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专题04 导数及其应用
易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）
一、导数的概念和几何性质
1．概念函数
在
处瞬时变化率是
，我们称它为函数
在
处的导数，记作
或
．
诠释：①增量
可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．
的意义：
与0 之间距离要
多近有多近，即
可以小于给定的任意小的正数；
②当
时，
在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即
．
2．几何意义函数
在
处的导数
的几何意义即为函数
在点
处的切
线的斜率．
3．物理意义函数s=s(t )在点t0 处的导数s
'(t0)是物体在t0 时刻的瞬时速度v ，即v=s
'(t0)；
1
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v=v(t )在点t0 的导数v
'(t0)是物体在t0 时刻的瞬时加速度a ，即a=v
'(t0)．
二、导数的运算
1．求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（c 为常数）
2．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：
；
（2）函数积的求导法则：
；
（3）函数商的求导法则：
，则
．
3．复合函数求导数
复合函数
的导数和函数
，
的导数间关系为
：
应用1．在点的切线方程
切线方程
的计算：函数
在点
处的切线方程为
，抓住关键
．
2
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应用2．过点的切线方程
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为：
，又因为切线方
程过点
，所以
然后解出
的值．（
有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
易错提醒：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，
再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外
向内逐层求导，必要时可换元
2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线
“在”点
处的切线与“过”点
的切线的区别：曲线
在点
处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为
，是唯一的一条切线；曲线
过点
的切线，是指切线经过点P，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线
可能有多条．
3．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式
（组），进而求出参数的值或取值范围．
4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
（1）注意曲线上横坐标的取值范围；
（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．
例 ．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，都有
，求
的取值范围．
3
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变式1．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个不等的实根，求实数
的取值范围.
变式2．已知函数
.
(1)当
时，求过原点且与
的图象相切的直线方程；
(2)若
有两个不同的零点
，不等式
恒成立，求实数
的
取值范围.
变式3．．已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若对
，
恒成立．求实数
的取值范围．
1．已知函数
与
的图象关于直线
对称，直线与
的图象均相切，则
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若曲线
存在与直线
垂直的切线，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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3．过点
作曲线
的切线有且只有两条，切点分别为
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
4．曲线
在点
处的切线在y 轴上的截距的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，则（ ）
A．函数
在
处的切线方程为
B．函数
有两个零点
C．函数
的极大值点在区间
内
D．函数
在
上单调递减
6．已知直线l 与曲线
相切，则下列直线中可能与l 平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于原点中心对称
B．
在区间
上的最小值为
C．过点
有且仅有1 条直线与曲线
相切
D．若过点
存在3 条直线与曲线
相切，则实数的取值范围是
8．已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线；
(2)讨论
的单调性；
(3)当
时，若对任意实数
，
恒成立，求
的取值范围.
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9．已知函数
，
且
，
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，
，
，讨论函数
的零点个数．
10．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，若关于x 的不等式
恒成立，求实数a 的取值范围.
11．已知
，函数
，
．
(1)当
时，若斜率为0 的直线l 是
的一条切线，求切点的坐标；
(2)若
与
有相同的最小值，求实数a．
易错点二：转化为恒成立后参变分离变号的前提条件（利用导数研究函数
的单调性）
1．求可导函数单调区间的一般步骤
第一步：确定函数
的定义域；
第二步：求
，令
，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
第三步：把函数
的间断点（即
的无定义点）的横坐标和
的各实根按由小到大的
顺序排列起来，然后用这些点把函数
的定义域分成若干个小区间；
第四步：确定
在各小区间内的符号，根据
的符号判断函数
在每个相应小区间内的增
6
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减性.
注意①使
的离散点不影响函数的单调性，即当
在某个区间内离散点处为零，在其余点
处均为正（或负）时，
在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在
上，
，当
时，
；当
时，
，而显然
在
上是单调递
增函数.
②若函数
在区间
上单调递增，则
（
不恒为0），反之不成立.因为
，即
或
，当
时，函数
在区间
上单调递增.当
时，
在这个区间为常值函数；同理，若函数
在区间
上单调递减，则
（
不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间
上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；
单调递增
；
单调递减；
单调递减
.
