令
为
，则
，
42
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再令
为
，则
，故
，故
为
的周期，C 正确；
对D：由C 推导可知
，令
为
可得
；由A 推导可知
，联立可知
，也即
，故
为
的周期；
又
，则
，又
为
的周期可知：
，
故
，也即
，故为
的周期；
则
，故D 正确.
8．（多选）（2026·河北衡水·一模）已知函数
的定义域为
，且对任意实数
，
，
恒成立，则（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
D．
的图象关于点
对称
【答案】ABD
【详解】令
，得
，以
替代
，得
，
消去
，得
.再令
，得
，即
，
所以
，即
，则
，
，A 正确，C 错误.
而
，当
时，
取得最小值，且最小值为
，B 正确.
43
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，所以
的图象关于点
对称，D 正确.
9．（多选）（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为
的函数
，对任意实数
都有
，且
，则以下结论一定正确的有（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
的图象关于点
中心对称
D．
【答案】ABD
【分析】利用赋值法结合函数奇偶性的判断可判断选项A、B，利用函数对称性结合特殊值以及运
算规律判断C、D.
【详解】对于A，令
，则
，又
，
所以
，解得：
，故A 正确；
对于B，令
，则
，
即
，
又函数
的定义域为
关于原点对称，所以
是偶函数，故B 正确；
对于C，若
的图象关于点
中心对称，则
，
由
，不符合题意，故C 错误；
对于D，令
，则
，
即
，
44
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所以
，
，
，
，
所以
，故D 正确.
10．（多选）（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）对任意
，函数
都满足
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递增
D．直线
是曲线
的切线
【答案】ACD
【分析】通过对已知等式进行赋值，求出
与
的表达式，根据表达式逐一分析选项.
【详解】令
，则有
，所以
，故A 正确；
因为
，
所以
对任意
均成立，
当
取任意值，
取定值时，
为常数，
当
取任意值，
取定值时，
为常数，
所以
与
等于同一个常数，
45
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设
，令
，则
，
解得
，故B 错误；
由
，得
，所以
在
上单调递增，故C 正确；
因为
，所以
，令
，得
，
又
，所以直线
是曲线
在
处的切线，故D 正确.
11．（多选）（2026·陕西榆林·一模）已知函数
的定义域为
，其图象是一条连续不断的曲
线，且对于任意实数
，恒有
，若
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是
的必要不充分条件
D．
的零点个数为3
【答案】ABD
【分析】抽象函数的性质，通过取特殊值解决前三个选项，选项D 将抽象函数具体化.
【详解】 对于A，令
，得
，所以
，
再令
，
，得
，所以
，故A 正确；
对于B，首先定义域关于原点对称，其次令
，得
，
即
，所以
是奇函数，故B 正确；
46
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对于C，令
，得
，令
，得
，
所以
，由
，得
，解得
或
，
即
只是解集的一部分，则
是
的充分不必要条件，故C 错误；
对于D，设
，不难验证。
，
所以
，所以
，将
代入，可得
，
所以
，
的零点为0，
，2，故D 正确．
12．（多选）（2026·山东滨州·一模）已知函数
的定义域为
，且
，若
为奇函数，
为偶函数，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
在
上单调递减
D．函数
的最大值为1
【答案】BCD
【分析】根据奇偶性可得
，
，联立解得
47
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，结合二次函数的图像与性质依次分析选项即可求解.
【详解】因为
为奇函数，所以
，即
，
因为
为偶函数，所以
，即
，
联立
，解得：
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
，所以函数
的图象关于直线
对称，故B 正确；
对于C，因为
为开口向下，对称轴为
的二次函数，所以函数
在
上单调递减，故C 正确；
对于D，由
可得：
，即函数
的最大值为1，故D 正确.
13．（多选）（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，
在R 上单调递增，
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
【答案】AC
【分析】A 根据奇函数以及令
可得；B 根据奇函数以及反证法结合单调性可判断；C 结合A 选
项以及单调性即可求出
；D 结合函数的单调性和对称性判断.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
令
，得
，得
，故A 正确；
48
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令
，则
，即
，
若
，则
恒成立，与
在R 上单调递增矛盾，故B 错误；
因为
，所以
的图象关于点
中心对称，
又
，
在R 上单调递增，所以
时
，
时
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
的导函数为
，则
，得
，其中为常数，
令
，得
，得
，故
，
故
的图象关于直线
对称，故C 正确；
由
的对称性可知，
，
因为
，以及
的单调性可知，
，故D 错误.
14．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．若
，
为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对
进行变形可判断A，分析
的对称性和周期性可判断B，由已知
变形得到
和
的两个方程并联立可判断C，先计算得到
的值，由
49
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的周期性及
和
的值计算可判断D.