技巧：1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧
利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性
问题，再由单调性比较大小或解不等式．
2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路
第一步：由函数在区间
上单调递增(减)可知
(
)在区间
上恒成立列出不等
式；
第二步：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
第三步：对等号单独检验，检验参数的取值能否使
在整个区间恒等于0，若
恒等于0，则
参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有
，则参数可取这个值．
易错提醒：一：研究单调性问题
1．函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数
在某个区间内可导，如果
，则
为增函数；
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如果
，则
为减函数．
2．已知函数的单调性问题
①若
在某个区间上单调递增，则在该区间上有
恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出
在某个区间上单调递增；
②若
在某个区间上单调递减，则在该区间上有
恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出
在某个区间上单调递减．
二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或
恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0 的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函
数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个
连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或
恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间。
例 ．已知函数
为函数
的导函数．
(1)若
，讨论
在
上的单调性；
(2)若函数
，且
在
内有唯一的极大值，求实数
的取值范围．
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变式1．已知函数
．
(1)若
，判断函数
的单调性．
(2)若
有两个不同的极值点
（
），求证：
．
变式2．已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围．
变式3．设函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若正数
，
满足
，证明：
.
1．若方程
在
上有实根，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，则不等式
成立的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设函数
是奇函数
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为偶函数，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．定义在
上的函数
的导函数为
，且
恒成立，则下列结论正确的
有（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
是定义域为
的函数
的导函数，
，
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
（为自然对数的底数，
）
C．存在
，
D．若
，则
7．设
，若
，
，
，下列说法正确的是（ ）
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A．
B．
无极值点
C．
的对称中心是
D．
8．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．若
是增函数，则
D．若
和
的零点总数大于2，则这些零点之和大于5
9．已知函数
且
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的最大值．
10．已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性．
(2)若关于
的方程
有两个实数根，求实数
的取值范围．
11．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调递增区间；
(2)若
存在极小值点
，且
，求
的取值范围．
易错点三：误判最值与极值所在位置（利用导数研究函数的极值与最
值）
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1．函数的极值
函数
在点
附近有定义，如果对
附近的所有点都有
，则称
是函数的一个极
大值，记作
．如果对
附近的所有点都有
，则称
是函数的一个极小值，记
作
．极大值与极小值统称为极值，称
为极值点．
求可导函数
极值的一般步骤
第一步：先确定函数
的定义域；
第二步：求导数
；
第三步：求方程
的根；
第四步：检验
在方程
的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近
为负，那么函数
在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值．
2．函数的最值
函数
最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数
最小值为极小值与靠近极
大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当
时，最大值是
与
中的最大者；最小值是
与
中的最小者．
（2）当
时，最大值是
与
中的最大者；最小值是
与
中的最小者．
一般地，设
是定义在
上的函数，
在
内有导数，求函数
在
上的最大值与最小值可分为两步进行：
第一步：求
在
内的极值（极大值或极小值）；
第二步：将
的各极值与
和
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
技巧：
1．由图象判断函数
的极值，要抓住两点：（1）由
的图象与x 轴的交点，可得函数
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的可能极值点；（2）由导函数
的图象可以看出
的值的正负，从而可得函数
的单调性．两者结合可得极值点．
2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：（1）根据极值点的导数为0 和极值这两个
条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）因为导数值等于0 不是此点为极值点的充要条件，所以用待定
系数法求解后必须检验．
3．求函数
在闭区间
内的最值的思路
（1）若所给的闭区间
不含有参数，则只需对函数
求导，并求
在区间
内的根，
再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与
，
比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值．
（2）若所给的闭区间
含有参数，则需对函数
求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调
性，从而得到函数
的最值．
结论：1、若函数
在区间D 上存在最小值
和最大值
，则
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
2、若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为
，则
不等式
在区间D 上恒成立
．
不等式
在区间D 上恒成立
．
3、若函数
在区间Ｄ上存在最小值
和最大值
，即
，则对不等式有解
问题有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
4、若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为
，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
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不等式
在区间D 上有解
5、对于任意的
，总存在
，使得
；
6、对于任意的
，总存在
，使得
；
7、若存在
，对于任意的
，使得
；
8、若存在
，对于任意的
，使得
；
9、对于任意的
，
使得
；
10、对于任意的
，
使得
；
11、若存在
，总存在
，使得
12、若存在
，总存在
，使得
易错提醒：（1）①可导函数
在点
处取得极值的充要条件是：
是导函数的变号零点，即
，且在
左侧与右侧，
的符号导号．
②
是
为极值点的既不充分也不必要条件，如
，
，但
不是极值点．
另外，极值点也可以是不可导的，如函数
，在极小值点
是不可导的，于是有如下结论：
为可导函数
的极值点
；但
为
的极值点．
（2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的
最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
例 ．已知函数
存在两个极值点
，且
.
(1)求
的取值范围；
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(2)若
，求
的最小值.
变式1．已知函数
，其中
．
(1)若
是函数
的极值点，求a 的值；
(2)若
，讨论函数
的单调性．
变式2．若函数
，
为函数
的极值点.
(1)求
的值；
(2)求函数的极值.
变式3．已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若
有两个极值点
，求证：
.
1．已知函数
，在
有且只有一个极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
是函数
的一个极值点，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若函数
在
处取得极小值，则实数
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．设函数
在区间
内有零点，无极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．0 是
的极值点
C．
在
上有且仅有1 个零点D．
的值域是
6．若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数k 的取值范
围（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
的极值点为
，函数
的最大值为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．当
时，函数
取得极值，则
在区间
上的最大值为（ ）
A．8
B．12
C．16
D．32
9．已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，求
在
上的最小值；
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(3)若
在
上存在零点，求
的取值范围.
10．已知函数
.
(1)若
为函数
的导函数，求
的极值；
(2)若
有两个不等的实根，求实数
的取值范围.
11．已知函数
在
处取得极值.
(1)求
的值；
(2)求
在
上的值域.
易错点四：零点不易求时忽略设零点建等式（利用导数研究函数零点问
题）
1．判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函
数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有
．若有，则函数
在区间
内必有零点．
2．判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法：
（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；
（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；
（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与
轴交点的个数来判断．
3．已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：
方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．
方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．
4．解决函数应用问题的步骤
第一步：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
第二步：建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数
学模型；
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第三步：解模：求解数学模型，得出数学结论；
第四步：还原：将数学结论还原为实际问题的意义．
技巧：判断函数零点个数的方法：
方法1：利用零点存在性定理判断法；
方法2：代数法：求方程
的实数根；
方法3：几何法：对于不易求根的方程，将它与函数
的图象联系起来，利用函数的性质找出零点
或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决
2、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解
结论拓展：与
和
相关的常见同构模型
①
，构造函数
或
②
，构造函数
或
③
，构造函数
或
易错提醒：如果函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么
函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
也就是方程
的根
例 ．已知函数
．
(1)若
在区间
上有极值，求实数
的取值范围；
(2)当
时，求证：
有两个零点
，
，且
．
变式1．已知函数
.
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(1)试讨论
的单调区间；
(2)若
有两个零点，求
的取值范围.
变式2．若函数
在
处有极小值．
(1)求c 的值．
(2)函数
恰有一个零点，求实数a 的取值范围．
变式3．已知函数
.
(1)求
的极值：
(2)若
有两个零点，求a 的取值范围.
1．已知函数
（
）.
(1)求
在
上的最大值；
(2)若函数
恰有三个零点，求a 的取值范围.
2．已知函数
有两个零点.
(1)求
的取值范围；
(2)设
，
为
的两个零点，证明：
.
3．已知
是函数
的一个极值点．
(1)求
的值；
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(2)若
有3 个零点，求
的取值范围．
4．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
上存2 个零点，求
的取值范围.
5．已知函数
.
(1)若存在实数
，使
成立，求实数
的取值范围；
(2)若
有两个不同零点
，求证：
.
6．已知
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个零点，求整数
的最大值．
7．已知函数
.
(1)当
时，求函数的单调区间和极值
(2)若
在区间
内恰好有两个零点，求
的取值范围.
8．已知函数
．
(1)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若函数
有两个零点
且
，求证：
．
9．已知
．
(1)若当
时函数
取到极值，求
的值；
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(2)讨论函数
在区间
上的零点个数．
10．设函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个极值点，设极大值点为
，
为
的零点，求证：
．
11．已知函数
(1)求
的单调区间和极值；
(2)讨论
的零点个数．
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