【详解】对于A，由
，可得
，
两式相减可得
，故A 正确；
对于B，由
为偶函数，可得
，
即
，所以
的图象关于直线
对称，
由
，两边求导得
，即
，
所以
是以4 为周期的周期函数，
则有
，无法推出
，故B 错误；
对于C，由
，两边求导得
，
即
，令
，可得
，
又
，令
，可得
，
并联立
，解得
，故C 正确；
对于D，由
，当
时，
，又
，可得
，
当
时，可得
，
由
，即
，
所以
，令
，可得
，
所以
，令
，可得
，
，
，
由A 知
的周期为4，则
，所以
，
50
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，故D 正确.
15．（多选）（2026·河北保定·一模）已知定义在
上的函数
为偶函数，且满足
，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为周期函数
B．
的图象关于点
对称
C．当
时
D．
【答案】ACD
【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及
时的解析式可判断C；利用周期性可计算
的值，然后求出
的范围可判断
D.
【详解】
，拿
换
，得
，
所以
，故
是周期为4 的周期函数，选项A 正确；
由
和偶函数性质，得：
，
因此
，图象关于直线
对称，而非点
对称，故选项B 错误；
利用
和已知区间
上的解析式
，
当
时，
，则
，
再由偶函数得
时
，
故当
时
，选项C 正确；
由
的周期
，
，所以
，
51
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又因为
为奇函数，当
时，
，所以
，
从而
的值域为
，在此区间上
，所以
，
故
恒成立，选项D 正确.
16．（多选）（2026·四川宜宾·一模）定义在
上的函数
，对
都有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列
单调递减
C．
D．数列
的前n 项和为
，则
【答案】ACD
【详解】由函数方程
可得
，又
，
可推出
，可得
，对任意正整数数成立.
对于选项
:
正确.对于选项
:
递增，故单调递减错误.
对于选项
:
是凸函数，满足
，正确.
对于选项
:前
项和
，正确.
17．（多选）（2026·甘肃兰州·一模）已知函数
是定义在
上的偶函数且在区间
上单调，
函数
的图象关于点
中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
52
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C．若
在区间
上是增函数，则
在区间
上是增函数
D．若
，则
在区间
上的零点之和为0
【答案】BC
【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C 选项，再结合函数零点判断D
选项.
【详解】对于A，因为函数
的图象关于点
中心对称，
所以
，即
，
也即
，当
时，
成立，
当
时，
，又函数
是定义在
上的偶函数，
所以
，故A 错误；
对于B，
，由
，所以函数
的周期为6，
所以
，故B 正确；
对于C，因为函数
的图象关于点
中心对称，且在区间
上是增函数，
由中心对称的性质可得函数
在
上是增函数，故C 正确；
对于D，令
，则
或
，
此时
在区间
有一个零点，
因为函数
是定义在
上的偶函数，且周期为6，
，
所以
， 此时
53
分段函数
考点6
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，所以
在区间
共有个零点分别为
，
此时
，故D 不正确.
1．（2026·广东广州·一模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．2
【答案】B
【详解】因为
，所以
，所以
.
2．（2026·山东烟台·一模）已知函数
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
.
3．（2026·江西南昌·一模）已知
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
54
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【分析】结合指数函数的性质及一元二次不等式的解法分情况解不等式即可.
【详解】当
时，原不等式可化为
，解得
，此时解集为
.
当
时，原不等式可化为
，即
，解得
或
.
又
，所以
或
.综上，不等式
的解集为
.
4．（2026·浙江·一模）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为
，所以
，所以
.
5．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数
（是虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题知，
，所以
.
6．（2026·湖南永州·一模）已知函数
若
，则
（ ）
A．3 或1
B．0 或-2
C．0
D．1
【答案】C
【分析】分析函数
的单调性，列出关于
的不等式组，求解可得
，代入
可求得其
值.
55
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【详解】由
的解析式易得
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
由
，得
，所以
解得
.
．故选：C.
7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数
，若存在实数a，b，c 满足
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】作出
图象后可得
、
、的关系，再求出
的范围后可用
表示出
，
即可得
的取值范围.
【详解】作出
图象如下：
由
，且
，则
，即有
，
，
且
，则
，故
，
则
.
8．（2026·河北·一模）已知函数
，若
，则
（ ）
56
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A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论
和
的符号，由
求出参数
，再代入更新后的函数，从内到外依次计算
和
.
【详解】若
，则
，因为函数
在
单调递增，且
，
所以方程
无解；若
，
，则
，
得到
，即
，整理得
，解得
（舍）或
；
若
，因为函数
在
单调递减，且
，所以方程
无解；综上，
，
，所以
，
.故选：B.
9．（2026·河南鹤壁·一模）已知函数
若关于
的方程
在区间
内有2027 个不同的实数根，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
57
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【分析】先作出
上的图象，令
，再将问题转化为方程
有一个根
在
内，另一个根在
内.令
，利用实根分布即可求解.
【详解】先作出
在
上的图象，再扩展到整个定义域，画出大致图象如下．
当
时，方程
在
内有2026 个实根；当
时，方程
在
内有1 个实根，令
，因为方程
在区间
内有2027 个不同的实数根，所以方程
有一个根为
，另一个一个
根在
内，此时
,符合题意；或者有一个根在
内，另一个根在
内，
令
，则
，即
解得
,综上可得
．故选：B
10．（2026·内蒙古包头·一模）已知函数
，若关于
的方程
有四
个实根
，
，
，
（
），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
58
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C．
D．
的最小值为16
【答案】D
【分析】作出函数
的图象，根据题意得到
，
，利
用不等式性质判断A；数形结合求解判断B；利用对数性质可得
，再利用基本不等式
求解最小值判断D，构造函数
，利用导数法求得
，即可判断C.
【详解】作出函数
的图象，如图所示：
由图象知：
，所以
，故选项A 错误；
由二次函数的对称性可得
，令
或
，
所以
，
因为方程
有四个实根，所以
，故选项B 错误；
又
，则
，
即
，则
，所以
，
所以
，
59
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当且仅当
，即
时，等号成立，故选项D 正确；
由
得
，
由上面推导可知
，所以
，
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
，所以
，故选项C 错误.故答案选D.
11．（2026·湖北荆州·一模）“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期
函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数
就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（ ）
A．函数
的值域为
B．函数
在
上单调递减
C．方程
有5 个不同的解
D．若方程
有10 个不同的解，则
【答案】BCD
【分析】作出函数
的图象，结合图象判断ABC；令
，将问题转化为方程
有两个不相等的实数根，且这两个根分别在
、
内，进而求解判断D.
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【详解】当
时，
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
或
时，
，作出函数
的图象如下：
由图可知，函数
的值域为
，故A 错误；函数
在
上单调递减，故B 正确；
由于函数
与
有5 个交点，则方程
有5 个不同的解，故C 正确；
对于D，令
，因为方程
有10 个不同的解，
所以方程
有两个不相等的实数根，设
，显然
，
则这两个根分别在
、
内，有
，解得
，故D 正确.
故选：BCD
12．（2026·新疆·一模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的单调递增区间为
和
C．函数
的图象与直线
有且仅有一个交点
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D．若
，且
，则
有最小值
【答案】ABD
【分析】化简函数解析式，根据解析式直接判断AB，当
时，直线与函数部分图象重合可判断
C，根据题意求出
的表达式，利用导数分析是否存在最值判断D.
【详解】由
可得
，
所以
，故A 正确；当
时，
单调递减，所以
单
调递增；当
时，
单调递增，故B 正确；
当
时，直线
与
的图象在
上重合，有无数个公共点，故C 错误；
设
，作函数
与
的图象，如图，
由图可知，
，由
可分别解得
，
所以
，令
，
则
，令
，
，令
，即
，化简可得
，
令
，显然
在
时单调递增，
又
，
，由零点存在性定理知，有唯一
使得
，
62
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且当
时，
，即
，
单调递减；
当
时，
，即
，
单调递增，
所以
在
时有最小值，即
有最小值，故D 正确.
故选：ABD
13．（2026·新疆·一模）已知函数
，则
___________．
【答案】3
【分析】先计算内层函数值
，再将结果作为自变量代入函数计算外层函数值
.
【详解】
，
，
.
14．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数
，且
，则
的值为
__________.
【答案】
/
【分析】根据给定的函数式及函数值求出
，再判断代入求出目标值.
【详解】函数
，当
时，
，当
时，
，
由
，得
，则
，解得
，所以
.
15．（2026·山东滨州·一模）若函数
有最大值，则
的取值范围为______．
【答案】
【详解】当
时，
有最大值，最大值为2，
63
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因为函数
有最大值，若在
内
的上确界大于
，则该上确界将
无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值，故必有
在
上恒成立，即
在
上恒成立，令
，则
，因为当
时，
，
所以
单调递减，当
时，
，所以
，所以
的取值范围为
.
16．（2026·山东济宁·一模）已知函数
若关于
的方程
恰有三
个不相等的实数根，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】分类讨论，求得函数
的解析式，利用数形结合求得实数
的取值范围.
【详解】函数
在
上单调递增，
，在
上单调递增，
，当
，即
时，
，且
，
当
，即
，
，且
，
当
，即
时，
，且
，因此
，在坐标系内作出函数
和
的图像，如图所示
64
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关于
的方程
恰有三个不相等的实数根，则
.所以实数
的取值范围是
.
17．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数
，若存在实数
，使函数
至少有两个不同的零点，则
的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
至少有两个不同的零点等价于
至少有两个根，即
与
至少有两个交点.画出
的图象，分类讨论即可求解.
【详解】
至少有两个不同的零点等价于
至少有两个根，即
与
至少有两个交点.
的图象如图所示：
当
时，存在
使得
有两根，故
满足题意；
当
时，存在
使得
有一个根，
有一个根，故
满足题意；
当
时，
，
，存在
使得
有两个根，故
满足题意；
当
时，
在
上单调递增，
，
在
上单调递增，
65
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，而
，故不存在
使得
，
同时成立，故
舍去.
所以
的取值范围是：
66
